Toán 11 bài 2 dãy số

Bài 2 Dãy số A Các câu hỏi hoạt động trong bài Hoạt động 1 trang 85 SGK Toán lớp 11 Đại số Cho hàm số 1 f (n) ,n * 2n 1 =  − Tính f(1), f(2), f(3), f(4), f(5) Lời giải 1 1 1 f (1) 1 2 1 1 2 1 1 = = =[.]

Bài 2: Dãy số A Các câu hỏi hoạt động Hoạt động trang 85 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho hàm số f (n) = ,n  * Tính f(1), f(2), f(3), f(4), f(5) 2n − Lời giải: f (1) = 1 = = =1 2.1 − − 1 f (2) = 1 = = 2.2 − − f (3) = 1 = = 2.3 − − f (4) = 1 = = 2.4 − − f (5) = 1 = = 2.5 − 10 − Hoạt động trang 86 SGK Toán lớp 11 Đại số: Hãy nêu phương pháp cho hàm số ví dụ minh họa Lời giải: + Hàm số cho bảng Ví dụ: + Hàm số cho cơng thức Ví dụ: y = 2x + x Hoạt động trang 86 SGK Toán lớp 11 Đại số: Viết năm số hạng đầu số hạng tổng quát dãy số sau: a) Dãy nghịch đảo số tự nhiên lẻ; b) Dãy số tự nhiên chia cho dư Lời giải: 1 1 a) Năm số hạng đầu: ; ; ; ; Số hạng tổng quát dãy số: ( n  *) 2n − b) Năm số hạng đầu: 1; 4; 7; 10; 13 Số hạng tổng quát dãy số: 3n + ( n  ) Hoạt động trang 87 SGK Toán lớp 11 Đại số: Viết mười số hạng đầu dãy Phi-bô-na-xi Lời giải: Mười số hạng đầu dãy Phi-bô-na-xi là: 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55 Hoạt động trang 88 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho dãy số (un) (vn) với u n = + ;v n = 5n − n a) Tính un+1, vn+1 b) Chứng minh un+1 < un vn+1 > vn, với n  * Lời giải: a) u n +1 = + n +1 vn+1 = 5(n + 1) - = 5n + b)   1 1  − + Ta có: u n +1 − u n = 1 +  − 1 +  =  n +1  n  n +1 n = n − (n + 1) −1 =  0, n  n(n + 1) n ( n + 1) * Suy un+1 – un < Vậy un+1 < un , n  * + Lại có: vn+1 – = (5n + 4) – (5n – 1) = > Suy vn+1 – > Vậy vn+1 > , n  * Hoạt động trang 88 SGK Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh bất đẳng thức n2 + n  1, n  *  2n n2 + Lời giải: 2 n 2n − ( n + 1) −n + 2n − − ( n − 2n + 1) = Ta có: = − = n +1 2 ( n + 1) ( n + 1) ( n + 1) = −(n − 1)  0; n  * ( n + 1) Vì 2(n2 + 1) > −(n − 1)2  0, n  * Vậy n  ; n  * n +1 2 n2 + n + − 2n (n − 1) −1 = =  0; n  * Lại có: 2n 2n 2n Vì 2n > (n − 1)  0, n  N* n2 +  1, n  * Vậy 2n B Bài tập Bài tập trang 92 SGK Toán lớp 11 Đại số: Viết năm số hạng đầu dãy số hạng tổng quát un cho công thức a) u n = n −1 b) u n = 2n − 2n + n  1 c) u n = 1 +   n n n d) u n = n2 + Lời giải: a) u n = n 2n − u1 = 3 2 u = = u = = = , , 23 − 22 − 21 − u4 = 4 u = = = , 25 − 31 24 − 15 Vậy năm số hạng dãy số u1 = 1, u = , u3 = , u = , u5 = 15 31 2n − b) u n = n +1 u1 = 23 − 21 − 1 22 − , , u u = = = , = = 23 + 21 + 22 + 25 − 31 24 − 15 = u4 = = , u5 = + 33 + 17 15 31 Vậy năm số hạng dãy số u1 = , u = , u = , u = , u = 17 33  1 c) u n = 1 +   n n   64  1  1 u1 =  +  = , u =  +  = , u =  +  = ,   27  2  1   7776   625 u = 1 +  = , u = 1 +  =   3125   256 625 64 Vậy năm số hạng dãy số u1 = 2, u = , u = , u4 = , 256 27 u5 = 7776 3125 n d) u n = u1 = u4 = n2 + 1 12 + 42 + = = 3 = = , u2 = , u3 = , 10 32 + 22 + 5 = , u5 = 17 26 52 + Vậy năm số hạng dãy số u1 = u5 = , u2 = , u3 = , u4 = , 10 17 5 26 Bài tập trang 92 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho dãy số (un), biết: u1 = – 1, un+1 = un + với n  a) Viết năm số hạng đầu dãy số b) Chứng minh phương pháp quy nạp: un = 3n – Lời giải: a) u1 = – u2 = u1 + = – + = u3 = u2 + = + = u4 = u3 + = + = u5 = u4 + = + = 11 Vậy năm số hạng dãy số là: u1 = – 1, u2 = 2, u3 = 5, u4 = 8, u5 = 11 b) Chứng minh un = 3n – (*) phương pháp quy nạp: Do u1 = – = 3.1 – nên (*) với n = Giả sử (*) với n = k,k  , tức chứng minh uk+1 = 3(k + 1) – Thật vậy, từ giả thiết un+1 = un + 3, suy ra: uk+1 = uk + = 3k – + = (3k + 3) – = 3(k + 1) – Hay uk+1 = 3(k + 