Bài 3 Nhị thức Niu tơn A Các câu hỏi, hoạt động trong bài Hoạt động 1 trang 55 SGK Toán lớp 11 Đại số Khai triển biểu thức (a + b)4 thành tổng các đơn thức Lời giải (a + b)4 = (a + b)3(a + b) = (a3 +[.]
Bài 3: Nhị thức Niu-tơn A Các câu hỏi, hoạt động Hoạt động trang 55 SGK Toán lớp 11 Đại số: Khai triển biểu thức (a + b)4 thành tổng đơn thức Lời giải : (a + b)4 = (a + b)3(a + b) = (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3)(a + b) = a4 + 3a3b + 3a2b2 + ab3 + a3b + 3a2b2 + 3ab3 + b4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 Hoạt động trang 57 SGK Toán lớp 11 Đại số: Dùng tam giác Pa-xcan, chứng tỏ rằng: a) + + + = C52 ; b) + + + = C8 ; Lời giải : a) Dựa vào tam giác Pa-xcan: C14 = ; C24 = C52 = C14 + C62 = + = 10 Mà: + + + = 10 Suy + + + = C52 b) Dựa vào tam giác Pa-xcan: C17 = ; C72 = 21 C82 = C17 + C72 = + 21 = 28 Mà: + + … + = 28 Suy + + + = C82 B Bài tập Bài tập trang 57 SGK Toán lớp 11 Đại số: Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu-tơn: a) (a + 2b)5 ( b) a − ) 13 1 c) x − x Lời giải: a) (a + 2b)5 = C50a + C15a (2b)1 + C52 a (2b) + C35a (2b)3 + C54a1 (2b) + C55 (2b)5 = a5 + 5a4.2b + 10a3.(2b)2 + 10a2.(2b)3 + 5a.(2b)4 + (2b)5 = a5 +10a4b + 40a3b2 + 80a2b3 + 80ab4 + 32b5 ( b) a − ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( = C06a + C16a − + C62a − + C36a − + C64a − + C56a − + C66 − ( ) ( ) ( ) ( = a + 6a − + 15a − + 20a − + 15a − ) ( ) ( + 6a − + − ) = a − 2a + 30a − 40 2a + 60a − 24 2a + 13 1 c) x − x −1 −1 −1 −1 = C x + C x + C132 x11 + + C12 x1 + C13 13 13 x x x x 13 13 13 12 13 12 = C130 x13 + C113 x12 ( −x −1 ) + C132 x11 ( −x −1 ) + + C12 x1 ( −x −1 ) + C1313 ( −x −1 ) 13 12 13 = C130 x13 − C131 x11 + C132 x − − C1311x −9 + C1123 x −11 − C1313 x −13 Bài tập trang 58 SGK Tốn lớp 11 Đại số: Tìm hệ số x3 khai triển 2 biểu thức: x + x Lời giải: ) Số hạng tổng quát: 6 2 2 x + = C6k x 6−k x k =1 x = C x k =1 k 6−k k 2k (x ) k 2k = C x 2k x k =1 k 6− k = C6k x 6−k −2k 2k k =1 = C6k 2k.x 6−3k k =1 Số hạng chứa x3 ứng với – 3k = Suy k = Vậy hệ số x3 khai triển biểu thức cho là: C16 21 = 2.6 = 12 Bài tập trang 58 SGK Toán lớp 11 Đại số: Biết hệ số x2 khai triển (1 – 3x)n 90 Tìm n Lời giải: Số hạng tổng quát Tk +1 = Ckn 1n −k.(−3x) k = Ckn (−3) k x k Hệ số số hạng chứa x2 ứng với k = hay hệ số x2 C2n (−3)2 = 9C2n Theo ta có: 9C2n = 90 C2n = 10 n! = 10 2!(n − 2)! n(n − 1)(n − 2)! = 10 2!(n − 2)! n(n − 1) = 10 n ( n – 1) = 20 n – n – 20 = n = (TM) n = −4 (Loai) Vậy n = Bài tập trang 58 SGK Tốn lớp 11 Đại số: Tìm số hạng không chứa x khai 1 triển x + x Lời giải: k 1 Số hạng tổng quát khai triển x + là: C8k (x )8−k ( x −1 ) = C8k x 24−4 k x 1 Số hạng không chứa x triển khai x + tương đương với: 24 – 4k = x Suy k = 1 Vậy số hạng không chứa x khai triển x + C86 = 28 x Bài tập trang 58 SGK Toán lớp 11 Đại số: Từ khai triển biểu thức (3x – 4)17 thành đa thức, tính tổng hệ số đa thức nhận Lời giải: Sử dụng khai triển nhị thức Newton ta có: (3x − 4)17 = C170 (3x)17 + C117 (3x)16 (−4) ++ C1717 (−4)17 = C170 317.x17 + C171 316 (−4)x16 ++ C1717 (−4)17 Ta thấy, tổng hệ số khai triển (3x – 4)17 là: C170 317 + C171 316 (−4) ++ C1717 (−4)17 Cho x = ta có: (3.1 − 4)17 = C170 317 + C171 316 (−4) ++ C1717 (−4)17 16 (−4) ++ C1717 (−4)17 hay (−1)17 = C170 317 + C17 Do đó: C170 317 + C117 316 (−4) ++ C1717 (−4)17 = −1 Vậy tổng hệ số đa thức nhận -1 Bài tập trang 58 SGK Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh rằng: a) 1110 – chia hết cho 100; b) 101100 – chia hết cho 10 000; ( c) 10 + 10 ) ( 100 − − 10 ) 100 số nguyên Lời giải: a) 1110 – = (1 + 10)10 – 1 = ( C100 110.100 + C10 19.101 ++ C109 11.109 + C10 10.1010 ) − 10 = (1 + C110 10 + C102 102 ++ C109 109 + 1010 ) − = 10.10 + C102 102 ++ C109 109 + 1010 = 100 (1 + C102 + C103 10 ++ 108 ) Tổng sau tích 100 với tổng nên chia hết cho 100 suy 1110 – chia hết cho 100 Vậy 1110 – chia hết cho 100 b) 101100 – = (100 + 1)100 – 99 = ( C100 1100.1000 + C1100 199.1001 ++C100 11.10099 + C100 100100 ) − 100 99 = (1 + C1100 100 ++C100 10099 + C100 100100 ) − 100 99 = 1002 + C100 1002 ++ C100 10099 + 100100 = 1002 (1 + C100 + C100 100 ++ 10098 ) Tổng sau chia hết cho 1002 = 10 000 nên 101100 – chia hết cho 10 000 c) Ta có: (1 + 10 ) = C100 + C100 10 + C100 ( 10 ) (1 − 10 ) = C100 − C1100 10 + C100 ( 10 ) 100 100 ( Suy + 10 ) − (1 − 100 99 + + C100 ( 10 ) 99 − − C100 ( 10 ) − C100 − C1100 10 + C100 ( 10 ) ( = C1100 99 100 99 − − C100 ( 10 ) ( 10 ) + + C ( 10 ) k 100 ) − (1 − 100 = 10.2 C1100 10 + C100 ) 100 10 k 99 + C100 100 ( 10 ) 99 100 + C100 ( 10 ) 100 99 + C100 100 ( 10 ) 100 99 + + C100 100 100 ( 10 ) + + C ( 10 ) 3 100 k 100 ( 10 ) 99 với k lẻ ( 10 ) + C ( 10 ) + + C ( 10 ) ( 10 ) ) ( 10 ) + + C ( 10 ) Suy 10 + 10 100 + C100 100 10 = C100 + C100 10 + C100 = C1100 10 + C100 99 k 100 k k +1 99 + + C100 ( 10 ) 99 + + C100 ( 10 ) 99 100 k +1 k = C110010 + C100 102 + + C100 10 + + C110010050 số nguyên ( Vậy 10 + 10 ) − (1 − 100 ) 100 10 số nguyên ... 12 = C 130 x 13 + C1 13 x12 ( −x −1 ) + C 132 x11 ( −x −1 ) + + C12 x1 ( −x −1 ) + C 131 3 ( −x −1 ) 13 12 13 = C 130 x 13 − C 131 x11 + C 132 x − − C 131 1x −9 + C11 23 x ? ?11 − C 131 3 x − 13 Bài tập trang... + 30 a − 40 2a + 60a − 24 2a + 13 1 c) x − x −1 −1 −1 −1 = C x + C x + C 132 x11 + + C12 x1 + C 13 13 13 x x x x 13 13 13 12 13 12 = C 130 ... 28 x Bài tập trang 58 SGK Toán lớp 11 Đại số: Từ khai triển biểu thức (3x – 4)17 thành đa thức, tính tổng hệ số đa thức nhận Lời giải: Sử dụng khai triển nhị thức Newton ta có: (3x − 4)17