chuyen de nhi thuc newton

NHỊ THỨC NEWTON VÀ ỨNG DỤNG CHUYÊN ĐỀ NHỊ THỨC NEWTON VÀ ỨNG DỤNG A.LÍ THUYẾT: 1.Các đẳng thức ( a + b) = 1 ( a + b) = a + b ( a + b ) = a + 2ab + b ( a + b ) = a + 3a 2b + 3ab + b3 ( a + b ) = a + 4a 3b + 6a 2b + 4ab3 + b4 2.Nhị thức Newton( Niu-tơn) a.Định lí: ( a + b) n = Cn0 a n + Cn1 a n−1b + + Cnn−1ab n −1 + Cnnb n = ∑ Cnk a n − k b k n k =0 Kết quả: n * ( a − b ) =  a + ( −b )  = ∑ C a n n k =0 k n n−k ( −b ) k n = ∑ ( −1) Cnk a n − k b k k k =0 n k k n n * ( + x ) = ∑ Cn x = Cn + Cn x + + Cn x n k =0 b.Tính chất cơng thức nhị thức Niu-tơn ( a + b ) : -Số số hạng công thức n+1 -Tổng số mũ a b số hạng luôn số mũ nhị thức: (n-k)+k=n k n−k k -Số hạng tổng quát nhị thức là: Tk +1 = Cn a b n (Đó số hạng thứ k+1 khai triển ( a + b ) ) -Các hệ số nhị thức cách hai số hạng đầu, cuối n n n −1 - = Cn + Cn + + Cn n - = Cn0 − Cn1 + + ( −1) Cnn -Tam giác pascal: Khi viết hệ số với n = 0,1,2, ta bảng n k n NHỊ THỨC NEWTON VÀ ỨNG DỤNG 1 1 2 5 10 10 Trong tam giác số này, hàng thứ hai, số hàng thứ n từ cột thứ hai đến cột n-1 tổng hai số đứng hàng cột cột trước Sơ dĩ có quan hệ có cơng thức truy hồi Cnk = Cnk−−11 + Cnk−1 (Với < k < n) 3.Một sô cơng thức khai triển hay sử dụng: • n = ( + 1) = ∑ Cnk =Cnn + Cnn −1 + + Cn0 n n k =0 • n = ( − 1) = ∑ ( −1) Cnk =Cn0 − Cn1 + + ( −1) Cnn n k n k =0 • • • ( 1+ x) n ( 1− x) n ( x − 1) n n = ∑ Cnk x n − k =Cn0 x n + Cn1 x n −1 + + Cnn x k =0 n = ∑ ( −1) Cnk x k =Cn0 x − Cn1 x1 + + ( −1) Cnn x n n n k =0 n = ∑ ( −1) Cnk x n − k =Cn0 x n − Cn1 x n −1 + + ( −1) Cnn x k n k =0 4.Dấu hiệu nhận biết sử dụng nhị thức newton n a.Khi cần chứng minh đẳng thức hay bất đẳng thức mà có ∑C i =1 i n với i số tự nhiên liên tiếp n b Trong biểu thức có ∑ i ( i − 1) C i =1 • i n n Trong biểu thức có ∑( i + k ) C i =1 • n Trong biểu thức có ta dùng đạo hàm ( i ∈ ¥ ) ∑a C i =1 k i n i n ta nhân vế với xk lấy đạo hàm ta chọn giá trị x=a thích hợp NHỊ THỨC NEWTON VÀ ỨNG DỤNG • n Trong biểu thức có ∑ i −1 C i =1 • • i n ta lấy tích phân xác định [ a; b ] thích hợp Nếu tốn cho khai triển ( x + x a n i n ) = ∑C ( x ) ( x ) = ∑C x ( b n i =1 i n a n −i b i =1 i n a n − i ) + ib hệ số xm Cin sap cho phương trình a ( n − i ) + bi = m có nghiệm i ∈ ¥ n −1 n +1 n Cni đạt MAX i = hay i = với n lẽ, i = với n chẵn 2 B.