Toán 11 bài 2 giới hạn của hàm số

Bài 2 Giới hạn của hàm số A Các câu hỏi hoạt động trong bài Hoạt động 1 trang 123 SGK Toán lớp 11 Đại số Xét hàm số ( ) 22x 2x f x x 1 − = − 1 Cho biến x những giá trị khác 1 lập thành dãy số (xn), nx[.]

Bài 2: Giới hạn hàm số A Các câu hỏi hoạt động 2x − 2x Hoạt động trang 123 SGK Toán lớp 11 Đại số: Xét hàm số f ( x ) = x −1 Cho biến x giá trị khác lập thành dãy số (xn), x n → bảng sau: x x1 = f(x) f(x1) x2 = x3 = f(x2) f(x3) x4 = f(x4) … … xn = n +1 n f(xn) … →1 … →? Khi đó, giá trị tương ứng hàm số f(x1), f(x2), …f(xn),… thành lập dãy số mà ta kí hiệu (f(xn)) 2n + a) Chứng minh f ( x n ) = 2x n = n b) Tìm giới hạn dãy số (f(xn)) Chứng minh với dãy số ( x n ) , x n  x n → 1, ta ln có f ( x n ) → (Với tính chất thể câu 2, ta nói hàm số f ( x n ) = giới hạn x dần tới 1) Lời giải: 2x 2n − 2x n 2x n ( x n − 1) = = 2x n a) f ( x n ) = xn −1 xn −1 Ta có: x n = n +1 n  f ( x n ) = 2x n = n + 2n + = n n 2x + 2x có x −1  2n +  b) lim ( f ( x n ) − ) = lim  −  = lim n →+ n →+  n  n→+ n =0 n →+ n Ta có: lim  lim ( f ( x n ) − ) = n →+  lim f ( x n ) = n →+ lim f(xn) = lim 2xn = 2lim xn = 2.1 = Hoạt động trang 127 SGK Toán lớp 11 Đại số: Trong biểu thức (1) xác định hàm số y = f(x) ví dụ 4, cần thay số số để hàm số có giới hạn – x → Lời giải: Để hàm số có giới hạn –2 x = lim f (x) = lim− f (x) = −2 hay 5.1 + c = –2  c = – x →1+ x →1 Vậy cần thay –7 để hàm số có giới hạn –2 x = Hoạt động trang 127 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho hàm số f (x) = thị hình 52 Quan sát đồ thị cho biết: có đồ x−2 - Khi biến x dần tới dương vơ cực, f(x) dần tới giá trị - Khi biến x dần tới âm vơ cực, f(x) dần tới giá trị Lời giải: - Khi biến x dần tới dương vơ cực, f(x) dần tới giá trị dương vơ cực - Khi biến x dần tới âm vô cực, f(x) dần tới giá trị âm vơ cực B Bài tập Bài tập trang 132 SGK Toán lớp 11 Đại số: Dùng định nghĩa, tìm giới hạn sau: x +1 ; x →4 3x − a) lim − 5x b) lim x →+ x + Lời giải: a) Hàm số f (x) = x +1 xác định D = 3x − 2 \   ta có x =  D 3 Giả sử (xn) dãy số x n  D;x n  x n → n → + hay lim x n = Ta có limf ( x n ) = lim xn + lim x n + +1 = = = 3x n − 3lim x n − 3.4 − 2 x +1 = x →4 3x − 2 Vậy lim b) Hàm số f (x) = − 5x xác định x2 + Giả sử (xn) dãy số x n → + n → + hay lim x n = +  lim =0 x 2n  2 x − −5  n 2 xn − 5x n x 2n   = lim Ta có limf ( x n ) = lim = lim xn + 3  2 1+ x n 1 +  xn  xn  −5 0−5 x 2n = = −5 = + + lim xn lim − 5x = −5 x →+ x + Vậy lim Bài tập trang 132 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho hàm số  x + neu x  f (x ) =  neu x  2x dãy số với u n = 1 , (vn) với v n = − n n Tính lim un, lim vn, lim f(un) lim f(vn) Từ có kết luận giới hạn hàm số cho x → ? Lời giải: lim u n = lim =0 n  1 lim v n = lim  −  =  