CHUYÊN ĐỀ VECTO CHO TOÁN HỌC VÀ ỨNG DỤNG

1 Vec tơ phép toán CHƯƠNG I VECTƠ I VECTƠ Các định nghĩa uuu r  Vectơ đoạn thẳng có hướng Kí hiệu vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B AB  Giá vectơ đường thẳng chứa vectơ uuu r AB  Độ dài vectơ khoảng cách điểm đầu điểm cuối vectơ, kí hiệu r  Vectơ – khơng vectơ có điểm đầu điểm cuối trùng nhau, kí hiệu  Hai vectơ đgl phương giá chúng song song trùng  Hai vectơ phương hướng ngược hướng  Hai vectơ đgl chúng hướng có độ dài r r a Chú ý: + Ta sử dụng kí hiệu , b, để biểu diễn vectơ r + Qui ước: Vectơ phương, hướng với vectơ r Mọi vectơ Các phép toán vectơ a) Tổng hai vectơ uuu r uuu r uuur AB  BC  AC  Qui tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C tuỳ ý, ta có: uuu r uuur uuur  Qui tắc hình bình hành: Với ABCD hình bình hành, ta có: AB  AD  AC r r r r  r r r r r r r r r  a  b  c  a  b  c a  b  b  a a  0 a  Tính chất: ; ; b) Hiệu hai vectơ r r r r r r r  Vectơ đối a vectơ b cho a  b  Kí hiệu vectơ đối a  a r r  Vectơ đối r r r  r a   b  a  b uuu r uuu r uuu r OB  OA  AB  Qui tắc ba điểm: Với ba điểm O, A, B tuỳ ý, ta có: c) Tích vectơ với số r r  Cho vectơ a số k  R ka vectơ xác định sau: r r r r + ka hướng với a k  0, ka ngược hướng với a k < r r + ka  k a r r r r r r r r r  k  la  (kl )a k a  b  ka  kb  Tính chất: ; (k  l )a  ka  la ; r r r r ka   k = a  r r r r r r   a va� b a � cu� n g ph� � ng �  k � R : b  ka  Điều kiện để hai vectơ phương: uuu r uuur AB  kAC  Điều kiện ba điểm thẳng hàng: A, B, C thẳng hàng  k  0:  Biểu thị vectơ theo hai vectơ không phương: Cho hai vectơ không r r r r r r a , b x x  m a  nb phương tuỳ ý Khi ! m, n  R: Chú ý:  Hệ thức trung điểm đoạn thẳng: uuu r uuu r uuur uuur uuur r M trung điểm đoạn thẳng AB  MA  MB   OA  OB  2OM (O tuỳ ý) Gv: Phạm Thị Nhung Năm học: 2013-2014 Vectơ phép toán  Hệ thức trọng tâm tam giác: uuu r uuu r uuur r uuu r uuu r uuur uuur G trọng tâm ABC  GA  GB  GC   OA  OB  OC  3OG (O tuỳ ý) VẤN ĐỀ 1: Khái niệm vectơ r Bài 1.Cho tứ giác ABCD Có thể xác định vectơ (khác ) có điểm đầu điểm cuối điểm A, B, C, D ? Baøi 2.Cho tứ giác ABCD.uuGọi ur M, uuurN, P, uuuQr lầnuulượt ur trung điểm cạnh AB, CD, AD, BC Chứng minh: MP  QN ; MQ  PN Bài 3.Cho hình bình hành ABCD có O giao điểm hai đường chéo Chứng minh: uuur uur uuur uuu r uuur AC  BA  AD ; AB  AD  AC a) uuu r uuur uuu r uuur b) Nếu AB  AD  CB  CD ABCD hình chữ nhật uuu r uuur uuur HA , HB, HC Baøi Cho ABC cạnh a, trực tâm H Tính độ dài vectơ r uuur uuu r uuur uuu AB  AC , AB  AD Bài 5.Cho , uuu r hình uuur vng ABCD cạnh a, tâm O Tính độ dài vectơ AB  AD VẤN ĐỀ 2: Chứng minh đẳng thức vectơ – Phân tích vectơ Để chứng minh đẳng thức vectơ phân tích vectơ theo hai vectơ không phương, ta thường sử dụng: – Qui tắc ba điểm để phân tích vectơ – Các hệ thức thường dùng như: hệ thức trung điểm, hệ thức trọng tâm tam giác – Tính chất hình Baøi 1.Cho C, uuu r 6uuđiểm ur uA, uur B,uu u r D, E, F Chứng minh: uuur uuu r uuu r uuu r uuu r uuur AB  DC  AC  DB AD  BE  CF  AE  BF  CD a) b) Baøi 2.Cho điểm A, B, C, D Gọi I, J AB CD uuutrung r uuurđiểm uuu r u uu r u u r Chứng minh: uuu r uuur uuur uuur  BD  AD  BC  2I J a) Nếu AB  CD AC  BD b) AC uuu r uuu r uuur uuur r GA  GB  GC  GD  c) Gọi G trung điểm IJ Chứng minh: d) Gọi P, Q trung điểm AC BD; M, N trung điểm AD BC Chứng minh đoạn thẳng IJ, PQ, MN có chung trung điểm Bài 3.Cho C, uuu r4 điểm uur A, uurB, u uu rD Gọi uuu rI, J trung điểm BC CD Chứng minh: 2( AB  AI  J A  DA)  3DB Baøi 4.Cho tam giác ABC, uu r ucó ur AM uur làrtrung tuyến I trung điểm AM a) Chứng minh: 2IA  IB  IC  uuu r uuu r uuur uur OA  OB  OC  OI b) Với điểm O bất kỳ, chứng minh: Baøi 5.Cho hai tam giác ABC ABC có trọng tâm G G uuur uuur uuuu r uuuu r � � � a) Chứng minh AA  BB  CC  3GG� b) Từ suy điều kiện cần đủ để hai tam giác có trọng tâm Bài 6.Cho tam giác ABC Gọi M điểm cạnh BC cho MB = 2MC Chứng minh: uuur uuu r uuur AM  AB  AC 3 Gv: Phạm Thị Nhung Năm học: 2013-2014 Vec tơ phép tốn Bài 7.Cho tam giác ABC.uuGọi ur Muulà u r trung điểm AB, D trung điểm BC, N điểm thuộc AC cho CN  2NA K trung điểm MN Chứng minh: uuur uuu r uuur uuur uuu r uuur AK  AB  AC KD  AB  AC a) b) Bài 8.Cho hình thang OABC M, N trung điểm OB OC Chứng minh rằng: uuur uuu r uuu r uuur uuur uuu r uuuu r uuur uuu r AM  OB  OA BN  OC  OB MN   OC  OB 2 a) b) uuu c) r r uuur r Bài 9.Cho hình bình hành ABCD, đặt AB  a, AD  b uGọi Iurlà trung điểm CD, G ur uu r r trọng tâm tam giác BCI Phân tích vectơ BI , AG theo a, b Baøi 10 Cho tam giác ABC Gọi I điểm cạnh BC cho 2CI=3BI Gọi F điểm dài uurcạnh uuu r BC kéo u uu r uuurcho 5FB=2FC a, Tính AI , AF theo AB , AC uuur uur uuur AG AI b, Gọi G trọng tâm tam giác ABC Tính theo AF Bài 11 Cho ABC có trọng tâm G Gọi H điểm đối xứng G qua B uuu r uuur uuur r HA  5HB  HC  a) Chứng uuurminh: uuu r uuur r r uuur r r b b) Đặt AG  a, AH  b Tính AB, AC theo a va� VẤN ĐỀ 3: Xác định điểm thoả mãn đẳng thức vectơ Để xác định điểm M ta cần phải rõ vị trí củauuđiểm ur rđó hình vẽ.r Thơng thường ta biến đổi đẳng thức vectơ cho dạng OM  a , O a xác định Ta thường sử dụng tính chất về: – Điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số