Chuyen de day so cap so cong va cap so nhan toan 11 ctst

CHƯƠNG CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN II DÃY SỐ CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN BÀI 1: DÃY SỐ I LÝ THUYẾT DÃY SỐ LÀ GÌ? Mỗi hàm số u xác định tập số nguyên dương  * gọi dãy số vô hạn Nghĩa u : * →  n  un = u ( n ) Dãy số kí hiệu ( un ) Dạng khai triển dãy số ( un ) là: u1 , u2 , u3 , , un , Chú ý: a) u1 = u (1) gọi số hạng đầu, un = u ( n ) số hạng thứ n (hay số hạng tổng quát) dãy số b) Nếu un = C , ∀n ∈ * ta nói ( un ) dãy số khơng đổi Hàm số u xác định tập M  1,2,3, , m với m   * gọi dãy số hữu hạn Dạng khai triển dãy số là: u1 , u2 , u3 , , um , u1 số hạng đầu, um số hạng cuối CÁCH XÁC ĐỊNH DÃY SỐ Thơng thường dãy số cho cách sau: a) Dãy số cho liệt kê số hạng b) Dãy số cho công thức số hạng tổng quát c) Dãy số cho phương pháp truy hồi Cách cho dãy số phương pháp truy hồi, tức là: Cho số hạng đầu Cho hệ thức truy hồi, tức hệ thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng đứng trước d) Dãy số cho phương pháp mơ tả Sưu tầm biên soạn Page CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN Dãy số un  gọi dãy số tăng ta có un 1  un với n   * Dãy số un  gọi dãy số giảm ta có un 1  un với n   * Chú ý: Không phải dãy số tăng giảm Chẳng hạn, dãy số un  với un  3n tức dãy 3,9, 27,81, không tăng không giảm DÃY SỐ BỊ CHẶN Dãy số un  gọi bị chặn tồn số M cho * un  M , n   Dãy số un  gọi bị chặn tồn số m cho un  m, n   * Dãy số un  gọi bị chặn vừa bị chặn vừa bị chặn dưới, tức tồn số m, M cho m  un  M , n   * Lưu y: + Dãy tăng bị chặn u1 + Dãy giảm bị chặn u1 II HỆ THỐNG BÀI TẬP DẠNG 1: TÌM SỐ HẠNG CỦA DÃY SỐ Bài toán 1: Cho dãy số (un ) : un = f (n) Hãy tìm số hạng uk PHƯƠNG PHÁP Tự luận: Thay trực tiếp n = k vào un MTCT: Dùng chức CALC: Nhập: f ( x) Bấm r nhập X = k Bấm = → Kết Sưu tầm biên soạn Page CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN BÀI TẬP TỰ LUẬN n n  +   −     −   Tìm số hạng u6        Câu 1: Cho dãy số= (un ) biết un Câu 2: Cho dãy số (un ) có số hạng tổng quát un = 2n + 167 Số số hạng thứ mấy? n+2 84 u1 = a Hãy tìm số hạng uk Bài toán 2: Cho dãy số (un ) cho  un +1 = f (un ) PHƯƠNG PHÁP Tự luận: Tính u2 ; u3 ; ; uk cách u1 vào u2 , u2 vào u3 , …, uk −1 vào uk +1 MTCT: Cách lập quy trình bấm máy: - Nhập giá trị số hạng u1: a = - Nhập biểu thức un +1 = f ( un ) - Lặp dấu = lần thứ k − cho giá trị số hạng uk BÀI TẬP TỰ LUẬN Câu 3:  u1 =  Cho dãy số (un ) biết  un + Tìm số hạng u10 u = n +  un +  Câu 4: u1 = Cho dãy số (un ) xác định sau:  Tìm số hạng u50 un + un += = , u2 b u1 a= Hãy tìm số hạng uk Bài toán 3: Cho dãy số (un ) cho  = + + u c u d u e + + n n n  PHƯƠNG PHÁP Tự luận: Tính u3 ; u4 ; ; uk cách u1 , u2 vào u3 ; u2 , u3 vào u4 ; …; uk −2 , uk −1 vào uk MTCT: Cách lập quy trình bấm máy: - Nhập C =c.B + d A + e : A =B : B =C - Bấm r nhập B = b , ấn =, nhập A = a ấn = Sưu tầm biên soạn Page CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN - Lặp dấu = xuất lần thứ k − giá trị C giá trị số hạng uk Câu 5: BÀI TẬP TỰ LUẬN u1 1;= u2 = Cho dãy số (un ) xác định sau:  Tìm số hạng u8 un + = 2un +1 + 3un + u1 = a Bài toán 4: Cho dãy số (un ) cho  Trong f un +1 = f ({n, un }) tính theo un n Hãy tìm số hạng uk ({n, u }) kí hiệu biểu thức u n n +1 PHƯƠNG PHÁP Tự luận: Tính u2 ; u3 ; ; uk cách {1,u1} vào u2 ; {2,u2 } vào u3 ; …; {k − 1, uk −1} vào uk MTCT: Cách lập quy trình bấm máy: - Sử dụng ô nhớ: A : chứa giá trị n B : chứa giá trị un C : chứa giá trị un+1 - Lập cơng thức tính un+1 thực gán A : = A + B := C để tính số hạng dãy - Lặp phím dấu = giá trị C xuất lần thứ k − giá trị số hạng uk BÀI TẬP TỰ LUẬN Câu 6: u1 =  Cho dãy số (un ) xác định sau:  