n un =   1 + 1 =   f (un ) = +  limf ( u n ) = lim  n n  n   2 = −   f ( v n ) = −  limf ( v n ) = lim  −  = n n  n Do limf ( u n ) = nên lim+ f (x) = x →0 limf ( ) = nên lim− f (x) = x →0 Do lim+ f (x)  lim− f (x) nên không tồn giới hạn hàm số x = x →0 x →0 Vậy hàm số cho khơng có giới hạn x → Bài tập trang 132 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tính giới hạn sau : − x2 x →−2 x + x2 −1 x →−3 x + b) lim a) lim 2x − d) lim ; x →+ − x x +3 −3 x−6 c) lim x →6 −2x + x − f) lim x →+ 3+ x 17 e) lim x →+ x + Lời giải: x − (−3)2 − = = −4 x →−3 x + −3 + a) lim − x2 (2 − x)(2 + x) = lim = lim (2 − x) = − (−2) = x →−2 x + x →−2 x →−2 x+2 b) lim c) lim x →6 = lim x →6 x +3 −3 = lim x →6 x−6 ( x−6 (x − 6) ( x +3 +3 x +3 −3 ( x − 6) ( ) = lim x →6 )( x +3 +3 x +3 +3 ) ) = lim x →6 x +3−9 (x − 6) 1 = = 6+3 +3 x+3+3 6  x2 −  − 2x − x x = − = −2 = lim = lim  d) lim x →+ − x x →+   x →+ − − x  − 1 x x  17 =0 x →+ x + e) lim ( x +3 +3 )   vì: lim x + = lim x 1 +  = + x →+ x →+  x  ( ) Cách khác: 17 17 2 17 x = =0 lim = lim = lim x x →+ x + x →+  1+  x →+ 1+ x  1 +  x  x  x2  1   1 x  −2 + −  − + − −2x + x − x x   x x f) lim = lim = lim x →+ x →+ x →+ 3+ x  1 + x2  +  x2 x x x  1 Vì lim  +  = 0; +  x → + x →+ x x x x  1   Và lim  −2 + −  = −2 + − = −2  x →+ x x   −2x + x − = lim x →+ x →+ 3+ x Vậy lim 1 − x x = − + x2 x −2 + Cách khác: 1   1   x  −2 + −  − + − 2  −2x + x − x x   x x = lim  x  lim = lim  x →+ x →+ x →+ 3+ x 3  +   x  + 1  x  x   Mà lim x = + x →+ 1 1 − −2 + lim − lim −2 + − x →+ x x →+ x x x = = = −2  3 + +1 lim + x →+ x x −2 + lim x →+ −2x + x − Nên lim = − x →+ 3+ x Bài tập trang 132 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tìm giới hạn sau : 3x − ; x →2 (x − 2) a) lim b) lim− 2x − ; x −1 c) lim+ 2x − x −1 x →1 x →1 Lời giải: a) Ta có lim(x − 2)2 = (x – 2)2 > với x  lim(3x − 5) = 3.2 − =  x →2 x →2 3x − = + x →2 (x − 2) Do lim b) Ta có lim(x − 7) = 2.1 − = −5  − 1) = x – < với x  lim(2x − − x →1 Do lim− x →1 x →1 2x − = + x −1 c) Ta có lim(x − 7) = 2.1 − = −5  − 1) = x – > với x  lim(2x + + x →1 Do lim+ x →1 x →1 2x − = − x −1 Bài tập trang 133 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho hàm số f (x) = thị hình 53 x+2 có đồ x2 − a) Quan sát đồ thị nêu nhận xét giá trị hàm số cho x → − , x → 3− , x → 3+ b) Kiểm tra nhận xét cách tính giới hạn sau: lim f (x) với f(x) xét khoảng ( −; −3) x →− lim f (x) với f(x) xét khoảng (–3; 3) x →3− lim f (x) với f(x) xét khoảng (–3; 3) x →3+ Lời giải: a) Quan sát đồ thị ta thấy x → − f (x) → Khi x → 3− f (x) → − Khi x → 3+ f (x) → + b) 1  x2  +  + 0+0 x+2 x x   x x = lim f (x) = lim =0 = lim +) = lim x →− x →− x − x →− x →− 9 −   1− x 1 −  x  x  +) lim− f (x) = lim− x →3 x →3 x+2 x2 − Vì lim(x + 2) = + =  lim− ( x − ) = ; x2 – < x < − x →3 x →3 nên lim− f (x) = − x →3 +) lim + f (x) = lim + x →( −3) x →( −3) x+2 x2 − ( ) Vì lim + (x + 2) = −3 + = −1  lim + x − = ; x2 – < x > –3 x →( −3) x →( −3) Nên lim + f (x) = + x →( −3) Bài tập trang 133 SGK Tốn lớp 11 Đại số: Tính: a) lim ( x − x + x − 1) ; x →+ b) lim ( −2x + 3x − ) ; x →− c) lim x − 2x + ; x →− d) lim x →+ x2 + + x − 2x Lời giải: 1   a) lim ( x − x + x − 1) = lim x 1 − + −  lim x = + x →+ x →+ x x  x →+  x 1   lim 1 − + −  =  x →+ x x   x Vậy lim ( x − x + x − 1) = + x →+   b) lim ( −2x + 3x − 5) = lim x  −2 + −  x →− x →− x x     Vì lim x = − lim  −2 + −  = −2  x →− x →− x x     Vậy lim x  −2 + −  = + x →− x x   c) lim x →− ( )   x − 2x + = lim x 1 − +  = lim | x | − + x →− x x  x x  x→−   = lim  − x − +  x →− x x     Vì lim (−x) = + lim  − +  =  x →− x →− x x   ) Vậy lim ( d) lim x +1 + x = lim x →+ − 2x x →− x − 2x + = + x →+ = lim   x 1 +  + x  x  − 2x 1 x 1+ + x +x x x = lim x →+ − 2x − 2x | x | 1+ x →+   1 x  + + 1 1+ +1 x 1+1 x  = lim = = −1 = lim  x →+ x →+ − 5  −2 x − 2 x x   Vậy lim x →+ x2 + + x = −1 − 2x Bài tập trang 133 SGK Tốn lớp 11 Đại số: Một thấu kính hội tụ có tiêu cự f Gọi d d’ khoảng cách từ vật thật AB từ ảnh A’B’ tới 1 quang tâm O thấu kính (h.54) Cơng thức thấu kính + = d d' f a) Tìm biểu thức xác định hàm số d' = (d) b) Tìm lim+ (d) , lim− (d) lim (d) Giải thích ý nghĩa kết tìm d →f d →+ d →f Lời giải: a) d−f fd 1 1 1  d' = + =  = −  = d' fd d−f d d' f d' f d Vậy d ' = (d) = fd d−f b) +) lim+ (d) = lim+ d →f d →f fd d−f − f ) = 0;d → f + = f  lim(d Vì lim(fd) + + d →f d →f d f d−f 0  lim+ (d) = + d →f Ý nghĩa: Nếu vật thật AB tiến dần tiêu điểm F cho d lớn f ảnh dần tới dương vơ cực +) lim− (d) = lim− d →f d →f fd d−f − f ) = 0;d → f − = f  lim(d Vì lim(fd) − − d →f d →f df d−f 0  lim− (d) = − d →f Ý nghĩa: Nếu vật thật AB tiến dần tiêu điểm F cho d ln nhỏ f ảnh dần tới âm vô sực fd f = lim =f d →+ d − f d →+ f 1− d +) lim (d) = lim d →+ Ý nghĩa: Nếu vật thật AB xa vơ cực so với thấu kính ảnh tiêu diện ảnh (mặt phẳng qua tiêu điểm ảnh F’ vng góc với trục chính)  ... khơng tồn giới hạn hàm số x = x →0 x →0 Vậy hàm số cho khơng có giới hạn x → Bài tập trang 1 32 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tính giới hạn sau : − x2 x →? ?2 x + x2 −1 x →−3 x + b) lim a) lim 2x − d)... 127 SGK Toán lớp 11 Đại số: Trong biểu thức (1) xác định hàm số y = f(x) ví dụ 4, cần thay số số để hàm số có giới hạn – x → Lời giải: Để hàm số có giới hạn ? ?2 x = lim f (x) = lim− f (x) = ? ?2. .. 5.1 + c = ? ?2  c = – x →1+ x →1 Vậy cần thay –7 để hàm số có giới hạn ? ?2 x = Hoạt động trang 127 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho hàm số f (x) = thị hình 52 Quan sát đồ thị cho biết: có đồ x? ?2 - Khi