CHUYÊN ĐỀ 6: Các bài toán hình học phẳng có nội dung chứng minh, tính toán. docx

Bài 1: Cho tam giác OAB cân đỉnh O và đường tròn tâm O có bán kính R thay đổi R OAtrường hợp ngược lại hoàn toàn tương tự... Dựng MH vuông góc với OP.. cGọi I là trung điểm của AB và N

CHUYÊN ĐỀ 6: Các bài toán hình học phẳng

có nội dung chứng minh, tính toán

Bài 1: Cho tam giác OAB cân đỉnh O và đường tròn tâm O có bán kính R thay đổi

(R<OA).Từ A và B vẽ hai tiếp tuyến AC và BD với đường tròn Hai tiếp tuyến này không đối xứng với nhau qua trục đối xứng của tam giác và chúng cắt nhau ở M a)Chứng minh rằng bốn điểm O,A,M,B cùng thuộc đường tròn.Tìm tập hợp các điểm M

b)Trên tia đối của tia MA lấy MP = BM.Tìm tập hợp các điểm P

c)CMR: MA.MB = |OA2 - OM2|

Giải:

a)Gọi I,T lần lượt là các điểm tiếp xúc của tiếp tuyến kẻ từ A và B

Dễ thấy:OIA = OTB (cạnh huyền-cạnh góc vuông)

Do đó: IAO = OBT.Suy ra tứ giác OAMB nội tiếp được

b) Có:

APB =

2

1

.AMB =

2

1

.(1800-AOB)= const

Vậy có thể chứng minh được rằng quĩ tích các điểm P là cung chứa góc nhìn AB

một góc không đổi là

2

1

.(1800-AOB)

c)Xét vị trí của M mà OM > OA(trường hợp ngược lại hoàn toàn tương tự)

Ta có: |OA2 - OM2| = OM2 -OA2 = MI2 - IA2 = (MI-IA).(MI + IA) = AM.(MT + TB)=

=MA.MB (đpcm)

Bài 2: Cho điểm P nằm ngòai đường tròn (O); Một cát tuyến qua P cắt (O) ở A và

B.Các tiếp tuyến kẻ từ A và B cắt nhau ở M Dựng MH vuông góc với OP

a)CMR: 5 điểm O,A,B,M,H nằm trên 1 đường tròn

b)CMR: H cố định khi cát tuyến PAB quay quanh P Từ đó suy ra tập hợp điểm M c)Gọi I là trung điểm của AB và N là giao điểm của PA với MH.CMR:

PA.PB=PI.PN

và IP.IN=IA2

Giải:

a) Nhận thấy 5 điểm O,A,B,M,H nằm trên đường tròn đường kính OM (đpcm) b)Phương tích của điểm P đối với đường tròn đường kính OM là:

PH.PO=PA.PB=const (1) Suy ra H cố định nằm trên đoạn PO

Từ đó dễ dàng suy ra được rằng quĩ tích điểm M là đường thẳng d qua H vuông góc với PO trừ đi đoạn TV với T,V là giao điểm của d với (O)

c)Phương tích của điểm P đối với đường tròn đường kính ON là: PN.PI=PH.PO (2)

Từ (2) và (1) suy ra: PA.PB=PI.PN (đpcm)

Lại có:

IP.IN=(NI+NP).IN=IN2 + NI.NP (3)

Phương tích của điểm N đối với đường tròn đường kính PM là: NP.NI=NH.NM Phương tích của điểm N đối với đường tròn đường kínhOM là: NH.NM=NA.NB Suy ra: NI.NP=NA.NB (4)

Từ (3) và (4) suy ra:

IP.IN=IN2 + NA.NB

Ta sẽ chứng minh: IN2 + NA.NB=IA2 (5).Thật vậy:

(5)NA.NB=IA2-IN2 NA.NB=(IA-IN).(IA+IN) NA.NB=NA.(IB+IN)

NA.NB=NA.NB (luôn đúng)

Vậy ta có đpcm

Bài 3:Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn bán kính R,tâm

O

a)Chứng minh BC = 2R.SinA

b)Chứng minh:SinA + SinB + SinC < 2.(cosA + cosB + cosC) trong đó A,B,C là

ba góc của tam giác

Giải:

a)Kéo dài BO cắt (O) tại điểm thứ hai là D

Tam giác vuông BCD có:BC = BD.Sin(BDC) = 2R.SinA (đpcm)

b)Kéo dài AO cắt (O) tại điểm thứ hai là E

Hoàn toàn tương tự phần a) ta có:AC=2R.SinB Ta có:

BD

CD BD

AD R

CD AD R

AC



















2

Tương tự ta cũng có: SinC < CosA + CosB (2) và SinA < CosB + CosC (3) Cộng (1),(2),(3) theo vế ta có đpcm