Tìm số hạng u11 n = un +1 n + ( un + 1) Câu 7:  u1 = Cho dãy số (un ) xác định bởi:  Tìm số hạng u50 un += un + 2n DẠNG 2: XÉT TÍNH TĂNG, GIẢM CỦA DÃY SỐ PHƯƠNG PHÁP Sưu tầm biên soạn Page CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN Cách 1: Xét hiệu un +1 − un  Nếu un +1 − un > ∀n ∈ * (un ) dãy số tăng  Nếu un +1 − un < ∀n ∈ * (un ) dãy số giảm Cách : Khi un > ∀n ∈ * ta xét tỉ số un +1 un  Nếu un +1 > (un ) dãy số tăng un  Nếu un +1 < (un ) dãy số giảm un Cách : Nếu dãy số (un ) cho hệ thức truy hồi ta sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh un +1 > un ∀n ∈ * * Cơng thức giải nhanh số dạng tốn dãy số Dãy số (un ) có u= an + b tăng a > giảm a < n Dãy số (un ) có un = q n  Không tăng, không giảm q <  Giảm < q <  Tăng q > Dãy số (un ) có un = an + b với điều kiện cn + d > ∀n ∈ * cn + d  Tăng ad − bc >  Giảm ad − bc < Dãy số đan dấu dãy số không tăng, không giảm ( ) Nếu dãy số (un ) tăng giảm dãy số q n un không tăng, không giảm a > Dãy số (un ) có u= ; giảm aun + b tăng  n +1 u2 − u1 > không giảm a < aun + b  un +1 = cu + d Dãy số (un ) có  tăng n * c, d > 0, u > ∀n ∈  n  a > không tăng  u2 − u1 < ad − bc > giảm  u2 − u1 > ad − bc >  u2 − u1 < aun + b  un +1 = cu + d Dãy số (un ) có  khơng tăng khơng giảm ad − bc < n c, d > 0, u > ∀n ∈ * n  Sưu tầm biên soạn Page CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN (un ) ↑ Nếu  dãy số ( un + ) ↑ (vn ) ↑ (un ) ↓ Nếu  dãy số ( un + ) ↓ (vn ) ↓ (un ) ↑; un ≥ ∀n ∈ * Nếu  dãy số ( un ) ↑ * (vn ) ↑; ≥ ∀n ∈  (un ) ↓; un ≥ ∀n ∈ * Nếu  dãy số ( un ) ↓ * (vn ) ↓; ≥ ∀n ∈  Nếu (un ) ↑ un ≥ ∀n ∈ * dãy số Nếu (un ) ↓ un ≥ ∀n ∈ * dãy số ( ( u )↑ n ( ) 1 Nếu (un ) ↑ un > ∀n ∈ * dãy số   un Câu 8: n ) dãy số (un ) m ↓ ∀m ∈ * dãy số (un ) m ↑ ∀m ∈ * ( u )↓  ↓  1 Nếu (un ) ↓ un > ∀n ∈ * dãy số   un  ↑  BÀI TẬP TỰ LUẬN Xét tính đơn điệu dãy số (un ) biết u= 3n + n n+5 n+2 5n Câu 10: Xét tính đơn điệu dãy số (un ) biết un = n u1 =  Câu 11: Cho dãy số (un ) biết (un ) :  3un −1 + u n = ∀ ≥  n Câu 9: Xét tính đơn điệu dãy số (un ) biết un = DẠNG 3: XÉT TÍNH BỊ CHẶN CỦA DÃY SỐ PHƯƠNG PHÁP Phương pháp 1: Chứng minh trực tiếp phương pháp chứng minh bất đẳng thức Cách 1: Dãy số (un ) có un = f (n) hàm số đơn giản Ta chứng minh trực tiếp bất đẳng thức = un f (n) ≤ M , ∀n ∈ * = un f (n) ≥ m, ∀n ∈ * Cách 2: Dãy số (un ) có un = v1 + v2 + + vk + + Ta làm trội vk ≤ ak − ak +1 Lúc un ≤ ( a1 − a2 ) + ( a2 − a3 ) + ( an − an +1 ) Suy un ≤ a1 − an +1 ≤ M , ∀n ∈ * Cách 3: Dãy số (un ) có un = v1.v2 v3 với > 0, ∀n ∈ * Ta làm trội vk ≤ ak +1 ak Sưu tầm biên soạn Page CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN Lúc un ≤ a2 a3 an +1 a1 a2 an Suy un ≤ an +1 ≤ M , ∀n ∈ * a1 Phương pháp 2: Dự đoán chứng minh phương pháp quy nạp Nếu dãy số (un ) cho hệ thức truy hồi ta sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh Chú ý: Nếu dãy số (un ) giảm bị chặn trên, dãy số (un ) tăng bị chặn * Cơng thức giải nhanh số dạng toán dãy số bị chặn Dãy số (un= ) có un q n ( q ≤ 1) bị chặn có un q n Dãy số (un ) = ( q < −1) không bị chặn Dãy số (un ) có un = q n với q > bị chặn Dãy số (un ) có u= an + b bị chặn a > bị chặn a < n Dãy số (un ) có un = an + bn + c bị chặn a > bị chặn a < Dãy số (un ) có u= am n m + am −1n m −1 + + a1n + a0 bị chặn am > bị chặn n am < ( ) un q n am n m + am −1n m −1 + + a1n + a0 với am ≠ q < −1 không bị chặn = Dãy số (un ) có Dãy số (un ) có= un Dãy số (un ) có= un am n m + am −1n m −1 + + a1n + a0 bị chặn với am > am n m + am −1n m −1 + + a1n + a0 bị chặn am > bị chặn am < Dãy số (un ) có un = P (n) P ( n ) Q ( n ) đa thức, bị chặn bậc P ( n ) Q (n) nhỏ bậc Q ( n ) Dãy số (un ) có un = P (n) P ( n ) Q ( n ) đa thức, bị chặn bị chặn Q (n) bậc P ( n ) lớn bậc Q ( n ) BÀI TẬP TỰ LUẬN Câu 12: Xét tính bị chặn dãy số (un ) biết un = −1 2n + Sưu tầm biên soạn Page CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN 4n + n +1 n3 Câu 14: Xét tính bị chặn dãy số (un ) biết un = n +1 1 1 Câu 15: Xét tính bị chặn dãy số (un ) biết un = + + + + Mệnh đề sau ? 2 n Câu 13: Xét tính bị chặn dãy số (un ) biết un = DẠNG 4: TÍNH TỔNG CỦA DÃY SỐ Dạng 4.1: Tính tổng dãy số cách PHƯƠNG PHÁP Giải sử cần tính tổng: S = a1 + a2 + + an Trong đó: = an an −1 + d - Tự luận: Ta có: S = ( a1 + an ) + ( a2 + an −1 ) + + ( an + a1 ) = n ( a1 + an ) Từ suy ra: S = n ( a1 + an ) - Trắc nghiệm: Công thức tính nhanh: + Số hạng tổng quát dãy số cách là: un = u1 + ( n − 1) d với d khoảng cách số hạng + Số số hạng =: + + Tổng = •: - Casio Bước 1: Từ cơng thức tổng tìm số hạng tổng quát tổng số số hạng Bước 2: Sử dụng công cụ tính: ∑ y nhập số hạng tổng quát dãy số y nhập x chạy từ tới n = số số hạng y = BÀI TẬP TỰ LUẬN Câu 16: Tính S = + + + + 4001 ? Câu 17: Cho tổng S (n) = + + + + 2n Khi S30 bằng? Câu 18: Cho dãy số ( un ) xác định bởi: u1 = 150 = un un −1 − với n ≥ Khi tổng 100 số hạng là: Dạng 4.2: Tính tổng dãy số phương pháp khử liên tiếp Sưu tầm biên soạn Page CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN PHƯƠNG PHÁP Giả sử cần tính tổng: S = a1 + a2 + + an - Tự luận: Bước 1: Ta tìm cách tách: a1= b1 − b2 ; a= b2 − b3 ; Bước 2: Rút gọn: S = b1 − b2 + b2 − b3 + + bn − bn +1 = b1 − bn +1 - Trắc nghiệm: + Một số công thức tách thường sử dụng: • a 1 2a 1 = − • = − n(n + a) n n + a n(n + a)(n + a) n(n + a ) (n + a )(n + 2a ) • 2na + a 1 = − • n.n ! = (n + 1)!− n ! 2 n (n + a) n (n + a)2 + Nhận định kết tổng là: S= b1 − bn +1 - Casio: Làm tương tự dạng BÀI TẬP TỰ LUẬN 2 2 + + + + 1.3 3.5 5.7 97.99 1 1 + + + + Câu 20: Cho tổng S= Khi cơng thức S n là: n 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n(n + 1)(n + 2) Câu 19: Tính tổng sau: S = Câu 21: Cho tổng S n = 2n + + + + + Tính S10 2 (1.2) (2.3) (3.4) [ n(n + 1)]2 Dạng 4.3: Tính tổng cách chuyển phương trình có ẩn tổng cần tính PHƯƠNG PHÁP Giả sử cần tính tổng: S = a1 + a2 + + an - Tự luận: Sơ đồ giải: Từ công thức tổng S ta chuyển phương trình chứa ẩn S Giải pt S - Trắc nghiệm: Tổng có dạng: S = u1 + u1a + u1a + + u1a ⇒ S = n u1 ( a n +1 − 1) Sưu tầm biên soạn a −1 với a ≠ Page CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN - Casio: Làm tương tự dạng BÀI TẬP TỰ LUẬN 50 Câu 22: Tính tổng: S = + + + + ?  1 1 Câu 23: Tính tổng = S 4.5100  + + + + 100  + ?  5 5 1 1 Câu 24: Tính tổng: S = 1 −  + 1 −  + 1 −  + + 1 − n  Tính S10  2  4  8   Dạng 4.4: Tính tổng cách đưa tổng biết PHƯƠNG PHÁP Giải sử cần tính tổng: S n = a1 + a2 + + an - Tự luận: Tìm cách tách: S n = S1 + S + S3 + Trong đó: S1 ; S ;S biết cơng thức tính tổng - Trắc nghiệm: Ta dùng phương pháp thử giá trị n vào đáp án để loại trừ chọn đáp án - Casio: Làm tương tự dạng BÀI TẬP TỰ LUẬN Câu 25: Tính: S n = 1.3 + 2.5 + 3.7 + + n(2n + 1) Biết rằng: n(n + 1) n n(n + 1)(2n + 1) =+ + + + = i n ; ∑ i =+ 22 + 32 + + n = ∑ i 1= i n Câu 26: Cho: S n = 1.2 + 3.4 + 5.6 + + (2n − 1).2n Tính S100 biết rằng: n n ∑ 2i =2 + + + + 2n =n(n + 1); ∑ i i =i n(n + 1)(2n + 1) 22 + 32 + + n = =+ * Câu 27: Cho tổng: S n = 1.4 + 2.7 + 3.10 + + n.(3n + 1) với n ∈  Biết: S k = 294 Giá trị k là: DẠNG 5: XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ PHƯƠNG PHÁP Sưu tầm biên soạn Page 10 CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN ⇒ T = a + b + c = 3a + = Câu 123: Cho ba số x ; ; y theo thứ tự lập thành cấp số cộng ba số x ; ; y theo thứ tự lập thành cấp số nhân x − y A x − y = 10 B x − y = C x − y = D x − y = Lời giải Do ba số x ; ; y theo thứ tự lập thành cấp số cộng, ta có: S =x + y =10 (1) Ta lại có ba số x ; ; y theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên:= P x= y 16 ( ) Từ (1) , ( ) suy hai số x ; y nghiệm phương trình X − S X + P = hay X = X − 10 X + 16 = 0⇒ X = Theo yêu cầu toán x − y = − = Câu 124: Tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn (un ) biết u1 = u1 , u3 , u4 theo thứ tự ba số hạng liên tiếp cấp số cộng A +1 B −1 C −1 D Lời giải (un ) cấp số nhân lùi vô hạn có cơng bội q , suy q < và= u3 u= q 2= , u4 u= q3 q q Mà u1 , u3 , u4 theo thứ tự ba số hạng liên tiếp cấp số cộng nên u1 + u4 = 2.u3 Từ ta có + q = 2.q ⇔ q − 2.q + = ⇔ (q − 1)(q − q − 1) = ⇔ q − q − =  1+ q = u1 1− ⇒q= Vậy = S = = = ⇔ 1− q  1− 1+ 1− 1− q =  −1 Câu 125: Ba số phân biệt có tổng 217 coi số hạng liên tiếp cấp số nhân, coi số hạng thứ , thứ , thứ 44 cấp số cộng Hỏi phải lấy số hạng đầu cấp số cộng để tổng chúng 820 ? A 20 B 42 C 21 D 17 Lời giải Gọi ba số x , y , z Do ba số số hạng thứ , thứ thứ 44 cấp số cộng nên ta có: x ; y= x + d ; z= x + 42d Theo giả thiết, ta có: x + y + z = x + x + d + x + 42d= x + 49d = 217 Mặt khác, x , y , z số hạng liên tiếp cấp số nhân nên: Page 32 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN d = y = xz ⇔ ( x + d ) = x ( x + 42d ) ⇔ d ( −4 x + d ) = 0⇔  −4 x + d = Với d = , ta có: x= y= z= 217 217 2460 ∉ Suy = n 820 : = 217 −4 x + d = x = Với −4 x + d = Suy u1 = − = ⇔ , ta có:  217 3 x + 49d = d =  n = 20  2u1 + ( n − 1) d  n [ 2.3 + ( n − 1)] n ⇔ = 820 Do đó, S n = 820 ⇔ = 820 ⇔   n = − 41 2  Vậy n = 20 DẠNG BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC Câu 126: Người ta thiết kế tháp 11 tầng Diện tích bề mặt tầng nửa diện tích mặt tầng bên diện tích mặt tầng nửa diện tích đế tháp Tính diện tích mặt A m B m C 10 m D 12 m Lời giải Gọi a , a1, a , , a11 diện tích mặt đế tháp, tầng 1, tầng 2,., tầng 11 n 1 Khi ta có: a  12288; an  an 1  a   , n  1,2, ,11   11 11 1 1 Diện tích mặt tầng là: a11  a    12288    m       Câu 127: Một hình vng ABCD có cạnh AB = a , diện tích S1 Nối trung điểm A1 , B1 , C1 , D1 theo thứ tự cạnh AB , BC , CD , DA ta hình vng thứ hai A1 B1C1 D1 có diện tích S Tiếp tục ta hình vng thứ ba A2 B2C2 D2 có diện tích S3 tiếp tục thế, ta diện tích S , S5 , Tính S = S1 + S + S3 + + S100 2100 − A S = 99 a Dễ thấy: = S1 a= ; S2 B S = a ( 2100 − 1) 299 C S = a ( 2100 − 1) Lời giải D S = 299 a a a2 = ; S3 ; ;= S100 299 Như S1 , S , S3 , , S100 cấp số nhân với công bội q = S = S1 + S + + S100 299 a ( 299 − 1) 2 100  a ( − 1)  1 = a 1 + + + + 99  =  299  2 Page 33 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN Câu 128: Dân số tỉnh Bình Phước theo điều tra vào ngày 1/1/ 2011 905300 người Nếu trì tốc độ tăng trưởng dân số không đổi 10% năm đến 1/ 1/ 2020 dân số tỉnh Bình Phước bao nhiêu? A 22582927 B 02348115 C 2134650 D 11940591 Lời giải Sau năm số dân tỉnh Bình Phước là: 905300.1,19 ≈ 2134650 người Câu 129: Bạn A thả bóng cao su từ độ cao 10 m theo phương thẳng đứng Mỗi chạm đất lại nảy lên theo phương thẳng đứng có độ cao độ cao trước Tính tổng qng đường bóng đến bóng dừng hẳn B 70 m C 50 m D 80 m A 40 m Lời giải Các quãng đường bóng xuống tạo thành cấp số nhân lùi vơ hạn có u1 = 10 q = Tổng quãng đường bóng xuống S = u1 10 = 40 = 1− q 1− 70 Tổng quãng đường bóng đến bóng dừng hẳn S − 10 = Câu 130: Một loại vi khuẩn sau phút số lượng tăng gấp đôi biết sau phút người ta đếm có 64000 hỏi sau phút có 2048000 A 10 B 11 C 26 D 50 Lời giải Số lượng vi khuẩn tăng lên cấp số nhân ( un ) với cơng bội q = Ta có: 64000 ⇒ u1 = u6 = 64000 ⇒ u1.q = 2000 Sau n phút số lượng vi khuẩn un +1 2048000 ⇒ 2000.2n = 2048000 ⇒ n = un +1 = 2048000 ⇒ u1.q n = 10 Vậy sau 10 phút có 2048000 Câu 131: Trên bàn cờ vua kích thước 8x8 người ta đặt số hạt thóc theo cách sau Ơ thứ đặt hạt thóc, thứ hai đặt hai hạt thóc, đặt số hạt thóc gấp đơi đứng liền kề trước Hỏi phải tối thiểu từ ô thứ để tổng số hạt thóc từ đến lớn 20172018 hạt thóc A 26 B 23 C 24 D 25 Lời giải Page 34 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN Số thóc sau gấp đơi trước, đặt un số thóc thứ n số thóc lập thành  u1 = 1= 20 cấp số nhân:  un n 2= n +1 u= Khi tổng số thóc từ đầu tới thứ k S k = u1 + u2 +…+ uk = + 21 +…+ 2k −1 2k − k = −1 Vậy S= k −1 Theo đề ta có: 2k − > 20172018 ⇔ 2k > 20172019 ⇔ k > log 20172019 Vậy phải lấy tối thiểu từ ô thứ 25 Câu 132: Cho tam giác ABC cân đỉnh A , biết độ dài cạnh đáy BC , đường cao AH cạnh bên AB theo thứ tự lập thành cấp số nhân với công bội q Giá trị q A 2+ B 2− 2 +1 C D −1 Lời giải = a; AB = AC = b; AH = h Theo giả thiết ta có a, h, b lập cấp số nhân, suy Đặt BC b2 + b2 a − h = ab Mặt khác tam giác ABC cân đỉnh A nên = h m= a b2 + b2 a Do − = ab ⇔ a + 4ab − 4b = ⇔ a = 2 − b ( Lại có b = q a nên suy q 2= b 2+2 = = = a 2 −2 ) +1 Câu 133: Cho dãy số ( an ) xác định bởi= a1 5, a= q.an + với n ≥ , q số, q ≠ n +1 , q ≠ Biết công thức số hạng tổng quát dãy số viết dạng an α q n −1 + β = − q n −1 1− q Tính α + β ? A 13 B C 11 Lời giải D 16 3⇔k= Cách Ta có: an +1 − = k q ( an − k ) ⇔ k − kq = 1− q q.vn = q −1 = = q n v1 Đặt v= an − k ⇒ +1 = n   Khi v= q n −1.= v1 q n −1 ( a1 − k= ) q n−1  − n   1− q     − q n −1 n −1  n −1 Vậy= + k q  − + k q  − an = =  + = 5.q + 1− q  1− q   1− q  1− q α 5;= β ⇒ α + 2β =+ 2.3 = 11 Do đó:= n −1 Page 35 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN Cách Theo giả thiết ta có a= 5, a= 5q + Áp dụng công thức tổng quát, ta  − q1−1 1−1 a q α β α = + =  1− q  , suy  −1 q − − a = α q + β αq + β =  1− q ⇒ α + β =+ 2.3 = 11 5 = α , hay  αq + β 5q + = α =  β = Câu 134: Cho bốn số a, b , c, d theo thứ tự tạo thành cấp số nhân với công bội khác Biết tổng ba 148 , đồng thời theo thứ tự chúng số hạng thứ nhất, thứ tư thứ tám cấp số cộng Tính giá trị biểu thức T = a − b + c − d 101 100 100 101 B T = C T = − D T = − A T = 27 27 27 27 số hạng đầu Lời giải  ac = b  Ta có bd = c  148 a + b + c =  (1) ( 2) ( 3) Và cấp số cộng có u1 = a , u4 = b , u8 = c Gọi x cơng sai cấp số cộng Vì cấp số nhân có cơng bội khác nên x ≠ b= a + x Ta có :  ( 4) c= a + x Từ (1) ( ) ta : a ( a + x ) =( a + x ) ⇔ ax − x = Do x ≠ nên a = x 148 Từ ( 3) ( ) , suy 3a + 10 x =  16 b =  a = 64   Do :  ⇒ c =   x = 256  d = 27  Vậy T = a − b + c − d = −100 27 Câu 135: Từ độ cao 55,8m tháp nghiêng Pisa nước Italia người ta thả bóng cao su chạm xuống đất Giả sử lần chạm đất bóng lại nảy lên độ cao độ cao mà bóng đạt trước 10 Page 36 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN Tổng độ dài hành trình bóng thả từ lúc ban đầu nằm yên mặt đất thuộc khoảng khoảng sau đây? A ( 67 m;69m ) B ( 60m;63m ) C ( 64m;66m ) D ( 69m;72m ) Lời giải Gọi hn độ dài đường bóng lần rơi xuống thứ n ( n ∈ * ) Gọi ln độ dài đường bóng lần nảy lên thứ n ( n ∈ * ) = Theo ta có h1 = 55,8 , l1 vơ hạn với công bội q = 10 = 55,8 5,58 dãy số ( hn ) , ( ln ) cấp số nhân lùi 10 Từ ta suy tổng độ dài đường bóng là: S= h1 1− 10 + l1 = 1− 10 10 ( h1 + l1=) 68, ( m ) Câu 136: Để trang trí cho qn trà sữa mở cửa mình, bạn Việt định tơ màu mảng tường hình vuông cạnh 1m Phần tô màu dự kiến hình vng nhỏ đánh số 1, 2,3 n, , cạnh hình vng nửa cạnh hình vng trước Giả sử q trình tơ màu Việt diễn nhiều Hỏi bạn Việt tô màu đến hình vng thứ diện tích hình vng tơ bắt đầu nhỏ m2 ) ? ( 1000 A B C D Lời giải Page 37 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN Diện tích hình vng lập thành cấp số nhân với số hạng là= u1 1 ,q = 4 n −1 1 Do số hạng tổng quát là=  = un ( n ≥ 1) Để diện tích hình vng tơ màu nhỏ  4 4n 1 ⇔ n < ⇔ 4n > 1000 ⇒ n ≥ Vậy tơ màu từ hình vuông thứ thỏa mãn yêu 1000 1000 cầu tốn có nghiệm Câu 137: Có giá trị thực tham số m để phương trình ( x − 1)( x − 3)( x − m ) = phân biệt lập thành cấp số nhân tăng? A B C Lời giải D x = Ta có: ( x − 1)( x − 3)( x − m ) =0 ⇔  x =3  x = m Để phương trình có nghiệm phân biệt thì: m ∉ {1;3} Trường hợp 1: m < < Để số m ;1;3 lập thành cấp số nhân tăng thì: m.3 = 12 ⇔ m = Cấp số nhân tăng là: ;1;3 Trường hợp 2: < m < m = = m2 ⇔  Để số 1; m ;3 lập thành cấp số nhân tăng thì: 1.3  m = − Đối chiếu điều kiện < m < ta chọn m= Cấp số nhân tăng là: 1; ;3 Trường hợp 3: < < m Để số 1;3; m lập thành cấp số nhân tăng thì: m = Cấp số nhân tăng là: 1;3;9 1 3 32 ⇔ m =   có nghiệm phân biệt lập thành Vậy m ∈  ; ;9  phương trình ( x − 1)( x − 3)( x − m ) = cấp số nhân tăng Câu 138: Biết tồn hai giá trị tham số m để phương trình x3 − x + ( m + 6m ) x − = có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số nhân Tính tổng lập phương hai giá trị A −342 B −216 C 344 D 216 Lời giải Giả sử phương trình cho có nghiệm là: x1 , x2 , x3 Page 38 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN Theo định lí Viet, tích nghiệm: x1 x2 x3 = − d = a Vì ba nghiệm lập thành cấp số nhân nên x2 = x1 x3 Do ta có: x23 =8 ⇔ x2 =2 m = Thay x = vào phương trình ta được: ( m + 6m ) =28 ⇔   m = −7 Theo giả thiết hai giá trị m nhận Tổng lập phương hai giá trị m là: 13 + ( −7 ) =−342 Câu 139: Cho dãy số ( un ) cấp số nhân có số hạng đầu u1 = , cơng bội q = Tính tổng = T A = T 1 1 + + + + u1 − u5 u2 − u6 u3 − u7 u20 − u24 − 219 15.218 B − 220 15.219 C Lời giải 219 − 15.218 220 − 15.219 1 1 + + + + u1 − u5 u2 − u6 u3 − u7 u20 − u24 = 1 1 + + + + 4 u1 (1 − q ) u2 (1 − q ) u3 (1 − q ) u20 (1 − q ) = 1 1  + + + +   u20  − q  u1 u2 u3 = 1 1  + + + +   u1q19  − q  u1 u1q u1q = D 1 1  1 + + + + 19  q  − q u1  q q 20 1 20   −1 1 1− (q) − 220 1 q = == 1 − q u1 (1 − q ) q19 15.219 − q u1 −1 q Câu 140: Với hình vng A1 B1C1 D1 hình vẽ bên, cách tơ màu phần gạch sọc gọi cách tô màu “đẹp” Một nhà thiết kế tiến hành tơ màu cho hình vng hình bên, theo quy trình sau: Page 39 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN Bước 1: Tơ màu “đẹp” cho hình vuông A1 B1C1 D1 Bước 2: Tô màu “đẹp” cho hình vng A2 B2C2 D2 hình vng chia hình vng A1 B1C1 D1 thành phần hình vẽ Bước 3: Tơ màu “đẹp” cho hình vng A3 B3C3 D3 hình vng chia hình vng A2 B2C2 D2 thành phần Cứ tiếp tục Hỏi cần bước để tổng diện tích phần tơ màu chiếm 49,99% A bước B bước C bước Lời giải D bước Gọi diện tích tơ màu bước un , n ∈ * Dễ thấy dãy giá trị un cấp số nhân với số hạng đầu u1 = công bội q = 9 Gọi S k tổng k số hạng đầu cấp số nhân xét S k = Để tổng diện tích phần tơ màu chiếm 49,99% u1 ( q k − 1) q −1 u1 ( q k − 1) q −1 ≥ 0, 4999 ⇔ k ≥ 3,8 Vậy cần bước Câu 141: Cho hình vng ( C1 ) có cạnh a Người ta chia cạnh hình vng thành bốn phần nối điểm chia cách thích hợp để có hình vng ( C2 ) Từ hình vng ( C2 ) lại tiếp tục làm ta nhận dãy hình vuông C1 , C2 , C3 ,., Cn Gọi Si diện tích hình vng Ci ( i ∈ {1, 2,3, }) Đặt T = S1 + S + S3 + S n + Biết T= 32 , tính a ? A B C D 2 Lời giải Cạnh hình vng ( C2 ) là: a2 = 2 a 10 3  1  Do diện tích S = a  a + a = 4  4  = S1 Page 40 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN Cạnh hình vng ( C3 ) 2  10  a 10 3  1  là: a3 =  a2  +  a2  = =a   Do diện tích 4 4  4    5 S3 = S Lý luận tương tự ta có S1 , S2 , S3 , S n tạo thành dãy cấp số =  a 8 nhân lùi vơ hạn có u1 = S1 cơng bội q = T= 32 8a S1 Với T = ta có a = ⇔ a = = 3 1− q Câu 142: Cho năm số a , b , c , d , e tạo thành cấp số nhân theo thứ tự số khác , biết 1 1 + + + + = 10 tổng chúng 40 Tính giá trị S với S = abcde a b c d e A S = 42 B S = 62 C S = 32 D S = 52 Lời giải Gọi q ( q ≠ ) công bội cấp số nhân a , b , c , d , e Khi , , , , cấp số nhân có cơng bội a q b c d e Theo đề ta có  − q5 a − q = 40  − q5  40 a − = 40 a + b + c + d + e =    q   ⇔  1− ⇔ 1 1 1 q + + + + = 10 1   q − = 10   a b c d e = 10 a  a q ( q − 1)  −  q  Ta có S = abcde = a.aq.aq aq aq = a5 q10 10 Nên S = ( a= q ) Suy ra= S ⇔ a2q4 = a q ) (= 45 = 45 32 5u1 + 5u1 − u2 = u2 + 2018 Câu 143: Cho dãy số ( un ) thỏa mãn  Giá trị nhỏ n để un ≥ 2.3 bằng: *  ∀ ∈ u n un += n A 2017 B 2018 C 2019 D 2010 Lời giải 5u1 + 5u1 − u2 = u2 + (1)  * u u n = ∀ ∈  ( )  n +1 n u2 + ⇔ Từ (1) có 5u1 + 5u1 − u2 = ( 5u1 − u2 ) + 5u1 − u2 − = Page 41 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN ⇔ 5u1 − u2 =2 ⇔ 5u1 − u2 =4 Từ ( ) có un+1 = 3un ⇒ u2 = 3u1 Giải hệ 5u1 − u2 =  u2 = 3u1 u1 = có SHTQ: q = Dãy ( un ) cấp số nhân với  u1 = un = 2.3n −1 với n ∈  * un ≥ 2.32018 ⇔ 2.3n −1 ≥ 2.32018 ⇔ n − ≥ 2018 ⇔ n ≥ 2019 Vậy giá trị nhỏ thỏa mãn 2019 Câu 144: Tìm tất giá trị tham số m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành ( ) cấp số nhân: x − x + m + 6m x − = B m = A m = −7 C m = −1 m = D m = m = −7 Lời giải + Điều kiện cần: Giả sử phương trình cho có ba nghiệm phân biệt x1 ,x2 ,x3 lập thành cấp số nhân Theo định lý Vi-ét, ta có x1 x2 x3 = Theo tính chất cấp số nhân, ta có x1 x3 = x22 Suy ta có x23 =8 ⇔ x2 =2 m = m + 6m − = ⇔   m = −7 Với nghiệm x=2, ta có nên ta có phương trình + Điều kiện đủ: Với m = m = −7 m + 6m = x − x + 14 x − = Giải phương trình này, ta nghiệm 1, , Hiển nhiên ba nghiệm lập thành cấp số nhân với công bôị q = Vậy m = m = −7 giá trị cần tìm Chọn đáp án D Câu 145: Bốn góc tứ giác tạo thành cấp số nhân góc lớn gấp 27 lần góc nhỏ Tổng góc lớn góc bé bằng: A 560 B 1020 C 2520 D 1680 Lời giải Giả sử góc A, B, C, D theo thứ tự lập thành cấp số nhân thỏa yêu cầu với cơng bội q Ta có q   A1  q  q  q   360     A  B  C  D  360     A9    A  D  252      D  27 A Aq  27 A          D  Aq  243 Page 42 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN Câu 146: Người ta thiết kế tháp gồm 11 tầng Diện tích bề mặt tầng diện tích mặt tầng bên diện tích mặt tầng nửa diện tích đế tháp Tính diện tích mặt A m B m C 10 m D 12 m Lời giải Diện tích bề mặt tầng lập thành cấp số nhân có cơng bội q  u1  12 288  144 2 Khi diện tích mặt u11  u1q10  6144 6 210 Câu 147: Một tứ giác lồi có số đo góc lập thành cấp số nhân Biết số đo góc nhỏ số đo góc nhỏ thứ ba Hãy tính số đo góc tứ giác A ,150 , 450 , 2250 B 90 , 27 ,810 , 2430 C , 210 , 630 , 2690 D 80 ,320 , 720 , 2480 Lời giải Gọi góc tứ giác a, aq, aq , aq , q > 1 Theo giả thiết, ta có a = aq nên q = Suy góc tứ giác a,3a,9a, 27 a 3600 ⇔ a = 90 Vì tổng góc tứ giác 3600 nên ta có: a + 3a + 9a + 27 a = Do đó, phương án B Câu 148: Cho cấp số nhân ( an ) có a1 = 7, a6 = 224 S k = 3577 Tính giá trị biểu thức T= A T = 17920 B T = 8064 C T = 39424 Lời giải ( k + 1) ak D T = 86016 Ta có a6 = 224 ⇔ a1q = 224 ⇒ q = a1 (1 − q k ) 29 ⇔ k = Sk = ( 2k − 1) nên S k = 3577 ⇔ ( 2k − 1) = Do= 3577 ⇔ 2k = 1− q Suy ra= T 10 = a9 10a= 17920 1q Vậy phương án A Câu 149: Các số x  y, x  y, x  y theo thứ tự lập thành cấp số cộng; đồng thời số x 1, y  2,  x  y A x  y  40 theo thứ tự lập thành cấp số nhân Tính x  y B x  y  25 C x  y  100 D x  y  10 Lời giải Page 43 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN   x  y   8 x  y   5 x  y  Theo giả thiết ta có      x 1 x  y    y  2  x  y  x  y  x  6      2  3 y 13 y  y    y  2 0   y  2  y  2   Suy x  y  40 Chọn A Câu 150: Ba số x ; y; z theo thứ tự lập thành cấp số nhân với công bội q khác 1; đồng thời số x ; y; z theo thứ tự lập thành cấp số cộng với cơng sai khác Tìm giá trị q 3 A q  B q  C q   D q  3 Lời giải  y  xq; z  xq x    x  xq  xq  x 3q  4q  1     3q  4q    x  z  2 y    Nếu x   y  z   công sai cấp số cộng: x; y; 3z q    1 Nếu 3q  4q      q  q  q   Câu 151: Các số x + y, 5x + y, 8x + y theo thứ tự lập thành cấp số cộng, đồng thời, số x + , y − 1, 2x − 3y theo thứ tự lập thành cấp số nhân Hãy tìm x $y.