CHỦ ĐỀ BÀI HỌC: NHỊ THỨC NIUTƠN VÀ TAM GIÁC PAXCAN I. MỤC TIÊU BÀI HỌC 1. Về kiến thức: HS nắm được cơng thức nhị thức Niutơn Hệ số của khai triển nhị thức Niutơn qua tam giác Paxcan 2. Về kỹ năng: Biết khai triển nhị thức Niutơn với số mũ cụ thể n Tìm được hệ số của đa thức khi khai triển ( a + b ) Điền được hàng sau của nhị thức Niutơn khi biết hàng ở ngay trước đó 3. Về tư duy và thái độ: Sáng tạo trong tư duy Tư duy các vấn đề của tốn học một cách logic và hệ thống Tự giác, tích cực trong học tập 4. Đinh hướng phát triển năng lực: Năng lực tự học, sáng tạo và giải quyết vấn đề: đưa ra phán đốn trong q trình tìm hiểu và tiếp cận các hoạt động bài học vào trong thực tế Năng lực hợp tác và giao tiếp: kỹ năng làm việc nhóm và đánh giá lẫn nhau Năng lực vận dụng kiến thức đã học để giải quyết các bài tập nâng cao hơn II. CHUẨN BỊ: Học sinh: Cần ơn lại một số kiến thức đã học về hằng đẳng thức Ơn lại bài học trước: Hốn vị, Chỉnh hợp, tổ hợp Giáo viên : Chuẩn bị các câu hỏi gợi mở Chuẩn bị phấn màu và các dụng cụ học tập III. CHUỖI CÁC HOẠT ĐỘNG HỌC: GIỚI THIỆU (HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG) – 5 phút HỎI: Ơng là ai? Trong cơ học, ơng đưa ra ngun lý bảo tồn động lượng (bảo tồn qn tính). Trong quang học, ơng khám phá ra sự tán sắc ánh sáng, giải thích việc ánh sáng trắng qua lăng kính trở thành nhiều màu Trong tốn học, ơng cùng với Gottfried Leibniz phát triển phép tính vi phân và tích phân. Ơng cũng là người đưa ra cơng thức quan trọng của bài học hơm nay đó là cơng thức nhị thức Newton Để hiểu rõ hơn về cơng thức nhị thức Niutơn và việc vận dụng cơng thức vào giải bài tập như thế nào, thì ta đi vào nội dung bài học 2. NỘI DUNG BÀI HỌC (HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC) 2.1. Đơn vị kiến thức 1: Cơng thức nhị thức Niutơn (15 PHÚT) a) Tiếp cận: GV giao nhiệm vụ Nhóm 1 Nêu các hằng đẳng thức ( a + b ) , ( a + b ) ? Nhận xét số mũ của a, b trong khai triển ( a + b ) , ( a + b ) Nhóm 2 Nhắc lại định nghĩa và các tính chất của tổ hợp - Sử dụng MTCT để tính: C20 , C21 , C22 , C30 , C31 , C32 , C33 bằng bao nhiêu? GV đặt câu hỏi: Các tổ hợp trên có liên hệ gì với hệ số của khai triển ( a + b ) , ( a + b ) GV gợi ý dẫn dắt học sinh đưa ra công thức ( a + b ) n b) Hình thành kiến thức: Cơng thức nhị thức Niutơn: Dạng tường minh: ( a + b ) = Cn0 a n + Cn1a n−1b + Cn2 a n− 2b + + Cnn−1ab n−1 + Cnnb n n Dạng thu gọn: ( a + b ) n = n k =0 Cnk a n −k b k Số hạng Cnk a n−k b k gọi là số hạng tổng quát của khai triển GV đặt câu hỏi: CH1: Số các số hạng của ( a + b ) , với