Sách tham khảo môn Toán Chuyên đề đẳng thức tổ hợp

Chuyên đề ĐẲNG THỨC TỔ HỢP Chương Tổng quan hệ số nhị thức Tóm tắt nội dung Đẳng thức tổ hợp (ĐTTH) giới thiệu viết hiểu đẳng n thức có chứa hệ số nhị thức (binomial coefficient)   ĐTTH đề tài hay k  khó, với nhiều phương pháp tiếp cận khác cho toán Trong phần này, tác giả hệ thống cho bạn đọc số khái niệm công thức thường sử dụng 1.1 Một số khái niệm 1.1.1 Hệ số nhị thức Định nghĩa 1.1 (Hệ số nhị thức) n Hệ số nhị thức ký hiệu   hệ số xk khai triển nhị k  n n n n thức 1  x     x k   đọc số tổ hợp n chập k (n choose k) k 0  k  k  Lưu ý rằng, số quốc gia Châu Á có Việt Nam, thường ký hiệu tổ hợp n chập k Cnk n Trong toàn chuyên đề sử dụng ký hiệu quốc tế   k  Tính chất 1.1 (Quy ước) n    nếu k  n  k < ≤ n k  Định lý 1.1 (Công thức giai thừa) n n! Với số ngun khơng âm n k ta có     k  k ! n  k ! với n! = 1.2 n quy ước 0! = 1 1.1 1.1.2 Luỹ thừa giảm, lũy thừa tăng Định nghĩa 1.2 (Luỹ thừa giảm) Lũy thừa giảm n x xn  x  x  1  x  n  1 n nhâ n tử Quy ước x0  Định nghĩa 1.3 (Luỹ thừa tăng) Lũy thừa tăng n x  x   x  x  1  x  n  1 n n nhaâ n tử Quy ước  x 0   n  nk  n  k  1k  1  n k   Tính chất 1.2–    k! k! k  k! k 1.1.3 Khai triển nhị thức suy rộng với số mũ thực Định lý 1.2– Với số thực x s ta có  s  s  x      x k k 0  k  s1 s2 sk   x  x   x k  1! 2! k! 1.2  1.3 Chứng minh Đặt f  x   1  x  , áp dụng khai triển Maclaurin cho f (x), ta có s f    1  x  s x 0 f '    s 1  x   s0 s 1 f ''    s 1  x  x 0  s1 s 2 x 0  s2  f k   0  sk  Do đó: f  x    k 0 f k  0 xk  k!  sk k x  k 0 k ! Vì lý nên người ta mở rộng hệ số nhị thức cho “cơ số” thực s sau: Định nghĩa 1.4 Với s ∈ R k ∈ N  s  s k s  s  1  s  k  1    k! k  k! s    xác định gọi hệ số nhị thức mở rộng k  1.2 Các tính chất Tính chất 1.3 (Tính chất đối xứng) Với số nguyên n, k thoả mãn ≤ k ≤ n ta có n  n     k  nk  Tính chất 1.4 (Cơng thức Pascal)  n   n   n  1      k   k    k  1 Chứng minh Chứng minh trực tiếp từ công thức giai thừa Từ công thức Pascal, người ta lập bảng số sau, gọi Tam giác Pascal n n   0 n   1  n   2 n   3  n   4 n   5     1 3 1 1 10 10 … … … … … Tam giác Pascal cho phép ta tính dần hệ số nhị thức Mỗi số tam giác Pascal xác định tổng hai số hạng hàng gần phía bên trái (theo hướng mũi tên) Tính chất 1.5 (Tổng theo cột) n  k   n 1    m    m  1 k 0     Ví dụ 1.1 n n   1  n   2 3 10 15 n   3  + + + 10 + 15 = 35 35 Chứng minh  k  n  k    k             (Theo công thức Pascal) k 0  m  k   m    m    n  n 1        m    m  1 (Sai phân)  n 1     m  1 Tính chất 1.6 (Tổng theo đường chéo chính)  m  k   m  n  1   k   n  k 0  n  n n   0 n   1  n   3  n   2 n   4 + + + 10 + 15 = 35 10 15 35 Chứng minh m k  n m k        k  k 0  m  k 0  n (Đối xứng)  m  n  1    m 1  (Tổng theo cột)  m  n  1   n   (Đối xứng) Tính chất 1.7 (Tổng theo đường chéo phụ (số Fibonacci)) nk    Fn 1 k  k 0  n  Ví dụ 1.3 n   0 n n   1  n   3  n   2 F6 F7 F8 10 n   4 5 6 1 + + = = F6 + + + = 13 = F7 + + 10 + = 21 = F8 Chứng minh Ta chứng minh đẳng thức quy nạp theo n 1    0 Với n = n = dễ thấy tổng là:     F1        F2   1  0 Giả sử đẳng thức đến n − Khi ta có:  n  k  n  n 1  k  n  n 1 k           (Pascal) k  k 0  k   k 0  k  k 0  n n2 n   k   n1  n   k        k k 0   k 0  k   Fn2  Fn1  Fn ( (giả thiết quy nạp) Cơng thức truy hồi dãy Fibonacci) Tính chất 1.8 (Quy tắc “hút” (absorption)) Với < k ≤ n, ta có:  n  n  n  1      k  k  k  1 Chứng minh Chứng minh trực tiếp từ công thức giai thừa Tính chất 1.9 (Cơng thức lùi “cơ số”) Với ≤ k < n, ta có: n n  n  1     k  nk  k  Chứng minh Chứng minh trực tiếp từ cơng thức giai thừa Tính chất 1.10– Tập tập Với ≤ k ≤ m ≤ n, ta có:  n  m   n  n  k          m  k   k  m  k  Chứng minh Chứng minh trực tiếp từ công thức giai thừa Một đẳng thức hay dùng đến đẳng thức Vandermonde Tính chất 1.11 (Đẳng thức Vandermonde (2 thừa số)) Cho số ngun khơng âm n, m, r Ta có:  n  m   n  m   k      r  n   k  r  k    Chứng minh Dựa vào đẳng thức: 1  x  1  x   1  x  n m nm Khai triển ta có:  n  k n  m  j nm  n  m  k   x   x    x k  k 0  k  j 0  j  k 0  n n m nm n  m  n  m    k      x j  k    x k  k  j   k  j  k 0  So sánh hệ số xr hai vế ta có:  n  m   n  m   j  k  r     r    k  j     n  m   n  m        k   k  r  k   r  n Chứng minh tương tự ta có đẳng thức mở rộng sau: Tính chất 1.12 (Đẳng thức Vandermonde (mở rộng)) Cho số nguyên không âm n1, , nr, k = k1 + k2 + + kr Ta có:  n1  n2   nr   n1  n2   nr          k k1  k2   kr  k  k1  k2   kr     Chương Phương pháp cân hệ số chứng minh đẳng thức tổ hợp 2.1 Khai triển số thực 2.2 Ứng dụng số phức Tóm tắt nội dung Phương pháp cân hệ số phương pháp hay mạnh toán tính tổng có chứa hệ số nhị thức Cơ sở phương pháp việc đồng hai đa thức (có thể chuỗi luỹ thừa) Từ đẳng thức, ta khai triển thành đa thức theo cách khác nhau, hai đa thức thu phải Từ ta suy hệ số số hạng bậc khai triển nhau, điều cần chứng minh yêu cầu tính đề 2.1 Khai triển số thực Ví dụ 2.1 Chứng minh đẳng thức  2n  n  2n   1     1    k 0 k   n 2n k Lời giải Xét đẳng thức : 1  x   1  x  2n 2n 1  x  2n (2.1) Khai triển Vế Trái (2.1), ta có: 1  x  2n n 2n   k      1 x k k 0  k  n  2n  Hệ số x2n khai triển tương ứng với số hạng k = n  1   n  Khai triển Vế Phải (2.1), ta được: 1  x  1  x  2n 2n n 2n n 2n     k      1 x k    x j k 0  k  j 0  j  2n 2n k  2n  2n     1    x j  k k 0 j 0  k  j  Như vậy, hệ số x2n khai triển tương ứng với số hạng thoả k + j = 2n 2n  n  2n  2n  n k  2n  k  2n   1       1        1   k  j 2 n  k  j  k 0  k  2n  k  k 0 k  k Từ suy đẳng thức cần chứng minh Ví dụ 2.2 a) Chứng minh đẳng thức: n n k  n  2n  k  n  3n  Sn    1       1    k 0  k  2k  k 0  k  n  k  b) Tính S2m (m ∈ N) Lời giải Ta có đẳng thức: 1  x  1  x   1  x  1  x  n 2n n 3n Khai triển ta được: n 2n n n 3n   j   k  n  2k k n k  x x   x             x j   k 0 j 0  j  k 0 k   k  j 0  j  n n 2n n 2n k  n  2n  k  n  3n     1    x k  j    1    xi  j k 0 j 0 k 0 j 0  k  j   k  j  Tìm hệ số x2n hai khai triển ta có:   1 k  j 2n k 3n   n  2n  k  n        1     k  2n  2k  k  j 2 n  k  2n  k  n n  k  n  2n  k  n  3n    1       1    k 0  k  2k  k 0  k  n  k  Đẳng thức a) chứng minh Ta tiếp tục chứng minh đẳng thức b) Ta có: n k  n  3n  Sn    1    k 0  k  n  k  n ! 3n ! 1 k ! n  k ! n  k ! 2n  k ! k n  k 0 n ! 3n ! n  2n ! 2n ! 1    2n ! 2n ! k 0 k ! 2n  k ! n  k ! n  k ! k  n ! 3n ! n k  2n  2n   1      2n ! 2n ! k 0  k  n  k   S2 m   2m ! 6m ! k  4m  4m   1      4m ! 4m ! k  j 2m  k  j  Xét đẳng thức: 1  x  4m  1  x  4m 1  x  4m 4m 4m 4m k  4m  k  4m  4m     1   x k    1    x k  j k 0 k 0 j 0 k   k  j  Cân hệ số x2m đẳng thức ta có:  1 m  4m  k  4m  4m       1     m  k  j 2m  m  j  Từ suy ra:  2m ! 6m !  1  4m !   1  2m ! 6m ! S2 m  m! 3m ! 4m !  4m ! 4m ! m! 3m ! m m Ví dụ 2.3 Tìm hệ số x10 khai triển P  x   1  x  x  x3  15 10 ... k  m  k  Chứng minh Chứng minh trực tiếp từ công thức giai thừa Một đẳng thức hay dùng đến đẳng thức Vandermonde Tính chất 1.11 (Đẳng thức Vandermonde (2 thừa số)) Cho số nguyên không âm... cân hệ số chứng minh đẳng thức tổ hợp 2.1 Khai triển số thực 2.2 Ứng dụng số phức Tóm tắt nội dung Phương pháp cân hệ số phương pháp hay mạnh tốn tính tổng có chứa hệ số nhị thức Cơ sở phương pháp... = 21 = F8 Chứng minh Ta chứng minh đẳng thức quy nạp theo n 1    0 Với n = n = dễ thấy tổng là:     F1        F2   1  0 Giả sử đẳng thức đến n − Khi ta có:  n  k  n