ỨNG DỤNG CỦA NHỊ THỨC NEWTON I.Các toán hệ số nhị thức 1.Bài tốn tìm hệ số khai triển newton Ví dụ 1:(Đại học Thuỷ lợi sở II, 2000) Khai triển rút gọn đa thức: 10 14 Q ( x ) = ( + x ) + ( + x ) + + ( + x ) Ta đa thức: Xác định hệ số a9 Q ( x ) = a0 + a1 x + + a14 x14 Giải: 14 9 Hệ số x đa thức ( + x ) , ( + x ) , , ( + x ) là: C9 , C10 , , C14 Do đó: 1 1 a9 = C99 + C105 + + C149 = + 10 + 10.11 + 10.11.12 + 10.11.12.13 + 10.11.12.13.14 24 20 =11+55+220+715+2002=3003 Ví dụ 2:(ĐHBKHN-2000) Giải bất phương trình: A2 x − Ax ≤ Cx + 10 x Giải: Điều kiện: x số nguyên dương x ≥ Ta có: dất phương trình cho tương đương với: ( x − 1) x − x − x ≤ ( x − ) ( x − 1) + 10 ( ) 3! x ⇔ x ( x − 1) − x ( x − ) ≤ ( x − ) ( x − 1) + 10 9 10 ⇔ x ≤ 12 ⇔ x ≤ Vì x nghiệm nguyên dương x ≥ nên x ∈ { 3; 4} Ví dụ 3: (ĐH KA 2004) Tìm hệ số x8 khai triển đa thức của: 1 + x ( − x )  Giải: k k  k  i Cách 1: Ta có: f ( x ) = ∑ C  x ( − x )  = ∑ C x  ∑ ( −1) Cki x i  k =0 k =0  i =0  k 8 k 2k NHỊ THỨC NEWTON VÀ ỨNG DỤNG  i = 0 ≤ i ≤ k ≤    k = i Vậy ta có hệ số x8 là: ( −1) C8k Cki thoã  2k + i = ⇒  i = i, k ∈ ¥    k = Hệ số khai triển x8 là: Cách 2: Ta có: ( −1) C84C40 + ( −1) C83C32 =238 f ( x ) = C80 + + C83  x ( − x )  + C84  x ( − x )  + + C88  x ( − x )  Nhận thấy: x8 có số hạng: • Số hạng thứ 4: C83  x ( − x )  • Số hạng thứ 5: C84  x ( − x )  4 Với hệ số tương đương với: A8= C8 C3 + C8 C4 =238 Ví dụ 4:(ĐH HCQG, 2000) 12  1 a) Tìm hệ số x khai triển  + ÷  x b) Cho biết tổng tất hệ sô khai triển nhị thức ( x + 1) 1024 Hãy n tìm hệ số a ( a ∈ ¥ *) số hạng ax12 khai triển đó.( ĐHSPHN, khối D,2000) Giải: a) Số hạng thứ (k+1) khai triển là: k k 12 − x   ak = C12 x  ÷ = C12k x12− k ( ≤ k ≤ 12 ) x Ta chọn 12 − 2k = ⇔ k = 2 Vậy số hạng thứ khai triển chứa x8 có hệ số là: C12 = 66 n k 2n k k 12 − k b) Ta có: ( + x ) = ∑ Cn x = Cn + Cn x + + Cn x k =0 n Với x=1 thì: = C + Cn + + Cn = 1024 ⇔ 2n = 210 ⇔ n = 10 Do hệ số a (của x12) là: C10 = 210 Ví dụ 5:(HVKTQS, 2000) Khai triển đa thức: P ( x ) = (1 + x )12 = a0 + a1 x + + a12 x12 n n Tìm max ( a0 , a1 , a2 , , a12 ) Giải: Gọi ak hệ số lớn khai triển suy ra: ak > ak −1 Từ ta có hệ phương trình: NHỊ THỨC NEWTON VÀ ỨNG DỤNG 2  k ≥ 12 − k +  2k C12k ≥ 2k −1 C12k −1 ⇔  k k k +1 k +1  ≥  C12 ≥ C12 12 − k k + ⇒ max ( a0 , a1 , a2 , , a12 ) = a8 = C128 218 = 126720 2.Bài tốn tìm sơ hạng khai triển newton Ví dụ 6: Tìm số hạng thứ 21 khai triển: ( − 3x ) 25 Giải: 20 Số hạng thứ 21 khai triển là: C2520 25 ( −3 x ) = C2520 25320 x 20 Ví dụ 7: a Tìm số hạng đứng khai triển sau ( x + xy )  b Tìm số hạng đứng khai triển sau  x x +   Giải: a Khai triển ( x + xy ) 20 21 20 ( xy )  ÷ ÷  có 21+1=22 số hạng nên có hai số hạng đứng số thứ 11 12 • • 10 Số hạng thứ 11 là: C21 ( x3 ) 11 Số hạng thứ 12 là: C21 ( x3 )  b Khai triển  x x +   11 ( xy ) 10 10 43 10 = C21 x y 10 ( xy ) 11 10 41 11 = C21 x y 20 ( xy )  ÷ có 20+1=21 số hạng Nên số hạng đứng số ÷  10 10 65 20 − −   21  10    10 3 x xy = C x y số hạng thứ   + = 16 : C20 ( )  ÷  20 ÷ 2     ( Với [x] ký hiệu phần nguyên x nghĩa sô nguyên lớn khơng vượt q x) Ví dụ 8: (ĐH Khối D-2004) Tìm số hạng khơng chứa x khai triển  3 f ( x ) =  x + ÷ với x > x  Giải: k 7 7−k   − k k k 12 = C x Số hạng tổng quát khai triển: Tk +1 = C7 x ( k ∈ ¥ , k ≤ 7) 4 ÷  x 7 Ứng với số hạng không chứa x ta có: − k = ⇔ k = 12 Vậy số hạng không chứa x khai triển f ( x ) là: C7 = 35 ( ) Ví dụ 9: (ĐH SPHN-2001) Cho khai triển nhị thức: NHỊ THỨC NEWTON VÀ ỨNG DỤNG 10 1  10  + x ÷ = a0 + a1 x + + a9 x + a10 x 3  Hãy tìm số hạng ak lớn Giải: 10 1 n 10 k 1  Ta có:  + x ÷ = 10 ( + x ) = 10 ∑ C10k ( x ) ⇒ ak = 10 C10k 2k 3 k =0 3  Ta có ak đạt max C10k 2k ≥ C10k +1 2k +1 ak ≥ ak +1 ⇒ ⇔ k k k −1 k −1 ak ≥ ak −1 C10 ≥ C10  2k10! 2k10!   k ! 10 − k ! ≥ k + ! − k ! ≥  ( ) ( ) ( ) 22  10 − k k + 19 ⇔ ⇔ ⇔ ≤k≤ k k 3 10!  10! ≥ 2 ≥  k !( 10 − k ) ! ( k − 1) !( 11 − k ) !  k 11 − k  ⇒ k = ( k ∈ ¥ , k ∈ [ 0,10] ) Vậy max ak = a7 = 27 C10 310 Bài tập áp dụng Bài 1: (ĐH TK-2002) Gọi a1, a2,…, a11 hệ số khai triển sau: ( x + 1) ( x + ) = x11 + a1 x10 + + a11 Hãy tìm hệ số a5 10 Bài 2: Tìm hệ số x5 khai triển x ( − x ) + x ( + x ) ( Khối D-2007) Bài 3: Tìm hệ số x5y3z6t6 khai triển đa thức ( x + y + z + t ) ( Đề “TH&TT” -2003) Bài 4: (TT ĐH- chuyên Phan Bội Châu-Nghệ An) Xác định hệ số x11 khai triển 20 đa thức: ( x + ) n ( 3x + 1) biết: n C22nn − 3C22nn −1 + + ( −1) 3k C22nn − k + + 32 n C20n = 1024 k n   Bài 5: (LAISAC) Khai triển P ( x ) =  x + ÷ ta 2x   3n n −5 n −10 P ( x ) = a0 x + a1 x + a2 x + Biết ba hệ số đầu a0, a1, a2 lập thành cấp số cộng Tính số hạng thứ x4 II Áp dụng nhị thứ Newton để chứng minh hệ thức tính tổng tổ hợp Thuần nhị thức Newton k n−k k Dấu hiệu nhận biết: Khi số hạng tổng có dạng Cn a b ta n k n−k k dùng trực tiếp nhị thức Newton: ( a + b ) = ∑ Cn a b Việc lại n k =0 NHỊ THỨC NEWTON VÀ ỨNG DỤNG khéo léo chọn a,b 16 15 14 16 Ví dụ 10: Tính tổng C16 − C16 + C16 − + C16 Giải: Dễ dàng thấy tổng có dạng dấu hiệu nêu Ta chọn a=3, b=-1 Khi tổng (3-1)16=216 Ví dụ 11: ( ĐH Hàng Hải-2000) Chứng minh rằng: C20n + 32 C22n + 34 C24n + + 32 n C22nn = 22 n −1 ( 22 n + 1) Giải: x + C22nn x n ( 1) ( + x ) = C + C x + C x + + C 2n ( − x ) = C20n − C21n x + C22n x + − C22nn−1 x n−1 + C22nn x n ( ) 2n 2n 2n 2n n −1 n −1 2n Lấy (1) + (2) ta được: 2n 2n ( + x ) + ( − x ) = C20n + C22n x + + C22nn x n  ( 4) 2n + ( −2 ) 2n = C20n + C22n 32 + + C22nn 32 n  24 n + 22 n ⇔ = C20n + C22n 32 + + C22nn 32 n 2 n Chọn x=3 suy ra: ( 22 n + 1) ⇔ = C20n + C22n 32 + + C22nn 32 n ⇔ 22 n −1 (22 n + 1) = C20n + C22n 32 + + C22nn 32 n ⇒ ĐPCM 2.Sử dụng đạo hàm cấp 1,2 a.Đạo hàm cấp Dấu hiệu: Khi hệ số đứng trước tổ hợp tăng dần giảm dần từ 1,2,3,…,n hay n, k k n − k k −1 …,3,2,1 tức số hạng có dạng kCn kCn a b ta dùng đạo hàm cấp để tính Cụ thể: n ( a + x ) = Cn0 a n + 2Cn1a n−1 x + + nCnn ax n Lấy đạo hàm hai vế theo x ta được: n −1 n ( a + x ) = Cn1 a n −1 + 2Cn2 a n− + + nCnn ax n−1 ( 1) Đến thay x,a số thích hợp ta tổng cần tìm Ví dụ 12:(ĐH BKHN-1999) Tính tổng Cn1 − 2Cn2 + 3Cn3 − 4Cn4 + + ( −1) n −1 nCnn Giải: Ta thấy tổng cần tính có dạng VP(1) Việc cịn lại cần chọn a=1,x=-1 ta tính tổng băng NHỊ THỨC NEWTON VÀ ỨNG DỤNG k k −1 Cách khác: Sử dụng đẳng thức kCn = nCn −1 ta tính tổng bằng: nCn0−1 − nCn1−1 + nCn2−1 + + ( −1) n −1 nCnn−−11 = n ( − 1) n −1 =0 2007 Ví dụ 13:Tính tổng: 2008C2007 + 2007C2007 + + C2007 Giải: Hệ số trước tổ hợp giảm dần từ 2008,2007,…,1 nên dùng đạo hàm điều dễ hiểu: 2007 2007 x 2007 + C2007 x 2006 + + C2007 ( x + 1) = C2007 2006 Bây đạo lấy đạo hàm 2007C2007 x đề đến 2008 ta phải nhân thêm với x vào đẳng thức dùng đạo hàm: x ( x + 1) 2007 2007 = C2007 x 2008 + C2007 x 2007 + + C2007 x 2007 ⇔ ( x + 1) x 2007 + 2007C2007 x 2006 + + C2007 ( 2008 x + 1) = 2008C2007 Thay x=1 vào ta tìm tổng 2009.22006 b.Đạo hàm cấp 2006 Dấu hiệu: Khi hệ số đứng trước tổ hợp có dạng 1.2,2.3,…,(n-1)n hay (n-1)n, k n−k …,3.2,2.1 hay 12,22,…,n2 (không kể dấu) tức có dạng k (k − 1)Cn a hay tổng quát k ( k − 1) Cnk a n − k b k ta dùng đạo hàm đến cấp để tính Xét đa thức ( a + bx ) n = Cn0 + Cn1 a n −1bx + + Cnnb n x n Khi đạo hàm hai vế theo x ta được: n −1 bn ( a + bx ) = Cn1 a n −1b + 2Cn2 a n − 2b x + nCnnb n x n −1 Đạo hàm lần nữa: b n ( n − 1) ( a + bx n − ) = 2.1Cn2 a n− 2b + + n ( n − 1) Cnnb n x n −1 ( ) Đến ta gần giải xong ví dụ tốn việc thay a,b,x số thích hợp thơi Ví dụ14: (ĐH AN-CS Khối A 1998) Cho f ( x ) = ( + x ) , ( ≤ n ≤ ¢ ) n a.Tính f ′′ ( 1) b.Chứng minh răng: 2.1Cn2 + 3.2Cn3 + + ( n − 1) nCnn = n ( n − 1) 2n −2 a f ′′ ( x ) = n ( + x ) b Ta có n −1 Giải: n−2 ⇒ f ′′ ( x ) = n ( n − 1) ( + x ) ⇒ f ′′(1) = n(1 + x) n − NHỊ THỨC NEWTON VÀ ỨNG DỤNG n n f ( x ) = ( + x ) = ∑ C x = C + C x + ∑ Cnk x k n k =1 k n k n n k =2 n f ′ ( x ) = Cn1 + ∑ kCnk x k −1 k =2 n f ′′ ( x ) = ∑ k ( k − 1) Cnk x k − k =2 n ⇒ f ′′ ( 1) = ∑ k ( k − 1) Cnk = 2n − k =1 ⇒ 2.1C + 3.2Cn2 + + ( p + 1) Cnp + + ( n + 1) nCnn = n ( nĐ + 1) 2 n −1 (   PCM ) n Từ câu b thay (n-1)=(n+1) ta có tốn khác: p n n −2 b’ Chứng minh rằng: 2.1Cn + 3.2Cn + + ( n + 1) pCn + + ( n + 1) nCn = n ( n + 1) Với toán ta giải sau: n Xét nhị thức: ( + x ) = Cn0 + Cn1 x + + Cnn x n Nhân vế đẳng thức với x ≠ đồng thời lấy đạo hàm cấp hai vế theo biến x ta n −1 n−2 được: 2n ( + x ) + n ( n − 1) x ( + x ) = 2Cn1 x + 3.2Cn2 x + + ( n + 1) nCnn x n −1 Cho x=2 ta ĐPCM Bài tập áp dụng Bài 1:(CĐSP Bến Tre Khối A-2002) Chứng minh rằng: 1 19 C20 + C20 + + C20 = 219 2004 Bài 2:(CĐ Khối T-M-2004)Chứng minh : C2004 + 22 C2004 + + 22004 C2004 = Bài 3:(ĐHKTQD-2000) Chứng minh: n ( + x ) = 1.2n −1.Cn1 + 2.2n−2.Cn2 + 3.2n−2.Cn2 + + nCnn = n.3n−1 ( ∀1 ≤ n ∈ ¢ ) 2008 2 2007 2009 Bài 4: Rút gọn tổng: C2009 + C2009 + + 2009 C2009 III.Một số phương pháp khác: 0 ≤ m ∈ k ≤ n Ví dụ 15: (ĐHQG TP.HCM 1997) Cho   k , m, n ∈ Z k k −1 k −m m k Chứng minh: Cn Cm + Cn Cm + + Cn Cm = Cn + m Giải: m m m ( + x ) = Cm + Cm x + + Cm x  n  Ta có : ( + x ) = Cn0 x n + Cn1 x n −1 + + Cnn  m+ n = Cm0 + n + Cm1 + n x + + Cmm++nn x m + n ( + x ) k k −1 m k −m Suy hệ số xk (1+x)n (1+x)m CmCn + CmCn + + Cm Cn k Và hệ số xk khai (1+x)m+n Cm + n Đồng thức: (1+x)n (1+x)m = (1+x)n+m 32004 + NHỊ THỨC NEWTON VÀ ỨNG DỤNG k k −1 k −m m k Ta được: Cn Cm + Cn Cm + + Cn Cm = Cn + m ⇒ ĐPCM Ví dụ16: (Đề2-TH&TT-2008) S2= ( Cn1 ) + ( Cn2 ) + + n ( Cnn ) với n số tự nhiên lẽ 2 Giải: Ta có: ( S = (C ( ) + ( n − 1) ( C ) n n −1 n ) ) +n + + ( C ) ) + n n ( Cn1 ) + ( Cn2 ) + + ( Cnn −1 ) = n ( Cnn +1 ) + ( Cn2 ) n −1 n ( 2 2   n −   n2−1     n +   n2+1   + +   Cn ÷÷ +   Cn ÷÷ + n ( Cnn )   ÷ ÷   ÷  ÷       2 ⇒ 2S n = n ( Cn1 ) + ( Cn2 ) + + ( Cnn )  + n   Mặt khác ta có: ( + x ) 2n = C20n + C21n x + + C22nn x n ⇒ hệ số xn là: C2nn (*) Trong đó: ( + x ) = Cn0 + Cn1 x + + Cnn x n n Nên hệ số xn ( Cn1 ) + ( Cn2 ) + + ( Cnn ) (**) 2 n 2 n Từ (*) (**) ⇒ C2 n − = n ( Cn ) + ( Cn ) + + ( Cn )    n n ⇒ S n = CĐ PCM 2n ⇒ Bài tập áp dụng Bài 1: Chứng minh rằng: n −1 n −1 n n −1 a) Cn + 2Cn + + nCn = n.4 (ĐH Luật-2001) 2 2 n n−2 b) Cn + Cn + + n Cn = n ( n + 1) ( Đề 1-TH&TT-2008) Bài 2: Tính tổng sau: 28 29 a) C30 + 3.2 C30 + 5.2 C30 + + 29.2 C30 n Cn1 Cn2 n Cn b) C − + − + ( −1) n +1 n Bài 3: Đặt Tk = ( −1) k +1 3n 3k C62nk +1 Chứng minh ∑ Tk = k =1 10 ... dụng nhị thứ Newton để chứng minh hệ thức tính tổng tổ hợp Thuần nhị thức Newton k n−k k Dấu hiệu nhận biết: Khi số hạng tổng có dạng Cn a b ta n k n−k k dùng trực tiếp nhị thức Newton: ( a +... i = hay i = với n lẽ, i = với n chẵn 2 B.ỨNG DỤNG CỦA NHỊ THỨC NEWTON I.Các toán hệ số nhị thức 1.Bài toán tìm hệ số khai triển newton Ví dụ 1:(Đại học Thuỷ lợi sở II, 2000) Khai triển rút gọn... Cnn x k n k =0 4.Dấu hiệu nhận biết sử dụng nhị thức newton n a.Khi cần chứng minh đẳng thức hay bất đẳng thức mà có ∑C i =1 i n với i số tự nhi? ?n liên tiếp n b Trong biểu thức có ∑ i ( i − 1)