CHUYÊN ĐỀ 5:Các bài toán hình học phẳng mang yếu tố chuyển động. doc

Bài 1: Cho đường tròn O và dây cung BC cố định.Gọi A là điểm di động trên cung lớn BC của đường tròn O, A khác B,C.Tia phân giác của góc ACB cắt đường tròn O tại điểm D khác C, lấy điểm

CHUYÊN ĐỀ 5: Các bài toán hình học phẳng

mang yếu tố chuyển động.

Bài 1: Cho đường tròn (O) và dây cung BC cố định.Gọi A là điểm di động trên

cung lớn BC của đường tròn (O), (A khác B,C).Tia phân giác của góc ACB cắt

đường tròn (O) tại điểm D khác C, lấy điểm I thuộc đoạn CD sao cho DI =

DB.Đường thẳng Bi cắt đường trong (O) tại điểm K khác điểm B

1.CMR:Tam giác KAC cân

2.CMR: Đường thẳng AI luôn đi qua điểm cố định J.Từ đó tìm vị trí của A sao cho

Ai có độ dài lớn nhất

3.Trên tia đối AB lấy điểm M sao cho AM=AC.Tìm tập hợp các điểm M khi A di

động trên cung lớn BC của (O)

Giải:

1.Ta có:

DBI cân tại D nên:DBI=DIB.Mà: DIB = IBC + ICB (1)

Và: DBI = KCI = KCA + ACD = KBA + ICB (2)

Từ (1) và (2) suy ra ABI =CBI.Suy ra I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác

ABC

BI là phân giác góc B của tam giác ABCK là trung điểm cung AC

 Tam giác KAC cân

2.Vì I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên AI luôn đi qua trung điểm J

của cung nhỏ BC

Ta dễ dàng chứng minh được tam giác BIJ cân ở JJI = JB = const

Suy ra AI = AJ - IJ = AJ - const lớn nhất khi và chỉ khi AJ lớn nhất tức là AJ là

đường kính của (O) A phải nằm tại trung điểm của cung lớn BC

3.Ta dễ dàng tính được:

BMC =

2

1

.BAC =

4

1

số đo cung nhỏ BC = const

Suy ra quĩ tích điểm M là cung chứa góc nhìn BC dưới một góc bằng

4

1

số đo cung

nhỏ BC

Bài 2:Trên đường tròn tâm O bàn kính R lầy điểm A cố định và điểm B thay đổi

Đường vuông góc với AB vẽ từ A cắt đường tròn ở C

1 Chừng minh rằng BC đi qua một điểm cố định

2.Gọi AH là đừơng vuông góc vẽ từ A của tam giác ABC.Tìm tập hợp các điểm H

3 Hãy dựng tam giác vuông ABC có đỉnh A cho trước trên đường tròn BC là

đường kính và chiều cao AH = h cho trước

Giải:

1.Dễ thấy BC luôn đi qua điểm O cố định

2.Nhận thấy AHO vuông Từ đó dễ dàng chứng minh được quĩ tích của H là

đường tròn đường kính AO

3.Đường thẳng d // với BC cách BC một khoảng h cắt (O) tại hai điểm A và A' thỏa

mãn yêu cầu của bài toán

Có 4 vị trí của A thỏa mãn bài ra (Vì có hai đường thẳng d//BC thảo mãn:Cách BC

một khoảng h)

Bài 3:Cho đường tròn tâm O cố định Một đường thẳng d cố định cắt (O) tại

A,B;M là điểm chuyển động trên d (ở ngoài đoạn AB).Từ M kẻ hai tiếp tuyến MT

và MN với đường tròn

1.CMR:Đường tròn đi qua ba điểm M,N,P luôn đi qua một điểm cố định khác O

2.Tìm tập hợp các tâm I của đường tròn đi qua M,N,P

3.Tìm trên d một điểm M sao cho tam giác MNP là tam giác đều

Giải:

1.Gọi K là trung điểm của AB.Dễ thấy M,N,P,O,K đều nằm trên đường tròn đường

kính OM

Vậy K là điểm cố định cần tìm

2 Tâm I của đường tròn đi qua M,N,P là trung điểm của OM

Từ I hạ IJ vuông góc với AB.Dễ thấy IJ = (1/2).OK=const

Vậy có thể phán đoán quĩ tích của i là đường thẳng song song với AB cách AB một

khoảng bằng một nửa đoạn OK trừ đoạn XY với X,Y lần lượt là trung điểm của

OA và OB

3.Giả sử tam giác MNP đều thế thì: OM = 2.OP = 2R

MK2 = MO2 - OK2 = 4R2 - OK2 = const

Từ đó có hai điểm M thảo mãn bài ra

Bài 4:Cho hình vuông EFGH.Một góc vuông xEy quay xung quanh điểm E.Đường

thẳng Ex cắt đường thẳng FG và GH tại M,N;còn đường thẳng Ey cắt các đường

trên theo thứ tự tại P,Q

1.CMR:Hai tam giác ENP và EMQ là các tam giác vuông cân

2.Goi R là giao của PN và QM;còn I,K lần lượt là trung điểm của PN và QM.Tứ

giác EKRI là hình gì?Giải thích?