1) – Do (*) với n = k + Vậy hệ thức với n  * Bài tập trang 92 SGK Toán lớp 11 Đại số: Dãy số (un) cho biết: u1 = 3,u n +1 = + u n2 ,n  a) Viết năm số hạng đầu dãy số b) Dự đốn cơng thức số hạng tổng qt un chứng minh cơng thức phương pháp quy nạp Lời giải: a) Ta có: u = + u12 = + 32 = 10 u = + u 22 = + ( 10) = 11 u = + u 32 = + ( 11) = 12 u = + u 24 = + ( 12) = 13 Vậy năm số hạng đầu dãy số là: u1 = 3, u = 10 , u = 11 , u = 12 , u = 13 b) Ta có: u1 = = = + u = 10 = + u = 11 = + u = 12 = + u = 13 = + Từ ta dự đoán u n = n + , với n  * (1) Chứng minh công thức (1) phương pháp quy nạp: Với n = 1, rõ ràng công thức (1) Giả sử (1) với n = k  1, tức có u k = k + với k  1, ta cần chứng minh u k +1 = (k + 1) + Theo cơng thức dãy số, ta có: u k +1 = + u k2 = + ( k + 8) = + k + = (k + 1) + Như công thức (1) với n = k + Vậy công thức (1) chứng minh Bài tập trang 92 SGK Tốn lớp 11 Đại số: Xét tính tăng, giảm dãy số (un), biết: a) u n = −2 n b) u n = n −1 n +1 c) un = (- 1)n (2n + 1) d) u n = 2n + 5n + Lời giải: a) Ta có: u n +1 − u n = 1 −1 1 −2− +2= − = 0 n +1 n n + n n(n + 1) u n +1  u n , n  * Vậy (un) dãy số giảm Cách khác: Với n  * ta có: u n +1 = 1 −  −  un n +1 n Do (un) dãy số giảm b) Xét hiệu u n +1 − u n = = = n n +1−1 n −1 n − n(n + 1) − (n − 1)(n + 2) = − − = n +1+1 n +1 n + n +1 (n + 1)(n + 2) n + n − ( n − n + 2n − ) (n + 1)(n + 2) = n + n − ( n + n − 2) 0 (n + 1)(n + 2) Suy u n +1  u n , n  Vậy dãy số cho dãy số tăng Cách khác: Với n  * ta có: un = n −1 n +1 − 2 = =1− n +1 n +1 n +1 u n +1 = − 1 =1− (n + 1) + n+2 (n + 1)(n + 2) = n2 + n − n2 − n + (n + 1)(n + 2)  n + n +1 Ta có: − − n+2 n +1 1− 1− n+2 n +1 Suy u n +1  u n , n  * Vậy (un) dãy số tăng c) Ta có: u1 = -3; u2 = 5; u3 = - suy u1  u  u Nên (un) dãy số không tăng, không giảm d) Với n  *,u n  ta có: u n +1 2n + 5n + 10n + 19n + =  = 1 u n 5n + 2n + 10n + 19n + Suy u n +1  u n , n  * Vậy (un) dãy số giảm Cách khác: u n +1 − u n = = ( 2n + 3)( 5n + ) − ( 2n + 1)( 5n + ) ( 5n + )( 5n + ) (10n = = 2(n + 1) + 2n + 2n + 2n + = − − 5(n + 1) + 5n + 5n + 5n + 2 + 15n + 4n + ) − (10n + 5n + 14n + ) ( 5n + )( 5n + ) −1  0, n  * ( 5n + )( 5n + ) Suy u n +1 − u n  0, n  * Suy u n +1  u n , n  * Vậy (un) dãy số giảm Bài tập trang 92 SGK Toán lớp 11 Đại số: Trong dãy số (un) sau, dãy số bị chặn dưới, bị chặn bị chặn? a) un = 2n2 – b) u n = c) u n = n(n + 2) 2n − d) un = sin n + cos n Lời giải: a) Ta có n  suy n  suy 2n  Suy 2n −  Suy u n  1, n  * Do (un) bị chặn Ngồi (un) khơng bị chặn khơng tồn số M để 2n −  M, n  * b) Dễ thấy u n  0, n  * n   n  Mặt khác, vì:  2n   n(n + 2) = n + 2n  + =  1  n (n + 2)  u n  , n  *   un  với n  * Vậy dãy số bị chặn c) Dễ thấy u n = 2n −  với n  * Ta có: n   2n   2n −   Suy  2n −  1, n  * Vậy  u n  1, n  * tức dãy số bị chặn      sin n + cos n  =  sin n cos + cos n sin  d) Ta có: sin n + cos n =  4      = sin  n +  4    Vì −1  sin  n +   4    Suy −  sin  n +   4  Suy −  sin n + cos n  2, n  * Vậy −  u n  2n  * , tức dãy số dãy số bị chặn  ... = = 3 = = , u2 = , u3 = , 10 32 + 22 + 5 = , u5 = 17 26 52 + Vậy năm số hạng dãy số u1 = u5 = , u2 = , u3 = , u4 = , 10 17 5 26 Bài tập trang 92 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho dãy số (un), biết:...  27  2? ??  1   7776   625 u = 1 +  = , u = 1 +  =   3 125   25 6 625 64 Vậy năm số hạng dãy số u1 = 2, u = , u = , u4 = , 25 6 27 u5 = 7776 3 125 n d) u n = u1 = u4 = n2 + 1 12 + 42. .. 2n − u1 = 3 2 u = = u = = = , , 23 − 22 − 21 − u4 = 4 u = = = , 25 − 31 24 − 15 Vậy năm số hạng dãy số u1 = 1, u = , u3 = , u = , u5 = 15 31 2n − b) u n = n +1 u1 = 23 − 21 − 1 22 − , , u u