CHỦ ĐỀ NHỊ THỨC NIU-TƠN

CHỦ ĐỀ NHỊ THỨC NIU-TƠN I KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 1) Cơng thức nhị thức Niu-tơn n Ta có  a  b   Cn0 a n  Cn1 a n 1.b   Cnn 1.a.b n 1  Cnn b n   Cnk a n  k b k n k 0 Một số kết quan trọng  Với a  b  1, ta có cơng thức n  Cn0  Cn1   Cnn 1  Cnn  Với a  1; b  x , ta có công thức 1  x   Cn0  Cn1 x  Cn2 x   Cnn x n n  Với a  1; b   x, ta có cơng thức 1  x   Cn0  Cn1 x  Cn2 x  Cn3 x3    1 Cnn x n n n  Với a  1; b  1, ta có 0n  Cn0  Cn1    1 Cnk   1 Cnn k n 3) Chú ý Trong biểu thức vế phải khai triển  a  b  n - Số hạng tử n  - Số hạng thứ k  khai triển Tk 1  Cnk a n  k b k - Các hạng tử có số mũ a giảm dần từ n đến 0; số mũ b tăng dần từ đến n, tổng số mũ a b hạng tử n (quy ước a  b  ); - Các hệ số cặp hạng tử cách hai hạng tử đầu cuối m  m n mn a a a  a ;  a mn  a n   n a an  n  - Các công thức lũy thừa thường dùng:  a m   a m.n  m a n  n a m  n a  a n   II HỆ THỐNG VÍ DỤ MINH HỌA  Dạng Tìm hệ số, số hạng khai triển khơng có điều kiện Phương pháp: n - Bước 1: Viết khai triển dạng tổng quát:  a  b    Cnk a n k b k  Tk 1  Cnk a n k b k n k 0 - Bước 2: Dựa vào giả thiết yêu cầu tìm hệ số x m , giải phương trình m  f  k   k - Bước 3: Thay vào biểu thức T kết luận Ví dụ Tìm hệ số số hạng chứa x4 khai triển  x  3 ? Lời giải: Trang Ta có  x     C9k x k  3 9k k 1 - Hệ số số hạng chứa xk khai triển là: T   3 9 k C9k - Số hạng chứa x3 tức k  T   3 C93  61236 Ví dụ Tìm hệ số số hạng chứa x5 khai triển  x  1 ? 12 Lời giải: Ta có  x  1 12 12   C12k  x   1 k 12  k k 1 12   1 12  k  2 k k 1 C12k  x  - Hệ số số hạng chứa xk khai triển là: T   1 12  k k  2 k C12k - Số hạng chứa x5 tức k  là: T     C125  25344 Ví dụ Tìm hệ số số hạng chứa x15 khai triển  x  x  ? 12 Lời giải: 12 Ta có  x  x   x12   x   x12  C12k 3k  1 12 12 12  k k 1 12 x12 k   C12k 3k  1 12  k x 24  k k 1 - Hệ số số hạng chứa x 24  k khai triển là: T  C12k 3k  1 12  k - Số hạng chứa x15 tức 24  k  15  k  1à T  39.C129 10 2  Ví dụ Tìm hệ số số hạng chứa x11 khai triển  x   ? x  Lời giải: 10 10  k 10 k  2 2  Ta có  x     C10k  x     x   x k 1 10    2  10  k k 1 C10k x 3k 10 - Hệ số số hạng chứa x3k 10 khai triển là: T   2  10  k C10k - Số hạng chứa x11 nên có 3k  10  11  k  7, hệ số 1à T   2  C107 12 1  Ví dụ Tìm hệ số số hạng chứa x4 khai triển  x   ? x  Lời giải: 12 12  k 12 1 1 k   Ta có  x     C12k  x     x   x k 1 12    1 k 1 12  k 2k C12k x k 12 Trang - Hệ số số hạng chứa x k 12 khai triển là: T   1 12  k 2k C12k - Số hạng chứa x4 nên có 2k  12   k  8, hệ số 1à T  28.C128 10   Ví dụ Tìm số hạng khơng chứa x khai triển  x   ? x   Lời giải: 10 10  k 10  k    Ta có  x     C10k  x    x   x  k 1 12   C10k x 5k 10 k 1 - Hệ số số hạng chứa x5 k 10 khai triển là: T  C10k x k 10 - Số hạng không chứa x tức 5k  10   k  2, hệ số 1à T  C102  45 12   Ví dụ Tìm số hạng khơng chứa x khai triển  x   ? x   Lời giải: 12 12 12 k 12  k   Ta có  x     C12k  x   x 4    C12k x k  48 x   k 0 k 0 6k  48  - Số hạng không chứa x ứng với   k 8 0  k  12 Vậy số hạng không chứa x bằng: C128  495 15   Ví dụ Tìm số hạng khơng chứa x khai triển  x3   ? x   Lời giải: 15 15 15 k 15 k   Ta có  x3     C15k  x3   x 2    215 k C15k x k 30 x   k 0 k 0 5k  30  Số hạng không chứa x ứng với  k 6 0  k  15 Vậy số hạng không chứa x bằng: 2156.C156  2562560 10   Ví dụ Tìm số hạng khơng chứa x khai triển  x   ? x   Lời giải: Trang 10 10 10 k 10  k   Ta có:  x     C10k  x   x 3    C10k x k 30 x   k 0 k 0 5k  30  Số hạng không chứa x ứng với   k  0  k  10 Vậy số hạng không chứa x bằng: C106  210 10   Ví dụ 10 Tìm số hạng không chứa x khai triển   x  ?  