CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12 CHƯƠNG 1

Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ I.. • Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghịch biến: 00 • Sử dụng định lí Viet đưa 2 thành phương trình the

1 Đinh nghĩa:

Hàm số f đồng biến trên K  (x1, x2  K, x1 < x2  f(x1) < f(x2)

Hàm số f nghịch biến trên K  (x1, x2  K, x1 < x2  f(x1) > f(x2)

2 Điều kiện cần:

Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I

a) Nếu f đồng biến trên khoảng I thì f(x)  0, x  I

b) Nếu f nghịch biến trên khoảng I thì f(x)  0, x  I

3 Điều kiện đủ:

Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I

a) Nếu f (x)  0, x  I (f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f đồng biến trên I

b) Nếu f (x)  0, x  I (f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f nghịch biến trên I c) Nếu f(x) = 0, x  I thì f không đổi trên I

Chú ý: Nếu khoảng I được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì f phải liên tục trên đó

VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên của hàm số

Để xét chiều biến thiên của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước như sau:

– Tìm tập xác định của hàm số

– Tính y  Tìm các điểm mà tại đó y = 0 hoặc y không tồn tại (gọi là các điểm tới hạn) – Lập bảng xét dấu y  (bảng biến thiên) Từ đó kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

I TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

k) 2 1

5

x y

x y

14

x y x

−

=

2 2

11

VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến

trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng xác định)

Cho hàm số y f x m= ( , ), m là tham số, có tập xác định D

• Hàm số f đồng biến trên D  y  0, x  D

• Hàm số f nghịch biến trên D  y  0, x  D

Từ đó suy ra điều kiện của m

00

a b c

00

a b c

3) Định lí về dấu của tam thức bậc hai g x( )=ax2+bx c+ :

• Nếu  < 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a

• Nếu  = 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a (trừ x =

2

b a

• Nếu  > 0 thì g(x) có hai nghiệm x 1 , x 2 và trong khoảng hai nghiệm thì g(x) khác dấu với

a, ngoài khoảng hai nghiệm thì g(x) cùng dấu với a

4) So sánh các nghiệm x 1 , x 2 của tam thức bậc hai g x( )=ax2+bx c+ với số 0:

5) Để hàm số y ax= 3+bx2+cx d+ có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) (x 1 ; x 2 ) bằng d thì

ta thực hiện các bước sau:

• Tính y

• Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghịch biến:

00

• Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m

• Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm

Chứng minh rằng các hàm số sau luôn đồng biến trên từng khoảng xác định (hoặc tập xác định) của nó:

a) y x= 3+5x+13 b)

3 2

a) y x= 3+3x2+mx m+ nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1

x

y= + m+ x − m+ x+ đồng biến trên khoảng (1; +)

b) y x= 3−3(2m+1)x2+(12m+5)x+2 đồng biến trên khoảng (2; +)

VẤN ĐỀ 3: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức

Để chứng minh bất đẳng thức ta thực hiện các bước sau:

• Chuyển bất đẳng thức về dạng f(x) > 0 (hoặc <, ,  ) Xét hàm số y = f(x) trên tập xác định do đề bài chỉ định

• Xét dấu f (x) Suy ra hàm số đồng biến hay nghịch biến

• Dựa vào định nghĩa sự đồng biến, nghịch biến để kết luận

Chú ý:

1) Trong trường hợp ta chưa xét được dấu của f  (x) thì ta đặt h(x) = f (x) và quay lại tiếp tục xét dấu h  (x) … cho đến khi nào xét dấu được thì thôi

2) Nếu bất đẳng thức có hai biến thì ta đưa bất đẳng thức về dạng: f(a) < f(b)

Xét tính đơn điệu của hàm số f(x) trong khoảng (a; b)

VẤN ĐỀ 4: Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất

Để chứng minh phương trình f(x) = g(x) (*) có nghiệm duy nhất, ta thực hiện các bước sau:

• Chọn được nghiệm x 0 của phương trình

• Xét các hàm số y = f(x) (C 1 ) và y = g(x) (C 2 ) Ta cần chứng minh một hàm số đồng biến

và một hàm số nghịch biến Khi đó (C 1 ) và (C 2 ) giao nhau tại một điểm duy nhất có hoành độ x 0

Đó chính là nghiệm duy nhất của phương trình (*)

Chú ý: Nếu một trong hai hàm số là hàm hằng y = C thì kết luận trên vẫn đúng

Giải các phương trình sau:

Khi đó f(x0) đgl giá trị cực đại (cực đại) của f

b) x0 – điểm cực tiểu của f nếu tồn tại khoảng (a; b)  D và x0  (a; b) sao cho

f(x) > f(x0), với x  (a; b) \ {x0}

Khi đó f(x0) đgl giá trị cực tiểu (cực tiểu) của f

c) Nếu x0 là điểm cực trị của f thì điểm (x0; f(x0)) đgl điểm cực trị của đồ thị hàm số f

II Điều kiện cần để hàm số có cực trị

Nếu hàm số f có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại điểm đó thì f (x0) = 0

Chú ý: Hàm số f chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có

đạo hàm

III Điểu kiện đủ để hàm số có cực trị

1 Định lí 1: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x0 và có đạo hàm trên (a; b)\{x0}

a) Nếu f (x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x0 thì f đạt cực tiểu tại x0

II CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

b) Nếu f (x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x0 thì f đạt cực đại tại x0

2 Định lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a; b) chứa điểm x0, f (x0) = 0 và có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0

a) Nếu f (x0) < 0 thì f đạt cực đại tại x0

b) Nếu f (x0) > 0 thì f đạt cực tiểu tại x0

VẤN ĐỀ 1: Tìm cực trị của hàm số

Qui tắc 1: Dùng định lí 1

• Tìm f (x)

• Tìm các điểm x i (i = 1, 2, …) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm

• Xét dấu f (x) Nếu f (x) đổi dấu khi x đi qua x i thì hàm số đạt cực trị tại x i

a) y=(x−2) (3 x+1)4 b)

2 2

=+ c) y e= x +4e−x

d) y x= 2−5x+ +5 2lnx e) y x= −4sin2x f) y x= −ln(1+x2)

VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị

1 Nếu hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x 0 thì f  (x 0 ) = 0 hoặc tại x 0 không có đạo hàm

2 Để hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x 0 thì f  (x) đổi dấu khi x đi qua x 0

− Khi đó nếu x 0 là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị y(x 0 ) bằng hai cách:

0

0

( )( )

a) y ax= 3+bx2+cx d+ đạt cực tiểu bằng 0 tại x = 0 và đạt cực đại bằng 4

27 tại x =

13

b) y ax= 4+bx2+c có đồ thị đi qua gốc toạ độ O và đạt cực trị bằng –9 tại x = 3 c)

21

a) y= − +x3 mx2−4 có hai điểm cực trị là A, B và

2

2 900729

a) y=2x3+mx2−12x−13 có hai điểm cực trị cách đều trục tung

b) y x= 3−3mx2+4m3 có các điểm cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhất

c) y x= 3−3mx2+4m3 có các điểm cực đại, cực tiểu ở về một phía đối với đường thẳng (d): 3x−2y+ =8 0

+ có một điểm cực trị nằm trong góc phần tư thứ hai

và điểm kia nằm trong góc phần tư thứ tư của mặt phẳng toạ độ

+ có hai điểm cực trị nằm ở hai phía của trục hoành (tung)

VẤN ĐỀ 3: Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị

1) Hàm số bậc ba y f x= ( )=ax3+bx2+cx d+

• Chia f(x) cho f (x) ta được: f(x) = Q(x).f  (x) + Ax + B

• Khi đó, giả sử (x 1 ; y 1 ), (x 2 ; y 2 ) là các điểm cực trị thì:

( )( )

P x y

− −

=

−Khi hàm số có cực đại, cực tiểu, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số:

a) y=2x3+3(m−1)x2+6(m−2)x−1 có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng y = –4x + 1

b) y=2x3+3(m−1)x2+6 (1 2 )m − m x có các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị nằm trên đường thẳng y = –4x

c) y x= 3+mx2+7x+3 có đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu vuông góc với đường thẳng y = 3x – 7

d) y x= 3−3x2+m x m2 + có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng (): 1 5

y= x−

max ( ) ( ), min ( ) ( )

a b f x = f a a b f x = f b

VẤN ĐỀ 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách lập bảng biến thiên

Cách 1: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng

• Tính f (x)

• Xét dấu f (x) và lập bảng biến thiên

• Dựa vào bảng biến thiên để kết luận

Cách 2: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn [a; b]

11

c) y x= 4−2x2+3 trên [–3; 2] d) y x= 4−2x2+5 trên [–2; 2] e) 3 1

3

x y

x y x

−

=+ trên [0; 4]

11

x x y

x x

− +

=+ − trên [0; 1]

x y

Cho D = ( ; )/x y x0,y0,x y+  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1

2 Dấu “=” xảy ra  x = y = 2 Vậy minP = 92

VẤN ĐỀ 3: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách dùng miền giá trị

Xét bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số f(x) trên một miền D cho trước

Gọi y 0 là một giá trị tuỳ ý của f(x) trên D, thì hệ phương trình (ẩn x) sau có nghiệm:

4) Bất phương trình f(x)   đúng với mọi x  m  

5) Bất phương trình f(x)   đúng với mọi x  M  

Giải các phương trình sau:

a) 4x− +2 44− = x 2 b) 3x +5x =6x+2 c) 5 (1 )5 1

16

x + −x =Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:

a) Tìm m để bất phương trình có nghiệm thuộc [0; 2]

b) Tìm m để bất phương trình thoả mọi x thuộc [0; 2]

Tìm m để các bất phương trình sau:

a) mx− x−  + có nghiệm b) 3 m 1 (m+2)x m−  +x 1 có nghiệm x  [0; 2] c) m x( 2− + x 1) x2+ +x 1 nghiệm đúng với mọi x  [0; 1]

1 Định nghĩa:

Điểm U x f x( 0; ( )0 ) đgl điểm uốn của đồ thị hàm số y = f(x) nếu tồn tại một khoảng (a; b)

chứa điểm x0 sao cho trên một trong hai khoảng (a; x0) và (x0; b) tiếp tuyến của đồ thị tại điểm U nằm phía trên đồ thị còn trên khoảng kia tiếp tuyến nằm phía dưới đồ thị

Tìm m để đồ thị của các hàm số sau có 3 điểm uốn:

11

y x

x y x

+

=

2 2

1

y x

−

=+

=

2 2

31

y x

• Đường thẳng y ax b a= + , 0 đgl đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y f x= ( ) nếu

ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn:

• Nếu Q(x) = 0 có nghiệm x0 thì đồ thị có tiệm cận đứng x x= 0

V ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ

• Nếu bậc(P(x))  bậc(Q(x)) thì đồ thị có tiệm cận ngang

• Nếu bậc(P(x)) = bậc(Q(x)) + 1 thì đồ thị có tiệm cận xiên

b) Để xác định các hệ số a, b trong phương trình của tiệm cận xiên, ta có thể áp dụng các

x y

x y

1

y x

11

y x

+ +

=

4 3

41

y x

2

x y

x y

+

=+ + −

+ −

=

−Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị các hàm số sau tạo với các trục toạ độ một tam giác có diện tích S đã chỉ ra:

+ Tìm các điểm tại đó đạo hàm y bằng 0 hoặc không xác định

+ Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có)

+ Lập bảng biến thiên ghi rõ dấu của đạo hàm, chiều biến thiên, cực trị của hàm số

– Tìm các điểm tại đó y = 0 và xét dấu y

+ Vẽ các đường tiệm cận (nếu có) của đồ thị

+ Xác định một số điểm đặc biệt của đồ thị như giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ (trong trường hợp đồ thị không cắt các trục toạ độ hoặc việc tìm toạ độ giao điểm phức tạp thì có thể bỏ qua) Có thể tìm thêm một số điểm thuộc đồ thị để có thể vẽ chính xác hơn

+ Nhận xét về đồ thị: Chỉ ra trục đối xứng, tâm đối xứng (nếu có) của đồ thị

= − và một tiệm cận xiên Giao điểm của hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị hàm số

• Các dạng đồ thị:

a.a > 0 a.a < 0

y = 0 có 2 nghiệm phân biệt

y = 0 vô nghiệm

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:

+

=

34

x y

−

=+

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:

+ −

=+

x

=

2 21

y x

−

=+

1 SỰ TƯƠNG GIAO CỦA CÁC ĐỒ THỊ

1 Cho hai đồ thị (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x) Để tìm hoành độ giao điểm của (C1) và (C2) ta giải phương trình: f(x) = g(x) (*) (gọi là phương trình hoành độ giao điểm)

Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của hai đồ thị

2 Đồ thị hàm số bậc ba y ax= 3+bx2+cx d a+ ( 0) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

 Phương trình ax3+bx2+cx d+ =0 có 3 nghiệm phân biệt

x y x

x y

x y x

+ cắt nhau tại hai điểm phân biệt

VII MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN

ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ

a) y x= 3+3x2+mx+2 ;m y= − +x 2 cắt nhau tại ba điểm phân biệt

b) y mx= 3+3mx2− −(1 2 )m x−1 cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt

c) y=(x−1)(x2−mx m+ 2−3) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt

d) y x= 3+2x2−2x+2m−1; y=2x2− +x 2 cắt nhau tại ba điểm phân biệt

e) y x= 3+2x2−m x2 +3 ;m y=2x2+1 cắt nhau tại ba điểm phân biệt

Tìm m để đồ thị các hàm số:

a) y x= 4−2x2−1; y m= cắt nhau tại bốn điểm phân biệt

b) y x= 4−m m( +1)x2+m3 cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt

c) y x= 4−(2m−3)x2+m2−3m cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt

d) y x= 3−(m+1)x2−(m−1)x+2m−1 cắt trục hoành tại ba điểm có hoành độ lập thành một cấp số nhân

e) y=3x3+(2m+2)x2+9mx+192 cắt trục hoành tại ba điểm có hoành độ lập thành một cấp số nhân

2 BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ

• Cơ sở của phương pháp: Xét phương trình: f(x) = g(x) (1)

Số nghiệm của phương trình (1) = Số giao điểm của (C 1 ): y = f(x) và (C 2 ): y = g(x) Nghiệm của phương trình (1) là hoành độ giao điểm của (C 1 ): y = f(x) và (C 2 ): y = g(x)

• Để biện luận số nghiệm của phương trình F(x, m) = 0 (*) bằng đồ thị ta biến đổi (*) về một trong các dạng sau:

Dạng 1: F(x, m) = 0  f(x) = m (1)

Khi đó (1) có thể xem là phương trình hoành độ

giao điểm của hai đường:

(C): y = f(x) d: y = m

• d là đường thẳng cùng phương với trục hoành

• Dựa vào đồ thị (C) ta biện luận số giao điểm

của (C) và d Từ đó suy ra số nghiệm của (1)

Dạng 2: F(x, m) = 0  f(x) = g(m) (2)

Thực hiện tương tự như trên, có thể đặt g(m) = k

Biện luận theo k, sau đó biện luận theo m

Dạng 3: F(x, m) = 0  f(x) = kx + m (3)

(k: không đổi) Khi đó (3) có thể xem là phương trình hoành độ

giao điểm của hai đường:

(C): y = f(x) d: y = kx + m

• Vì d có hệ số góc k không đổi nên d cùng phương

với đường thẳng y = kx và cắt trục tung tại điểm A(0; m)

• Viết phương trình các tiếp tuyến d1, d2, … của (C)

Dạng 4: F(x, m) = 0  f(x) = m(x – x0) + y0 (4)

Khi đó (4) có thể xem là phương trình

hoành độ giao điểm của hai đường:

(C): y = f(x) d: y = m(x – x0) + y0

• d quay quanh điểm cố định M0(x0; y0)

• Viết phương trình các tiếp tuyến d1, d2, …

của (C) đi qua M0

• Cho d quay quanh điểm M0 để biện luận

Chú ý:

• Nếu F(x, m) = 0 có nghiệm thoả điều kiện:   x   thì ta chỉ vẽ đồ thị (C): y = f(x) với

  x  

• Nếu có đặt ẩn số phụ thì ta tìm điều kiện của ẩn số phụ, sau đó biện luận theo m

VẤN ĐỀ 1: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị

Để biện luận số nghiệm của phương trình F(x, m) = 0 (*) ta biến đổi (*) về một trong các dạng như trên, trong đó lưu ý y = f(x) là hàm số đã khảo sát và vẽ đồ thị

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

IV (–)

(+) M

x

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số Từ đồ thị (C) hãy suy ra đồ thị (T) Dùng

đồ thị (T) biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng x−3y=0

c) Dùng đồ thị (C), biện luận số nghiệm của phương trình:

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng x−2y=0

c) Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(0; 1)

c) Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

2(1−m x) − −(1 m x) + =1 0

VẤN ĐỀ 2: Biện luận số nghiệm của phương trình bậc ba bằng đồ thị

Cơ sở của phương pháp: Xét phương trình bậc ba: ax3+bx2+cx d+ =0(a  0) (1)

Gọi (C) là đồ thị của hàm số bậc ba: y f x= ( )=ax3+bx2+cx d+

Số nghiệm của (1) = Số giao điểm của (C) với trục hoành

Dạng 1: Biện luận số nghiệm của phương trình bậc 3

• Trường hợp 1: (1) chỉ có 1 nghiệm  (C) và Ox có 1 điểm chung

y CĐ

x 0 x' 0

B

• Trường hợp 1: (1) có 3 nghiệm dương phân biệt

 (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương

• Trường hợp 2: (1) có 3 nghiệm có âm phân biệt

 (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ âm

3 SỰ TIẾP XÚC CỦA HAI ĐƯỜNG TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG

1 Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm M x f x0( 0; ( )0 )

Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M x f x0( 0; ( )0 ) là:

y – y0 = f (x0).(x – x0) (y0 = f(x0))

2 Điều kiện cần và đủ để hai đường (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x) tiếp xúc nhau là hệ phương trình sau có nghiệm: