CHUYÊN ĐỀ NHỊ THỨC NEWTON

SÁNG KIẾN DẠY HỌC GIÁO VIÊN: HUỲNH MINH HẬU LỜI NÓI ĐẦU Trong năm gần kì thi tú tài thi vào trường đại học cao đẳng, đề thi thường cho tốn phải vận dụng đến cơng thức nhị thức Niutơn để giải tốn đó, hạn chế thời gian lên lớp đối tượng học sinh không đồng nên sách giáo khoa đưa số tình toán này, học sinh gặp nhiều hạn chế kiến thức khả phân tích giải toán Mặt khác theo chương trình mới, kiến thức chương trình 11 giải số dạng tốn với số mũ ngun Đối với đối tượng học sinh giỏi việc phân dạng toán nhằm nâng cao kiến thức khả vận dụng kiến thức “ nhị thức Niutiơn” cách hiệu kì thi thật cần thiết Trước yêu cầu cố gắng viết chuyên đề với nội dung sau: NỘI DUNG ĐỀ TÀI: A Nhắc lại công thức nhị thức Niu – tơn vài ý khai triển cơng thức nhị thức Niu – Tơn B Một số dạng toán nhị thức Niu – tơn thường gặp Trong phần này, tơi trình bày số bày tốn dành cho đối tượng học sinh lớp 11 ( theo chương trình ) gồm nội dung sau: Khai triển nhị thức Niu – tơn, vận dụng kiến thức tam giác Pax – can khai triển nhị thức Niu – tơn Xác định số hạng khai triển nhị thức Niutơn Xác định hệ số khai triển số hạng chứa xk Xác định tổng hệ số khai triển nhị thức NIutơn C Phần kiến thức mở rộng: Trong phần này, đề tài đề cặp đến số tốn có dạng khó tốn mà kiến thức lớp 11 ( theo chương trình ) khơng giải : Một vài dạng tốn nhị thức Niutơn với a, b có số mũ hữu tỉ, số mũ số thực Khai triển lủy thừa có nhiều số hạng Xác định hệ số lớn khai triển nhị thức Niutơn Các tốn chứng minh có liên quan đến hệ số khai triển nhị thức Niutơn Các tốn có liên quan đến đạo hàm nhị thức Niutơn Bài tốn có liên quan đến tích phân nhị thức Niutơn Xin cảm ơn thầy cô trường THPT Phước Thiền chân thành góp ý kiến cho tơi hồn thành đề tài Mặt dù có nhiều cố gắng, kinh nghiệm khơng nhiều nên thiếu sót điều không tránh khỏi, mong quý thầy cô chân thành góp ý để tơi có kinh nghiệm tốt cơng tác dạy học mơn tốn Chân thành cảm ơn -1- SÁNG KIẾN DẠY HỌC GIÁO VIÊN: HUỲNH MINH HẬU Phước thiền, ngày 25 tháng 11 năm 2008 -2- SÁNG KIẾN DẠY HỌC GIÁO VIÊN: HUỲNH MINH HẬU MUÏC LỤC A LÝ THUYẾT NHỊ THỨC NEU-TƠN B MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Khai triển nhị thức Niutơn Xác định số hạng khai triển nhị thức Niutơn Xác định hệ số khai triển số hạng chứa xk Tính hệ số khai triển 10 C MỘT SỐ BÀI TOÁN MỞ RỘNG 13 Một vài dạng tốn nhị thức Niutơn với a, b có số mũ hữu tỉ, số mũ số thực 14 Khai triển lủy thừa có nhiều số hạng 18 Xác định hệ số lớn khai triển nhị thức Niutơn 19 Các toán chứng minh có liên quan đến hệ số khai triển nhị thức Niutơn 21 Các tốn có liên quan đến đạo hàm nhị thức Niutơn 22 Bài toán có liên quan đến tích phân nhị thức Niutơn 23 -3- SÁNG KIẾN DẠY HỌC GIÁO