x  Lời giải: 10 10  1   Ta có :   x    C10k  x   x  k 0   k 10  k  1   x    10   C10k x 2  2k k 0 2k  0  2  Số hạng không chứa x ứng với   k  5 0  k  10 Vậy số hạng không chứa x bằng: C105  252 12 1  Ví dụ 11 Tìm số hạng khơng chứa x khai triển   x  ? x  Lời giải: 12  k 12 12 k   1  Ta có:   x    C12k  x 1   x  x  k 0   12   C12k x 6 3k k 0  3k 0 6  Số hạng không chứa x ứng với  k 4 0  k  12 Vậy số hạng không chứa x bằng: C124  495 16 1  Ví dụ 12 Tìm số hạng khơng chứa x khai triển  x   ? x  Lời giải: 16 k 4k 16 16 16 16  k  1 1    C16k x Ta có:  x     C16k  x   x 1  x  k 0 k 0    4k   16  Số hạng không chứa x ứng với   k  12 0  k  16 Trang Vậy số hạng không chứa x bằng: C126  1820  Dạng Tìm hệ số, số hạng khai triển có điều kiện Phương pháp: - Bước 1: Tìm n dựa vào điều kiện đề cho - Bước 2: Quy dạng biết Ví dụ Tìm hệ số số hạng chứa x4 khai triển  x  3 ? Lời giải: Ta có  x     C9k x k  3 9k k 1 Hệ số số hạng chứa xk khai triển là: T   3 9k C9k Số hạng chứa x3 tức k  T   3 C93  61236 n   Ví dụ Cho biết khai triển  x3   tổng hệ số hạng tử thứ nhất, thứ hai, thứ ba x   11 Tìm hệ số x2? Lời giải: Vì tổng hệ số hạng tử thứ nhất, thứ hai, thứ ba 11 nên ta có: Cn0  Cn1  Cn2  11   n n! n!   10  n  1!  n  ! n  n  1  10  n2  n  20    n   n     n  4 4 k 4k   Ta có:  x3     C4k  x3   x 2    C4k x5 k 8 x  k 0  k 0 5k   Số hạng chứa x2 ứng với   k  0  k  Vậy số hạng chứa x2 bằng: C42  n 1  Ví dụ Cho biết khai triển  x   , tổng hệ số hạng tử thứ nhất, thứ hai, thứ ba x  46 Tìm hạng tử khơng chứa x Lời giải: Vì tổng hệ số hạng tử thứ nhất, thứ hai, thứ ba 46 nên ta có: Cn0  Cn1  Cn2  46  n  n  1 n! n!   45  n   45  n  1!  n  ! Trang  n  n  90    n   n  10    n  9 9 k 9k 1  Ta có  x     C9k  x   x 1    C9k x 3k 9 x  k 0  k 0 3k   Số hạng không chứa x ứng với   k  0  k  Vậy số hạng không chứa x bằng: C93  84 n   Ví dụ Tìm hệ số khơng chứa x khai triển biểu thức A    x3   x   Trong n số  x  nguyên dương thỏa mãn: An3  Cn1  30Cn2  17 Lời giải Ta có: An3  Cn1  30Cn2  17  n  n  1 n    n  15n  n  1  17  n3  18n  18n  17   n  17 17  k  2  Với n  17 ta có số hạng tổng quát: Tk 1  C17k  x    Cho k 17 k 34   34  k 12 x  C x   17     k  17, k    17 k 34   k  Vậy số hạng không chứa x C178  24310 12 n   Ví dụ 4: Cho khai triển  x3   Biết tổng hệ số ba số hạng khai triển 631 x   Tìm hệ số số hạng chứa x5 Lời giải n n     Ta có:  x    Cnk    x  k 0  x   k   x3 nk n n 13 k    3k Cnk x k 0 Từ tổng hệ số số hạng khai triển là:  C k 0 k k n  30.Cn0  3.Cn1  32 Cn2  631   3n  9n  n  1  631  n  12 12 13k 12 18   Khi ta có:  x    3k Cnk x  k 0 x   Hệ số số hạng chứa x5 là: T  3k C12k Với k thỏa mãn: 18  13k   k   T  36.C126 Ví dụ Tìm hệ số số hạng chứa x15 khai triển  x  3 thành đa thức, biết n số nguyên n Trang dương thỏa mãn hệ thức An3  Cn1  8Cn2  49 Lời giải +) Điều kiện: n  n  n  1  49  n3  n  n  49  +) Ta có An3  Cn1  8Cn2  49  n  n  1 n    n    n    n2     n  7 +) Với n  ta có khai triển  x  3   C7k  x3   3 k   C7k 2k  3 7k k 0 7k x k k 0 Xét hạng tử x15 suy 3k  15 hay k  Từ hệ số hạng tử x15 C75 25  3  6048 n Ví dụ Tìm hệ số hạng tử chứa x8  n 1  khai triển nhị thức Newton   n x  biết n số  x  nguyên dương thỏa mãn Cnn41  Cnn3   n  3 Lời giải Cnn41  Cnn3   n  3  Cnn31  Cnn3  Cnn3   n  3 Cnn31   n  3   n  3!  n   n   14  n  12    n  1!2! n 12 12  k k 12   n 1   13   13   Ta có   n x     12 x    C12k   12 x   x  x  x   k 0  Ta có 12   C12k 13k1212 k x 60 11k k 0 60  11k   k  4, hệ số C124 134128 n 1  Ví dụ 7: Với số nguyên dương n, khai triển nhị thức  x   theo thứ tự số mũ giảm dần, tìm số 3  hạng đứng khai triển biết hệ số số hạng thứ ba Lời giải n n 1 1   1 Ta có  x    Cn0 x n  Cn1 x n 1  Cn2 x n       Cnn 3   3 Hệ số số hạng thứ khai triển Theo giả thiết Cn n! Cn    45  n  n  90   n  10 2! n   ! Trang 28  1 Với n  10 ta có 11 số hạng nên số hạng đứng số hạng thứ 6, tức    C105 x   x 27  3 n   Ví dụ Cho biết hệ số số hạng thứ tư khai triển  x   ,  x   70 Hãy tìm số 2x x   hạng khơng chứa x khai triển Lời giải n n k k 16 k n n   2n    65   k nk  k 1 5 Ta có  x   x  x  C x x  C x   n     n     2 2 x x      k 0    k 0 Hệ số số hạng thứ tư tương ứng với k  tức là: n! 1 Cn3      56  n3  3n  2n  336   n  3! n  !     16k   k  nên số hạng C85  Tìm số hạng khơng chứa x ta có: 2n   Ví dụ Tìm hệ số x5 khai triển x x  x  n biết Cn3  Cn2  1330 Lời giải Ta có Cn3  Cn2   n  1!  1330 n! n! n!  n! n 1 1       3! n  3! 2! n   ! 2! n  3!  n   2! n   !  n   3! n   !   n  1 n  n  1  1330.3!  n3  n  1330   n  20 Khi ta cần tìm hệ số x5  khai triển x x  x k Gọi số hạng phải tìm T(k) ta có: T  k   C20k x x 4  20 k   20  C20k x     x2  x4    k 5  20 k 5  5 k  8 Vậy hệ số x5 C20  125970 n 3  Ví dụ 10 Cho khai triển   x  Tìm hệ số x2 khai triển biết tổng hệ số khai triển x   1024 Lời giải n n 3  3 Ta có khai triển Niu tơn:   x    Cni   x  x i 0 Tổng hệ số khai triển n   1 i n i n i   x  i n 3i n    1 Cni 3ni x , x  i i0    1  2n Theo giả thiết ta tìm n  10 n i0 Trang 10 3i 10 10 i 3  Khi đó,   x     1 C10i 310i x , x  x  i0 Để có số hạng chứa x2 3i  10   i  Hệ số cần tìm 32 C108  405 n 1  Ví dụ 11 Tìm hệ số x7 khai triển nhị thức  x   ,  x   Biết n số tự nhiên thỏa x   mãn Cn2  An2  n  112 Lời giải n k n n n nk   1 nk  Ta có  x     Cnk  x        Cnk x n  k x  k 0 k 0  x  k 0 Theo bài, n số tự nhiên thỏa mãn Cn2  An2  n  112  5Cn2  n  112  n  n  1  n  112  n  Hệ số x7 khai triển T  27  k C7k ứng với 4.7  k   k   T  560 n 2  Ví dụ 12 Tìm hệ số x4 khai triển biểu thức   x3  , biết n số tự nhiên thỏa mãn hệ thức x   Cnn46  nAn2  454 Lời giải: n n k 2  2 Ta có:   x     1 Cnk   x  x k 0 Theo bài, Cnn46  nAn2  454  nk n  x     1   k k nk k 0 Cnk x k  n  n   n  5  n  n  n   454  n  Vậy hệ số x4 khai triển là: T   1   k 8 k  C8k ứng với 4k    k   T  1792 Ví dụ 13 Tìm hệ số x9 khai triển:  3x  2n ; n  * , biết 14  3 Cn 3Cn n Lời giải  Ta có:  x Theo bài:  2n 2n    1 C2kn k 0 k  3x  k 2n   k    C2kn  x  k 0 k 14 28  3   1 n  Cn 3Cn n n   n  1 n   Trang   k Vậy hệ số x9 khai triển là: T   C18k ứng với k   T  3938220 2n   Ví dụ 14 Tìm hệ số số hạng chứa x8 khai triển  x     3n thành đa thức, biết n số nguyên dương thỏa mãn hệ thức An3  6Cn2  4Cn1  100 Lời giải: Ta có: An3  6Cn2  4Cn1  100  n! n!   4n  100 (với n  ; n  )  n  3! 2!  n  !  n  n  1 n    3n  n  1  4n  100  n3  5n  100  n  3n 15 15 2n   Với n  xét khai triển A   x     x     C15k x k 215 k   Số hạng chứa x8 tương ứng 2k   k  4 Vậy hệ số chứa x8 khai triển C15 211  2795520 n Ví dụ 15 Tìm hệ số số hạng chứa 3  khai triển  x   thành đa thức, biết n số nguyên x x   dương thỏa mãn hệ thức Cn3  Cnn13  Cnn12 Cn1 Lời giải Ta có: Cn3  Cnn13  Cnn12 Cn13   n  1!   n  1! n  (với n  ; n  ) n!    3! n  3! 2! n  3 !  n   ! n  n  1 n    n  1 n      n  1 n  3  n  n     n     n  3  n  11n  12   n  12  12 12 12 k 12  k 3 12  k k 36  Khi xét khai triển A   x     C12k  x   3 x 3    C12k 2k  3 x x   0 Số hạng chứa tương ứng x5 k 36  x 1  5k  36  1  k  x Khi hệ số số hạng chứa là: C127 27  3  24634368 x n   Ví dụ 16 Tìm hệ số số hạng khơng chứa x khai triển  x   thành đa thức, biết n số x  nguyên dương thỏa mãn hệ thức Cn6  3Cn7  3Cn8  Cn9  2Cn8 Lời giải: Trang 10 A 360 B 210 C 250 D 240 Câu 63: Cho khai triển 1  x  với n số nguyên dương Tìm hệ số số hạng chứa x3 khai triển n biết C21n 1  C22n 1  C23n 1   C2nn 1  20  A 480 B 720 C 240 D 120 Câu 64: Tìm hệ số x5 khai triển P  x   x 1  x   x 1  x  A 80 B 3240 10 C 3320 D 259200 Câu 65: Tìm hệ số x5 khai triển đa thức x  x  1   x  3 A -1752 B 1272 C 1752 D -1272 Câu 66: Tìm hệ số x4 khai triển P  x   1  x  x  với n số tự nhiên thỏa mãn hệ thức n Cnn   6n   An21 A 210 B 840 C 480 Câu 67: Tìm hệ số x10 khai triển 1  x  x  x A B 50 D 270  C 101 D 105 Câu 68: Tìm hệ số x5 khai triển P  x   1  x   1  x    1  x  A 630 B 635 C 636 D 637 Câu 69: Hệ số số hạng x30 khai triển f  x    x  1  x  x  thành đa thức 20 A 631181184 B 3611181184 C 361811184 D 361181184 Câu 70: Tìm hệ số số hạng chứa x5 khai triển 1  x  x  x  10 A 1902 B 7752 C 252 D 582 Câu 71: Tìm hệ số số hạng chứa x8 khai triển thành đa thức 1  x 1  x   A 238 B 128 C 258 D 348 1  Câu 72: Tìm số hạng khơng phụ thuộc vào x khai triển    x  x   x  A 70 B -336 C -168 D -98 Câu 73: Tìm hệ số x5 khai triển biểu thức P  x 1  x   x 1  3x  n 2n thành đa thức, biết An2  Cnn11  A 432 B 3320 C -5432 D 4674   Câu 74: Tìm hệ số số hạng chứa x5 khai triển  x3    x   A 356 B 210 C 735 D 480 Trang 26 Câu 75: Cho khai triển 1  x  x   a0  a1 x  a2 x   a2 n x n Tìm hệ số x5 khai triển n biết a0  a2  a4   a2 n  30233600 A 37102 B 33264 C 32951 D 34704 1  Câu 76: Tìm hệ số x3 sau khai triển rút gọn đơn thức đồng dạng   x  x  , x  x  A 3210 B -3210 C -2940 D 2940 Câu 77: Xác định hệ số x4 khai triển biểu thức  x  x  1 10 A 8085 B 11312 C 1303 D 8089 Câu 78: Cho khai triển 1  x   a0  a1 x   an x n , n  * hệ số thỏa mãn n a0  a1 a   nn  4096 Tìm hệ số lớn 2 A 112640 B 101376 C 126720 D 67584 Câu 79: Khai triển đa thức P  x   1  x   a0  a1 x   a12 x12 Tìm hệ số ak   k  12  lớn 12 khai triển A C128 28 B C129 29 D  C128 28 C C1210 210 10 1  Câu 80: Khai triển đa thức P  x     x   a0  a1 x   a9 x9  a10 x10 Tìm hệ số ak   k  10  lớn 3  khai triển A  27 C10 310 B Câu 81: Cho khai triển  27 C10 310 3x  2019 C 26 C10 310 D 28 C10 310  a0  a1 x  a2 x   a2019 x 2019 Hãy tính tổng S  a0  a2  a4  a6   a2016  a2018 A  3 1009 B 21009 C 2019 D ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BẢI TẬP TỰ LUYỆN 1-C 2-B 3-B 4-A 5-A 6-C 7-D 8-B 9-C 10-A 11-C 12-B 13-B 14-A 15-C 16-D 17-B 18-B 19-C 20-C 21-D 22-B 23-B 24-A 25-C 26-A 27-D 28-B 29-C 30-D 31-A 32-C 33-D 34-A 35-C 36-A 37-D 38-B 39-B 40-D 41-B 42-C 43-C 44-C 45-B 46-D 47-C 48-D 49-B 50-D 51-A 52-A 53-C 54-A 55-C 56-D 57-A 58-D 59-B 60-A 61-D 62-D 63-D 64-C 65-D 66-C 67-C 68-A 69-D 70-A 71-A 72-D 73-B 74-D 75-D 76-C 77-A 78-C 79-A 80-B Trang 27 81-D 13 k 13 13 1 k   1 Câu 1: Ta có  x     C13k x13 k      C13k  1 x13 k x   x k 0 k 0 Hệ số x3 ứng với 13  2k   k   số hạng cần tìm C133 x Chọn C k k 9     1 Câu 2: Ta có:  x     C9k x  k     C9k   x  k x  k 0   x  k 0 2 Hệ số x3 ứng với  2k   k   số hạng cần tìm 40 3 C9 x Chọn B k 40 40     k Câu 3: Ta có  x     C40k x 40 k     C40 x 403 k x    x  k 0 k 0 37 31 Hệ số x31 ứng với 40  3k  31  k   số hạng cần tìm C40 x Chọn B k 6 6k   2 k  Câu 4: Ta có  x     C6k  x      C6k   x123k x  k 0   x k 0 Số hạng không chứa x ứng với 12  3k   k   số hạng cần tìm C64 24  24 C62 Chọn A k 8 8 k     k Câu 5: Ta có  xy     C8k  xy       C8k  1 x8 k y16 3k xy  k 0 k 0   xy  Số hạng không chứa x ứng với  2k   k   số hạng cần tìm C84 y  70 y Chọn A k 5  1 5 k   Câu 6: Ta có  xy     C5k  xy      C5k x5 k y 5 k y  k 0 k 0   y 5  k  Hệ số x3y ứng với   k   số hạng cần tìm C52 x3 y  10 x y Chọn C  k   21 Câu 7: Ta có  x  xy    C21k  x3  21 k 0 Suy khai triển  x  xy  21 21 k 21  xy    C21k x 63 k y k k k 0 có 22 số hạng nên có hai số hạng đứng số hạng thứ 11 (ứng với k  10 ) số hạng thứ 12 (ứng với k  11 ) 10 43 10 11 41 11 Vậy hai số hạng đứng cần tìm C21 x y ; C21 x y Chọn D Câu 8: Tính tổng hệ số khai triển  cho x  Khi S   3.1    1 Chọn B 17 12 12 k 0 k 0 Câu 9: Ta có 1  x    C12k 112 k x k   C12k x k 12 Trang 28 Hệ số x5 ứng với k   hệ số cần tìm C125  792 Chọn C k 6   6k  k  Câu 10: Ta có  x     C6k  x       C6k 26 k  1 x 3k x  k 0   x  k 0  Số hạng không chứa x ứng với  3k   k   số hạng cần tìm C62 24  1  240 Chọn A 10 k 10 10 10  k   2  Câu 11: Ta có  x     C10k  x      C10k 2k x 203k x  x k 0 k 0 Hệ số x2 ứng với 20  3k   k   hệ số cần tìm C106 26  13440 Chọn C 5 Câu 12: Ta có  a  2b    C5k a5 k  2b    C5k 2k a 5 k b k k k 0 k 0 Hệ số a3b2 ứng với  k   k   hệ số cần tìm C52 22  40 Chọn B 7 Câu 13: Ta có 1  x    C7k 17 k  2 x    C7k  2  x k k k 0 k k 0 Hệ số a5 ứng với k   hệ số cần tìm C75  2   672 Chọn B 18  k 18 18  x 4 x Câu 14: Ta có      C18k   2 x 2 k 0 k 18 4     C18k 23 k 18.x18 k  x k 0 Số hạng không chứa x ứng với 18  2k   k   số hạng cần tìm 29 C189 Chọn A 12 k 12 12 12  k  1 1 k  Câu 15: Ta có  x     C12k  x       C12k  1 x 243k x   x  k 0 k 0 Số hạng không chứa x ứng với 24  3k   k   số hạng cần tìm C128  1  495 Chọn C Câu 16:  x  1   C6k  x  6  1   C6k 26 k  1 x  k 6k k k 0 k k 0 Hệ số x3 ứng với  k   k   hệ số cần tìm C63 23  1  160 Chọn D 11  11   Câu 17: Ta có  x x     C11k x x 2x   k 0 Số hạng không chứa x ứng với  11 k k k 333 k 11 4k    1      C11k    x  2x   2 k 0 33  3k  4k   k  3 165  1  số hạng cần tìm C      C113   Chọn B 8  2 11 10 Câu 18:  x  x    C10k  x  10 k 0 10  k 10   x    C10k 210 k  1 x10  k k k k 0 Trang 29 Hệ số x12 ứng với 10  k  12  k   hệ số cần tìm C102 28 Chọn B Câu 19: Ta có  x  1 2017 2017 k   C2017 5x  2017  k k 0 2017 k  1   C2017 52017  k  1 x 2017  k k k k 0 2000 2000 Yêu cầu toán trở thành: 2017  k  2000  k  17  A2000  C2017 Chọn C Câu 20: Nhị thức cần tìm  x  1 Chọn C Câu 21: P  x   a1000 x1000  a999 x999   a1 x  a0 Cho x  , ta P 1  a1000  a999   a1  a0 Mặt khác P  x    x  1 1000  P 1   2.1  1 1000  Từ suy a1000  a999   a1  a0    a1000  a999   a1   a0 Mà số hạng không chứa x khai triển P  x    x  1 1000 1000 nên a0  C1000  Vậy a1000  a999   a1  Chọn D C20n  C22nn  n 1 C  C2 n k nk Câu 22: Áp dụng công thức Cn  Cn , ta có  n  C n 1  C n 1 2n  2n Cộng vế theo vế, ta C20n  C21n   C2nn1  C2nn1  C2nn   C22nn Chọn B Câu 23: Ta có 1  x   Cn0  Cn1 x  Cn2 x   Cnn x n n Cho x  , ta Cn0  Cn1  Cn2   Cnn  1  1  2n Chọn B n Câu 24: Ta có 1  x   C20n  C21n x  C22n x   C22nn x n 2n Cho x  1, ta C20n  C21n  C22n   C22nn  1  1  22 n Chọn A 2n Câu 25: Ta có 1  1 n 1 1  C20n 1  C21n 1   C22nn11 Lại có C20n 1  C22nn11 ; C21n 1  C22nn1; C22n 1  C22nn11 ; ; C2nn 1  C2nn11 Từ (1) (2), suy C20n 1  C21n 1   C2nn 1   2 22 n 1  C21n 1   C2nn1  22 n   220   22 n   n  10 Vậy n  10 thỏa mãn u cầu tốn Chọn C Câu 26: Ta có  x  1 n 1  C20n 1 x n 1  C21n 1 x n   C22nn11 Cho x  1, ta 2 n 1  C20n 1  C21n1   C22nn11 Cho x  1 , ta  C20n 1  C21n1   C22nn11 1  2 Trang 30 Cộng (1) (2) vế theo vế, ta 2 n 1   C21n 1  C23n 1   C22nn11   22 n 1  2.1024  n  Chọn A Câu 27: Ta có 1  x   Cn0  Cn1 x  Cn2 x   Cnn x n n Cho x  3, ta Cn0  3Cn1  32 Cn3   3n Cnn  1  3  n Chọn D n Câu 28: Số hạng tổng quát khai triển là: k  2 Cnk  3x      x nk  Cnk 3k x k  2  nk x k  n  Cnk 3k  2  Hệ số số hạng thứ ứng với k  Cn3 33  2  Khi số hạng tổng quát C5k 3k  2  5 k n3 nk x k  n  1080  Cn3  2  n 3  40  n  x 3k  Cho 3k    k  ta hệ số x7 khai triển C54 34  2   810 Chọn B  1 Câu 29: Số hạng tổng quát khai triển Cnk x n  k     3 k Hệ số số hạng thứ theo số mũ giảm dần x khai triển ứng với k  n  n  1  1 Khi C       36  n  Chọn C  3 2 n Câu 30: Theo giả thiết ta có: 3Cn21  nP2  An2    n  1 n  2n  4n  n  1!  n.2!  n ! 2!  n  1!  n  !  n  1   n  1    n  1  15  5n  n  10  k 10 1  1 Xét khai triển   x  có số hạng tổng quát C10k   x  x x  k  C10k x k 10 x 3k  C10k x k 10 Cho 4k  10  ta k   hệ số x6 khai triển C106  210 Chọn D Câu 31: Ta có 14  3  Cn 3Cn n 14   n! n! n  n   !.2!  n  3!.3!  28 28     1 n  n  1 n  n  1 n   n n   n  1 n    4n   28   n  7n  18   n  n  n      Xét khai triển  3x    C   3x  18 18 k 0 k 18 k  có hệ số số hạng chứa x9 C189    C189  3 Chọn A Câu 32: Điều kiện n  , n  Trang 31 Ta có: Cn3  2n  An21    n  1!  n  n  1 n    2n  n  n n!  2n    3! n  3!  n  1! n  3n    n   n  3n   12  6n   n  9n    n  2n 16 k k 16 16     16  k  3  k k k 16  k 16  k Xét khai triển  x     x     C16  x      C16 x  3 x x x   k 0  x  k 0 16 16    C16k 216 k x 4k  3  k k 0 Số hạng không chứa x ứng với 16  4k   k  12  số hạng không chứa x khai triển C1612  3 Chọn C 12 Câu 33: Hệ số x5 khai triển biểu thức x  x  1 hệ số x4 khai triển  x  1 8 C84 34  1  5670 Chọn D Câu 34: Ta có An3  Cn1  8Cn2  49  n! n!  n   49  n  3 !  n  !.2!  n  n  1 n    n  4n  n  1  49  n3  3n  2n  n  4n  4n  49  n3  n  n  49   n  Số hạng tổng quát  x  3 C7k  x   3 k 7k Cho k  ta hệ số số hạng chứa x15 khai triển C75 25  3  6048 Chọn A Câu 35: Số hạng tổng quát khai triển k   C5k  x3      x  5 k  C5k x k  1 5 k x k 10  C5k  1 5 k x k 10 Cho 5k  10   k  ta số hạng không chứa x khai triển Theo chiều mũ x giảm dần số hàng thứ Chọn C Câu 36: Số hạng tổng quát khai triển C20k  2 x   C20k  2  x k k k Ta có: a0  a1  a2  C20  2   C20  2   C202  2   801 Chọn A Câu 37: Số hạng tổng quát khai triển C12k  x  12  k k 1    C12k x 24  k x  k  C12k x 243 k x Giải phương trình C12k  495  k  k   24  3k  m  Khi   Chọn D  24  3k  12  m  12 Trang 32 Câu 38: Ta có Cn2  Cn1  44  n  n  1 n!  n  44   n  44  n   !.2!  n  3n  88   n  11 11 k 11 k k  44 11 k  3   Số hạng tổng quát khai triển  x x   C11k x x  x 4   C11k  x  x k  44  C11k x x     Cho   11k  44   k  suy số hạng không chứa x C118  165 Chọn B Câu 39: Ta có Cn2  n  27  n  n  1 n!  n  27   n  27  n   !.2!  n  3n  54   n  9 k     Số hạng tổng quát khai triển  x   C9k x9  k    C9k x 9 k 3k x 2 k  C9k x 3k 3k x   x  Cho  3k   k  suy số hạng không chứa x khai triển C93 x  2268 Chọn B Câu 40: Ta có An3  An2  100  n! n!   100  n  n  1 n    2n  n  1  100  n  3 !  n   !  n3  3n  2n  2n  2n  100  n3  n  100   n  Với n  số hạng chứa x5 khai triển biểu thức 1  3x  10 9 1  1 Câu 41: Ta có   x    C9k   x  k 0 x 9k C105  x   61236 x5 Chọn D  2 x    C9k  2  x3 k 9 k k k 0 Hệ số x6 ứng với 3k    k   Hệ số cần tìm C95  2   25.C95 Chọn B 12 k 12 12 12  k    k k 12  k  k Câu 42: Ta có  x   C x    12     C12  2  x x x x x   k 0   k 0 Hệ số x7 ứng với 12  k   k   Hệ số cần tìm C122  2   264 Chọn C Câu 43: Thay x  vào nhị thức, ta  5.1  1  2100  4n  2100  n  50 n 50 HD: Ta có  x  1   C50k  x  50 k 0 50  k 50  1   C50k 550 k  1 x 50 k k k k 0 Hệ số x3 ứng với 50  k   k  47  Hệ số cần tìm C5047 53  1  2450000 47 Chọn C 10 10 Câu 44: Ta có  x  x    C10k x10 k  x    C10k 2k x10 k 10 k 0 k k 0 Hệ số x13 ứng với 10  k  13  k   Hệ số cần tìm C103 23  960 Chọn C Trang 33 10 Câu 45: Ta có  x  x    C10k  x  10 10  k k 0 10   x    C10k 210  k  1 x10  k k k k 0 Hệ số x12 ứng với 10  k  12  k   Hệ số cần tìm C102 28  11520 Chọn B 30 k 30 30 30  k   k 30  k   k k Câu 46: Ta có  x   C x  C x   30 30    x  k 0  x  k 0 Số hạng không chứa x ứng với 30  k   k  20  Số hạng không chứa x C3020 220 Chọn D 12  k 12 12 1  1 Câu 47: Ta có   x    C12k   x  x k 0 12  2 x    C12k  2  x 3k 12 k k k 0 Số hạng không chứa x ứng với 3k  12   k   Số hạng cần tìm C124  2   24 C124 Chọn C Câu 48: Thay x  vào nhị thức, ta 23n  64  23 n  26  n  k 6  6 k    Ta có  x     C6k  x      C6k 46 k.x 3 k x  k 0   x  k 0 Số hạng không chứa x ứng với  3k   k   Số hạng cần tìm C62  240 Chọn D 7   Câu 49: Ta có  x     C7k x  k 0    7k x k 7k k        C7k x  x  k 0 7k k  0k 4 Số hạng không chứa x ứng với  Số hạng cần tìm C74  35 Chọn B Câu 50: Thay x  vào khai triển, ta n  1024  n  210  n  10 10  k 10 10 1  1 Ta xét   x    C10k   x  x k 0 10  x    C10k x k 10 k k 0 Hệ số x10 ứng với 5k  10  10  k   Hệ số cần tìm C104  210 Chọn D Câu 51: 5Cn1  Cn2   5n  10 n!   10n  n  n  1  10  n  10  n  !.2! k 10 10  10  k    Ta xét  x     C10k  x      C10k 210 k x103k x   x  k 0 k 0 Hệ số x4 ứng với 10  3k   k   Hệ số cần tìm C102 28  11520 Chọn A Câu 52: An3  An2  100  n! n!   100  n  3 !  n   ! Trang 34  n  n  1  n    2n  n  1  100  n3  n  100   n  10 10 Ta xét 1  x    C10k 110 k  x    C10k 3k x k 10 k k 0 k 0 Hệ số x5 ứng với k   Hệ số cần tìm C105 35  61236 Chọn A Câu 53: Cnn 1  Cnn   78  Cn1  Cn2  78  n  12 12 k 12 12 12  k  2 2 k  Ta xét  x3     C12k  x       C12k  2  x 36 k x   x k 0 k 0 Số hạng không chứa x ứng với 36  4k   k   Số hạng cần tìm C129  2   112640 Chọn C   n  !  n    n  1!  2n 4  n  n  1  n   n   n  n! Câu 54: Ta có n           n   !.2!  n  3!   n   ! n   n  n  1  4n     n  1  2n   n     n    n  15 15 2  Ta xét  x     C15k x  k 0 Hệ số x ứng với   x2 15  k k 15 2     C15k 2k x  x  k 0 30  k k 30  2k  k   30  5k   k  3 Vậy hệ số cần tìm C125 25  96096 Chọn A Câu 55: Cn0  2Cn1  22 Cn2   2n Cnn  1    3n   n  15 n 15 k 15 15 15  k  1 1 k  Ta xét  x     C15k  x       C15k  1 x 305 k x    x  k 0 k 0 Hệ số x10 ứng với 30  5k  10  k   Hệ số cần tìm C154  1  1365 Chọn C Câu 56: Thay x  vào khai triển, ta n  1024  n  10 10 k k 10 10 x   x  1 Ta xét      C10k 310 k      C10k 310  k    x k 2   2  2 k 0 k 0 Hệ số x6   8505 ứng với k   Hệ số cần tìm C     Chọn D 32  2 10 Câu 57: Ta có Cn2  Cn1  44  11  n!  n  44  n  n  1  2n  88  n  11  n  !.2! 11   Ta xét  x x     C11k x x x   k 0 Số hạng không chứa x ứng với  11 k k 333 k 11 4k       C11k x x  k 0 33  3k  4k   k   Hệ số cần tìm 165 Chọn A Trang 35 Câu 58: Ta có Cn0  Cn1   Cnn  1024  2n  1024  n  10 10 Ta xét  x  1   C10k  x  10 10  k k 0 10 1k   C10k 210 k x10  k k 0 Hệ số x2 ứng với 10  k   k   Hệ số cần tìm C108 22  180 Chọn D Câu 59: Cn2  n An2  476  n  n  1 n! n!  n  476   n  n  1  476  n   !.2!  n   !  n  n  2n3  2n  952  2n3  n  n  952   n  8 k 8 2  2 Ta xét   x    C8k   x  k 0 x   x    C8k 28 k  1 x k 8 k k k 0 Hệ số x4 ứng với 4k    k   Hệ số cần tìm C83 25  1  1792 Chọn B 10 Câu 60: Ta có   x    x  1   C8k 38 k  1 x k   C10h 210 h x h 10 k k 0 h0 Hệ số x5 ứng với k  h   Hệ số cần tìm C85 33  C105 25  9576 Chọn A Câu 61: Ta có 1  ax 1  x   1  x   a.x 1  3x  6 6 • Xét khai triển 1  3x    C6k  3 x k  Hệ số x3 C63  3  540 k k 0 • Xét khai triển x 1  3x    C6k  3 x k 1  Hệ số x3 C62  3  135 k k 0 Suy hệ số cần tìm 135a  540  405   a  Chọn D Câu 62: Ta có 1  x   C30n  C31n x  C32n x   C33nn x 3n 3n Cho x  ta có: 23n  C30n  C31n  C32n   C33nn  64  3n   n  3n     Xét khai triển  2nx    x   có số hạng tổng quát  2nx  4x    C  x  k 6k k 1      C6k 46 k x 6 k k x 2 k  C6k 46  k k x 3k 4  4x  Số hạng không chứa x tương ứng với  3k   k  Số hạng không chứa x khai triển C62 44 Câu 63: Xét khai triển 1  x  n 1  240 Chọn D 42  C20n 1  C21n 1 x  C22n 1 x   C22nn11 x n 1 Thay x  ta 22 n1  C20n1  C21n 1  C22n1   C22nn11  * Mặt khác C20n 1  C22nn11 , C21n 1  C22nn1 , C22n 1  C22nn11 Trang 36 Do *  22 n 1   C20n 1  C21n 1  C22n 1   C2nn 1   1  220  1  221  n  10 Xét khai triển 1  x  có hệ số số hạng chứa x3 C103  120 Chọn D 10 Câu 64: Số hạng chứa x5 khai triển x 1  x  x.C54  2 x   80 x5 Số hạng chứa x5 khai triển x 1  x  x C103  3x   3240 x 10 Suy số hạng x5 khai triển P 80 x  3240 x  3320 x Chọn C Câu 65: Số hạng chứa x5 khai triển x  x  1 x.C64  x   1  240 x5 Số hạng chứa x5 khai triển  x  3 C85 x  3  1512 x Hệ số x5 khai triển đa thức cho 1512  240  1272 Chọn D Câu 66: Ta có Cnn   6n   An21   n  1! n!  6n    n   !.2!  n  1! n  n  1  6n    n  1 n  n  n  12n  10  2n  2n  n  9n  10   n  10  10 Xét khai triển P  x   1  x  x3    x  x3  1   C10k  x  x3   1 10 10 k 10  k k 0 10 k   C10k Cki xi  3x  k i  1 10  k k 0 i  10 k   C10k Cki x 3k  2i 3k i  1 10 k k 0 i  Cho 3k  2i  ta  k ; i    2;1 ;  4;  Suy hệ số x4 khai triển C102 C21 31  1  C104 C44 30  1  480 Chọn C 5 Câu 67: Ta có: 1  x  x  x3   1  x  1  x    1  x  1  x    C5k x k  C5i  x  k 0 i0 5 5 i   C5k C5i x k  2i k 0 i  Cho 2i  k  10 với k , i  ,  k , i  ta  k ; i    0;5 ;  2;  ;  4;3 Suy hệ số x10 khai triển là: C50 C55  C52 C54  C54 C53  101 Chọn C Câu 68: Số hạng chứa x5 khai triển P số hạng chứa x5 khai triển Q  x   1  x   1  x   1  x   1  x  5.C55 x  6.C65 x  7C75 x  8C85 x5  630 x Chọn A 20 20 k Câu 69: f  x    x  1  C20k x 20  k  x    x  1  C20 x 20  k 2k x k k 0 k k 0 20   x  1  C20k x 20 k 2k k 0 Trang 37 Ta chọn k  k  10 10 10 Hệ số số hạng chứa x30 khai triển 2.C20 29  1.C20  361181184 Chọn D 10 10 10 Câu 70: 1  x  x  x   1  x  1  x    1  x  1  x    C10k x k  C10i x 2i k 0 i 0 10 10 10 10 k 0 i 0 10   C10k  C10i x 2i  k Chọn i, k cho k  2i   i, k    ta  k ; i   1;  ;  3;1 ;  5;0  Suy hệ số số hạng chứa x5 khai triển C101 C102  C103 C101  C105 C100  1902 Chọn A 8 k k 0 i 0 Câu 71: 1  x 1  x     C8k  x 1  x     C8k x k 1  x    C8k x k  Cki   x  k k 0 k k 0 k k 0 i 0 i   C8k  Cki  1 x k i i Chọn i, k cho 2k  i  i  k  i; k    ta  k ; i    4;0  ;  3;  Suy hệ số số hạng chứa x8 khai triển thành đa thức cho là: C84 C40  1  C83 C32  1  238 Chọn A 8 1  1 Câu 72: Ta có    x  x     C8k   x  k 0  x  k   C8k  1 x k 8  Cki xi  x  k 0 k i 0 k i 8 k    x  x     C8k  1 x k 8  x  x  k k k k 0 k   C8k  1  Cki x 3k i 8 k k 0 i0 Cho 3k  i    3k  i  Chọn i, k cho 3k  i  i  k   i; k    ta  k ; i    3;1 ;  4;  Số hạng không chứa x khai triển C83  1 C31  C84  1 C44  98 Chọn D Câu 73: Ta có An2  Cnn11    n  1!   n n   n  n  n!       n   !  n  1!.2!  n  3n  10   n  Suy P  x 1  x   x 1  3x  , hệ số số hạng chứa x5 khai triển C54  2   C103 33  3320 10 Chọn B k 6 k i k i 1    Câu 74: Ta có  x3      C6k  x   26 k   C6k  Cki  x   x 1  26 k x x   k 0  k 0 i 0   C6k Cki 26  k x 4i  k k 0 Chọn i, k cho 4i  k   i  k   i; k    ta  k ; i    3;  Suy hệ số x5 khai triển C63 C32 23  480 Chọn D Trang 38 Câu 75: Xét 1  x  x   a0  a1 x  a2 x   a2 n x n n Cho x  ta 6n  a0  a1  a2   a2 n Cho x  1 ta n  a0  a1  a2  a3  a2 n Cộng vế theo vế ta 6n  2n   a0  a2   a2 n   2.30233600 Suy 6n  2n  60467200  n  10 10 10 Xét khai triển 1  x  x    C10k  x  x    C10k Cki  x  10 k k 0 k i 10  x    C10k Cki 2k i.3i x k i i Chọn i, k cho i  k   i  k  10  i, k    ta  k ; i    5;0  ;  4;1 ;  3;  Suy hệ số x5 khai triển C105 C50 25.30  C104 C41 23.31  C103 C32 21.32  34704 Chọn D 9 1  1 Câu 76: Ta có   x  x    C9k   x  k 0  x    C9k  1 k i k 0 9 k k k 0 i0  x  x    C9k x k 9  Cki  x    x  k i k i k 2i. Cki x k i 9 i 0 Chọn i, k cho 2k  i    2k  i  12  i  k   i; k    ta  k ; i    6;0  ;  5;  ;  4;  Suy hệ số x3 khai triển C96C60  1 20  C95C52  1 22  C94C44  1 24  2940 Chọn C Câu 77: Xét khai triển 1  x  3x  10 10 10   C10k  x  x    C10k Cki  x  k 0 k i 10  x    C10k Cki 2k i.3i x k i i Chọn i, k cho i  k   i  k  10  i, k    ta  k ; i    4;0  ;  3;1 ;  2;  Suy hệ số x5 khai triển C104 C40 4.30  C103 C31.22.31  C102 C22 20.32  8085 Chọn A Câu 78: Thay x  vào khai triển, ta n  4096  n  12 12 Xét khai triển 1  x    C12k 112 k  x   ak  C12k 2k 12 k k 0 12! 12!    ak  ak 1 C  C  12  k  !.k ! 11  k !  k  1!  k k  Hệ số lớn  k 1 k 1 12! 12! ak  ak 1  C12  C12 2   12  k  !.k ! 13  k !  k  1! k 12 k k 1 12   12  k  k  k  k   24  2k    26  2k  k 2  k    k 13  k k 1 23  k   amax  a8  126720 Chọn C 26 Trang 39 12 Câu 79: Xét khai triển 1  x    C12k 112 k  x   ak  C12k 2k 12 k k 0 12! 12!    C  C ak  ak 1  12  k  !.k ! 11  k !  k  1! Hệ số lớn   k k  k 1 k 1 12! 12! C12  C12 ak  ak 1    12  k  !.k ! 13  k !  k  1! k 12 k 1 12 k   12  k  k  k  k   24  2k    26  2k  k 2  k   k 13  k  Câu 80: Xét khai triển k 1 23  k   amax  a8  126720 Chọn A 26 1 10 k 10 k 10 k  x  C  x   ak  10 C10k 2k   10 10  10 3 k 0 10! 10!    C  C ak  ak 1  10  k  !.k !   k !  k  1 ! Hệ số lớn   k k  k 1 k 1 10! 10! C10  C10 ak  ak 1    10  k  !.k ! 11  k !  k  1! k 10 k 1 10 k k 1 19   k 10  k  k   k   20  k  C107 27      k   amax  10 22  2k  k 2  k  22  k 11  k  Chọn B Câu 81: Xét khai triển Cho x  i ta   i 3x  2019  2019  a0  a1 x  a2 x   a2019 x 2019  a0  a1i  a2i  a3i  a4i   a2019i 2019  * Phần thực vế phải (*) a0  a2  a4  a6  a2016  a2018 Mặt khác     i   cos  i sin   6   3i  2019 2019 2019    22019  cos  i sin  6   Suy phân thực vế trái (*) S  Chọn D Trang 40 ... n số tự nhi? ?n thỏa x   mãn Cn2  An2  n  112 Lời giải n k n n n nk   1 nk  Ta có  x     Cnk  x        Cnk x n  k x  k 0 k 0  x  k 0 Theo bài, n số tự nhi? ?n thỏa... 210.C101  210.C102  28.C102  67840 n Ví dụ Tìm hệ số số hạng chứa x26   khai triển nhị thức Niuton   x  , biết x  C21n 1  C22n 1   C2nn 1  220  Lời giải Sử dụng khai triển sau:...  x   x  A -459 B -495 C 495 D 459 Câu 16: Tìm hệ số số hạng chứa x3 khai triển nhị thức Niu- ton  x  1 A 960 B -160 C -960 D 160 11   Câu 17: Tìm số hạng khơng chứa x biểu thức f 