k – Hình bình hành – Trung điểm đoạn thẳng – Trọng tâm tam giác, … uuur uuur uuur r Baøi Cho ABC Hãy xác định điểm M thoả mãn điều kiện: MA  MB  MC  Bài Cho đoạn thẳng AB có trung điểm I M điểm tuỳ ý không nằm đường thẳng AB Trên MIukéo uur dài, uur lấyuu1urđiểm N cho IN = MI a) Chứng minh: BN  BA  MBu.uu r uur uuur uuur uuur uuur NA  NI  ND ; NM  BN  NC b) Tìm điểm D, C cho: Bài Cho hình bình hành uuu rABCD uuur uuur uuur AB  AC  AD  AC a) Chứng minh rằng: uuur uuu r uuur uuur b) Xác định điểm M thoả mãn điều kiện: 3AM  AB  AC  AD Baøi 4.Cho tứ giác ABCD Gọi M, N trung điểm AD, BC uuuu r uuu r uuur MN  (AB  DC) a) Chứng minh: uuu r uu.u r uuur uuur r OA  OB  OC  OD  b) Xác định điểm O cho: Baøi 5.Cho ABC Hãy xác định điểm I, J, K, L thoả đẳng thức sau: uur uur r uur uur uur uur IB  3IC  2J A  J C  J B  CA a) uu b) u r uuu r uuur uuu r uur uur uuu r r KA  KB  KC  BC LA  LB  LC  c) d) Gv: Phạm Thị Nhung Năm học: 2013-2014 Vectơ phép tốn Bài Cho hình bình hành ABCD có tâm O Hãy xác định điểm I, F, K thoả đẳng uthức u r usau: ur uur uur uur uuu r uuu r uuur IA  IB  IC  ID FA  FB  FC  FD a) uuu b) r uuu r uuur uuur r c) 4KA  3KB  2KC  KD  VẤN ĐỀ 4: Chứng minh ba điểm thẳng hàng – Hai điểm trùng  Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta chứng minh ba điểm thoả mãn đẳng uuu r uuur AB  kAC thức , với k   Để chứng minh hai điểm M, N trùng ta chứng minh chúng thoả mãn đẳng thức uuur uuur uuuu r r OM  ON , với O điểm MN  uuu r uuu r uuur r OA  OB  3OC  Chứng tỏ A, B, C thẳng Baøi 1.Cho bốn điểm O, A, B, C cho : hàng uur uur uu r uur J C   J A Baøi 2.Cho ABC với I, J, K xác định bởi: IB  2IC , , uuu r uuu r KA   KB uu r uur uuu r uuur IJ , IK theo AB va� AC a) Tính b) Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng (HD: J trọng tâm AIB) Bài Cho thẳng BC, AC, AB lấy điểm M, N, P uuurtam giác uuur ABC uuu r Trên uuurcácuuđường r uuu r r MC NA  3CN , PA  PB  cho MBuuu3 r uuur, uuu r uuur PM , PN AB , AC a) Tính theo b) Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng Bài Cho hình bình hành ABCD Trên BC lấy điểm H, BD lấy điểm K cho: uuur uuu r uuur uuur BH  BC , BK  BD Chứng minh: A, K, H thẳng hàng Bài Cho hình bình hành ABCD Trên tia AD, AB lấy điểm F, E cho AD 1 = AF, AB = AE Chứng minh: a) Ba điểm F, C, E thẳng hàng b) Các tứ giác BDFC, DBEC hình bình hành uu r uur r uur uur uuu r r IA  IC  JA  JB  JC 0 Bài Cho tam giác ABC Hai điểm I,J xác định , Chứng minh ba điểm I,J,B thẳng hàng Bài Cho tam giác ABC, A điểm đối xứng A qua B, B điểm đối xứng B qua C, C điểm đối xứng C qua A Chứng minh tam giác ABC ABC có chung trọng tâm uuur uuur r uuur uuur r B  3A� C  , 2B� C  3B� A  0, Bài Cho ABC Gọi A, B, C điểm định bởi: A� uuur uuur r 2C� A  3C� B  Chứng minh tam giác ABC ABC có trọng tâm Bài Trên cạnh AB, BC, CA ABC lấy điểm A, B, C cho: AA� BB� CC�   AB BC AC Chứng minh tam giác ABC ABC có chung trọng tâm VẤN ĐỀ 5: Tập hợp điểm thoả mãn đẳng thức vectơ Gv: Phạm Thị Nhung Năm học: 2013-2014 Vec tơ phép tốn Để tìm tập hợp điểm M thoả mãn đẳng thức vectơ ta biến đổi đẳng thức vectơ để đưa tập hợp điểm biết Chẳng hạn: – Tập hợp điểm cách hai đầu mút đoạn thẳng đường trung trực đoạn thẳng – Tập hợp điểm cách điểm cố định khoảng không đổi đường tròn có tâm điểm cố định bán kính khoảng khơng đổi Bài 1.Cho điểm cố định A, B Tìm tập hợp điểm M cho: uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur MA  MB  MC  MB  MC a) MA  MB  MA  MB b) uuur uuu r uuur uuur c, MA  BC  MA  MB Baøi 2.Cho ABC uu r uu r uur r a) Xác định điểm I cho: 3IA  2IB  IC  uuu r uuu r uuur uuu r uuu r HA  HB  HC  HA  HB b) Tìm tập hợp điểm H cho: uuu r uuu r uuur uuu r uuur KA  KB  KC  KB  KC c) Tìm tập hợp điểm K cho: Baøi 3.Cho ABC uu r uu r uur r 3IB  2IC  a) Xác định điểm I cho: IAuuu r uuur r DB  2DC  b) Xác định điểm D cho: c) Chứng minh điểm A, I, D thẳng hàng uuur uuur uuur uuur uuur uuur MA  MB  MC  MA  MB  MC d) Tìm tập hợp điểm M cho: II TOẠ ĐỘ Trục toạ độ  Trục toạ độ (trục) đường thẳng xác định điểm gốc O vectơ r r O ; e   e đơn vị Kí hiệu r r r u  (a) � u  ae  Toạ độ vectơ trục: uuur r M ( k ) � OM  k.e  Toạ độ điểm trục: uuu r r AB  a � AB  ae  Độ dài đại số vectơ trục: uuu r r AB cu� n g h� � � n g v� � i e Chú ý: + Nếu uuu AB  AB r r � � c h� � � ng v� � i e AB   AB Nếu AB ng� + Nếu A(a), B(b) AB  b  a + Hệ thức Sa–lơ: Với A, B, C tuỳ ý trục, ta có: AB  BC  AC Hệ trục toạ độ  Hệ gồm hai trục toạ độ Ox, Oy vng góc với Vectơ đơn vị Ox, Oy r r i , j O gốc toạ độ, Ox trục hoành, Oy trục tung r r r r u  ( x ; y ) � u  x i  y j  Toạ độ vectơ hệ trục toạ độ: Gv: Phạm Thị Nhung Năm học: 2013-2014 Vectơ phép toán uuur r r M (x; y) � OM  xi  y j  Toạ độ điểm hệ trục toạ độ: r r a  ( x ; y ), b  (x� ; y� ), k �R , A(xA; yA ), B(xB; yB ), C(xC ; yC ) :  Tính chất: Cho � r r �x  x� a b� � r r r � � y  y� � a + + �b  (x �x ; y �y ) + ka  (kx; ky) r r r � y� ky + b phương với a �0  k  R: x  kx va� + uuu r AB  (xB  xA; yB  yA ) x� y�  x y (nếu x  0, y  0)  + Toạ độ trung điểm I đoạn thẳng AB: + Toạ độ trọng tâm G tam giác ABC: xI  xG  xA  xB y y ; yI  A B 2 xA  xB  xC xM  + Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k  1: uuur uuur MA  kMB ( M chia đoạn AB theo tỉ số k  ) ; yG  yA  yB  yC xA  kxB y  kyB ; yM  A 1 k 1 k VẤN ĐỀ 1: Toạ độ trục Bài 1.Trên trục x'Ox cho điểm A, B có tọa độ 2 uuu r AB a) Tìm tọa độ b) Tìm tọa độ trung điểm I đoạn u thẳng uur AB uuur r MA  MB  c) Tìm tọa độ điểm M cho d) Tìm tọa độ điểm N cho 2NA  3NB  1 Baøi 2.Trên trục x'Ox cho điểm A(2), B(4), C(1), D(6) 1   a) Chứng minh rằng: AC AD AB b) Gọi I trung điểm AB Chứng minh: IC ID  IA c) Gọi J trung điểm CD Chứng minh: AC AD  AB AJ Baøi 3.Trên trục x'Ox cho điểm A, B, C, D tuỳ ý a) Chứng minh: AB.CD  AC.DB  DA.BC  b) Gọi I, J, K, L trung điểm đoạn AC, BD, AB, CD Chứng minh đoạn IJ KL có chung trung điểm VẤN ĐỀ 2: Toạ độ hệ trục Baøi 1.Viết tọa độ vectơ sau: r r r 1r r r r r r r a  2i  3j ; b  i  5j ; c  3i ; d  2 j a) Gv: Phạm Thị Nhung Năm học: 2013-2014 Vec tơ phép toán r r r r r r r 3r r r r r r a  i  3j ; b  i  j ; c  i  j ; d  4j ; e  3i 2 b) r r r r Baøi Viết dạng u  xi  yj biết toạ độ vectơ u là: r r r r a) u  (2; 3); u  (1;4); u  (2;0); u  (0; 1) r r r r b) u  (1;3); u  (4; 1); u  (1;0); u  (0;0) r r a  (1 ;  2), b  (0;3) Tìm toạ độ vectơ sau: Baøi Cho r r r r r r r 1r r r r r r r r r r u  3a  2b; v   b; w  4a  b a) x  a  b; y  a  b; z  2a  3b b) r � 1�r r a  (2;0), b  � 1; � , c  (4; 6) � � Baøi Cho r r r r a) Tìm toạ độ vectơ d  2a  3b  5c r r r r b) Tìm số m, n cho: ma  b  nc  r r r c theo a ,b c) Biểu diễn vectơ Baøi Cho hai điểm A(3; 5), B(1;0) uuur uuu r OC   AB a) Tìm toạ độ điểm C cho: b) Tìm điểm D đối xứng A qua C c) Tìm điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k = –3 Baøi Cho ba điểm A(–1; 1), B(1; 3), C(–2; 0) a) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng b) Tìm tỉ số mà điểm A chia đoạn BC, điểm B chia đoạn AC, điểm C chia đoạn AB Baøi Cho ba điểm A(1; 2), B(0; 4), C(3; 2) uuu r uuur uuu r AB , AC , BC a) Tìm toạ độ vectơ b) Tìm tọa độ trung điểm I đoạn uuur AB.uuu r uuur CM  AB c) Tìm tọa độ điểm M cho: uuur uuur  3uAC uur r d) Tìm tọa độ điểm N cho: AN  2BN  4CN  Baøi Cho ba điểm A(1; –2), B(2; 3), C(–1; –2) a) Tìm toạ độ điểm D đối xứng A qua C b) Tìm toạ độ điểm E đỉnh thứ tư hình bình hành có đỉnh A, B, C c) Tìm toạ độ trọng tâm G tam giác ABC BÀI TẬP ƠN CHƯƠNG I Bài Cho tam giác ABC với trực tâm H, B điểm đối xứng với B qua tâm O đường uuur uuur uuur uuur � �va� AH va� B C ; AB HC tròn ngoại tiếp tam giác Hãy xét quan hệ vectơ Baøi 2.Cho ABC Gọi M, N trung điểm AB, AC Chứng minh rằng: uuu r uuur uuuu r uuur uuur uuur uuur uuur uuur AB   CM  BN AC   CM  BN MN  BN  CM 3 3 3 a) c) c) Bài 3.Cho ABC có trọng tâm G Gọi H điểm đối xứng B qua G uuur uuur uuu r uuur r uuur uuu AH  AC  AB CH    AB  AC  3 a) Chứng minh: uuuu r uuur uuu r MH  AC  AB 6 b) Gọi M trung điểm BC Chứng minh: Gv: Phạm Thị Nhung Năm học: 2013-2014 Vectơ phép tốn Bài Cho bốn điểm A, B, C, Gọi lượt uuur uuur D uuu r uI,uu rJ lầnuu r trung điểm AB CD a) Chứng minh: AC  BD  AD  BC  2IJ uuu r uuu r uuur uuur r GA  GB  GC  GD  b) Gọi G trung điểm IJ Chứng minh: c) Gọi P, Q trung điểm đoạn thẳng AC BD; M, N trung điểm đoạn thẳng AD BC Chứng minh ba đoạn thẳng IJ, PQ MN có chung trung điểm Bài Cho tam giác ABC điểm M tuỳuý uuu r uuur uuu r uuur uuur uuu r MD  MC  AB ME  MA  BC a) Hãy , , uuu r uxác uur định uur điểm D, E, F cho MF  MB  CA Chứng minh điểm D, E, F không phụ thuộc vào vị trí điểm M uuur uuur uuur uuuu r uuur uuur MA  MB  MC MD  ME  MF b) So sánh hai tổng vectơ: Baøi Cho ABC với trung tuyến AM Gọi I trung điểm AM uu r uur uur r IA  IB  IC  a) Chứng minh: uuu r uuu r uuur uur OA  OB  OC  OI b) Với điểm O bất kì, chứng minh: Bài Cho hình bình hành ABCD tâm O Gọi I trung điểm BC G trọng tâm ABC Chứng minh: uur uuur uuu r uuur uuu r uuu r uuur AI  AO  AB DG  DA  DB  DC a) b) Baøi Cho hình bình hành ABCD tâm O Gọi I J trung điểm BC, CD uur uuur uuu r uuu r uur uur r AI   AD  2AB OA  OI  OJ  a) Chứng minh: minh: uuur uuur uuub) r Chứng r c) Tìm điểm M thoả mãn: MA  MB  MC  uuur uuu r AD  AB Bài Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi D E điểm xác định , uuu r uuur AE  AC r uuur uuur uuu uuu r uuur AG , DE , DG theo AB va� AC a) Tính b) Chứng minh ba điểm D, E, G thẳng hàng uuur uuur AD  AC Baøi 10 Cho ABC Gọi D điểm xác định M trung điểm đoạn BD uuu r uuur uuur AB va� AC a) Tính AM theo b) AM cắt BC I Tính Bài 11 Cho ABC Tìm tập hợp điểm M thỏa điều kiện: uuur uuur uuur r uuur uuur MA  MB a) b) MA  MB  MC  uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur MA  MB  MA  MB c) d) MA  MB  MA  MB uuur uuur uuur uuur e) MA  MB  MA  MC uuu r uuur uuu r uuu r BC va� BD AB va� AF Bài 12.Cho lục giác ABCDEF Phân tích vectơ theo vectơ Bài 13 Cho hình thang uuu r OABC, uuu r uuurAM trung tuyến tam giác ABC Hãy phân tích vectơ uuur AM theo vectơ OA,OB,OC Bài 14 Cho ABC Trên đường thẳng BC, AC, AB lấy điểm M, N, P cho uuur uuur uuu r uuur uur uuu r r MB  3MC, NA  3CN, PA  PB  uuur uuur uuu r uuur PM , PN AB , AC a) Tính theo b) Chứng minh: M, N, P thẳng hàng Bài 15 Cho ABC Gọi A1, B1, C1 trung điểm BC, CA, AB Gv: Phạm Thị Nhung Năm học: 2013-2014 uuur uVec uur tơuu uu r cácr phép toán AA1  BB1  CC1  a) Chứng uuuminh: r r uuuu r r uuu r uur uuu r r r BB1  u,CC1  v v BC , CA , AB b) Đặt Tính theo u va� Bài 16 Cho ABC Gọi I điểm cạnh BC cho 2CI = 3BI Gọi F điểm cạnh BC kéo dài 2FC uur cho uuu r 5FB = uuu r uuur AI , AF theo AB va� AC a) Tính uuur uur uuu r AG theo AI va� AF b) Gọi G trọng tâm ABC Tính Bài 17 Cho ABC có A(4; 3) , B(1; 2) , C(3; 2) a) Tìm tọa độ trọng tâm G ABC b) Tìm tọa độ điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành Bài 18 Cho A(2; 3), B(1; 1), C(6; 0) a) Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng b) Tìm tọa độ trọng tâm G ABC c) Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD hình bình hành Bài 19 Cho A(0; 2) , B(6; 4) , C(1; 1) Tìm toạ độ điểm M, N, P cho: a) Tam giác ABC nhận điểm M, N, P làm trung điểm cạnh b) Tam giác MNP nhận điểm A, B, C làm trung điểm cạnh Bài 20 Cho điểm A, B, C, D Gọi M N trung uur điểm uur uurAB, uuu rCD, O uuu rlà trung điểm MN Chứng minh với điểm S bất kì, ta có: SA  SB  SC  SD  4SO Bài 21 Cho tam giác ABC điểm M tùy ý uuuu r uuur uuu r uuur uuur uuu r MD  MC  AB ME  MA  BC a) Hãy , , uuu r uxác uur định uur điểm D, E, F cho MF  MB  CA Chứng minh D, E, F khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M uuur uuur uuur uuuu r uuur uuur MA  MB  MC va� MD  ME  MF b) So sánh véc tơ Bài 22 Cho tứ giác ABCD uuu r uuu r uuur uuur r a) Hãy xác định vị trí điểm G cho: GA  GB  GC  GD  (G đgl trọng tâm tứ giác ABCD) uuur uuu r uuu r uuur uuur OG   OA  OB  OC  OD  b) Chứng minh với điểm O tuỳ ý, ta có: Bài 23 Cho G trọng tâm tứ giác ABCD A, B, C, D trọng tâm tam giác BCD, ACD, ABD, ABC Chứng minh: a) G điểm chung đoạn thẳng AA, BB, CC, DD b) G trọng tâm của tứ giác ABCD Bài 24 Cho tứ giác ABCD u Trong uu r trường hợp sau xác định điểm I số k r v k.MI với điểm M: cho vectơ r uuur uuur uuur r uuur uuur uuur v  MA  MB  MC v  MB  2MC a) b)  MA r uuur uuur uuur uuuu r r uuur uuur uuur uuuu r v  MA  MB  MC  MD v  MA  MB  MC  MD c) d) uu r uur r Bài 25 Cho ABC Hai điểm I, J xác định bởi: IA  3IC  , uur uur uur r J A  2J B  3J C  Chứng minh điểm I, J, B thẳng hàng r uuur r uuur uuur r uuu Bài 26 Cho ABC Hai điểm M, N xác định bởi: 3MA  4MB  , NB  3NC  Chứng minh điểm M, G, N thẳng hàng, với G trọng tâm ABC uuur uuur uuu r uuur uur uuu r r MB  MC  NA  NC  PA  PB 0 Bài 27 Cho ABC Lấy điểm M N, P: uuur uuur uuu r uuur AC a) Tính PM , PN theo AB va� b) Chứng minh điểm M, N, P thẳng hàng Gv: Phạm Thị Nhung Năm học: 2013-2014 10 Vectơ phép toán uuur uuur r Bài 28 Cho tam giác ABC có trọng tâm G Các điểm M, N thoả mãn: MA  4MB  , uuur uuu r CN  BC Chứng minh đường thẳng MN qua trọng tâm G ABC Bài uuur 29.uuCho ur utam uu r giác ABC Gọi I trung điểm BC, D E hai điểm cho BD  DE  EC uuu r uuur uuur uuu r AB  AC  AD  AE a) Chứnguuminh r uuu r uuur uuur uuu r uur b) Tính AS  AB  AD  AC  AE theo AI Suy ba điểm A, I, S thẳng hàng uuu r uuu r uuu r BM  BC  AB Bài Cho , uuur 30 u uur tam uuu r giác ABC Các điểm M, N xác định hệ thức CN  xAC  BC a) Xác định x để A, M, N thẳng hàng IM b) Xác định x để đường thẳng MN trung điểm I BC Tính IN a  b  c �0 Bài 31 Cho ba điểm cố định A, B, C ba số thực a, b, c cho uuu r uuu r uuur r aGA  bGB  cGC  a) Chứng minh có điểm uuur G thoả uuur mãnuuur uuur b) Gọi M, P hai điểm di động cho MP  aMA  bMB  cMC Chứng minh ba điểm G, M, P thẳng hàng uuuu r uuur uuur uuur MN  2MA  3MB  MC Bài 32 Cho tam giác ABC Các điểm M, N thoả mãn uu r uu r uur r a) Tìm điểm I thoả mãn 2IA  3IB  IC  b) Chứng minh đường thẳng MN qua điểm uuuu r cố uđịnh uur uuur uuur MN  MA  MB  MC Bài 33 Cho tam giác ABC Các uu r điểm uu r uM, ur Nr thoả mãn a) Tìm điểm I cho 2IA  IB  IC  b) Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định c) Gọi P trung điểm BN Chứng minh đường thẳng MP qua điểm cố định Bài 34 Cho ABC Hãy xác định điểm I, J, K, L thoả đẳng thức sau: uu r uur uuu r uur uur uur r IA  IB  BC A  J B  2J C  a) uuu b) Juu r uuu r uuur uuu r r uuu r uuu r uuur KA  KB  KC  BC LA  LC  AB  2AC c) d) Bài 35 Cho ABC Hãy xác định điểm I, F, K, L thoả đẳng thức sau: uu r uur uuu r uur uuu r uuu r uuu r uuur IA  IB  IC  BC FA  FB  FC  AB  AC a) uuu b) uuuu r uuu r uuur r r uur uuu r r c) 3KA  KB  KC  d) 3LA  2LB  LC  Bài 36 Trên trục x'Ox cho điểm A, B có tọa độ 3 a) Tìm tọa độ điểm M cho 3MA  2MB  b) Tìm tọa độ điểm N cho NA  3NB  AB Bài 37 Trên trục x'Ox cho điểm A, B, C có tọa độ a, b, c a) Tìm tọa độ trung điểm I AB uuur uuur uuur r  MB  MC  b) Tìm tọa độ điểm M cho MA uuu r uuu r uuur NA  NB  NC c) Tìm tọa độ điểm N cho Gv: Phạm Thị Nhung Năm học: 2013-2014 ... ABC Hai điểm I,J xác định , Chứng minh ba điểm I,J,B thẳng hàng Bài Cho tam giác ABC, A điểm đối xứng A qua B, B điểm đối xứng B qua C, C điểm đối xứng C qua A Chứng minh tam giác ABC ABC... KD  VẤN ĐỀ 4: Chứng minh ba điểm thẳng hàng – Hai điểm trùng  Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta chứng minh ba điểm thoả mãn đẳng uuu r uuur AB  kAC thức , với k   Để chứng minh... có trọng tâm Baøi 6 .Cho tam giác ABC Gọi M điểm cạnh BC cho MB = 2MC Chứng minh: uuur uuu r uuur AM  AB  AC 3 Gv: Phạm Thị Nhung Năm học: 2013-2014 Vec tơ phép tốn Bài 7 .Cho tam giác ABC.uuGọi