Đang tải... (xem toàn văn)
Chuyên đề Nhị thức Niu tơn Toán 11 A Lý thuyết I Công thức nhị thức Niu tơn Ta có Công thức nhị thức Niu – tơn (a + b)n = Cn0an + Cn1 an−1b+ + Cnk an−kbk + +Cnn−1abn−1+ Cnnbn Hệ quả Với a = b = 1 ta c[.]
Chuyên đề Nhị thức Niu-tơn - Toán 11 A Lý thuyết I Cơng thức nhị thức Niu- tơn Ta có: - Công thức nhị thức Niu – tơn (a + b)n = Cn0an + Cn1.an−1b+ + Cnk.an−kbk + +Cnn−1abn−1+ Cnnbn - Hệ quả: Với a = b = ta có: 2n = Cn0 + Cn1 + + Cnn Với a = 1; b = – ta có: 0 = Cn0 − Cn1 + +(−1)k.Cnk+ +(−1)n Cnn - Chú ý: Trong biểu thức vế phải công thức (1): a) Số hạng tử n + b) Các hạng tử có số mũ a giảm dần từ n đến 0; số mũ b tăng dần từ đến n, tổng số mũ a b hạng tử n (quy ước a0=b0=1) c) Các hệ số cặp hạng tử cách hai hạng tử đầu cuối - Ví dụ Khai triển biểu thức: (a – b)5 Lời giải: Áp dụng công thức nhị thức Niu – tơn ta có: - Ví dụ Khai triển biểu thức: (3x – 2)4 II Tam giác Pa- xcan Trong công thức nhị thức Niu – tơn mục I, cho n = 0; 1; … xếp hệ số thành dòng, ta nhận tam giác sau đây, gọi tam giác Pa- xcan - Nhận xét: Từ công thức Cnk = Cn−1k−1 + Cn−1k suy cách tính số dịng dựa vào số dịng trước Ví dụ C62=C51+C52=5+10=15 B Bài tập I Bài tập trắc nghiệm Bài 1: Tìm số hạng đứng khai triển (x3 + xy)21 Lời giải: Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có Suy khai triển (x3 + xy)21 có 22 số hạng nên có hai số hạng đứng số hạng thứ 11 (ứng với k = 10) số hạng thứ 12 (ứng với k = 11) Vậy hai số hạng đứng cần tìm Chọn đáp án D Bài 2: Tìm hệ số x5 khai triển P(x) = x(1 - 2x)5 + x2(1 + 3x)10 A 80 B 3240 C 3320 D 259200 Lời giải: Chọn đáp án C Bài 3: Tìm hệ số x5 khai triển : P(x) = (1 + x) + 2(1 + x)2 + + 8(1 + x)8 A 630 B 635 C 636 D.637 Lời giải: Các biểu thức (1 + x), (1 + x)2, ⋯, (1 + x)4 không chứa số hạng chứa x5 Chọn đáp án C Bài 4: Tìm số nguyên dương n thỏa mãn A.n = B.n = C.n = 10 D n = 11 Lời giải: Chọn đáp án C Bài 5: Tìm số nguyên dương n thỏa mãn A.n = B.n = C.n = 10 D.n = Lời giải: Chọn đáp án A Bài 6: Tìm số nguyên dương n cho: A B 11 C 12 D Lời giải: Chọn đáp án A Bài 7: Tính Lời giải: Chọn đáp án D Bài 8: Khai triển biểu thức (x-m2)4 thành tổng đơn thức: A x4 –x3m+x2m2 + m4 B x4 –x3m2+x2m4 –xm6+ m8 C x4 –4x3m+6x2m2 -4xm+ m4 D x4 –4x3m2+6x2m4 – 4xm6+ m8 Lời giải: Sử dụng nhị thức Niuton với a = x, b = - m2 Chọn đáp án D Bài 9: Tìm số hạng khơng chứa x khai triển A 2268 B -2268 C 84 D -27 Lời giải: Chọn đáp án B Bài 10: Xác định hệ số số hạng chứa x3 khai triển (x2-2/x)n biết tổng hệ số ba số hạng đầu khai triển 49 A 160 B -160 C 160x3 D -160x3 Lời giải: Chọn đáp án B II Bài tập tự luận có lời giải Bài 1: Tính tổng S = 32015.C2015o-32014C20151+32013C20152-…+3C20152014 C20152015? Lời giải: Bài 2: Trong khai triển nhị thức (a + 2)n + 6, (n ∈ N) Có tất 17 số hạng Vậy n bằng: Lời giải: Bài 3: Tìm hệ số x12 khai triển (2x - x2)10 Lời giải: Bài 4: Tìm số hạng chứa x3 khai triển Lời giải: Bài 5: Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu - Tơn: a) (a + 2b)5 b) (a - √2)6 c) (x - 1/x)13 Lời giải: a) Theo dòng tam giác Pascal, ta có: (a + 2b)5 = a5 + 5a4(2b) + 10a3(2b)2 + 10a2(2b)3 + 5a(2b)4 + (2b)5 = a5 + 10a4b + 40a3b2 + 80a2b3 + 80ab4 + 32b5 b) Theo dịng tam giác Pascal, ta có: (a - √2)6 = [a + (-√2)]6 = a6 + 6a5 (-√2) + 15a4 (-√2)2 + 20a3 (-√2)3 + 15a2 (-√2)4 + 6a(√2)5 + (-√2)6 = a6 - 6√2a5 + 30a4 - 40√2a3 + 60a2 - 24√2a + c) Theo cơng thức nhị thức Niu – Tơn, ta có: Nhận xét: Trong trường hợp số mũ n nhỏ (chẳng hạn câu a) b) đây) ta sử dụng tam giác Pascal để tính nhanh hệ số khai triển Bài Tìm hệ số x3 khai triển biểu thức: Lời giải: Trong tổng này, số hạng Ck6 2k x6 - 3k có số mũ x Do hệ số x3 khai triển biểu thức cho là: = = 12 Bài 7: Tìm hệ số x5 khai triển : P(x) = (1 + x) + 2(1 + x)2 + + 8(1 + x)8 Lời giải: Các biểu thức (1 + x), (1 + x)2, ⋯, (1 + x)4 không chứa số hạng chứa x5 Bài Tìm số nguyên dương n thỏa mãn Lời giải: Bài Tính Lời giải: Bài 10 Tìm số hạng khơng chứa x khai triển Lời giải: III Bài tập vận dụng Bài Biết hệ số x2 khai triển (1 - 3x)n 90 Tìm n Bài Tìm số hạng không chứa x khai triển (x3 + )8 Bài Từ khai triển biểu thức (3x – 4)17 thành đa thức, tính tổng hệ số đa thức nhận Bài Chứng minh rằng: a) 1110 – chia hết cho 100; b) 101100– chia hết cho 10 000; c) 10[(1+10)100–(1−10)100] số nguyên Bài Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu - Tơn: a) (a + 2b)5 b) (a - √2)6 c) (x - 1/x)13 Bài Tìm hệ số x3 khai triển biểu thức: Bài Biết hệ số x2 khai triển (1 - 3x)n 90 Tìm n Bài Tìm số hạng khơng chứa x khai triển (x3 + 1/x)8 Bài Từ khai triển biểu thức (3x – 4)17 thành đa thức, tính tổng hệ số đa thức nhận được? Bài 10 Chứng minh rằng: a) 1110 – chia hết cho 100; b) 101100 – chia hết cho 10 000; c) số nguyên ... Khai triển biểu thức: (a – b)5 Lời giải: Áp dụng công thức nhị thức Niu – tơn ta có: - Ví dụ Khai triển biểu thức: (3x – 2)4 II Tam giác Pa- xcan Trong công thức nhị thức Niu – tơn mục I, cho... giải: Theo khai triển nhị thức Niu- tơn, ta có Suy khai triển (x3 + xy)21 có 22 số hạng nên có hai số hạng đứng số hạng thứ 11 (ứng với k = 10) số hạng thứ 12 (ứng với k = 11) Vậy hai số hạng đứng... công thức nhị thức Niu – Tơn, ta có: Nhận xét: Trong trường hợp số mũ n nhỏ (chẳng hạn câu a) b) đây) ta sử dụng tam giác Pascal để tính nhanh hệ số khai triển Bài Tìm hệ số x3 khai triển biểu thức: