chuyen de nhi thuc niu tontoan 10

thuvienhoclieu.com CHƯƠNG VIII ĐẠI SỐ TỔ HỢP BÀI 3: NHỊ THỨC NEWTON I ===I LÝ THUYẾT Ở lớp 8, học đẳng thức, ta biết khai triển: ( a + b ) = a + 2ab + b ; ( a + b ) = a + 3a 2b + 3ab + b3 Quan sát đơn thức vế phải đẳng thức trên, nhận xét quy luật số mũ ( a + b) b Có thể tìm cách tính hệ số đơn thức khai triển không? thuvienhoclieu.com n ∈ { 4;5} n Trang a ( a + b) thuvienhoclieu.com = C a + C a b + C a b + C43ab3 + C44b 4 4 2 = a + 4a 3b + 6a 2b + 4ab3 + b ( x + 1) Ví dụ 1: Khai triển Lời giải Thay a = 2x ( x + 1) ( a + b) b =1 công thức khai triển , ta được: = ( x ) + ×( x ) ×1 + ×( x ) ×12 + ×( x ) ×13 + 14 = 16 x + 32 x + 24 x + x + ( x − 2) Ví dụ 2: Khai triển Lời giải Thay a=x ( x − 2) b = −2 ( a + b) công thức khai triển , ta được: = x + ×x3 ×( −2 ) + ×x ×( −2 ) + ×x ×( −2 ) + ( −2 ) = x − x3 + 24 x − 32 x + 16 ( a + b) = C50 a + C51a 4b + C52 a 3b + C53a 2b3 + C54 ab + C55b = a + 5a 4b + 10a 3b + 10a 2b3 + 5ab + b5 ( x + 3) Ví dụ 3: Khai triển Lời giải Thay a=x b=3 ( a + b) công thức khai triển , ta được: ( x + 3)5 = x + ×x ×3 + 10 ×x ×32 + 10 ×x ×33 + ×x ×34 + 35 = x5 + 15 x + 90 x3 + 270 x + 405 x + 243 ( 3x − ) Ví dụ 4: Khai triển thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Lời giải ( 3x − ) = C50 ( x ) + C51 ( x ) ( −2 ) + C52 ( 3x ) ( −2 ) + C53 ( x ) ( −2 ) + C54 ( x ) ( −2 ) + C55 ( −2 ) = 243 x5 − 2430 x + 1080 x − 720 x + 240 x − 32 Ví dụ 5: ( + 0, 05) a) b) 1, 054 Dùng hai số hạng khai triển để tính giá trị gần 1, 05 Dùng máy tính cầm tay tính giá trị tính sai số tuyệt đối giá trị gần nhận câu a Lời giải ( + 0, 05) ≈ C4014 + C41130, 051 = + 0, = 1, a) b) Cách bấm: 1.05^4= Hiển thị Sai số tuyệt đối giá trị gần nhận câu a 0,01550625 BÀI TẬP Câu Khai triển đa thức: ( x − 3) a) ( 3x − y ) ; ( x + 5) + ( x − 5) b) c) ; ( x − 2y) ; d) Lời giải ( x − 3) = C40 x + C41 x ( −3) + C42 x ( −3) + C41 x ( −3) + C40 ( −3) a) thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com = x − 12 x + 54 x − 108 x + 81 ( 3x − y ) = C40 ( 3x ) + C41 ( 3x ) ( −2 y ) + C42 ( 3x ) ( −2 y ) + C41 3x ( −2 y ) + C40 ( −2 y ) b) = 81x − 216 x y + 216 x y − 96 xy + 16 y ( x + 5) + ( x − ) = C40 x + C41 x + C42 x 52 + C43 x53 + C44 54 + C40 x 4 c) −C41 x + C42 x 52 − C43 x53 + C44 54 = ( C40 x + C42 x 52 + C44 54 ) = ( x + 150 x + 625 ) = x + 300 x + 1250 ( x − 2y) = C50 x5 + C51 x (−2 y ) + C52 x ( −2 y ) + C53 x ( −2 y ) + C54 x ( −2 y ) + C55 ( −2 y ) d) = x − 10 x y + 40 x y − 80 x y + 80 xy − 32 y Câu Tìm hệ số x4 ( 3x − 1) khai triển Lời giải C53 ( x ) ( −1) = −90 x Số hạng thứ khai triển ( 3+ 2) −( 3− 2) Câu Biểu diễn Vậy hệ số x4 khai triển dạng a +b a, b với số nguyên Lời giải Nhận xét: ( a + b) − ( a − b ) = C50 a5 + C51a 4b + C52 a 3b + C53 a 2b3 + C54 ab + C55b5 − ( C50 a − C51a 4b + C52 a 3b − C53a 2b + C54 ab − C55b ) = ( C51a 4b + C53 a 2b3 + C55b5 ) thuvienhoclieu.com Trang −90 ( a + b) − ( a − b) ( = C51 34 + C53 32 Do ( thuvienhoclieu.com ( ) + C55 ( ) )= ) 405 + 180 + = 1178 ( + 0, 02 ) Câu a) Dùng hai số hạng khai triển để tính giá trị gần 1, 025 1, 025 b) Dùng máy tính cầm tay tính giá trị câu a tính sai số tuyệt đối giá trị gần nhận Lời giải ( + 0, 02 ) ≈ C5015 + C51.14.0, 02 = + 0,1 = 1,1 a) b) Cách bấm máy: C1.02^5= Hiển thị: ∆ = 1,104080803 − 1,1 = 0, 004080803 Sai số tuyệt đối: Câu Số dân tỉnh thời điểm khoảng 800 nghìn người Giả sử tỉ lệ tăng dân r% số năm tỉnh a) Viết cơng thức tính số dân tỉnh sau năm, sau năm Từ suy cơng thức tính số dân tỉnh sau năm r   P = 800  + ÷  100  (nghìn người) ( + 0, 015 ) r = 15% b) Với , dùng hai số hạng đầu khai triển tỉnh sau năm (theo đơn vị nghìn người) , ước tính số dân Lời giải thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com r   800 + 800.r % = 800 1 + ÷  100  Số dân tính sau năm (nghìn người) Số dân tính sau năm r   800 ( + r % ) + 800 ( + r % ) r % = 800 ( + r % ) ( + r % ) = 800 1 + ÷  100  (nghìn người) Lập luận hồn tồn tương tự ta có số dân tỉnh sau năm người) r   P = 800 1 + ÷  100  b) Số dân tỉnh ước tính sau năm 15     15   P = 800 1 + ÷ ≈ 800  C5 + C5  ÷÷ = 1400  100   100    thuvienhoclieu.com (nghìn người) Trang (nghìn thuvienhoclieu.com TỔNG QT VỀ CƠNG THỨC NHỊ THỨC NIU-TƠN CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON ( a + b) n Khai triển cho công thức sau: a, b Với ( a + b) số thực n sơ ngun dương, ta có n = ∑ Cnk a n − k b k = Cn0 a n + Cn1a n −1b + + Cnk a n −k b k + + Cnnb n ( 1) n k =0 a = b0 = Quy ước Công thức gọi công thức nhị thức Newton (viết tắt Nhị thức Newton) Trong biểu thức VP công thức (1) n +1 a) Số hạng tử b) Số hạng tử có số mũ a giảm dần từ n đến 0, số mũ b tăng dần từ đến n, tổng số mũ a b hạng tử n c) Các hệ số hạng tử cách hai hạng tử đầu cuối Tk +1 = Cnk a n − k b k d) Số hạng thứ k (số hạng tổng quát) khai triển là: HỆ QUẢ n = Cn0 + Cn1 + + Cnn a = b = 1, Với ta có = Cn0 − Cn1 + + ( −1) Cnk + + ( −1) Cnn k a = 1; b = −1 Với n , ta có CÁC DẠNG KHAI TRIỂN CƠ BẢN NHỊ THỨC NEWTON ( x + 1) n = Cn0 x n + Cn1 x n −1 + Cn2 x n −2 + + Cnk x n −k + + Cnn −1 x + Cnn ( 1+ x) n = Cn0 + Cn1 x + Cn2 x + + Cnk x k + + Cnn −1 x n −1 + Cnn x n ( x − 1) n = Cn0 − Cn1 x + Cn2 x − + ( −1) Cnk x k + + ( −1)     k n −1 Cnn −1 x n −1 + ( −1) Cnn x n n Cnk = Cnn−k Cnk + Cnk +1 = C k +1 , ( n ≥ 1) n+1  k Cnk = n ( n − 1) ! k n ! = = nCnk−−11 ( n − k ) !k! ( n − k ) !( k − 1) !  thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com n ( n − 1) ! k n ! Cnk = = = Cnk++11 k +1 k + n − k ! k ! n + n − k ! k + ! n + ( )( ) ( )( )( )  thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com II ===IHỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN ( a + b) Dạng Khai triển biểu thức dạng ===IPHƯƠNG PHÁP n=4 Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton với ( a + b) ta có = C40 a + C41a 3b + C42 a 2b + C43ab3 + C44b ===IBÀI TẬP TỰ LUẬN ( x + y) Câu (NB) Khi khai triển nhị thức Newton ta thu hạng tử Lời giải Áp dụng công thức khai triển nhị thức Newton ta ( x + y) = C40 x + C41 x y + C42 x y + C43 xy + C44 y Vì khơng có hạng tử có phần biến giống để thu gọn nên có tất hạng tử ( 1+ x) Câu (NB) Khai triển nhị thức Newton Lời giải ( 1+ x) = C + C x + C x + C 1x + C44 x = + x + x + x + x 4 4 2 4 Ta có ( x + 2) Câu (NB) Khai triển nhị thức Newton Lời giải ( x + 2) = C40 x + C41 x + C42 x 22 + C43 x.23 + C44 24 = x + x + 24 x + 32 x + 16 Ta có ( x − 1) Câu (NB) Khai triển nhị thức Newton Lời giải thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com ( x − 1) = C x + C x ( −1) + C42 x ( −1) + C43 x ( −1) + C44 ( −1) = x − x3 + x − x + 4 4 Ta có ( 2x + y ) Câu (TH) Khai triển nhị thức Newton Lời giải ( 2x + y ) =C ( 2x) + C ( 2x ) y + C ( 2x ) y + C43 ( x ) y + C44 y Ta có = 16 x + 32 x y + 24 x y + xy + y ( x − 3y) Câu (TH) Khai triển nhị thức Newton Lời giải ( x − 3y ) = C40 x + C41 x ( −3 y ) + C42 x ( −3 y ) + C43 x ( −3 y ) + C44 ( −3 y ) 4 Ta có = x − 12 x3 y + 54 x y − 108 xy + 81y Câu (TH) Khai triển nhị thức Newton  1 x + ÷ x  Lời giải Ta có  1 1 2 1 1 41  x + ÷ = C4 ( x ) + C4 ( x )  ÷+ C4 ( x )  ÷ + C4 ( x )  ÷ + C4  ÷ x   x x  x x 1  1   = C40 x + C41 x  ÷+ C42 x + C43 ( x )  ÷+ C44  ÷ = x8 + x + x + + x x x  x x  x  Câu (TH) Khai triển nhị thức Newton   x− ÷ x   Lời giải Ta có    −1  2  −1   −1   −1   x − ÷ = C4 x + C4 x  ÷+ C4 x  ÷ + C4 x  ÷ + C4  ÷ x   x  x  x  x   −1   −1   1 = C40 x + C41 x  ÷+ C42 x + C43 x  ÷+ C44  ÷ = x − x + − + x x x x x  x  x  BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ( a + b) Câu Trong khai triển nhị thức Niu-tơn có số hạng? thuvienhoclieu.com Trang 10 thuvienhoclieu.com Vậy T =2 n −1 T = Cn0 − Cn1 + Cn2 + + ( −1) Cnk + + ( −1) Cnn k Câu 3: (NB) Tổng 2n+1 A n B n−1 n C Lời giải D Chọn D ( a + b) n k =0 Theo khai triển nhị thức Niuton ( *) ⇒ = Cn0 − C1 + L a = 1; b = −1 Với Câu 4: n = ∑ Cnk a n − k b k ( *) + ( −1) Cnk + L + ( −1) Cnn k n , ta có n≥4 (NB) Với 22 n−1 A T = Cn1 + Cn3 + Cn5 + , tổng B 2n C Lời giải n−1 D 2n − Chọn D ( a + b) n n = ∑ Cnk a n − k b k k =0 ( *) Theo khai triển nhị thức Niuton ( *) ⇒ 2n = Cn0 + C1 + …+ Cnn‐1 + Cnn a = b =1 Với , ta có ( *) ⇒ = Cn0 − C1 + L a = 1; b = −1 Với ( 1) + ( −1) Cnk + L + ( −1) Cnn ( ) k n , ta có ( 1) − ( ) ⇒ 2n = 2T Lấy Vậy T = 2n −1 P = Cnk + Cnk +1 Câu 5: (NB) Biểu thức Cnk++11 A C k n +1 B Cnk+1 C Lời giải Cnk D Chọn C Cnk + Cnk +1 = Cnk++11 Áp dụng Câu 6: (TH) Cho 16 A n Cn7 + Cn8 = Cn9+1 số nguyên dương thỏa mãn 24 18 B C thuvienhoclieu.com Giá trị số n 17 D Trang 39 thuvienhoclieu.com Lời giải Chọn A n ≥ 8; n ∈ ¥ Điều kiện : k k +1 k +1 Cn + Cn = Cn +1 Áp dụng Cn7 + Cn8 = Cn9+1 ⇔ Cn8+1 = Cn9+1 ⇔ ( n + 1) ! ( n + 1) ! = 8!( n − ) ! 9!( n − ) ! Ta có ⇔ Câu 7: 1 = ⇔ n = 16 n−7 (TH) Cho 14 A n Cnn++41 − Cnn+3 = ( n + ) số nguyên dương thỏa mãn 13 16 B C Lời giải D 15 Chọn B n∈¥ Điều kiện : n +1 n Cn + − Cn+3 = ( n + ) ⇔ ( Cnn+3 + Cnn++31 ) − Cnn+3 = ( n + ) Ta có ( n + ) ( n + 3) ⇔ Cnn++31 = ( n + ) ⇔ = 8( n + 2) 2! ⇔ n + = 8.2! ⇔ n + = 16 ⇔ n = 13 Câu 8: (TH) Cho 14 A n Cn1 + Cn2 + + Cnn = 4095 số nguyên dương thỏa mãn 16 13 B C Lời giải Giá trị n 12 D Chọn D Cn1 + Cn2 + + Cnn = 4095 ⇒ Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cnn = 4096 Ta có Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cnn = 2n Mà nên suy n = 4096 ⇔ n = 12 T = C20n + C22n + C24n + + C22nk + + C22nn Câu 9: (TH) Tổng 2n−1 A B 2 n−1 2n −1 C Lời giải D 22 n Chọn B thuvienhoclieu.com Trang 40 thuvienhoclieu.com C + C + C + = n n n n −1 Ta có T = C20n + C22n + C24n + + C22nk + + C22nn = 22 n −1 Áp dụng hệ thức trên, ta có 2021 T = C2022 + C2022 + C2022 + + C2022 Câu 10: (TH) Cho 2023 A B T = 2n Tính biểu thức 2021 2022 C Lời giải D n 2020 Chọn D Cn1 + Cn3 + Cn5 + + Cnn = 2n −1 Ta có 2021 T = C2022 + C2022 + C2022 + + C2022 = 2021 Áp dụng n = 2021 Do C0n + C1n + C 2n + + C nn Câu 11: Tính tổng 3n A B n ta kết là: n! C Lời giải D 2n+1 Chọn B ( a + b) n = Cn0 a n + Cn1a n −1b + Cn2 a n − 2b + + Cnnb n Xét khai triển: a = n  ( + 1) = Cn0 1n + Cn1.1n−1.1 + Cn2 1n−2.12 + + Cnn 1n b = Chọn ta : ⇔ 2n = C0n + C1n + C n2 + + Cnn C0n − C1n + C 2n + + ( −1) C nn n Câu 12: Tính tổng A B n ta kết là: 2n−1 C Lời giải D 2n+1 Chọn A ( a + b) n = Cn0 a n + Cn1a n −1b + Cn2 a n − 2b + + Cnnb n Xét khai triển: thuvienhoclieu.com Trang 41 thuvienhoclieu.com Chọn a =  b = −1 ( − 1) n = Cn0 1n + Cn1 1n−1 ( −1) + Cn2 1n− ( −1) + + Cnn ( −1) n ta : ⇔ = C0n − C1n + C2n + + ( −1) C nn n C02n + C22n + C2n + + C22nn Câu 13: Tính tổng A 2n−1 B ta kết là: 22 n−1 C Lời giải n D 22n+1 Chọn A ( a + b) 2n = C20n a n + C21n a n −1b + C22n a n −2b + + C22nnb n Xét khai triển: a =  22 n = C20n + C21n + C22n + + C22nn b = Chọn ta : (1) a =  = C20n − C21n + C22n − C23n + C24n + − C22nn −1 + C22nn b = −1 Chọn ta : C 02n + C22n + C42n + + C22nn =2 Từ (1) (2) suy : ( 1+ 2x + x ) 20 Câu 14: Xét khai triểm 440 A = a0 + a1x + + a40x40 Tổng B (2) 2n−1 20 S = a0 + a1 + + a40 40 C Lời giải là: 10 D Chọn C ( 1+ 2x + x ) 20 = ( 1+ x) 40 2 40 40 = C40 + C40 x + C40 x + + C40 x Xét khai triển: Chọn x=1 S = a0 + a1 + + a40 = 40 ta (C0n )2 + (C1n ) + (C 2n ) + + (Cnn ) Câu 15: Tính tổng C2nn A ta kết là: C B 2n−2 2n 22 n+1 C Lời giải D 22 n Chọn A thuvienhoclieu.com Trang 42 thuvienhoclieu.com m n (1+ x) (1+ x) = (1+ x) m+n Xét khai triển: ta có: k-2 m k-m C0m Ckn + C1m Ck-1 = Ckm+n , m ≤ k ≤ n n + C m Cn + + C m C n ( hệ số chứa ( 1+ x) ( 1+ x) n n = ( 1+ x) 2n Áp dụng với khai triển ta có hệ số chứa ( ) +(C ) C0n.C nn + C1n.Cnn−1 + + C nn.C n0 = C 2nn ⇔ C n0 n ( ) + + C nn xn xk hai vế) nên: = C2nn n.2n−1.C0n + ( n -1) n−2.3.C1n + ( n - ) n−3.32.C 2n + + 3n−1.C nn−1 Câu 16: Tính tổng ta kết là: A n n.5 B n C Lời giải n.5 n −1 D n−1 Chọn C Ta có: n.2n−1.C0n + ( n -1) 2n−2.3.C1n + ( n - ) n−3.32.C n2 + + 3n−1.C nn−1 n−1 = ∑ ( n− k) n− k−1 k k= C +2 n Câu 17: Tính tổng Cn2 Cn1 +3 n A Cnk B = n−1 ∑ n.2n−k−1.3k.Cnn−−1k−1 = n.( 2+ 3) n−1 = n.5n−1 k=0 Cn3 + + n Cn2 Cnn Cnn−1 ta kết là: n ( n − 1) C Lời giải n D n ( n + 1) Chọn D Cnk Ta có: Suy ra: Cn1 + Cnk−1 Cn2 = +3 Cn n− k + k Cn3 + + n Cn Cnn n−1 n C = n+ = n + ( n − 1) + ( n − 2) + + 2+ 1= n− n− +3 + + n n n( n + 1) thuvienhoclieu.com Trang 43 thuvienhoclieu.com ( x + ∆x ) ( x + ∆x ) Dạng Dùng hai số hạng khai triển , để tính gần ứng dụng (nếu có) ===IBÀI TẬP TỰ LUẬN ( x + ∆x ) Câu 18: Viết khai triển lũy thừa ( x + ∆x ) Lời giải = C x + C x ∆x + C x ( ∆x ) + C53.x ( ∆x ) + C54 x ( ∆x ) + C55 ( ∆x ) 5 5 Ta có: ( x + ∆x ) Câu 19: Dùng hai số hạng khai triển lũy thừa Lời giải Ta có: ( 6, 01) ( 6, 01) n để tính gần số = ( + 0,01) = C40 64 + C41 63.0, 01 + C42 ( 0, 01) + C43.6 ( 0,01) + C44 ( 0, 01) 4 ≈ C40 64 + C41 63.0, 01 ≈ 1304, 64 ( 6, 01) Vậy: ≈ 1304, 64 ( x + ∆x ) Câu 20: Dùng hai số hạng khai triển lũy thừa ( 2022, 02 ) n để tính gần số Lời giải Ta có: 5 ( 2022, 02 ) = ( 2022 + 0, 02 ) = C50 20225 + C51.20224.0, 02 + C52 20223.0, 022 + C53 20222.0,023 + C54 2022.0, 024 + C55 0, 025 ≈ C50 20225 + C51.20224.0, 02 ≈ 3,38.1016 2022,025 ≈ 3,38.1016 Vậy: ( x + ∆x ) Câu 21: Dùng hai số hạng khai triển lũy thừa Lời giải Ta có: thuvienhoclieu.com ( 4,98 ) n để tính gần số Trang 44 thuvienhoclieu.com ( 4,98 ) = ( + (−0, 02) ) = C ( −0,02 ) + C51.54 ( −0, 02 ) + C52 52 ( −0, 02 ) + C53 52 ( −0, 02 ) 5 + C54 ( −0, 02 ) + C55 ( −0, 02 ) ≈ C50 55 + C51.54 ( −0, 02 ) ≈ 3062,5 4,985 ≈ 3062,5 Vậy: Câu 22: ( x + ∆x ) Dùng hai số hạng khai triển lũy thừa ( 1999,99 ) n để tính gần số Lời giải Ta có: ( 1999,99 ) = ( 2000 + ( −0, 01) ) = C40 2000 ( −0, 01) + C41 20003 ( −0, 01) + C42 20002 ( −0, 01) + C43 2000 ( −0, 01) + C44 ( −0, 01) ≈ C40 20004 + C41 20003 ( −0, 01) ≈ 1,599968.1013 ( 1999,99 ) ≈ 1,599968.1013 Vậy: Câu 23: Tìm giá trị gần ( + x) x ( + x) ≈ 59705,1 , biết ta dùng số hạng khai triển ( + x) Lời giải = C + C x + C x + C53 92.x + C54 9.x + C55 x 5 5 Ta có: ≈ C50 95 + C51 x ≈ 59705,1 ⇒ x ≈ 0, 02 x ≈ 0, 02 Vậy Câu 24: 7, 2% / 500 Một người có triệu đồng gửi tiết kiệm ngân hàng với lãi suất năm Với giả thiết sau tháng người khơng rút tiền số tiền lãi nhập vào số tiền ban đầu Đây gọi n hình thức lãi kép Biết số tiền vốn lẫn lãi T sau tháng tính cơng thức T = T0 ( + r ) n T0 r , số tiền gởi lúc đầu lãi suất tháng Dùng hai số hạng khai triển nhị thức Niu – tơn, tính gần số tiền người nhận (cả gốc lẫn lãi) sau tháng Lời giải 7, r= % = 0, 6% / 12 Lãi suất tháng tháng thuvienhoclieu.com Trang 45 T = T0 ( + r ) Ta có: thuvienhoclieu.com n T = 500.10 ( + 0, 006 ) ≈ 500.106 ( C60 + C61 0, 006 ) ≈ 518000000 Suy ra: đồng Vậy: sau 518000 000 tháng người nhận đồng T0 Câu 25: 7, 2% / Một người có triệu đồng gửi tiết kiệm ngân hàng với lãi suất năm Với giả thiết sau năm người khơng rút tiền số tiền lãi nhập vào số tiền ban đầu Đây gọi hình thức lãi kép Biết số tiền vốn lẫn lãi T sau n T = T0 ( + r ) n năm tính cơng thức , T0 r số tiền gởi lúc đầu lãi suất năm Sau năm người nhận 386 400 000 số tiền gốc lẫn lãi số tiền đồng dùng hai số hạng khai triển nhị thức Niu – tơn Tính gần số tiền người gởi lúc đầu Lời giải T = T0 ( + r ) Ta có: n T = T0 ( + 0, 072 ) ≈ T0 C40 + C41 0, 072 ⇒ T0 ≈ 300 000 000 ( ) Suy ra: Vậy lúc đầu người gởi vào khoảng 300 000 000 đồng đồng ( x + ∆x ) Câu 26: Dùng hai số hạng khai triển lũy thừa Lời giải ( 3, 01) ( 3, 01) n ( 2,1) để so sánh = ( + 0, 01) = C40 34 + C41 33.0, 01 + C42 32 ( 0, 01) + C43 ( 0, 01) + C44 ( 0, 01) ≈ C40 34 + C41 33.0,01 ≈ 82,08 ( 2,1) = ( + 0,1) = C50 25 + C51.2 4.0,1 + C52 23 ( 0,1) + C53 2 ( 0,1) + C54 ( 0,1) + C55 ( 0,1) 5 ≈ C50 25 + C51.24.0,1 ≈ 40 Ta có: ( 3, 01) Vậy: > ( 2,1) ( − 3x ) Câu 27: Dùng hai số hạng khai triển lũy thừa x ( − 3x ) 4 để ước lượng giá trị gần ≈ 12,8 (làm tròn sau dấy phẩy hai chữ số), biết Lời giải Ta có: thuvienhoclieu.com Trang 46 ( − 3x ) thuvienhoclieu.com = C + C ( −3 x ) + C42 22 ( −3 x ) + C43 ( −3 x ) + C44 ( −3 x ) 4 ≈ C40 24 + C41 23 ( −3 x ) ≈ 16 − 96 x ( − 3x ) ≈ 12,8 ⇔ 16 − 96 x ≈ 12,8 ⇔ x ≈ 0,03 Khi đó: x ≈ 0, 03 Vậy: T= Câu 28: Dùng hai số hạng khai triển lũy thừa a T theo Lời giải Ta có: ( T = −2 + − a +C53 ( ) ) = C50 ( −2 ) + C51 − a ( −2 ) + C52 − a ( −2 ) + C54 ( ) − a ( −2 ) + C55 ( ( 1− a ( ) 1− a − 2 − a ( −2 ) ) ) để ước lượng giá trị gần ≈ C50 ( −2 ) + C51 − a ( −2 ) ≈ −32 + 80 − a Vậy: Câu 29: T ≈ −32 + 80 − a 6,8% / 100 Một người có triệu đồng gửi tiết kiệm ngân hàng với lãi suất năm Với giả thiết sau năm người khơng rút tiền số tiền lãi nhập vào số tiền ban đầu Dùng hai số hạng khai triển nhị thức Niu – tơn, tính số tiền người thu (cả gốc lẫn lãi) sau năm Lời giải Pn n P r Gọi số tiền ban đầu người gửi vào, lãi suất, số tiền nhận sau năm Pn = P ( + r ) Khi đó: Theo giả thiết: n 4   6,8   6,8  8  6,8   6,8   6,8   6,8  P4 = 108 1 + = 10 + = 10 C + C + C + C + C  4    ÷  ÷ ÷  ÷ ÷ ÷   100   100   100   100   100   100    6,8   ≈ 108 C40 + C41 ≈ 127 200 000 100   (đồng) 127 200 000 Vậy: sau năm người nhận đồng Câu 30: Số dân thời điểm tỉnh triệu người Tỉ lệ tăng dân số hàng năm tỉnh thuvienhoclieu.com Trang 47 thuvienhoclieu.com ( a + b) 5% n Sử dụng hai số hạng khai triển lũy thừa , hỏi sau 1, năm số dân tỉnh triệu người? Lời giải An n A r Gọi số dân ban đầu, tỉ lệ tăng dân số hàng năm, số dân tỉnh sau năm An = A ( + r ) n Khi đó: Theo giả thiết: n n −1 n         n −1   n  1, =  + ÷ ⇔ 1, = Cn + Cn  ÷+ C n  ÷ + + Cn  ÷ + Cn  ÷  100   100   100   100   100    ⇔ 1, ≈ Cn0 + Cn1 ⇔ 1, ≈ + 0, 05n ⇔ n ≈ 100 (năm) 1, Vậy: Sau khoảng năm số dân tỉnh triệu người Câu 31: 950 B triệu đồng ông có triệu đồng gửi hai ngân hàng khác với lãi suất 7% / 5% / năm năm Dùng hai số hạng khai triển nhị thức Niu – tơn, ước lượng sau năm số tiền hai ơng thu người nhận tiền? Lời giải Pn n r P Gọi số tiền ban đầu gửi vào ngân hàng, lãi suất, số tiền nhận sau năm Ông A có 800 Pn = P ( + r ) Khi đó: Theo giả thiết: n n n     800 1 + ÷ = 950 1 + ÷  100   100  19   n 19 19n 17n ⇔ Cn0 + Cn1 =  Cn + Cn1 = + ⇔ = ⇔ n ≈ 17, ÷⇔ 1+ 100 16  100  100 16 320 1600 16   P17 ≈ 800 000 000  C170 + C171 ÷ ≈ 192 000 000 100   Vậy: Sau 17 năm người nhận (đồng) 192 000 000 thuvienhoclieu.com đồng Trang 48 thuvienhoclieu.com BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ( x + ∆x ) Câu 1: Dùng hai số hạng khai triển 1, 04 1, 0406 A B ( 1,01) 4 để tính gần số Tìm số đó? 1, 040604 1.04060401 C D Lời giải Chọn A ( 1,01) = ( + 0.01) = C40 + C41 0,01 + C42 0,012 + C43 0,013 + C44 0,014 ( 1,01) ≈ C40 + C41.0,01 = 1,04 Khi đó: ( x + ∆x ) Câu 2: Dùng hai số hạng khai triển 32,80804 32.808 A B ( 2,01) 5 để tính gần số Tìm số đó? 32,8 32,8080401 C D Lời giải Chọn C ( 2,01) = ( + 0.01) = C50 25 + C51.24.0,01 + C52 23.0,012 + C53 22.0,013 + C54 2.0,014 + C55 0,015 ( 2,01) ≈ C50 25 + C51.24.0,01 = 32,8 Khi đó: ( x + ∆x ) Câu 3: Dùng ba số hạng khai triển 1, 08 1.0824 A B ( 1,02 ) 4 để tính gần số Tìm số đó? 1, 08243 1, 082432 C D Lời giải Chọn B ( 1,02 ) = ( + 0,02 ) = C40 + C41 0,02 + C42 0,022 + C43 0,023 + C44 0,02 4 ( 1,02 ) ≈ C40 + C41 0,02 + C42 0,022 = 1,0824 Khi đó: ( x + ∆x ) Câu 4: Dùng ba số hạng khai triển 34, 473 34, 47 A B ( 2,03) để tính gần số Tìm số đó? 34, 47308 34, 473088 C D Lời giải Chọn A thuvienhoclieu.com Trang 49 ( 2,03) thuvienhoclieu.com = ( + 0.03) = C + C51 24.0,03 + C52 23.0,032 + C53 22.0,033 + C54 2.0,034 + C55 0,035 5 ( 2,03) ≈ C50 25 + C51.24.0,03 + C52 25.0,032 = 34, 473 Khi đó: ( x + ∆x ) Câu 5: Dùng bốn số hạng khai triển 1,15 1,1592 A B ( 1,03) 5 để tính gần số Tìm số đó? 1,159274 1,15927407 C D Lời giải Chọn C ( 1,03) = ( + 0.03) = C50 + C51.0,03 + C52 0,032 + C53 0,033 + C54 0,034 + C55 0,035 ( 1,03) ≈ C50 + C51.0,03 + C52 0,032 + C53 0,033 = 1,159274 Khi đó: ( x + ∆x ) Câu 6: Dùng bốn số hạng khai triển 256, 2560963 256, 25 A B ( 4,001) 4 để tính gần số Tìm số đó? 256, 256 256, 256096 C D Lời giải Chọn A ( 4,001) = ( + 0.001) = C40 44 + C41 43.0,001 + C42 42.0,0012 + C43.43.0,0013 + C44 4.0,0014 ( 4,001) ≈ C40 44 + C41 43.0,001 + C42 42.0,0012 + C43 43.0.0013 = 256, 2560963 Khi đó: ( x + ∆x ) Câu 7: Dùng ba số hạng khai triển 32, 02 32,024 A B ( 1,0002 ) 5 để tính gần số Tìm số đó? 32, 0240072 32, 024007 C D Lời giải Chọn C ( 2,0003) = ( + 0.0003) = 25.C50 + 4.C51.0,0003 + 23.C52 0,00032 + 2 C53 0,00033 +2C54 0,00034 + C55 0,00035 thuvienhoclieu.com Trang 50 ( 2,0003) thuvienhoclieu.com ≈ C + C 4.0,0003 + C52 23.0,00032 + C53 22.0,00033 = 32,0240072 5 Khi đó: ( x + ∆x ) Câu 8: Dùng bốn số hạng khai triển đó? 1024, 25 1024, 256026 A B ( 4,0002 ) để tính gần số 1024, 25602 C Tìm số 1024, 256 D Lời giải Chọn C ( 4,0002 ) = ( + 0.0002 ) = 45.C50 + 4.C51.0,0002 + 43.C52 0,00022 + 42 C53 0,00023 +4C54 0,00024 + C55 0,00025 Khi ( 4,0002 ) đó: ≈ C50 45 + C51.44.0,0002 + C52 43.0,00022 + C53 42.0,00023 = 1024, 256026 H = C150 − 2C151 + 22 C152 − + 214 C1514 − 215 C1515 Câu 9: Tính giá trị −315 A B 315 C −1 D Lời giải Chọn D ( 1+ x) 15 = C150 + C151 x + C152 x + + C1514 x14 + C1515 x15 Chọn x = −2 C150 − 2C151 + 22 C152 − + 214 C1514 − 215 C1515 = ( − ) = −1 15 , ta 19 K = 320 C200 − 319.4.C20 + 318.4 2.C202 − − 3.419.C20 + 420.C2020 Câu 10: Tính giá trị 20 A B −7 20 C −1 D Lời giải Chọn D ( + x) 20 19 19 = 320 C200 + 319 C20 x + 318 C202 x + + 3C20 x + C2020 x 20 thuvienhoclieu.com Trang 51 thuvienhoclieu.com Chọn x = −4 19 C − 4.C20 + 318.42.C202 − − 3.419.C20 + 420.C2020 = ( − ) 20 20 19 =1 ,ta F= Câu 11: 20 Trong khai triển biểu thức 60 A B ( Chọn B Tk+1 = C5k Ta có số hạng tổng quát 3+ ) số hạng nguyên có giá trị lớn 58 20 C D Lời giải ( ) ( ) 5− k k Ta thấy bậc hai thức hai số nguyên tố, để  k∈ ¥  0 ≤ k ≤ ⇔ k = ⇒ T4 = C53  − k M ) (  kM3  ( )( ) 3 Tk+1 số nguyên T4 = 60 Vậy khai triển có giá trị lớn số hạng nguyên Câu 12: Nếu người gửi số tiền A vào ngân hàng theo thể thức lãi kép (đến kỳ hạn mà người gửi không rút lãi tiền lãi tính vào vốn kỳ kế tiếp) với lãi suất r kì sau N kì, số tiền người thu vốn lẫn lãi C = A(1 + r) N (triệu đồng) Ông An gửi 20 triệu đồng vào ngân hàng X theo thể thức lãi kép với lãi suất 8,65% quý Hãy dùng ba số hạng đầu ( + 0, 0865) khai triển tính sau q (vẫn tính lãi suất kì hạn theo q), ơng An thu số tiền vốn lẫn lãi (giả sử lãi suất năm ngân hàng X không đổi) ? 30.15645 30.14645 A triệu đồng B triệu đồng 30.14675 31.14645 C triệu đồng D triệu đồng Lời giải Chọn B C = A(1+ r ) Áp dụng công thức ( 1+ x) với A = 20 r = 8,65% , n = quí triệu = C +C x+C x +C x +C x +C x ( + 0, 0865) 5 3 5 5 ≈ C50 + C51 0, 0865 + C52 ( 0, 0865) = + 5.0, 0865 + 10 ( 0, 0865 ) = 1, 5073225 2 = C = 20.1, 5073225 = 30.14645 Vậy số tiền thu sau quý là: thuvienhoclieu.com triệu đồng Trang 52 thuvienhoclieu.com S = A( 1+ r ) Câu 13: n A Để dự báo dân số quốc gia người ta sử dụng công thức , dân số năm lấy làm mốc, dân số sau năm, tỉ lệ tăng dân số hàng năm, r = 1,5% 2015 212.942.000 Năm dân số quốc gia người Dùng ba số hạng đầu ( + 0, 015) 2020 khai triển ta ước tính số dân quốc gia vào năm gần số sau ? 229391769 329391769 A nghìn người B nghìn người 229391759 228391769 C nghìn người D nghìn người Lời giải Chọn A Lấy năm 2015 làm mốc tính dân số năm S = A( 1+ r ) Áp dụng công thức ( 1+ x) n 2015 n = 2020 − 2015 = A = 212.942.000 r = 1,5% với , = C50 + C51 x + C52 x + C53 x + C54 x + C55 x5 ( + 0, 015) ≈ C50 + C51.0, 015 + C52 ( 0, 015 ) = + 5.0, 015 + 10 ( 0, 015 ) = 1, 07725 Ước tính dân số quốc gia vào năm Vậy dân số quốc gia 229391769 2020 212.942.000 ×1, 07725 = 229391769,5 là: nghìn người thuvienhoclieu.com Trang 53 ... LUẬN S = C100 + C10 + + C1 010 Câu 1: (NB) Tính tổng sau ( a + b) Lời giải 10 10 = ∑ C10k a10−k b k k =0 Xét khai triển ( + 1) a = b =1 10 10 = C100 + C10 + + C10 Ta chọn , thu 10 S = = 102 4 Vậy...  6,8  P4 = 108 1 + = 10 + = 10 C + C + C + C + C  4    ÷  ÷ ÷  ÷ ÷ ÷   100   100   100   100   100   100    6,8   ≈ 108 C40 + C41 ≈ 127 200 000 100   (đồng)... ỗ ữ ỗ ố xứ Khai trin ca nhị thức x5 + x +10 x + A x - x +10 x - B 10 + 3+ x x x 10 + 3- x x x x5 - 10 x3 +10 x - C 10 + 3- x x x x5 +10 x +10 x + D 10 + 3+ x x x Lời giải Chọn B 5 æ 1ö - 1ö