n=0,1,2,3,4? n CH2:Tổng quát: Khai triển ( a + b ) có bao nhiêu số hạng? đặc điểm chung của các số n hạng đó? GV chính xác hóa lại các câu trả lời của hs và bổ sung kiến thức cho các em c) Củng cố kiến thức: VD1: Viết khai triển theo cơng thức nhị thức Niutơn *NHĨM 1: ( x + 1)5 *NHĨM 2: (− x + 2)6 *NHÓM 3: (2 x + 1) GV chỉnh sửa và đưa ra kết quả đúng VD2: (3 nhóm cùng làm) Tìm số hạng thứ 7 kể từ trái sang của khai triển (−2 x + 1)9 thành đa thức bậc 9 đối với x GV chính xác hóa kết quả GVTQ: số hạng Cnk a n−k b k là số hạng thứ k+1 của khai triển (kể từ trái sang) VD3:(3 nhóm cùng làm) Hệ số của x8 trong khai triển (4 x − 1)12 thành đa thức bậc 12 đối với x là: A 32440320. B. 32440320 C.1980 GV giao nhiệm vụ:(3 nhóm cùng làm) Áp dụng khai triển ( a + b ) với a=b=1 n Nhận xét ý nghĩa của các số hạng trong khai triển Từ đó suy ra số tập con của tập hợp gồm có n phần tử GV tổng quát: Cn1 : là số tập con gồm 1 phần tử của tập gồm có n phần tử Cnk : là số tập con gồm k phần tử của tập gồm có n phần tử 2.2. Đơn vị kiến thức 2: Tam giác PAXCAN (5 PHÚT) a) Tiếp cận : GV giao nhiệm vụ *NHĨM 1: Tính hệ số của khai triển ( a + b ) *NHĨM 2: Tính hệ số của khai triển ( a + b ) D.1980 *NHĨM 3: Tính hệ số của khai triển ( a + b ) GV u cầu: Viết vào giấy theo hàng như sau Tam giác vừa xây dựng là tam giác Paxcan b) Hình thành kiến thức: Trong cơng thức nhị thức Niutơn, cho n=0,1,2,… và xếp các hệ số thành dịng, ta nhận được tam giác sau đây, gọi là tam giác Paxcan GV: Nêu cách xây dựng tam giác, suy ra quy luật các hàng c) Củng cố kiến thức: GV giao nhiệm vụ:(3 nhóm cùng làm) *NHĨM 1: Hãy điền tiếp vào tam giác Paxcan ở hàng thứ 7 *NHĨM 2: Hãy điền tiếp vào tam giác Paxcan ở hàng thứ 8 *NHĨM 3: Hãy điền tiếp vào tam giác Paxcan ở hàng thứ 9 3. HOẠT ĐỘNG CỦNG CỐ TỒN BÀI (10 PHÚT) Câu 1: Khai triển biểu thức ( x - y ) ta được : A. x - 5x 4y + 10x 3y - 10x 2y + 5xy - y B. x - 5x 4y + 10x 2y - 20x 2y + 5xy - y C. x - 5x 4y + 10x 3y - 10x 2y + 5xy - y D. x + 5x 4y + 10x 3y + 10x 2y + 5xy + y Câu 2: Cho khai triển nhị thức Newton: ( x - 2) A. - C 100 100 = a + a1x + a 2x + + a100x 100 Tính a 97 B. C 100 3 23 D. C 100 23 C. - C 100 15 Câu 3 : Hệ số của x trong khai triển ( - 3x ) là A. C 157 B. C 157 2837 C. - C 157 2837 D. C 157 28 ￦ 1￦ Câu 4: Tìm hạng tử khơng chứa x trong khai triển ￦￦￦2x - ￦￦￦ với x ￦ x ￦￦ ￦ A. - C 93 B. C 93 C. - C 93 26 D. C 93 26 40 ￦ 1￦ Câu 5: Trong khai triển f ( x ) = ￦￦￦x + ￦￦￦ với x ￦ . Hãy tìm số hạng đứng chính giữa x ￦￦ ￦ của khai triển. A. C 4019x 17 B. C 4021x - 23 C. C 4020x - 20 D. - C 