3.CMR: F,K,H,I thẳng hàng.Từ đó có nhận xét gì về đường thẳng IK khi góc

vuông xEy quay quanh E?

Giải:

1.Dễ dàng chứng minh được: EHQ = EFM (cgc)

Suy ra dễ dàng tam giác EMQ vuông cân

PEF = PQN (đồng vị) mà FEM = QEH

Suy ra: PEN = PEF + FEM = EQH + QEH = 900

Vậy tam giác PEN vuông (1)

Thấy: NEQ = PEM (gcg) nên suy ra EN = EP (2)

Từ (1) và (2) suy ra:Tam giác PEN vuông cân

2.Có: EIPN và EKQM

Vậy tứ giác EKRI có góc I và góc K vuông (4)

Lại có:

PQR = RPQ = 450 suy ra: PRQ = 900 (3)

Từ (3) và (4) suy ra tứ giác ẺIK là hình chữ nhật

3.Dễ thấy QEKH và EFMK là các tứ giác nội tiếp

Ta có:

EKH = 1800 - EQH (5)

Và: EKF = EMF =  EQH (6)

Từ (5) và (6) suy ra: EKH + EKF = 1800 Suy ra H,K,F thẳng hàng

Lại có:

Tứ giác FEPI nội tiếp nên EFI = 1800-EPI = 1800-450 = 1350

Suy ra: EFK +EFI = 450 + 1350 =1800

Suy ra K,F,I thẳng hàng

Vậy ta có đpcm

Bài 5:Cho đường tròn tâm O đường kính AB.Gọi C là điểm cố định trên OA; M là

điểm di động trên đường tròn.Qua M kẻ đường vuông góc với MC cắt các tiếp

tuyến kẻ từ A và B ở D và E

a)CMR: Tam giác DCE vuông

b)CMR: Tích AD.BE không đổi

c)CMR:Khi M chạy trên đường tròn thì trung điểm I của DE chạy trên một đường

thẳng cố định

Giải:

a)Nhận thấy các tứ giác ADMC và MABE là các tứ giác nội tiếp.Do đó:

DCM = DAM và MCE = MBE = MAB.Vậy:

DCE = DCM + MCE = DAM + MAB = 900

Ta có đpcm

b)Vì tam giác DCE vuông ở C nên ta có thể nhận thấy ngay DCA = 900 -ECB

=CEB

Vậy hai tam giác vuông ADC và BCE đồng dạng với nhau.Nên:

.

.BE BC AC const AD

BE

AC

BC

AD









c)Nhận thấy OI luôn là đường trung bình của hình thang DABE hay nói cách

khác,ta luôn có OIAB

Vậy khi M chuyển động trên (O) thì I luôn nằm trên đường thẳng qua O vuông góc

với AB

Bài 6:Cho tam giác ABC cân (AB=AC) nội tiếp đường tròn tâm O.M là điểm bất

kỳ chạy trên đáy BC.Qua M vẽ đường tròn tâm D tiếp xúc với AB tại B.Vẽ đường

trịn tâm E qua M tiếp xúc với AC tại C.Gọi N là giao điểm thứ hai của hai đường

trịn đĩ CMR

a) MN luơn đi qua A và tích AM.AN khơng đổi

c) Tổng hai bán kính của hai đường trịn tâm D và E cĩ giá trị khơng đổi

d)Tìm tập hợp các trung điểm H của DE

Giải:

a) Ta cĩ: gĩc BNM = gĩc ABC =gĩc ACB =gĩc BNA

vậy tia NM đi qua A

Chứng minh tam giác ABN đồng dạng với tam giác AMB suy ra AM.AN = AB2

khơng đổi

c)Gọi K là điểm chính giữa của cung BC ( khơng chứa A)

Dễ thấy D,E lần lượt nằm trên BK và CK Từ K,D,E lần lượt hạ các đường vuơng

gĩc với BC tại I.J,L Ta cĩ:

1

BD CE

BD CE CK

CK CK



      = không đổi

d) Hạ HQ vuơng gĩc với BC.Cĩ:

KI DJ EL KI BD CE KI

DJ EL

  Nên H nằm trên đ ường

thẳng song song với BC cách BC một khoảng bằng nửa khoảng cách KI , Vì D , E

thuộc BK và CK do đĩ

quĩ tích các điểm H là đường trung bình của tam giác BKC (song song với đáy

BC)