$ 3 x 3,= y x = = ,y B.= − ,y= − 8 8 = x 24, = y x = −3, y = −1 D x = −24, y = −8 hoặc= x 3,= y C −3, y = −1 hoặc= A x = x Lời giải + Ba số x + y,5 x + y,8 x + y lập thành cấp số cộng nên ( x + y ) + (8 x + y=) (5x + y ) ⇔ = x 3y + Ba số x + , y − 1, x − y lập thành cấp số nhân nên 5   x +  ( x − y ) =( y − 1) 3  Thay x = y vào ta y + y − =0 ⇔ y =−1 y = Với y = −1 x = −3 ; với y = x = 8 Câu 152: Ba số x, y, z lập thành cấp số cộng có tổng 21 Nếu thêm số 2;3;9 vào ba số ba số lập thành cấp số nhân Tính A F = 389 F = 395 C F = 389 F = 179 F = x2 + y + z B F = 395 F = 179 D F = 441 F = 357 Lời giải Page 44 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN 2y Theo tính chất cấp số cộng, ta có x + z = 21 , ta suy y = 21 ⇔ y = Kết hợp với giả thiết x + y + z = Gọi d cơng sai cấp số cộng x = y − d = − d z = y + d = + d Sau thêm số 2;3;9 vào ba số x, y, z ta ba số x + 2, y + 3, z + hay − d ,10,16 + d Theo tính chất cấp số nhân, ta có ( − d )(16 + d ) = 102 ⇔ d + 7d − 44 = Giải phương trình ta d = −11 d = Với d = −11 , cấp số cộng 18, 7, −4 Lúc F = 389 Với d = , cấp số cộng 3, 7,11 Lúc F = 179 Câu 153: Cho bố số b, c, d theo thứ tự lập thành cấp số nhân cơng bội q  ; cịn theo thứ tự lập thành cấp số cộng Tìm q biết a  d  14 b  c  12 A q  Giả sử a, b, c, d biết 18  73 24 a , b, c a, b, c B q  19  73 24 C q  20  73 24 D q  Lời giải lập thành cấp số cộng công bội q Khi theo giả thiết ta có: 21  73 24 b  aq, c  aq   1 aq  d  2aq b  d  2c   a  d  14  2  a  d  14   a q  q   12 3  b  c  12 Nếu q0bc0d Nếu q  1  b  a; c  a  b  c  Vậy q  0, q   1, từ ta có: d  14  a a 12 q  q2 thay vào ta được: 12q 14q  14q 12 24q    12q  q 13q   q  q2 q  q2 q  q2  q  112q 19q  6   q  Vì q  nên q  19  73 24 19  73 24 Chọn B Câu 154: Một người đem 100 triệu đồng gửi tiết kiệm với kỳ han tháng, tháng lãi suất 0, 7% số tiền mà người có Hỏi sau hết kỳ hạn, người lĩnh tiền? A 108 ( 0, 007 ) B 108 (1, 007 ) C 108 ( 0, 007 ) D 108 (1, 007 ) Lời giải Số tiền ban đầu M = 10 Đặt = r 0,= 7% 0, 007 Số tiền sau tháng thứ M =M + M r =M (1 + r ) Page 45 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN Số tiền sau tháng thứ hai M =M + M 1r =M (1 + r ) = M M (1 + r ) Lập luận tương tự, ta có số tiền sau tháng thứ sáu 6 Do M = 108 (1, 007 ) Câu 155: Tỷ lệ tăng dân số tỉnh M 1, 2% Biết số dân tỉnh M triệu người Nếu lấy kết xác đến hàng nghìn sau năm số dân tỉnh M bao nhiêu? A 10320 nghìn người B 3000 nghìn người C 2227 nghìn người D 2300 nghìn người Lời giải = = 2.106 Đặt P0 2000000 = r Gọi 1,= 2% 0, 012 Pn số dân tỉnh M sau n năm Ta có: Pn +1 =Pn + Pn r =Pn (1 + r ) Suy ( Pn ) cấp số nhân với số hạng đầu P0 công bội q= 1+ r Do số dân tỉnh M sau 10 năm là: P9= M (1 + r ) = 2.106 (1, 012 ) ≈ 2227000 10 Câu 156: Tế bào E Coli điều kiện nuôi cấy thích hợp 20 phút lại nhân đơi lần Nếu lúc đầu có 1012 tế bào sau phân chia thành tế bào? A 1024.1012 tế bào B 256.1012 tế bào C 512.1012 tế bào D 512.1013 tế bào Lời giải 22 Lúc đầu có 10 tế bào lần phân chia tế bào tách thành hai tế bào nên ta có cấp số nhân với u1 = 10 22 công bội q = Do 20 phút phân đơi lần nên sau có lần phân chia tế bào Ta có u10 số tế bào 12 u10 u= 512.10 nhận sau Vậy, số tế bào nhận sau = 1q Page 46 Sưu tầm biên soạn