Chuyên để Nhị thức Newton và công thức tổ hợp - 2 pot

Chuyên đề Nhị thức Newton công thức tổ hợp 10 Tốn Chun đề Nhị thức Newton cơng thức tổ hợp 10 Toán Hai quy tắc đếm I Quy tắc cộng Giả sử công việc A tiến hành theo phương án A ,.A …An Mỗi phương án có số cách thực theo thứ tự x ,x ,…x n Khi dó số cách thực cơng việc A cho quy tắc cộng n S = x +x +……x n = ∑x i =1 i Phương pháp giải toán Muốn đếm số cách lựa chọn để thực công việc A cách quy tắc cộng ta thực bước sau: Bước 1: phân tích xem có phương án riêng biệt để tiến hành thực công việc A Bước 2: đếm số cách lựa chọn x ,x ,…x n tương ứng với phương án A ,A …A n Bước 3: dùng quy tắc cộng ta tính số cách lựa chọn để thực công việc A là: n S = x + x +…+ x n = ∑ xi i =1 Ví dụ 1: Có 10 sách tốn khác nhau, sách vât lý khác sách hóa học khác nhau, học sinh chọn hỏi có cách chọn Giải Có phương án Phương án 1: Chọn sách toán 10 cách chọn Phương án 2: chọn sách vật lý cách chọn Phương án 3: chọn sách hóa học cách chọn Vậy số cách chọn S = 10 + + = 24 Chuyên đề Nhị thức Newton công thức tổ hợp 10 Tốn Ví dụ 2: Từ thành phố A đến thành phố B có đường đường thủy Cần chọn đường để từ A đến B Hỏi có cách chọn ? Giải Để từ thành phố A đến thành phố B ta có phương án : đường đường thủy : Đường : đường có cách chọn Đường thủy : đường có cách chọn Và phương án độc lập với Vậy theo qui tắc cộng ta có tất cả: S= + = cách chọn Ví dụ 3: Một nhà hàng có loại rượu, loại bia, loại nước Một thực khách cần chọn loại thức uống Hỏi có cách chọn ? Giải Thực khách có phương án chọn : Hoặc chọn rượu: cách chọn Hoặc chọn bia: cách chọn Hoặc chọn nước : cách chọn Theo qui tắc cộng thực khách có tất : + + = cách chọn loại thức uống II Quy tắc nhân Giả sử công việc A bao gồm n công đoạn A ,A ….A n Mổi cơng đoạn có số cách thực theo thứ tự x x ….x n số cách thực công việc A cho quy tắc nhân S=x x ….x = Π xi n Phương pháp giải toán Muốn đếm số cách lựa chọn để thực công việc A quy tắc nhân ta thực bước sau Bước phân tích xem có cơng đoạn lien tiếp cần phải tiến hành để thực công việc A Bước đềm số cách chọn x ,x … x n tương ứng với công đoạn A ,A ………A n Bước dùng quy tắc nhân ta có số cách lựa chọn để thực cơng việc A S=x x ….x n = ∏ xi Chuyên đề Nhị thức Newton công thức tổ hợp 10 Tốn Ví dụ 1: Một lớp có 30 học sinh cần cử cán lớp gồm lớp trưởng lớp phó thủ quỹ Hỏi có cách chọn biết học sinh làm khơng q nhiệm vụ ban cán Giải Ta chia việc chon ban cán thành công đoạn liên tiếp Bước chọn lớp trưởng 30 cách Bước chọn lớp phó 29 cách Bước chọn thủ quỹ 28 cách Vậy S = 30.29.28 = 24360 cách Ví dụ 2: Từ Hà Nội đến Huế có cách : máy bay, tơ, tàu hỏa Từ Huế đến Sài Gịn có cách đi: máy bay, tơ, tàu hỏa, tàu thủy Hỏi có cách Hà Nội - Huế - Sài Gịn ? Giải Ta xem việc Hà Nội - Huế - Sài Gòn công việc tiến hành theo giai đoạn liên tiếp : Giai đoạn : từ Hà Nội đến Huế : có cách Giai đoạn : từ Huế đến Sài Gòn : ứng với cách giai đoạn ta có cách để hồn thành giai đoạn Vậy theo ngun lí nhân có tất : 3.4 = 12 cách Hà Nội - Huế - Sài Gòn Ví dụ 3: Có số tự nhiên có chữ số khác tạo thành từ chữ số 5, 6, 7, 8, ? Số cần lập có dạng: a1a2 a3 Số cách chọn: a1: cách chọn a2 : cách chọn a3 : cách chọn Giải Vậy có tất 3.4.5 = 60 cách chọn Chuyên đề Nhị thức Newton cơng thức tổ hợp 10 Tốn Hốn vị Chỉnh hợp Tổ hợp I Hoán vị Định nghĩa Cho tập hợp X gồm n phần tử xếp n phần tử theo thứ tự ta hoán vị phần tử tập hợp X Cho số nguyên dương n số cac hoán vị tập hợp có n phần tử P n = n!= 1.2.3 (n − 1).n Hốn vị vịng: Cho tập A gồm n phần tử n ≥ 1 Mỗi kết xếp thứ tự n phần tử tập hợp A theo vòng kép kín gọi hốn vị vịng n phần tử Số hốn vị vịng n phần tử : Pn-1=(n-1) ! Ví dụ Ví dụ 1: Có cách xếp bạn A, B, C ngồi vào bàn dài có chỗ ngồi ? Giải Cần xếp bạn vào chỗ cách hoán vị phần tử, có tất cả: P3 = 3! = 1.2.3 = cách xếp Các hốn vị : ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA Ví dụ 2: Có số có chữ số đơi khác lập từ số 2, 6, 7, ? Giải Mỗi số thành lập hoán vị phần tử Vậy ta có tất : P4 = ! = 24 số Vậy có tất 24 số lập Ví dụ 3: Có đa giác nhận n điểm A, B, …, L làm đỉnh ? Giải Ta hốn vị vòng đỉnh theo hai chiều theo 2n cách khác mà đa giác không thay đổi nên số đa giác : P ( n − 1) ! n −1 = Chuyên đề Nhị thức Newton cơng thức tổ hợp 10 Tốn Ví dụ 4: Có cách xếp n đại biểu ngồi quanh bàn tròn ? Giải Vị trí tương đối đại biểu hồn tồn khơng đổi ta hốn vị vịng họ theo chiều định ( chẳng hạn n hoán vị ABC…KL, BCA…LA, CD…LAB ) nghĩa hoán vị vịng khơng có phần tử cuối phần tử thứ Vậy số cách xếp : n! = ( n − 1) ! = Pn −1 n II Chỉnh hợp Định nghĩa Cho tập hợp X cò n phần tử cho số nguyên k với ≤ k ≤ n lấy k phần tử X xếp chúng theo thứ tự ta chỉnh hợp chập k n phần tử X Cho số nguyên n k với ≤ k ≤ n Khi số chỉnh hợp chập k tập hợp có n phần tử k An = n(n − 1)(n − 2) (n − k + 1) k A n = n! (n − k )! n Chú ý : An = Pn = n!  Chỉnh hợp lặp: Chỉnh hợp lập chập k n phần tử nhóm có thứ tự gồm k phần tử cho, đó phần tử có mặt 1, 2, 3, …, k lần nhóm tạo thành k Kí hiệu An số chỉnh hợp lặp chập k n phần tử k An = n k Ví dụ Ví dụ 1: Có số tự nhiên gồm chữ số khác lập từ chữ số 1, 2, 3, ,9 Giải Mỗi số tự nhiên có chữ số khác lập cách lấy chữ số khác từ chín chữ số cho xếp theo thứ tự định Mỗi số coi chỉnh hợp chập Vậy có tất : A9 = 120 Chuyên đề Nhị thức Newton cơng thức tổ hợp 10 Tốn Ví dụ 2: Trong mặt phẳng cho 10 điểm phân biệt Có vectơ khác vectơ có điểm đầu điểm cuối thuộc tập điểm cho Giải Mỗi vectơ chỉnh hợp 10 chập tập điểm cho Với bạn người có cách lựa chọn : mời không mời Kết người có 2n cách lựa chọn ( kể không mời người ) Vậy số cách chọn : S = A10 = 90 Ví dụ 3: Một người tổ chức buổi tiệc sinh nhật muốn mời số n bạn đến chung vui Hỏi có cách lựa chọn? Giải Với bạn người có cách lựa chọn : mời khơng mời Kết người có 2n cách lựa chọn ( kể khơng mời người ) Ví dụ 4: Chúng ta muốn thiết lập 18000 từ khóa khác dùng 26 chữ tiếng Anh Các từ khóa có chiều dài ngắn tố Hỏi cần dùng từ khóa có chiều dài là đủ số lượng theo yêu cầu ? Giải Ta thấy tổng số từ có chiều dài n số chỉnh hợp lặp 26 chữ cái, nghĩa có 26n chữ khác có chiều dài n Do 261 + 262 + 263 = 18278 Nên cần từ khố có chiều dài khơng q kí tự đủ số lượng theo yêu cầu III Tổ hợp Định nghĩa Cho tập hợp X có n phần tử vá cho số nguyên k với ≤ k ≤ n Mỗi tập hợp X có k phần tử gọi tở hợp chập k n phần tử X cho số nguyên n k với ≤ k ≤ n số tổ hợp chập k tổ hợp có n phần tử : k C Ta quy ước k n = A C n k! n = n! (n − k )!k! = 1, An = Chuyên đề Nhị thức Newton cơng thức tổ hợp 10 Tốn  Tổ hợp lặp: Cho tập hợp A có n phần tử, tổ hợp chập k có lặp lại gọi tổ hợp lặp n phần tử nhóm khơng kể thứ tự gồm k vật vật lặp lại nhiều lần Ví dụ: abcd, aabc, aaaa,… tổ hợp chập có lặp lại tập gồm n phần tử a, b, c, d,…,l k Định lí tổ hợp lặp: Có tất Cn + k −1 tổ hợp lặp chập k n phần tử  Tổ hợp phức (hoán vị lặp): Tổng số cách để phân phối n đối tượng phân biệt vào k hộp H1, H2, ,Hk cho r1 đối tượng phân biệt vào hộp H 1, r2 đối tượng phân biệt vào hộp H2, ., rk đối tượng phân biệt vào hộp Hk n! n = r1 + r2 +… + rk r1 ! r2 ! rk ! 2.Ví dụ Ví dụ 1: Một tổ có 10 người gồm nam nữ Cần lập đoàn đại biểu gồm người Hỏi a) Có cách lập? b) Có cách lập gồm nam nữ Giải a) Mỗi đoàn đại biểu lập tổ hợp chập 10 Do đó, số đồn đại biểu lập : C10 = 10! = 252 5!( 10 − ) ! b) Chọn người từ người nam :C63 cách Chọn người từ người nữ : C cách Vậy theo quy tắc nhân có C6 C4 = 120 cách thành lập Ví dụ 2: Với mẫu tự chữ LAP LAI tạo chữ khác ( khơng cần có nghĩa ) ? Giải Mỗi chữ hoán vị mẫu tự gồm mẫu tự L, mẫu tự A, mẫu tự B mẫu tự I 6! Vậy có tất : = 180 cách 2!2!1!1! Ví dụ 3: Để chia 17 người thành Giải nhóm người, nhóm nhóm: người, nhóm người nhóm người có cách chia? Chuyên đề Nhị thức Newton cơng thức tổ hợp Có tất : 10 Tốn 17! = 49008960 cách 5!2!7!3! Ví dụ 4: Có nghiệm tự nhiên phương trình x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 17 Giải Để đếm số nghiệm tự nhiên phương trình xét phân phối 17 giống vật giống vào hộp dán nhãn r1 , r2 , r3 , r4 , r5 Số vật hộp ri thể giá trị ri Khi thấy phân phối tương ứng 1- với nghiệm tự nhiên phương trình cho Như phương trình có 17 17 C5+17 −1 = C21 = 5985 nghiệm tự nhiên 10 Chuyên đề Nhị thức Newton cơng thức tổ hợp 11 10 Tốn Chuyên đề Nhị thức Newton công thức tổ hợp Nguyên lý bù trừ 1.Định nghĩa 2.Ví dụ Ví dụ 1: Giải 12 10 Toán Chuyên đề Nhị thức Newton cơng thức tổ hợp Ví dụ 2: Giải 13 10 Tốn Chun đề Nhị thức Newton cơng thức tổ hợp 14 10 Toán Chuyên đề Nhị thức Newton cơng thức tổ hợp 15 10 Tốn Chun đề Nhị thức Newton công thức tổ hợp 16 10 Toán ... công thức tổ hợp Nguyên lý bù trừ 1.Định nghĩa 2. Ví dụ Ví dụ 1: Giải 12 10 Tốn Chun đề Nhị thức Newton cơng thức tổ hợp Ví dụ 2: Giải 13 10 Tốn Chun đề Nhị thức Newton công thức tổ hợp 14 10... n k! n = n! (n − k )!k! = 1, An = Chuyên đề Nhị thức Newton công thức tổ hợp 10 Toán  Tổ hợp lặp: Cho tập hợp A có n phần tử, tổ hợp chập k có lặp lại gọi tổ hợp lặp n phần tử nhóm khơng kể thứ... 1- với nghiệm tự nhiên phương trình cho Như phương trình có 17 17 C5+17 −1 = C21 = 5985 nghiệm tự nhiên 10 Chuyên đề Nhị thức Newton cơng thức tổ hợp 11 10 Tốn Chun đề Nhị thức Newton công thức