CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12 CHƯƠNG 1

Gv.Ngọc Hiếu.01659033374 – 889924899 tốn dễ khơng biết hỏi nhá CHƯƠNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ I TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Đinh nghĩa: Hàm số f đồng biến K  (x1, x2  K, x1 < x2  f(x1) < f(x2) Hàm số f nghịch biến K  (x1, x2  K, x1 < x2  f(x1) > f(x2) Điều kiện cần: Giả sử f có đạo hàm khoảng I a) Nếu f đồng biến khoảng I f(x)  0, x  I b) Nếu f nghịch biến khoảng I f(x)  0, x  I Điều kiện đủ: Giả sử f có đạo hàm khoảng I a) Nếu f (x)  0, x  I (f(x) = số hữu hạn điểm) f đồng biến I b) Nếu f (x)  0, x  I (f(x) = số hữu hạn điểm) f nghịch biến I c) Nếu f(x) = 0, x  I f không đổi I Chú ý: Nếu khoảng I thay đoạn nửa khoảng f phải liên tục VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên hàm số Để xét chiều biến thiên hàm số y = f(x), ta thực bước sau: – Tìm tập xác định hàm số – Tính y Tìm điểm mà y = y không tồn (gọi điểm tới hạn) – Lập bảng xét dấu y (bảng biến thiên) Từ kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số Xét chiều biến thiên hàm số sau: a) y = − x + x + d) y = x − x + x − b) y = x2 +x− 4 c) y = x − x + e) y = (4 − x )( x − 1)2 f) y = x − 3x + x − g) y = x − 2x2 − h) y = − x − x + i) y = x + x −2 10 10 Gv.Ngọc Hiếu.01659033374 – 889924899 tốn dễ khơng biết hỏi nhá k) y = 2x −1 x+5 l) y = x −1 2− x m) y = − x + x + 26 o) y = − x + − 1− x x+2 Xét chiều biến thiên hàm số sau: n) y = a) y = −6 x + 8x − 3x − d) y = 2x −1 x e) y = x2 − b) y = c) y = x2 − x x − 3x + g) y = x − − − x p) y =     x   l) y = sin x − x  2 x − 15x + 3x x2 − x + x2 + x + f) y = x + + 2 − x h) y = x − x k) y = sin x  − 1− x i) y = x − x    −  x    2 VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số ln đồng biến nghịch biến tập xác định (hoặc khoảng xác định) Cho hàm số y = f ( x , m) , m tham số, có tập xác định D • Hàm số f đồng biến D  y  0, x  D • Hàm số f nghịch biến D  y  0, x  D Từ suy điều kiện m Chú ý: 1) y = xảy số hữu hạn điểm 2) Nếu y ' = ax + bx + c thì:  a = b =  c  • y '  0, x  R     a      a = b =  c  • y '  0, x  R     a     3) Định lí dấu tam thức bậc hai g( x ) = ax + bx + c : • Nếu  < g(x) ln dấu với a b ) 2a • Nếu  > g(x) có hai nghiệm x1, x2 khoảng hai nghiệm g(x) khác dấu với a, ngồi khoảng hai nghiệm g(x) dấu với a • Nếu  = g(x) ln dấu với a (trừ x = − 4) So sánh nghiệm x1, x2 tam thức bậc hai g( x ) = ax + bx + c với số 0:    • x1  x2    P   S     •  x1  x2   P   S  • x1   x2  P  Gv.Ngọc Hiếu.01659033374 – 889924899 tốn dễ khơng biết hỏi nhá 5) Để hàm số y = ax + bx + cx + d có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) (x1; x2) d ta thực bước sau: • Tính y • Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến nghịch biến: a     (1) • Biến đổi x1 − x2 = d thành ( x1 + x2 )2 − x1x2 = d (2) • Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m • Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm Chứng minh hàm số sau đồng biến khoảng xác định (hoặc tập xác định) nó: a) y = x + 5x + 13 x3 b) y = − 3x + x + c) y = 2x −1 x+2 x2 + 2x − x − 2mx − e) y = 3x − sin(3x + 1) f) y = x +1 x−m Chứng minh hàm số sau nghịch biến khoảng xác định (hoặc tập xác định) nó: a) y = −5 x + cot( x − 1) b) y = cos x − x c) d) y = y = sin x − cos x − 2 x Tìm m để hàm số sau ln đồng biến tập xác định (hoặc khoảng xác định) nó: a) y = x − 3mx + (m + 2) x − m mx + x+m Tìm m để hàm số: d) y = e) y = x mx b) y = − − 2x + c) y = x − 2mx − x−m x − 2mx + 3m2 x − 2m f) y = x+m x−m a) y = x + 3x + mx + m nghịch biến khoảng có độ dài b) y = x − mx + 2mx − 3m + nghịch biến khoảng có độ dài 3 c) y = − x + (m − 1) x + (m + 3) x − đồng biến khoảng có độ dài Tìm m để hàm số: a) y = x3 + (m + 1) x − (m + 1) x + đồng biến khoảng (1; +) b) y = x − 3(2m + 1) x + (12m + 5) x + đồng biến khoảng (2; +) Gv.Ngọc Hiếu.01659033374 – 889924899 toán dễ hỏi nhá c) y = mx + (m  2) đồng biến khoảng (1; +) x+m d) y = x+m đồng biến khoảng (–1; +) x−m e) y = x − 2mx + 3m2 đồng biến khoảng (1; +) x − 2m f) y = −2 x − 3x + m nghịch biến khoảng 2x +    − ; +    VẤN ĐỀ 3: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức Để chứng minh bất đẳng thức ta thực bước sau: • Chuyển bất đẳng thức dạng f(x) > (hoặc VẤN ĐỀ 4: Chứng minh phương trình có nghiệm Để chứng minh phương trình f(x) = g(x) (*) có nghiệm nhất, ta thực bước sau: • Chọn nghiệm x0 phương trình • Xét hàm số y = f(x) (C1) y = g(x) (C2) Ta cần chứng minh hàm số đồng biến hàm số nghịch biến Khi (C1) (C2) giao điểm có hồnh độ x0 Đó nghiệm phương trình (*) Chú ý: Nếu hai hàm số hàm y = C kết luận Giải phương trình sau: x + x −5 = a) c) x + x − + x + + x + 16 = 14 Giải phương trình sau: a) x +1 + x + + x + = c) 3x + x = 5x Giải bất phương trình sau: b) x + x3 − − 3x + = d) x + 15 = x − + x + b) ln( x − 4) = − x d) x + 3x + 5x = 38 a) x + + 5x − + 7x − + 13x −  b) x + x + x + + x + x  35 Giải hệ phương trình sau: 2 x + = y + y + y  a) 2 y + = z3 + z2 + z 2 z + = x + x + x   x = y3 + y + y −  b)  y = z3 + z2 + z − z = x3 + x + x −  Gv.Ngọc Hiếu.01659033374 – 889924899 toán dễ hỏi nhá  y3 = x − 12 x +  c)  z3 = y − 12 y +  x = z2 − 12 z +  sin x − sin y = x − 3y   e)  x + y =   x , y  tan x − tan y = y − x  5 d) 2 x + 3y =     −  x , y   2 sin x − y = sin y − x f) 2 x + 3y =   0  x, y    cot x − cot y = x − y  g) 5 x + y = 2 0  x , y   h) HD: a, b) Xét hàm số f (t) = t3 + t + t c) Xét hàm số f (t ) = 6t − 12t + d) Xét hàm số f(t) = tant + t II CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ I Khái niệm cực trị hàm số Giả sử hàm số f xác định tập D (D  R) x0  D a) x0 – điểm cực đại f tồn khoảng (a; b)  D x0  (a; b) cho f(x) < f(x0), với x  (a; b) \ {x0} Khi f(x0) đgl giá trị cực đại (cực đại) f b) x0 – điểm cực tiểu f tồn khoảng (a; b)  D x0  (a; b) cho f(x) > f(x0), với x  (a; b) \ {x0} Khi f(x0) đgl giá trị cực tiểu (cực tiểu) f c) Nếu x0 điểm cực trị f điểm (x0; f(x0)) đgl điểm cực trị đồ thị hàm số f II Điều kiện cần để hàm số có cực trị Nếu hàm số f có đạo hàm x0 đạt cực trị điểm f (x0) = Chú ý: Hàm số f đạt cực trị điểm mà đạo hàm khơng có đạo hàm III Điểu kiện đủ để hàm số có cực trị Định lí 1: Giả sử hàm số f liên tục khoảng (a; b) chứa điểm x có đạo hàm (a; b)\{x0} a) Nếu f (x) đổi dấu từ âm sang dương x qua x0 f đạt cực tiểu x0 Gv.Ngọc Hiếu.01659033374 – 889924899 toán dễ hỏi nhá b) Nếu f (x) đổi dấu từ dương sang âm x qua x0 f đạt cực đại x0 Định lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng (a; b) chứa điểm x0, f (x0) = có đạo hàm cấp hai khác điểm x0 a) Nếu f (x0) < f đạt cực đại x0 b) Nếu f (x0) > f đạt cực tiểu x0 VẤN ĐỀ 1: Tìm cực trị hàm số Qui tắc 1: Dùng định lí • Tìm f (x) • Tìm điểm xi (i = 1, 2, …) mà đạo hàm khơng có đạo hàm • Xét dấu f (x) Nếu f (x) đổi dấu x qua xi hàm số đạt cực trị xi Qui tắc 2: Dùng định lí • Tính f (x) • Giải phương trình f (x) = tìm nghiệm xi (i = 1, 2, …) • Tính f (x) f (xi) (i = 1, 2, …) Nếu f (xi) < hàm số đạt cực đại xi Nếu f (xi) > hàm số đạt cực tiểu xi Tìm cực trị hàm số sau: a) y = 3x − x b) y = x − x + x − c) y = − x + x − 15x x4 − x2 + − x + 3x + g) y = x+2 Tìm cực trị hàm số sau: d) y = a) y = ( x − 2)3 ( x + 1)4 e) y = x − x + 3x + x + h) y = x +1 b) y = d) y = x x − 4x2 + 2x −1 2x2 + x − e) y = x − x + x4 + x2 + 2 x − x − 15 i) y = x −3 f) y = − c) y = 3x + x + x2 + x + f) y = x + x − x Tìm cực trị hàm số sau: 3 x2 2x + a) y = x + b) y = d) y = x − 5x + + ln x e) y = x − 4sin2 x c) y = e x + 4e− x f) y = x − ln(1 + x ) Gv.Ngọc Hiếu.01659033374 – 889924899 tốn dễ khơng biết hỏi nhá VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị Nếu hàm số y = f(x) đạt cực trị điểm x0 f (x0) = x0 khơng có đạo hàm Để hàm số y = f(x) đạt cực trị điểm x0 f (x) đổi dấu x qua x0 Chú ý: • Hàm số bậc ba y = ax + bx + cx + d có cực trị  Phương trình y = có hai nghiệm phân biệt Khi x0 điểm cực trị ta tính giá trị cực trị y(x0) hai cách: + y( x0 ) = ax03 + bx02 + cx0 + d + y( x0 ) = Ax0 + B , Ax + B phần dư phép chia y cho y ax + bx + c P( x ) = (aa 0) có cực trị  Phương trình y = có hai Q( x ) a' x + b' b' nghiệm phân biệt khác − a' Khi x0 điểm cực trị ta tính giá trị cực trị y(x0) hai cách: P ( x0 ) P '( x0 ) y( x0 ) = y( x0 ) = Q( x0 ) Q '( x0 ) • Hàm số y = • Khi sử dụng điều kiện cần để xét hàm số có cực trị cần phải kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai • Khi giải tập loại thường ta sử dụng kiến thức khác nữa, định lí Vi–et Chứng minh hàm số sau ln có cực đại, cực tiểu: a) y = x − 3mx + 3(m2 − 1) x − m3 x + m(m2 − 1) x − m4 + c) y = x−m Tìm m để hàm số: b) y = x − 3(2m + 1) x + 6m(m + 1)x + x + mx − m + d) y = x − m +1 a) y = (m + 2) x + 3x + mx − có cực đại, cực tiểu b) y = x − 3(m − 1) x + (2m2 − 3m + 2) x − m(m − 1) có cực đại, cực tiểu c) y = x − 3mx + (m2 − 1) x + đạt cực đại x = d) y = −mx + 2(m − 2) x + m − có cực đại x = x − 2mx + đạt cực tiểu x = x−m x − (m + 1) x − m2 + 4m − f) y = có cực đại, cực tiểu x −1 e) y = Gv.Ngọc Hiếu.01659033374 – 889924899 tốn dễ khơng biết hỏi nhá x2 − x + m có giá trị cực đại x −1 Tìm m để hàm số sau khơng có cực trị: g) y = a) y = x − 3x + 3mx + 3m + − x + mx + x −3 Tìm a, b, c, d để hàm số: c) y = b) y = mx + 3mx − (m − 1) x − d) y = x − (m + 1) x − m2 + 4m − x −1 a) y = ax + bx + cx + d đạt cực tiểu x = đạt cực đại x = 27 b) y = ax + bx + c có đồ thị qua gốc toạ độ O đạt cực trị –9 x = x + bx + c đạt cực trị –6 x = –1 x −1 ax + bx + ab d) y = đạt cực trị x = x = bx + a ax + x + b e) y = đạt cực đại x = x2 + Tìm m để hàm số : c) y = a) y = x + 2(m − 1) x + (m2 − 4m + 1) x − 2(m2 + 1) đạt cực trị hai điểm x1, x2 cho: 1 + = (x + x ) x1 x2 2 x − mx + mx − đạt cực trị hai điểm x1, x2 cho: x1 − x2  1 c) y = mx − (m − 1) x + 3(m − 2) x + đạt cực trị hai điểm x1, x2 cho: x1 + x2 = 3 b) y = Tìm m để hàm số : x + mx − m + có cực đại, cực tiểu giá trị cực đại, cực tiểu dấu x − m +1 x − (m + 1) x − m2 + 4m − b) y = có cực đại, cực tiểu tích giá trị cực đại, cực tiểu x −1 đạt giá trị nhỏ a) y = − x + 3x + m c) y = có giá trị cực đại M giá trị cực tiểu m thoả M − m = x−4 x + 3x + m − d) y = có yCĐ − yCT  12 x+2 Tìm m để đồ thị hàm số : Gv.Ngọc Hiếu.01659033374 – 889924899 toán dễ hỏi nhá a) y = − x + mx − có hai điểm cực trị A, B AB2 = 900m2 729 b) y = x − mx + x + m có điểm cực trị A, B, C tam giác ABC nhận gốc toạ độ O làm trọng tâm x + mx + m − có hai điểm cực trị nằm hai phía trục tung Chứng minh hai x−m điểm cực trị ln ln nằm phía trục hoành c) y = x + mx có khoảng cách hai điểm cực trị 10 1− x − x + 2mx + e) y = có hai điểm cực đại cực tiểu nằm hai phía đường thẳng x −1 d) y = y = 2x x2 + 2x + m + có hai điểm cực trị khoảng cách chúng nhỏ x−m Tìm m để đồ thị hàm số : f) y = a) y = x + mx − 12 x − 13 có hai điểm cực trị cách trục tung b) y = x − 3mx + 4m3 có điểm cực đại, cực tiểu đối xứng qua đường phân giác thứ c) y = x − 3mx + 4m3 có điểm cực đại, cực tiểu phía đường thẳng (d): x − y + = x + (2m + 1) x + m2 + có hai điểm cực trị nằm hai phía đường thẳng (d): x +1 x − 3y − = d) y = Tìm m để đồ thị hàm số : a) y = x − (m + 1) x + 2m − có hai điểm cực trị góc phần tư thứ mặt x−m phẳng toạ độ 2mx + (4m2 + 1) x + 32m2 + 2m có điểm cực trị nằm góc phần tư thứ hai x + 2m điểm nằm góc phần tư thứ tư mặt phẳng toạ độ b) y = mx − (m2 + 1) x + 4m2 + m có điểm cực trị nằm góc phần tư thứ x−m điểm nằm góc phần tư thứ ba mặt phẳng toạ độ x + (2m + 1) x + m2 + d) y = có hai điểm cực trị nằm hai phía trục hoành (tung) x +1 c) y = VẤN ĐỀ 3: Đường thẳng qua hai điểm cực trị Gv.Ngọc Hiếu.01659033374 – 889924899 tốn dễ khơng biết hỏi nhá c) y = mx + 2(1 − m) x + + m (m  0) e) y = x + 3mx − m3 − 5m2 − d) y = x − m3 x + m2 − f) y = mx − m2 x − 4mx + 4m2 − (m − 2) x − m2 + 2m − (3m + 1) x − m2 + m h) y = x−m x+m x + mx + − m x − 2mx + m + i) y = k) y = x −1 x−m x + (3m − 1) x − 10 x + mx − 2m + l) y = m) y = x − 3x + x2 + 2x + Tìm điểm thuộc (L) mà khơng có đồ thị họ (Cm) qua: g) y = a) (Cm): y = mx − m2 x − 4mx + 4m2 − ; (L) trục hoành b) (Cm): y = x − 3(m + 3) x + 18mx + ; (L): y = x + 14 c) (Cm): y = x − mx + m − m + mx + m + m + ; (L) trục tung (m + 1) x + m2 x + ; (L): x = x+m m2 x + e) (Cm): y = ; (L): y = x d) (Cm): y = VẤN ĐỀ 3: Tìm điểm mà số đồ thị họ đồ thị (Cm): y = f(x, m) qua • Ta có: M(x0; y0)  (Cm)  y0 = f(x0, m) (1) • Biến đổi (1) dạng sau: Am + B = (2a) Am2 + Bm + C = • Số nghiệm (2a) (2b) theo m = Số (Cm) qua M Tìm điểm mặt phẳng cho có k đồ thị họ (Cm) qua: a) (Cm): y = 2mx + m + 2m ; k = 2( x + m) b) (Cm): y = − x + mx − m2 ; k = x−m c) (Cm): xy − 2my − 2mx + m2 x − 4m = ; k = Tìm điểm thuộc (L) cho có k đồ thị họ (Cm) qua: a) (Cm): y = x + (m2 + 1) x − 4m ; (L): x = 2; k = b) (Cm): y = x + (m2 + 1) x − 4m ; (L): x = 2; k = c) (Cm): y = x + (m2 + 1) x − 4m ; (L): x = 2; k = Chứng minh điểm thuộc (L) có k đồ thị họ (Cm) qua: (2b) Gv.Ngọc Hiếu.01659033374 – 889924899 toán dễ hỏi nhá mx − (m2 + m − 1) x + m2 − m + ; (L): x > 1; k = x−m (m + 1) x − m2 b) (Cm): y = ; (L): x > 0; k = x−m a) (Cm): y = c) (Cm): y = x − 2mx + m2 + 1; (L): y = 1; k = d) (Cm): y = x − (m + 1) x − (2m3 − 3m + 2) x + 2m(2m − 1) ; (L): x = 1, y > –2; k = TẬP HỢP ĐIỂM Bài tốn: Tìm tập hợp điểm M(x; y) thoả tính chất  • Nhận xét: Tìm tập hợp điểm M mặt phẳng toạ độ tìm phương trình tập hợp điểm Dạng 1: Tìm toạ độ điểm M 1) Tìm điều kiện (nếu có) tham số m để tồn điểm M 2) Tính toạ độ điểm M theo tham số m Có trường hợp xảy ra:  x = f (m ) Trường hợp 1: M  y = g( m ) Khử tham số m x y, ta có hệ thức x, y độc lập với m có dạng: F(x, y) = (gọi phương trình quĩ tích) Gv.Ngọc Hiếu.01659033374 – 889924899 tốn dễ khơng biết hỏi nhá  x = a (hằ ng số ) M  y = g(m) Khi điểm M nằm đường thẳng x = a  x = f (m ) Trường hợp 3: M  y = b (hằ ng số ) Khi điểm M nằm đường thẳng y = b 3) Giới hạn quĩ tích: Dựa vào điều kiện (nếu có) m (ở bước 1), ta tìm điều kiện x y để tồn điểm M(x; y) Đó giới hạn quĩ tích 4) Kết luận: Tập hợp điểm M có phương trình F(x, y) = (hoặc x = a, y = b) với điều kiện x y (ở bước 3) Dạng 2: Trong trường hợp ta tính toạ độ điểm M theo tham số m mà thiết lập hệ thức chứa toạ độ M ta tìm cách khử tham số m hệ thức để tìm hệ thức dạng F(x, y) = Chú ý: Nếu toán hỏi : Điểm M chạy đường ta tìm phương trình F(x, y) = mà khơng cần tìm giới hạn quĩ tích Trường hợp 2: Tìm tập hợp điểm đặc biệt họ đồ thị cho a) (Pm): y = x − (m − 2) x + 2m − Tìm tập hợp đỉnh (Pm) b) (Cm): y = x − 3mx + x − 3m − Tìm tập hợp điểm uốn (Cm) c) (Cm): y = x − 3(2m + 1) x + 6m(m + 1)x + Tìm tập hợp điểm cực đại (Cm) d) (Hm): y = (m − 1) x + Tìm tập hợp tâm đối xứng (Hm) mx − x − 3mx + 5m e) (Hm): y = Tìm tập hợp điểm cực đại (Hm) x −2 Cho (C) (C) Tìm tập hợp trung điểm đoạn thẳng 1) Tìm m để (C) (C) cắt hai điểm phân biệt A, B 2) Tìm tập hợp trung điểm I đoạn thẳng AB a) (C): y = x + 3x + mx + (C’): y = x + x + b) (C): y = x − mx + (C): y = mx + c) (C): y = x −1 (C): x − y + m = x +1 ( x − 2)2 (C) đường thẳng qua A(0; 3) có hệ số góc m 1− x x2 + 4x + e) (C): y = (C): y = mx + x+2 Cho (C) (C).Tìm tập hợp điểm 1) Tìm m để (C) cắt (C) điểm phân biệt A, B, C (trong xC khơng đổi) 2) Tìm tập hợp trung điểm I đoạn thẳng AB d) (C): y = a) (C): y = x − 3x (C): y = mx Gv.Ngọc Hiếu.01659033374 – 889924899 tốn dễ khơng biết hỏi nhá b) (C): y = x − 2(m + 1) x + (m2 + 1) x − m2 (C): y = −3mx + m c) (C): y = x − x + x (C): y = mx d) (C): y = ( x + 2)( x − 1)2 (C) đường thẳng qua C(–2; 0) có hệ số góc m Cho (C) Tìm tập hợp điểm từ vẽ hai tiếp tuyến (C) vng góc với a) (C): y = x + x a) Cho (C): y = x2 + x + b) (C): y = x +1 x −2 Tìm tập hợp điểm trục tung mà từ kẻ tiếp tuyến với x −1 (C) b) Cho (C): y = − x + 3x − Tìm tập hợp điểm đường thẳng y = mà từ kẻ tiếp tuyến với (C) HÀM SỐ CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Bài toán: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) với f(x) có chứa dấu giá trị tuyệt đối Cách 1: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị • Xét dấu biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối • Chia miền xác định thành nhiều khoảng, khoảng ta bỏ dấu giá trị tuyệt đối • Vẽ đồ thị hàm số tương ứng khoảng miền xác định Gv.Ngọc Hiếu.01659033374 – 889924899 tốn dễ khơng biết hỏi nhá Cách 2: Thực phép biến đổi đồ thị Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số y = f ( x) Đồ thị (C) hàm số y = f ( x) suy từ đồ thị (C) hàm số y = f(x) sau: + Giữ nguyên phần đồ thị (C) phía trục hoành + Lấy đối xứng phần đồ thị (C) phía trục hồnh qua trục hồnh + Đồ thị (C) hợp hai phần Dạng 2: Vẽ đồ thị hàm số y = f ( x ) Đồ thị (C) hàm số y = f ( x ) suy từ đồ thị (C) hàm số y = f(x) sau: + Giữ nguyên phần đồ thị (C) bên phải trục tung, bỏ phần bên trái trục tung + Lấy đối xứng phần bên phải trục tung qua trục tung + Đồ thị (C) hợp hai phần Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) Từ suy đồ thị C) Dùng đồ thị (C) biện luận số nghiệm phương trình (1): a) (C): y = x − 3x − ; (C): y = x − x − ; x − 3x − = m (1) b) (C): y = x − x − ; (C): y = x − x − ; x − x − = m c) (C): y = (1) x + 5x − 2 x + 5x − 2 x + 5x − =m ; (C): y = ; x +1 x +1 x +1 x2 − x − x2 − x −1 x2 − x − =m d) (C): y = ; (C): y = ; x −2 x −2 x −2 (1) (1) Gv.Ngọc Hiếu.01659033374 – 889924899 tốn dễ khơng biết hỏi nhá 2x − 2x − 2x − =m ; (C): y = ; (1) x −2 x −2 x −2 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) Từ suy đồ thị C) Dùng đồ thị (C) biện luận số nghiệm phương trình (1): e) (C): y = 3 a) (C): y = x − x + 12 x − ; (C): y = x − 9x + 12 x − ; x − x + 12 x = m b) (C): y = 2x 2x ; (C): y = ; (m − 2) x − m = x −1 x −1 (1) x2 + x + x2 + x + x2 + 4x + = m (1) c) (C): y = ; (C): y = ; x+2 x +2 x +2 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) Từ suy đồ thị C) Dùng đồ thị (C), tìm m để phương trình (1) có k nghiệm phân biệt: a) (C): y = x − x − ; (C): y = x − x − ; x − x − = log2 m ; k = 3 b) (C): y = x − x + x ; (C): y = x − x + x ; x − x + x − + m = ; k = c) (C): y = x + 5x − 2 x + 5x − 2 x + 5x − = m ; k = ; (C): y = ; x +1 x +1 x +1 d) (C): y = x4 x4 x4 − 3x + ; − x + = m − 2m ; k = − 3x + ; (C): y = 2 2 2 Gv.Ngọc Hiếu.01659033374 – 889924899 toán dễ hỏi nhá ĐIỂM ĐẶC BIỆT TRÊN ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ VẤN ĐỀ 1: Tìm điểm đồ thị (C): y = f(x) có toạ độ nguyên P( x ) Tìm điểm đồ thị hàm số hữu tỉ y = có toạ độ số nguyên: Q( x ) P( x ) a • Phân tích y = thành dạng y = A( x ) + , với A(x) đa thức, a số nguyên Q( x ) Q( x ) Khi ú x  Q(x) ước số a Từ ta tìm giá trị x nguyên để Q(x) ước y  s ca a Th li cỏc giỏ trị tìm kết luận Tìm điểm đồ thị (C) hàm số có toạ độ nguyên: x+2 x − 10 x+2 a) y = b) y = c) y = x +1 x+2 x −2 x2 + x + x2 + 2x e) y = x+2 x +1 Tìm điểm đồ thị (C) hàm số có toạ độ nguyên: d) y = a) y = x + y + 2( x + 1)y + x f) y = x + + x −1 b) y = x + y + 4( x − 1)y + x VẤN ĐỀ 2: Tìm cặp điểm đồ thị (C): y = f(x) đối xứng qua đường thẳng d: y = ax + b Cơ sở phương pháp: A, B đối xứng qua d  d trung trực đoạn AB • Phương trình đường thẳng  vng góc với d: y = ax = b có dạng: (C) : y = − x + m (d) a • Phương trình hồnh độ giao điểm  (C): B f(x) = − x + m (1) A a I • Tìm điều kiện m để  cắt (C) điểm phân biệt A, B Khi xA, xB nghiệm (1) • Tìm toạ độ trung điểm I AB • Từ điều kiện: A, B đối xứng qua d  I  d, ta tìm m  xA, xB  yA, yB  A, B  x = xB Chú ý: • A, B đối xứng qua trục hoành   A  y A = − yB  x = − xB • A, B đối xứng qua trục tung   A  y A = yB (D) Gv.Ngọc Hiếu.01659033374 – 889924899 toán dễ hỏi nhá  x = xB • A, B đối xứng qua đường thẳng y = b   A  y A + yB = 2b  x + x = 2a • A, B đối xứng qua đường thẳng x = a   A B  y A = yB Tìm đồ thị (C) hàm số hai điểm đối xứng qua đường thẳng d: x+4 a) (C ) : y = x + x; b) (C ) : y = ; d : x − 2y − = d : x + 2y = x −2 x2 x2 + x − c) (C ) : y = d) (C ) : y = ; d : y = x −1 ; d : y = x −1 x −1 x −1 Cho đồ thị (C) đường thẳng d Viết phương trình đồ thị (C) đối xứng với (C) qua đường thẳng d: x − 3x + a) (C ) : y = 3x − 5x + 10 x − 2; d : x = −2 b) (C ) : y = ; d:x =2 x −1 x2 + x − 2 x + 5x − c) (C ) : y = d) (C ) : y = ; d:y=2 ; d : y = −1 x −2 x −1 Tìm m để đồ thị (C) có cặp điểm đối xứng qua đường thẳng d: a) (C ) : y = mx + 3x + x + m2 ; d : Ox VẤN ĐỀ 3: Tìm cặp điểm đồ thị (C): y = f(x) đối xứng qua điểm I(a; b) Cơ sở phương pháp: A, B đối xứng qua I  I trung điểm AB • Phương trình đường thẳng d qua I(a; b), có hệ số góc k có dạng: y = k ( x − a) + b • Phương trình hồnh độ giao điểm (C) d: I B f(x) = k ( x − a) + b (1) A • Tìm điều kiện để d cắt (C) điểm phân biệt A, B xA, xB nghiệm (1) • Từ điều kiện: A, B đối xứng qua I  I trung điểm AB, ta tìm k  xA, xB  x = − xB Chú ý: A, B đối xứng qua gốc toạ độ O   A  y A = − yB Tìm đồ thị (C) hàm số hai điểm đối xứng qua điểm I: a) (C ) : y = x − x + x + 2; c) (C ) : y = x − 3x − x + 1;  5 x2 + x + ; I  0;  I (2;4) b) (C ) : y = x −1  2 x+4 ; I  O(0; 0) I  O(0;0) d) (C ) : y = x +1 3x + x − 5x + ; I (1;1) e) (C ) : y = ; I ( −2; −5) 2x −1 x +1 Cho đồ thị (C) điểm I Viết phương trình đồ thị (C) đối xứng với (C) qua điểm I: e) (C ) : y = Gv.Ngọc Hiếu.01659033374 – 889924899 tốn dễ khơng biết hỏi nhá ( x − 1)2 ; I (1;1) x −2 x2 − x + x − x − 5x + c) (C ) : y = d) (C ) : y = ; I (2;1) ; x −1 2x − Tìm m để đồ thị (C) có cặp điểm đối xứng qua điểm: a) (C ) : y = x + 3x + 5x + 1; b) (C ) : y = I (1;2) a) (C ) : y = x − 3mx + 3(m2 − 1) x + − m2 ; I (2;1) I  O(0;0) b) (C ) : y = x + mx + x + 3; I  O(0;0) x + 2m x + m ; I  O(0;0) x +1 VẤN ĐỀ 4: Khoảng cách c) (C ) : y = x + mx + x + 4; I  O(0;0) d) (C ) : y = Kiến thức bản: 1) Khoảng cách hai điểm A, B: AB = ( xB − x A )2 + ( yB − y A )2 2) Khoảng cách từ điểm M(x0; y0) đến đường thẳng : ax + by + c = 0: ax0 + by0 + c d(M, ) = a2 + b2 3) Diện tích tam giác ABC: uuur uuur 1 S = AB.AC.sin A = AB2 AC − ( AB.AC ) 2 Cho đồ thị (C) điểm A Tìm điểm M (C) cho AM nhỏ Chứng minh AM nhỏ đường thẳng AM vng góc với tiếp tuyến (C) M a) (C ) : y = x − 1; A  O(0;0) b) (C ) : y = x ; A(3;0) c) (C ) : y = x + 1; A(9;1) Cho đồ thị (C) đường thẳng d Tìm điểm M (C) cho khoảng cách từ M đến d nhỏ a) c) a) c) a) x2 + 4x + b) (C ) : y = (C ) : y = x − 3x + x + 1; d : y = x − ; d : y = −3x − x+2 x +1 ; d : y = −2 x + (C ) : y = x − x ; d : y = 2( x + 1) d) (C ) : y = x −1 Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) cho d(M,Ox) = k.d(M,Oy) với k cho trước x+2 x2 + x − (C ) : y = ; k =1 b) (C ) : y = ; k =1 x −2 x −1 x2 + x −1 x2 + 2x + d) (C ) : y = (C ) : y = ; k =2 ; k =2 x −1 x +1 Tìm điểm M thuộc hypebol (H) cho tổng khoảng cách từ đến hai tiệm cận nhỏ x+2 2x −1 4x − (H ) : y = b) (H ) : y = c) (H ) : y = x −2 x +1 x −3 Gv.Ngọc Hiếu.01659033374 – 889924899 toán dễ hỏi nhá x2 + x − x2 − x + x + 3x + e) (H ) : y = f) (H ) : y = x −3 2− x x+2 Tìm điểm M thuộc hypebol (H) cho tổng khoảng cách từ đến hai trục toạ độ nhỏ x −1 2x + 4x − a) (H ) : y = b) (H ) : y = c) (H ) : y = x +1 x −2 x −3 d) (H ) : y = x + x − 11 x2 − x2 + x − e) (H ) : y = f) (H ) : y = x −1 x −2 x −3 Tìm điểm M thuộc hypebol (H) cho khoảng cách từ đến giao điểm hai tiệm cận nhỏ d) (H ) : y = x2 + 2x + x2 − x + b) (H ) : y = ;x 1 x −1 x −1 Cho hypebol (H) Tìm hai điểm A, B thuộc hai nhánh khác (H) cho độ dài AB nhỏ x −1 2x + 4x − a) (H ) : y = b) (H ) : y = c) (H ) : y = x +1 2− x x −3 2 x − 3x + x − 2x + d) (H ) : y = x + + e) (H ) : y = f) (H ) : y = x x −1 1− x Cho (C) đường thẳng d Tìm m để d cắt (C) điểm A, B cho độ dài AB nhỏ x +1 x2 + 6x − ; d : 2x − y + m = a) (H ) : y = b) (H ) : y = ; d:y=k x −1 x +1 a) (H ) : y = Gv.Ngọc Hiếu.01659033374 – 889924899 tốn dễ khơng biết hỏi nhá VIII ÔN TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ Cho hàm số: y = x + ax − 4, a tham số a) Khảo sát vẽ đồ thị với a = b) Tìm giá trị tham số a để phương trình sau có nghiệm nhất: x + ax − = ĐS: b) a < a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số: y = x − x + x − b) Từ điểm đường thẳng x = ta kẻ tiếp tuyến tới đồ thị hàm số? ĐS: b) tiếp tuyến Cho hàm số: y = x − 3x (1) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) b) Chứng minh m thay đổi, đường thẳng d cho phương trình: y = m( x + 1) + cắt đồ thị hàm số (1) điểm A cố định Hãy xác định giá trị m để đường thẳng d cắt đồ thị hàm số (1) điểm A, B, C khác cho tiếp tuyến với đồ thị B C vng góc với 2 ĐS: b) A(−1; 2); m = −1 + (1) a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số: y = x − x − b) Với giá trị m phương trình sau có nghiệm phân biệt x − x − = log4 m (2) ĐS: b) < m < 16 (1) Cho hàm số: y = x − 5x + a) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số Gv.Ngọc Hiếu.01659033374 – 889924899 tốn dễ khơng biết hỏi nhá b) Tìm điều kiện tham số m để đường thẳng y = m cắt đồ thị (C) hàm số điểm phân biệt c) Tìm m cho đồ thị (C) hàm số chắn đường thẳng y = m ba đoạn thẳng có độ dài ĐS: b) −  m  c) m = 4 Cho hàm số: y = x − mx + (1) 2 a) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số m =  3 b) Viết phương trình tiếp tuyến qua A  0;  tiếp xúc với (C)  2 c) Xác định m để hàm số (1) có cực tiểu mà khơng có cực đại 3 ĐS: b) y = ; y = 2 x + c) m  2 3x + (H ) Cho hàm số: y = x −1 a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số b) Với giá trị a, đường thẳng y = ax + không cắt đồ thị (H)? c) Qua điểm M(2 ; 3) viết phương trình tiếp với đồ thị (H) ĐS: b) –28 < a  c) y = –28x + 59 x −2 (C ) a) Khảo sát vẽ đồ thị y = x −1 b) Tìm tất điểm đồ thị (C) cách hai điểm A(0; 0) B(2; 2) ĐS: b) (2 ; 0), (0 ; 2) Cho hàm số: y = x − + (C ) x a) Khảo sát vẽ đồ thị (C) b) Tìm (C) điểm cách hai trục tọa độ c) Tìm k để đường thẳng y = k cắt (C) hai điểm mà hai tiếp tuyến với (C) vng góc với 1 1 ĐS: b) M  ;  c) k = −  2 2 x − (m + 1) x + 4m − 4m − Cho hàm số: y = x − (m − 1) a) Khảo sát vẽ đồ thị với m = b) Tìm giá trị m để hàm số xác định đồng biến khoảng (0 ; +) ĐS: b) 2− 3 m a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số: y = x2 + 2x + x +1 Gv.Ngọc Hiếu.01659033374 – 889924899 tốn dễ khơng biết hỏi nhá b) Gọi I tâm đối xứng đồ thị (C) M điểm (C) Tiếp tuyến M với (C) cắt hai đường tiệm cận A B Chứng minh M trung điểm đoạn AB diện tích tam giác IAB khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M (C) ĐS: b) SIAB = 2 x2 + 2x + = x +1+ (C ) x +1 x +1 a) Khảo sát vẽ đồ thị (C) b) Tìm đồ thị hàm số cho điểm cho tiếp tuyến vng góc với tiệm cận xiên   2 2 ; ;− ĐS: b) M1  −1 +  ; M2  −1 −   2   2  Cho hàm số: y = x + (m + 1) x − mx + (Cm ) x−m a) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số ứng với m = b) Chứng minh tích khoảng cách từ điểm tùy ý thuộc đồ thị (C) (với m = câu trên) tới hai đường tiệm cận số c) Với giá trị m hàm số cho có cực đại, cực tiểu, đồng thời giá trị cực đại giá trị cực tiểu dấu Cho hàm số: y = ĐS: b) 2 c) m  − − hay m  −3 + x2 + 4x + x+2 Tìm điểm đồ thị có khoảng cách đến đường thẳng (D) : y + 3x + = a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số: y = b) nhỏ ĐS:  5  5 b) M1  − ;  ; M2  − ; −   2  2 x + mx − với m tham số x −1 a) Xác định m để tam giác tạo hai trục tọa độ đường tiệm cận xiên đồ thị hàm số có diện tích b) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số m = –3 ĐS: a) m = –6 hay m = Cho hàm số: y = x2 + x + x Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số Xác định m cho phương trình sau có nghiệm: Cho hàm số: y = a) b) t − (m − 1)t + 3t − (m − 1)t + = ĐS: b) m  − hay m  2 Gv.Ngọc Hiếu.01659033374 – 889924899 tốn dễ khơng biết hỏi nhá Cho hàm số: y = − x + 3mx + 3(1 − m2 ) + m2 − m2 (1) (m tham số) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = b) c) Tìm k để phương trình − x + x + k − 3k = có nghiệm phân biệt Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số (1) ĐS: b) −1  k  3; k  0; k  2; c) y = x − m2 + m Cho hàm số: y = mx + (m2 − 9) x + 10 (1) (m tham số) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = b) Tìm m để hàm số (1) có ba điểm cực trị ĐS: b) m  − hay  m  (2m − 1) x − m2 (1) (m tham số) x −1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) ứng với m = –1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong (C) hai trục tọa độ Tìm m để đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y = x b) S = + ln c) m  Cho hàm số: y = a) b) c) ĐS: mx + x + m Cho hàm số: y = (1) (m tham số) x −1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = –1 b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành hai điểm phân biệt hai điểm có hồnh độ dương ĐS: b) −  m  Cho hàm số: y = x − 3x + m (1) (m tham số) a) Tìm m để hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng qua gốc tọa độ b) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = ĐS: a) m > x2 − 2x + a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = (1) x −2 b) Tìm m để đường thẳng dm: y = mx + – 2m cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm phân biệt ĐS: b) m > a) b) − x + 3x − (1) 2( x − 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị điểm A, B cho AB = ĐS: b) m = Cho hàm số: y = 1 Gv.Ngọc Hiếu.01659033374 – 889924899 tốn dễ khơng biết hỏi nhá x − x + 3x (1) có đồ thị (C) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) b) Viết phương trình tiếp tuyến D (C) điểm uốn chứng minh D tiếp tuyến (C) có hệ số góc nhỏ ĐS: b)  : y = − x + ; k = −1 Cho hàm số: y = Cho hàm số: y = x − 3mx + x + (1) (với m tham số) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = b) Tìm m để điểm uốn đồ thị hàm số (1) thuộc đường thẳng y = x + ĐS: b) m = hay m = hay m = –2 ... y2 1 1 + (1 + y ) + + −2 = HD: P = (1 + x ) + + + −2 1 x 1 y x + y 1 x 1 y x + y  1  Sử dụng bất đẳng thức Cô–si:  (1 − x ) + (1 − y) + ( x + y)  + + 9  1 x 1 y x + y   1 + +  1 ... = 1 Tìm giá trị lớn biểu thức: x y z + + x +1 y +1 z +1  1  + + HD: P = −    x +1 y +1 z +1 P=  1  + + Sử dụng bất đẳng thức Cô–si: ( x + 1) + ( y + 1) + (z = 1)   9  x +1 y +1. .. trị hai điểm x1, x2 cho: 1 + = (x + x ) x1 x2 2 x − mx + mx − đạt cực trị hai điểm x1, x2 cho: x1 − x2  1 c) y = mx − (m − 1) x + 3(m − 2) x + đạt cực trị hai điểm x1, x2 cho: x1 + x2 = 3 b)