VIÊN: HUỲNH MINH HẬU A LÝ THUYẾT NHỊ THỨC NEU-TƠN I CÔNG THỨC: n  a  b n  �Cnkank bk  C0nan  C1nan1b  C2nan2b2   Cnkank bk   Cnn1abn1  Cnnbn (1) k II TÍNH CHẤT: Khi khai triển nhò thức (a b)n ta cần để ý: 2) Ở vế phải có n + số hạng, an , cuối bn , vò trí lại tích a n-kbk với số mũ a giảm từ n đến số mũ b tăng từ đến n cho số hạng, tổng số mũ a b phải n tức n – k + k = n 3) Số hạng thứ k + 1, kí hiệu: Tk1 với k = 0, 1, 2, , n vaø có dạng Tk1  Cnkank bk 3) Hệ số khai triển (1) có tính chất đối xứng Chú ý: Cnk  Cnn k vaøC0n  Cnn  III KẾT QUẢ ĐÁNG NHỚ: 1) Cho a = 1, b = ta coù: C0n  C1n  C2n   Cnn  2n 2) Cho a = 1, b = 1 ta coù: C0n  C1n  C2n  C3n   (1)n Cnn  3) Cho a = 1, b = x ta coù: (1 x)n  C0n  C1nx  C2nx2  C3nx3   Cnnxn 4) Cho a = 1, b =  x ta coù: (1 x)n  Cn0  C1nx  C2nx2  C3nx3   (1)nCnnxn Chú ý: a) Đối với (1 x)n hệ số xk Cnk k b) Đối với tích (1 x)n(1 x)m hệ số xk Cm  n đònh bởi: k j Cm Cni Cm , (i + j = k) n  �  a x  m n hệ số xm.k an kCnk Tam giác Paxcan hệ số khai triển nhị thức Niu – tơn c) IV Đối với Lủy thừa n (a + b)n 1 Tam giác Paxcan – Hệ số khai triển (a + b)n 3 Ví dụ minh họa (a + b)1 = 1a + 1b (a + b)2 = 1a2 + 2ab + 1b2 (a + b)3 = 1a3 + 3a2b + 3ab2 + 1b3 4 5 10 10 6 15 20 15 (a + b)4 = 1a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + 1b4 (a + b)5 = 1a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5 -4- SÁNG KIẾN DẠY HỌC GIÁO VIÊN: HUỲNH MINH HẬU -5- SÁNG KIẾN DẠY HỌC GIÁO VIÊN: HUỲNH MINH HẬU B MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Trong phần này, đề tài đề cặp đến số tốn thường gặp có liên quan đến kiến thức nhị thức Niutơn chương trình tốn lớp 11 ( chương trình ) sau: Khai triển nhị thức Niutơn Xác định số hạng khai triển nhị thức Niutơn Xác định hệ số khai triển số hạng k chứa x Tính tổng hệ số khai triển -6- SÁNG KIẾN DẠY HỌC GIÁO VIÊN: HUỲNH MINH HẬU I VẤN ĐỀ 1: Khai triển nhò thức Ghi chú: Khi khai triển nhò thức (a  b)n , ta cần nắm kĩ sau: k n k k  Số hạng tổng quát khai triển : Cna b (0  k  n)  Từ ta có số hạng khai triển sau: Khi k = ta coù số hạng đầu thứ là: Cnk ank bk Khi k = ta có số hạng thứ hai là: C1nan1b Khi k = ta có số hạng thứ là: C2nan2b2 …………………………………………… Khi k = n ta có số hạng thứ (n + 1) ( số hạng cuối )là: Cnnan nbn  Cnnbn Chú ý: Nếu khai triển (a b)n ta cần ý qui tắc dấu số hạng thứ k có dấu : ( - )k (  k  n ) Ví dụ: Khai triển nhò thức sau: (2a + b)5 Giải Áp dụng cơng thức nhị thức Niu – ton ta có:  2a  b  C50 (2a)5  C15 (2a)4 b  C25 (2a)3 b2  C35 (2a)2 b3  C54 2ab4  C55b5 =32a5  80a4b  80a3b2  40a2b3  10ab4  b5 Nhận xét: - Trong khai triển ta vận dụng công thức (1), nhiên số khai triển nhị thức Niu – tơn với lũy thừa đủ nhỏ ta vận dụng hệ số khai triển nhị thức tam giác Pax – can để khai triển như: Từ tam giác Pax – can ta thấy hệ số khai triển lủy thừa là: 10 10  (2a + b)5 = 1.(2a)5 + 5.(2a)4.b +10.(2a)3b2 + 10.(2a)2b3 + 5.2a.b4 + 1.b5 Bài tập: a) (2x  1)5 ; b) (x  2y)6 ; e) � 2� �x  �; � y� d) (a 2) ; -7- c) (a 2b)5 ; 1� x  � f) � � x � � SÁNG KIẾN DẠY HỌC GIÁO VIÊN: HUỲNH MINH HẬU II VẤN ĐỀ 2: Tìm số hạng thứ k + Trong dạng tốn này, theo chương trình sách giáo khoa khơng đưa kí hiệu số hạng tổng quát thứ (k + 1) khai triển (a + b) n , nên học sinh gặp nhiều lúng túng lập luận, để thuận tiện truyền đạt kiến thức tơi kí hiệu số hạng tổng quát thứ (k + 1) Tk + = Cnk an k bk 10 1� � Ví dụ : Tìm số hạng thứ bảy khai triển nhò thức � x  � , x� � x > Giaûi: Số hạng tổng quát thứ (k + 1) khai triển là: Tk + = C k 10 Áp dụng cho k = 6, ta có: T7  T61  C10   Vậy số hạng thứ bày khai triển là: C10   x 10 k k �1 � �x � �� �1 � 6 x � �  C10 x  C10 x x4 �x � x4 Bài tập tương tự: Tìm số hạng thứ k khai triển ĐS: 32C521y5 1) Thứ sáu (1 2y)21 2) Thứ mười ba  3  15 ÑS: 192C12 15 15 � 3) Thứ tám � �  x� �3 � ÑS: 7 C15 15 x7 1� � Ví dụ 2: Tìm số hạng không chứa x khai triển � x  �, x > x� � -8- SÁNG KIẾN DẠY HỌC GIÁO VIÊN: HUỲNH MINH HẬU Giải: Cách 1: Cách sử dụng kí hiệu số hạng tổng quát thứ (k + 1) Số C6k  x hạng 6 k  C6k k x x6 k thứ k + 1: Tk1  C6k  x 6 k k �1 � �x � �� =  C6k x63 k 2k x  3k  � k=2 �k  �,k n Để hạng tử Tk1 không chứa x là: � Vậy số hạng không chứa x là: T3  15 Cách 2: Ta có: 1� k � x   �C6 � x� � � k0  x 6 k k �1 � k 6 k �x �  �C6 x � � k  3k  � k=2 �k  �,k n Để hạng tử Tk1 không chứa x là: � Vậy số hạng không chứa x là: T3  15 Nhận xét: - Khi gặp đề có yêu cầu ví dụ 2, học sinh cần ý : a =1, a > 0  Bài tập tương tự: Tìm số hạng không chứa x khai trieån 12 1  1)  x   , với x  x  ĐS: 924 10 �1 � 2) �  x3 � , với x > �x � ÑS: 210 12 � � 3) �2x  � , với x > x� � ÑS: 3168 -9- SÁNG KIẾN DẠY HỌC GIÁO VIÊN: HUỲNH MINH HẬU III VẤN ĐỀ 3: Tìm hệ số số hạng khai triển nhị thức Trong phần học sinh cần nắm số hạng khai triển hệ số khai triển n k n k k k Ví dụ: ta có   3x  �Cn x số hạng thứ (k + 1) khai triển n k C x hệ số khai triển Cnk 2n k.3k k n n k k k �x a � Ví dụ 1: Tìm hệ số x khai triển nhò thức �  � �a x � với a, x ≠ Giaûi: 8 k k �x a � k �x � �a � k 8 k 83k �a  �  �C8 �a � � �  �C8a x � x � k0 � � �x � k  3k  �  k = �k �� Điều kiện để x2 xuất là: � Vậy hệ số số x2 a3  C83a4 Ví dụ 2: Tìm hệ số x4 khai triển P(x) = x(1 x)2  x2(1 x)3  x3(1 x)4  x4 (1 x)5 Giải Ta có: x(1 x)  x� k x (1 x)  x C2k xk � m  �C2k xk1 (1) k C3mxm  �C3mxm2 (2) m 4 n n 5 p p0 x3(1 x)4  x3�Cn4xn  �Cn4xn3 (3) x4 (1 x)5  x4 �C5pxp  �C3pxp (4) Để có số hạng chứa x4 khai triển P(x) : n 3 �m   �k   � �p   � � � � �k �2 �0 �m �3 � �n �4 � �p �5 � �k �� �m�� � �p�� n �� � � � �  m = n = p =  Hệ số chứa x4 khai triển P(x) : C32  C14  C50 = - 10 - SÁNG KIẾN DẠY HỌC GIÁO VIÊN: HUỲNH MINH HẬU n � x2  � biết 2) Của số hạng không chứa x khai triển � � x � � tổng hệ số nhò thức thứ nhất, nhì, ba 46 HD: C0n  C1n  C2n  46 � 84 - 12 - SÁNG KIẾN DẠY HỌC GIÁO VIÊN: HUỲNH MINH HẬU IV VẤN ĐỀ 4: Tính tổng hệ số Ví dụ 1: a Tính tổng hệ số khai triển nhò thức (1 2x)10 b Tính A = 25 C50  24 C15  23 C25  22 C35  2C54  35C55 c Tính B = 35C50  34.2C15  33.22 C52  32.23C53  2.34 C54  35C55 Giaûi: 10 10 k 10 k k a Ta coù:  1 2x  �C10  2x  �C10. 2x = a0  a1x  a2x2   a10x10 10 k k k k ( Với a0 , a1,a2 , ,a10 hệ số xK (  k  10 ) )  Tổng hệ số khai triển là: 10 S  a0  a1  a2   a10  Cho x = ta coù : S  a0  a1  a2   a10  310  59049 Tổng quát toán :  a  bx n n  �C a k k n n k n  bx  �Cnk an k  b k k k  x k = a0  a1  a2   an   a  b ( Trong a , b hai số thực cho trước, Với hệ số xK (  k  n ) ) n a0 , a1,a2 , ,an b Tính A = 25 C50  24 C15  23 C25  22 C35  2C54  35C55 p dụng khai triển (a + b)n cho a = 1; b = 2; n = ta coù: A = 25 C50  24 C15  23 C25  22 C35  2C54  35C55 = (1 + )5 = 243 c B = 35 C50  34.2C15  33.22 C52  32.23C35  2.34 C54  35C55 p dụng khai triển (a + b)n cho a = 3; b = - 2; n = ta coù: B = 35 C50  34.2C15  33.22 C52  32.23C35  2.34 C54  35C55 ( – 2)5 = Nhận xét: - Dó nhiên học sinh không nắm kiến thức nhò thức Niutơn học sinh dùng máy tính cầm tay để tính giá trị A B, nhiên trường hợp n lớn việc tính không khả thi - Để vận dụng cơng thức nhò thức Niutơn (a + b)n để tính giá trị tổng A B học sinh cần ý: cơng thức khai triển lủy thừa a giảm từ n tới giá trị 0, lủy thừa b tăng từ lủy thừa đến n Từ ta suy giá trị a, b, n cần áp dụng để tính tổng - 13 - SÁNG KIẾN DẠY HỌC GIÁO VIÊN: HUỲNH MINH HẬU - Trong tính B, học sinh ý tổng có dấu nên cẩn thận a hay b có dấu trừ Ví vụ 2: Tính giá trò biểu thức sau: a S  C07  C27  C47  C67  C10  C10  C10  C10 b P  C10 10 Giải: b) Từ khai triển nhò thức Newton (a b)7  Cho a = 1, b =  ta coù: C7  C7  C7  C7   C7  C7  Suy ra: C07  C27  C47  C67  C17  C37  C57  C77 (1) 7  Cho a = 1, b = ta coù: C7  C7  C7   C7  (2) Từ (1), (2)  2 C7  C7  C7  C7   Hay S = 64 10  C10  C10  C10  C10 c) P  C10 Từ khai triển nhò thức Newton (a  b)10  Cho a = 1, b = ta coù:  1 1 10  210  C10  C110  C10  C10   C10  C10 10  C10 Do C10 10 ;C10  C10 ;C10  C10;C10  C10;C10  C10  P = 210 - C10 = 772 Nhận xét: - Trong hai tính tổng trên, học sinh cần hiểu đề đưa khơng thiết tình tổng tất hệ số công thức khai triển, mà tính số giá trị khai triển, ta phải tìm qui luật tổng quát tổng, từ vận dụng kiến thức cách linh hoạt - Cần ý tới số Cnk để nắm qui luật tổng Ví vụ 3: Chứng minh đẳng thức sau: 2n 2n1 C2n  C22n  C2n   C2n  C1n  C3n  C5n   C2n  22n1 Giải Từ khai triển (a + b)2n Cho a = 1, b = -1, ta có: 1 2n 2n C2n  C12n  C2n  C32n   (1)2n1C2n 2n  (1) C2n  0 2n1 � C2n  C22n  C2n   C2n 2n  Cn  Cn  Cn   C2n Cho a = 1, b = 1, ta có: - 14 - SÁNG KIẾN DẠY HỌC GIÁO VIÊN: HUỲNH MINH HẬU 1 2n 2n C2n  C12n  C22n  C32n   C2n 2n  C2n  2 2n 2n1 2n  2 C2n  C2n  C2n   C2n   2 Cn  Cn  Cn   C2n    điều phải chứng minh  Baøi tập tương tự: Tính tổng sau 1) A  C60  C17  C26   C66 HD: a = b = 1, n = 6, S = 64 2) B  C59  C69   C99 HD: a = b = 1, n = 9, S = 256 10  C10   C10 3) C  C10 HD: a = b = 1, n = 10, S = 386 4) D  C50  2C15  22C25   25C55 HD: a =1, b = 2, n = 5, D = 243 5) E  C60  3C16  9C26  27C36  81C64  243C65  729C66 HD: a = 1, b = - 3, n = 6, E = 64 6) F  25C50  24.3C15  23.32C25  22.33C35  2.34C45  35C55 HD: a = 2, b = 3, n = 5, F = 3125 7) G  25C50  23C15  2C25  21C35  23C45  25C55 HD: a = 2, b   , n = 5, G  Tính tổng hệ số khai triển nhò thức 1) (3x  4)17 ÑS:– 2) (2x  1)5 3) (1 x)2  (1 x)3  (1 x)4  (1 x)5 ÑS:243 ĐS: 60 Chứng minh rằng: C0n  C1n  C2n  C3n   (1)p Cnp  (1)p Cnp1 - 15 - 243 32 SÁNG KIẾN DẠY HỌC GIÁO VIÊN: HUỲNH MINH HẬU C MỘT SỐ BÀI TOÁN MỞ RỘNG Trong phần này, đề tài đề cặp đến số tốn có dạng khó toán mà kiến thức lớp 11 ( theo chương trình ) khơng giải : Một vài dạng tốn nhị thức Niutơn với a, b có số mũ hữu tỉ, số mũ số thực Khai triển lủy thừa có nhiều số hạng Xác định hệ số lớn khai triển nhị thức Niutơn Các tốn chứng minh có liên quan đến hệ số khai triển nhị thức Niutơn Các tốn có liên quan đến đạo hàm nhị thức Niutơn Bài tốn có liên quan đến tích phân nhị thức Niutơn - 16 - SÁNG KIẾN DẠY HỌC GIÁO VIÊN: HUỲNH MINH HẬU I VẤN ĐỀ 1: Khai triển nhị thức Niutơn với số a, b có số mũ hữu tỉ, số mũ thực: Ví dụ 1: Tìm số hạng không chứa khai triển  3  24 Giaûi: Ta có :   2 Điều 24 kieän  24 � k   k C24 để 24 k có 24 24 k k k C243 27  2  � k k số không hạng chứa là: 24  k  5n � � k  7m n,m��* � k  14 (nha� n) � �k  �,k 24 �   2 14 Vậy số hạng phải tìm là: T15  C14 243  36C24  Bài tập tương tự: Tìm số hạng không chứa khai triển   2 2)   2 3)   3 1) 3 ÑS: 60 ĐS: 4526 10 ĐS: T1, T4, T7, T10 12 � x� Ví dụ 2: Tìm số hạng chứa x7 khai triển � � x  � � Giaûi: 12 k k k 24 2k k 12 12 k �3 2 � 12 k �3 � �2 � 12 k �3 � �2 � x � � x �  C12.� � � � x x �4 x  x �  �C12 � �4 � �3 � k� � � k �4 � �3 � � � � � 0 Để x �2 � (12  k)  k  � k  xuaát là: �3 � �k  �,k 12 6 � �2 � 7 � Vậy số hạng chứa x C12 �4 �.�3 �x  C12x ����  Bài tập tương tự: Tìm số hạng chứa xk khai trieån - 17 - SÁNG KIẾN DẠY HỌC GIÁO VIÊN: HUỲNH MINH HẬU 21 � x  1) � � y � y � � mà số mũ x y x� � ĐS: T10  C921(xy)2 16 �a �  x2 � số hạng đứng 2) � �x � � � ÑS: T9  12870 a8 x4 n � � Ví dụ 3: Tìm hệ số x8 khai triển nhò thức �  x5 �, x > x � biết Cnn14  Cnn3  7(n  3) � (Khoái A – 2003) Giải: Ta thấy Cnn14  Cnn3  7(n  3)  n = 12 12   �1 � k x3 Ta cóo: �  x5 �  �C12 �x � 12 k k 72 11k �5 � k � x2 �  �C12 x � � � � �72  11k 8 � � k  Để x xuất thì: � � �k  �,k 12 8  495 Vậy hệ số x8 : C12  Bài tập tương tự: Tìm hệ số x k khai triển 1) Của số hạng không chứa x khai triển nhò thức n 28 �3  � n n1 n 15 �x x  x �bieát raèng Cn  Cn  Cn  79 � � � � ÑS: n = 12, a6 = 792 n � � 2) Của số hạng thứ mười ba khai triển �9x  � biết 3x � � hệ số số hạng thứ ba khai triển laø 105 HD: C2n  105, a13  455 n � x y � x5  3) Của số hạng chứa x khai triển � � 3� � biết tổng x � � hệ số nhò thức số hạng đứng vò trí lẻ 2048 HD: Tổng hệ chẵn, lẻ  a8 = –264 - 18 - SÁNG KIẾN DẠY HỌC GIÁO VIÊN: HUỲNH MINH HẬU Ví dụ 3: Xác đònh x để số hạng thứ tư khai triển nhò thức: 11 �5 a4 � x1 x1 �  a a � baè ng 56a ( a > ) �x ax1 � � � �5 a4 �  a.x1 ax1 � là: Giaûi: Số hạng tổng quát thứ (k + 1) khai triển �x � ax1 � � � 8 k Tk1  C8k � 1x � � a5a x � � � � � Vaäy: T4  k �1 x1 � � 1 x ��1 x1 � � a x1 � � T4  C83 � a5a x �� a x1 � � � � �� � � � � �� � 11 56a �4 1 x � � x  1� 11 � 5�  1 vớ i x>0 � 3� � x � � x  1� �5 � x2  3x  10  �� � x  x �  Bài tập tương tự: 1) Xác đònh n để khai triển nhò thức (1 x)n mà hệ số của: a) Số hạng thứ hai, thứ ba, thứ tư tạo thành cấp số cộng b) Số hạng thứ năm, thứ sáu, thứ bảy tạo thành cấp số cộng HD: Hệ số nhò thức a, b, c cấp số cộng  a + c = 2b ÑS: a) n = 7; b) n = vaø n = 14 n �1 1 � x2  x � 2) Tìm n để ba số hạng khai triển � � � � � với x > tạo thành cấp số cộng ĐS: n = � � 3) Tìm x để khai triển �2x 21  4x � mà số hạng thứ ba 4� � 240 ÑS: x = n � 2x  � không chứa x Tìm 4) Số hạng thứ ba khai trieån � � x � � x để số hạng số hạng thứ hai khai triển  1 x  30 ĐS: x = - 19 - SÁNG KIẾN DẠY HỌC GIÁO VIÊN: HUỲNH MINH HẬU n � x1  x � 2  �cho bieát C3n  5C1n số hạng thứ tư 5) Trong khai triển � � � � � 20n Tìm x n (Khối A/2002) ĐS: n = 7, x = Ví dụ :Có số hạng hữu tỉ khai triển  243  100 Giải: Số hạng tổng quát thứ (k + 1) khai triển  243  100 100 k k 34 k là: Tk1  C100 100  k  2m �  m,p�� k  4p � Để Tk+1 số hữu tỉ, cần phải có: � (1) Từ (1) suy ra: m = 50 – 2p  m,p��  p = 0, 1, , 25 Do k = 4p, với p = 0, 1, , 25 Hay ta coù k = 0, 4, 8, 12, , 100 Vậy có 26 số hạng hữu tỉ khai triển  243  100  Bài tập tương tự: Có số hạng hữu tỉ khai triển 1)  2 3  3)  4)  5)  2) 100  5 2 2 3 20 50 ÑS: 34 ÑS: ÑS: 13 100 6 12   30 ÑS: ÑS: - 20 - SÁNG KIẾN DẠY HỌC II GIÁO VIÊN: HUỲNH MINH HẬU Khai triển lủy thừa có nhiều số hạng Ví dụ:Tìm hệ số x9 khai triển   2x  3x2  Giaûi: 1 (2x  3x2)� Ta thaáy (1 2x  3x2 )8  � � � Áp dụng khai triển nhị thức (a + b)5 với a = 1, b = 2x + 3x2 Ta có số hạng tổng quát thứ (k + 1) khai triển là: Tk1  C8k (2x  3x2)k  C8k Cik (2x)k i (3x2)i  2ki (3)i C8k Cik xki Để x9 xuất k + i = 9, với  i  k  Suy ra: Hêệ số x9 khai triển là: 27.3.C88 C18  25.9C87 C28  23.27C86 C38  2.81C85 C84  30288 Chú ý: Khi giải tốn ta áp dụng cho a = + 2x, b = -3x2  Bài tập tương tự: Tìm hệ số của: 1) x4 khai triển  1 x  x2  ĐS: a5 = 19 2) x5 khai trieån  1 x  x2  ÑS: a6 = –51 3) x5 khai trieån  2 x  x2  ÑS: a6 = –266 4) x7 khai triển  1 x  2x2  ĐS: a8 = –19440 5) x17 khai trieån  2 x4  x7  ĐS: i, k không tồn nên a = 10 15 1 x2(1 x)� 6) x8 khai trieån � � � (Khối A/2004) 238 ĐS: a5 = 7) Cho n��* gọi an3 hệ số x3n3 khai triển thành đa thức (x2  1)n(x  2)n Tìm n để an3  26n (Khối D/2003) HD: an3  23Cn0 C3n  2C1nC1n � n  - 21 - SÁNG KIẾN DẠY HỌC III GIÁO VIÊN: HUỲNH MINH HẬU Hệ số lớn khai triển nhị thức Niutơn Ví dụ 1: Trong hệ số Cnk khai triển (a + b)n ( n số nguyên lớn cho trước , k số nguyên dương nhỏ n ) Tìm hệ số khai triển Cnk lớn Giải n! n! k Đặt ak = Cn  k!(n  k)! � ak1  (k  1)!(n  k  1)! Nếu ak  ak +  1 �  n k k  k n Nếu n số nguyên dương lẻ  n – số tự nhiên chẳn n  k�  a1  a2  a3  …………  an1 �an1 � �an 2 n1 n1  hệ số Cnk có giá trị lớn trường hợp là: Cn2  Cn2 Nếu n số nguyên dương chẳn  n  a1  a2  a3  …………  an2 �an21 � �an n  hệ số Cnk có giá trị lớn trường hợp là: Cn2 n1 � n21 C  C ne� u n la� so� le� �n n k  Vậy MaxC (n N) � n n 0�k�n � n�� Cn2 ne� u n la� so� cha� n � Ví dụ 2:Tìm hệ số lớn khai triển nhò thức   2x 12 Giaûi: k k (2x)k (0  k  12)  hệ số xk khai triển ak+1  2k C12 Ta coù Tk1  C12 Neáu ak �ak� 1 k1 k 2k1C12 2k C12 k k1 2k C12 2k1C12 12! 2k1 � �2 � �k) k � ��0  2(13 (k  1)! (12  k) �k 13 k � k 26  a0  a1  a2  a3  …  a9  a10  a11  a12  Max k = (nhaän) 8  126720 Vậy hệ số lớn a9  C12  Bài tập tương tự: - 22 - k SÁNG KIẾN DẠY HỌC GIÁO VIÊN: HUỲNH MINH HẬU 15 � 1) Tìm hệ số lớn khai trieån � �  x� �3 � ĐS: a7  27 C10 310 2) Tìm số hạng lớn khai triển: 100 1� a) � � � �2 � b)  5  20 ÑS: a51  100 1� 50 � c100 � � �2 � ÑS: a9  314925.105 3) Tìm x > cho số hạng thứ 50 khai triển (5 3x)10 lớn HD: T3  T4  T5 � 20  x 21 4) Tìm x cho số hạng thứ 50 khai triển (x  y)100 có giá trò lớn nhất, biết x + y = vaø x > 0, y > HD: x  - 23 - 51  0,504 � x  (nhaän) 101 SÁNG KIẾN DẠY HỌC GIÁO VIÊN: HUỲNH MINH HẬU IV Các toán chứng minh n Ví dụ: Chứng minh  C0n    C1n    C2n     Cnn   C2n 2 2 Giải: Ta có (1 x)2n  (1 x)n.