4020x 20 4. HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG (8 PHÚT) 4.1. Các bài tốn về hệ số nhị thức. Ví dụ 1: (Đại học Thuỷ lợi cơ sở II, 2000) Khai triển và rút gọn đa thức: Q ( x ) = ( + x ) + ( + x ) + + ( + x ) 10 14 Ta được đa thức: Q ( x ) = a0 + a1 x + + a14 x14 Xác định hệ số a9 Giải: Hệ số x9 trong các đa thức ( + x ) , ( + x ) , , ( + x ) lần lượt là: C99 , C105 , , C149 10 14 Do đó: 1 1 a9 = C99 + C105 + + C149 = + 10 + 10.11 + 10.11.12 + 10.11.12.13 + 10.11.12.13.14 =11+55 24 20 +220+715+2002=3003 Ví dụ 2: (ĐH HCQG, 2000) x 12 a) Tìm hệ số x8 trong khai triển + b) Cho biết tổng tất cả các hệ sơ của khai triển nhị thức ( x + 1) bằng 1024. Hãy n tìm hệ số a ( a ￦ *) của số hạng ax12 trong khai triển đó.( ĐHSPHN, khối D,2000) Giải: a) Số hạng thứ (k+1) trong khai triển là: k x ak = C12k x12− x = C12k x12− k ( k 12 ) Ta chọn 12 − 2k = k=2 Vậy số hạng thứ 3 trong khai triển chứa x8 và có hệ số là: C122 = 66 b) Ta có: ( + x ) = n n k =0 Cnk x n = Cnk + Cn1 x + + Cnk x12 − k Với x=1 thì: = C + Cn1 + + Cnn = 1024 n n 2n = 210 n = 10 Do đó hệ số a (của x12) là: C106 = 210 Ví dụ 3: (HVKTQS, 2000) Khai triển đa thức: P ( x ) = (1 + x)12 = a0 + a1 x + + a12 x12 Tìm max ( a0 , a1 , a2 , , a12 ) Giải: Gọi ak là hệ số lớn nhất của khai triển suy ra: ak > ak −1 Từ đây ta có hệ phương trình: k −1 k 12 C k k 12 2k +1 C12k +1 C C k 12 − k + 1 12 − k k + k −1 12 k max ( a0 , a1 , a2 , , a12 ) = a8 = C128 218 = 126720 Ví dụ 4: (ĐH SPHN2001) Cho khai triển nhị thức: 10 + x 3 = a0 + a1 x + + a9 x + a10 x10 Hãy tìm số hạng ak lớn nhất Giải: Ta có: + x 3 10 = 1 10 + x ) = 10 10 ( 3 Ta có ak đạt được max n k =0 C10k ( x ) k ak = k k C10 310 ak ak +1 C10k 2k C10k +1 2k +1 ak ak −1 C10k 2k C10k −1 2k −1 2k10! k !( 10 − k ) ! k10! ( k + 1) !( − k ) ! 2k10! k !( 10 − k ) ! 2k10! ( k − 1) !( 11 − k ) ! k = 7( k ￦ ,k [ 0,10] ) 10 − k k + 2 k 11 − k 19 k 22 Vậy max ak = a7 = 27 C10 310 4.2. Áp dụng nhị thứ Newton để chứng minh hệ thức và tính tổng tổ hợp Thuần nhị thức Newton: Dấu hiệu nhận biết: Khi các số hạng của tổng đó có dạng Cnk a n−k b k thì ta sẽ dùng trực tiếp nhị thức Newton: ( a + b ) = n n k =0 Cnk a n − k b k Việc cịn lại chỉ là khéo léo chọn a,b Ví dụ 5: Tính tổng 316 C160 − 315 C161 + 314 C162 − + C1616 Giải: Dễ dàng thấy tổng trên có dạng như dấu hiệu nêu trên. Ta sẽ chọn a=3, b=1. Khi đó tổng trên sẽ bằng (31)16=216 Ví dụ 6: ( ĐH Hàng Hải2000) Chứng minh rằng: C20n + 32 C22n + 34 C24n + + 32 n C22nn = 22 n −1 ( 22 n + 1) Giải: ( + x ) = C20n + C21n x + C22n x + + C22nn−1 x 2n−1 + C22nn x n ( 1) 2n ( − x ) = C20n − C21n x + C22n x + − C22nn−1 x n−1 + C22nn x n ( ) 2n Lấy (1) + (2) ta được: ( 1+ x) 2n + ( 1− x) 2n = C20n + C22n x + + C22nn x n ( 4) Chọn x=3 suy ra: 2n + ( −2 ) 2n = C20n + C22n 32 + + C22nn 32 n 24 n + 22 n = C20n + C22n 32 + + C22nn 32 n 22 n ( 22 n + 1) = C20n + C22n 32 + + C22nn 32 n 2 n −1 (22n + 1) = C20n + C22n 32 + + C22nn 32 n ĐPCM 5. TÌM TỊI SÁNG TẠO (2 PHÚT) 5.1 Giới thiệu về Newton: Isaac Newton Jr nhà vật lý, nhà thiên văn học, nhà triết học, nhà toán học, nhà thần học và nhà giả kim thuật người Anh, được nhiều người cho rằng là nhà khoa học vĩ đại và có tầm ảnh hưởng lớn Theo lịch Julius, ông sinh ngày 25 tháng 12 năm 1642 và mất ngày 20 tháng 3 năm 1727; theo lịch Gregory, ông sinh ngày 4 tháng 1 năm 1643 và mất ngày 31 tháng 3 năm 1727 Luận thuyết ông Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (Các Nguyên lý Toán học Triết học Tự nhiên) xuất bản năm 1687, đã mô tả về vạn vật hấp dẫn và 3 định luật Newton, được coi là nền tảng của cơ học cổ điển, đã thống trị các quan niệm về vật lý, khoa học trong suốt 3 thế kỷ tiếp theo. ông cho rằng sự chuyển động của các vật thể trên mặt đất và các vật thể trong bầu trời bị chi phối bởi các định luật tự nhiên giống nhau; bằng cách chỉ ra sự thống nhất giữa Định luật Kepler về sự chuyển động của hành tinh và lý thuyết của ơng về trọng lực, ơng đã loại bỏ hồn tồn Thuyết nhật tâm và theo đuổi cách mạng khoa học Trong học, Newton đưa ngun lý bảo tồn động lượng (bảo tồn qn tính). Trong quang học, ơng khám phá ra sự tán sắc ánh sáng, giải thích việc ánh sáng trắng qua lăng kính trở thành nhiều màu Trong tốn học, Newton cùng với Gottfried Leibniz phát triển phép tính vi phân và tích phân Ơng đưa nhị thức Newton tổng qt Năm 2005, trong một cuộc thăm dị ý kiến Hội Hồng gia nhân vật có ảnh hưởng lớn lịch sử khoa học, Newton người cho có nhiều ảnh hưởng hơn Albert Einstein 5.2. Giới thiệu về Pascal Blaise Pascal (tiếng Pháp: [blɛz paskal]; 19 tháng 6 năm 1623 – 19 tháng 8 năm 1662) nhà toán học, vật lý, nhà phát minh, tác gia, và triết gia Cơ Đốc người Pháp. Là cậu bé thần đồng, Pascal tiếp nhận nền giáo dục từ cha, một quan chức thuế vụ tại Rouen. Nghiên cứu đầu tay của Pascal là trong lĩnh vực tự nhiên và khoa học ứng dụng, là những đóng góp quan trọng cho nghiên cứu về chất lưu, và làm sáng tỏ những khái niệm về áp suất và chân khơng bằng cách khái qt hóa cơng trình của Evangelista Torricelli. Pascal cũng viết để bảo vệ phương pháp khoa học Năm 1642, thiếu niên, Pascal bắt tay vào một số nghiên cứu tiên phong về máy tính. Sau ba năm nỗ lực với năm mươi mẫu, cậu phát minh máy tính cơ học, chế tạo 20 máy tính loại này (gọi là máy tính Pascal, về sau gọi Pascaline) vịng mười năm. Pascal là một nhà tốn học tài danh, giúp kiến tạo hai lĩnh vực nghiên cứu quan trọng: viết chuyên luận xuất sắc về hình học xạ ảnh khi mới 16 tuổi, trao đổi với Pierre de Fermat lý thuyết xác suất, có ảnh hưởng sâu đậm trên tiến trình phát triển kinh tế học và khoa học xã hội đương đại. Tiếp bước Galileo và Torricelli, năm 1646, ơng phản bác người theo Aristotle chủ trương thiên nhiên không chấp nhận khoảng không. Kết quả nghiên cứu của Pascal đã gây ra nhiều tranh luận trước khi được chấp nhận Năm 1646, Pascal em gái Jacqueline gia nhập phong trào tôn giáo phát triển bên Công giáo mà những người gièm pha gọi là thuyết Jansen.Cha ông năm 1651 Tiếp sau trải nghiệm tâm linh xảy ra cuối năm 1654, ông trải qua "sự qui đạo thứ nhì", từ bỏ nghiên cứu khoa học, và hiến mình cho triết học và thần học. Hai tác phẩm nổi tiếng nhất của Pascal đánh dấu giai đoạn này: Lettres provinciales (Những thư tỉnh lẻ) và Pensées (Suy tưởng), tác phẩm đầu được ấn hành trong bối cảnh tranh chấp nhóm Jansen với Dịng Tên. Cũng trong năm này, ơng viết một luận văn quan trọng về tam giác số học Pascal có thể chất yếu đuối, nhất là từ sau 18 tuổi đến khi qua đời, chỉ hai tháng trước khi trịn 39 tuổi Trong suốt cuộc đời mình, Pascal ln có ảnh hưởng trên nền tốn học. Năm 1653, ơng viết Traité du triangle arithmétique ("Chun luận về Tam giác Số học") miêu tả một biểu mẫu nay gọi là Tam giác Pascal. Tam giác này có thể được trình bày như sau: Tam giác Pascal. Mỗi con số là tổng của hai con số ngay bên trên Hàng đầu tiên là con số 1, hàng kế tiếp là hai con số 1 Ở những hàng tiếp theo: Con số đầu tiên số cuối cùng bao giờ cũng là 1; Mỗi con số bên trong sẽ bằng tổng của hai con số đứng ngay ở hàng trên: 1+1=2, 1+2=3, 2+1=3, 1+3=4, 3+3=6, 3+1=4, v v ... Ví dụ 6: ( ĐH Hàng Hải2000) Chứng minh rằng: C20 n + 32 C22 n + 34 C24 n + + 32 n C22 nn = 22 n −1 ( 22 n + 1) Giải: ( + x ) = C20 n + C21 n x + C22 n x + + C22 nn−1 x 2n−1 + C22 nn x n ( 1) 2n ( − x ) = C20 n − C21 n x + C22 n x + − C22 nn−1... C20 n + C22 n 32 + + C22 nn 32 n 22 n ( 22 n + 1) = C20 n + C22 n 32 + + C22 nn 32 n 2 n −1 (22n + 1) = C20 n + C22 n 32 + + C22 nn 32 n ĐPCM 5. TÌM TỊI SÁNG TẠO (2 PHÚT) 5.1 Giới thiệu về Newton:... + C22 nn x n ( ) 2n Lấy (1) + (2) ta được: ( 1+ x) 2n + ( 1− x) 2n = C20 n + C22 n x + + C22 nn x n ( 4) Chọn x=3 suy ra: 2n + ( −2 ) 2n = C20 n + C22 n 32 + + C22 nn 32 n 24 n + 22 n = C20 n