(1 x)n 2n Hệ số x khai triển (1 x)  n n k k x �C2n n laø C2n k (1) Hệ số xn khai triển n (1 x) (1 x)  � n n i 0 Cni xi n � j Cnj xj n n  �� i  j �CinCnj , với i + j = n Cinxi Cnj xj n n  ��CinCnj xi  j i  j (2) n  �CinCnj Từ (1), (2) ta có C2n Hay Cn2 n  C0nCnn  C1nCnn1  C2nCnn2   C1nCnn1  C0nCnn , mà Cnk  Cnn k nên ta coù:    C  C  n C2n  Cn0 2 n 2   n C  n n  Bài tập tương tự: Chứng minh đẳng thức: 2n1 2n  C2n  C2n   C2n 1) C12n  C32n   C2n HD: (1 x)2n cho x = – 2) C50Cnk  C15Cnk1   C55Cnk5  Cnk5 với  k  n HD: (1 x)5(1 x)n  (1 x)n5 m k m k Cn  Cm 3) C0mCnk  C1mCnk1  C2mCnk2   Cm  n , với m  k  n HD: (1 x)m n  (1 x)m.(1 x)n 4) 1 3C1n  32C2n   3n1Cnn1  3n  4n HD: (1 x)n , cho x = 4 2n 2n1 2n  C22n32  C2n   C2n (2  1) 5) C2n 2n3  HD: (1 x)2n cho x =  cộng vế - 24 - SÁNG KIẾN DẠY HỌC V GIÁO VIÊN: HUỲNH MINH HẬU Bài tốn có liên quan đến đạo hàm nhị thức Niutơn: Ví dụ: Tính tổng: 100  3C100  4C100   100C100 S1 = C1100  2C100 Giải  xC1100  x2C100  x3C100  x4C100   x100C100 Xét P(x) = (1 + x)100 = C100 100  3x2C100  4x3C100   100x99C100 P'(x) = 100(1+ x)99 = C1100  2xC100 100 100  3C100  4C100   100C100  P' (1 ) = 100.299 = C1100  2C100  S1 = 100.299 Nhận xét: Khi thấy toán tính tổng có dạng:S = a1  2a2  3a3  4a4   nan , với a1,a2 ,3a3 ,4a4 , .,nan hệ số khai triển nhị thức Niutơn ta vận dụng đạo hàm để tính tổng Bài tập tương tự: 1) Tính S2 = an1bC1n  2an2b2C2n  3an3b3C3n  4an4b4C4n   nbnCnn ) Tính S3 = nanC0n  (n  1)an1bC1n  (n  2)an2b2C2n  (n  3)an3b3C3n   abn1Cnn1 3) Chứng minh rằng: a) nC0n  (n  1)C1n  (n  2)C2n  (n  3)C3n   Cnn1  n2n1 b) n4n1Cn  (n  1)4n C1n  (n  2)4n3 C2n   (1)n1 4n1Cnn1  C1n  4C2n   n2n1Cnn - 25 - SÁNG KIẾN DẠY HỌC GIÁO VIÊN: HUỲNH MINH HẬU VI Bài tốn có liên quan đến tích phân nhị thức Niutơn Ví dụ: (1 x)10dx a) Tính �  C110  C10  C10   b) S = C10 10 C10 11 Giải a) Ta có: (1 x) � 10 dx   1 x 11 11  2037 11  xC110  x2C10  x3C10  x4C10   x10C10 b) Ta có: (1 + x)10 = C10 10 Lấy tích phân hai vế cận từ đến ta được: (1 x) � 10 dx = C �   xC10  x2C10  x3C10  x4C10   x10C10 10 dx 10  C110  C10  C10   = C10 (1 x) dx  S= � 10  1 x 11 11  10 C10 11 2037 11 Bài tập tương tự: k n Cn   (1)n1 Cn k 1 n 1 ĐS: n1 1 1 Cnk   Cnn 2) Tính B = C0n  Cn  C2n  C3n   k 1 n 2n1  ĐS: n 1) Tính A = C0n  Cn  C2n  C3n   (1)k1 3) Chứng minh rằng: 1 1 n � n 2C0n  22 Cn  23 C2n  24 C3n   (1)n12n1 Cn  1  1 � � n1 n  1� - 26 - ... này, đề tài đề cặp đến số tốn thường gặp có liên quan đến kiến thức nhị thức Niutơn chương trình tốn lớp 11 ( chương trình ) sau: Khai triển nhị thức Niutơn Xác định số hạng khai triển nhị thức. .. triển nhị thức Niutơn 21 Các tốn có liên quan đến đạo hàm nhị thức Niutơn 22 Bài tốn có liên quan đến tích phân nhị thức Niutơn 23 -3- SÁNG KIẾN DẠY HỌC GIÁO VIÊN: HUỲNH MINH HẬU A LÝ THUYẾT NHỊ THỨC... khai triển nhị thức Niutơn Các toán chứng minh có liên quan đến hệ số khai triển nhị thức Niutơn Các tốn có liên quan đến đạo hàm nhị thức Niutơn Bài tốn có liên quan đến tích phân nhị thức Niutơn