Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu là toàn bộ kiến thức về Nhị thức Niu ton bao gồm các bài tập cơ bản và nâng cao, giúp học sinh và giáo viên có thêm tài liệu để bồi dưỡng và nghiên cứu. Tài liệu giúp học sinh làm quen với các dạng bài tập hay có trong các đề kiểm tra và đề thi
NHỊ THỨC NIUTON A- LÝ THUYẾT I CÔNG THỨC ( a + b) = n n ∑ Cnkan−k bk = C0nan + C1nan−1b + C2nan−2b2 + + Cnkan−k bk + + Cnn−1abn−1 + Cnnbn (1) k= II TÍNH CHẤT: Khi khai triển nhị thức (a+ b)n ta cần ý 1) Số hạng thứ k + 1, kí hiệu Tk+1 với k = 0, 1, 2, , n có dạng Tk+1 = Cnkan−k bk 3) Hệ số khai triển (1) có tính chất đối xứng Chú ý: Cnk = Cnn− k va Cn0 = Cnn = III.KẾT QUẢ CẦN NHỚ 1) Cho a = 1, b = ta có: C0n + C1n + C2n + + Cnn = 2n 2) Cho a = 1, b = −1 ta có: C0n − C1n + C2n − C3n + + (−1)n Cnn = 3) Cho a = 1, b = x ta có: (1+ x)n = C0n + C1nx + C2nx2 + C3nx3 + + Cnnxn 4) Cho a = 1, b = − x ta có: (1− x)n = C0n − C1nx + C2nx2 − C3nx3 + + (−1)nCnnxn Chú ý a) Với (1+ x)n hệ số xk Cnk IV b) k Với (1+ x)n(1+ x)m hệ số xk Cm + n với k i j Cm + n = ∑ CnCm, (i + j = k) c) Với ( a+ x ) m n hệ số xm.k an− kCnk Tam giác Paxcan hệ số khai triển nhị thức Niu – tơn Lủy thừa n (a + b)n 1 1 3 4 5 10 10 6 15 20 15 Tam giác Paxcan – Hệ số khai triển (a + b)n Ví dụ minh họa (a + b)1 = 1a + 1b (a + b)2 = 1a2 + 2ab + 1b2 (a + b)3 = 1a3 + 3a2b + 3ab2 + 1b3 (a + b)4 = 1a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + 1b4 (a + b)5 = 1a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + - B Các dạng toán thường gặp Khai triển nhị thức Niutơn khai triển nhị thức Niutơn Xác định số hạng số hạng chứa xk Xác định hệ số khai triển Tính tổng hệ số khai triển I Vấn đề 1: Khai triển nhị thức Niu tơn Ghi chú: Khi khai triển (a+ b)n , ta cần nắm kĩ sau: Số hạng tổng quát khai triển : Cnk an− k bk (0 ≤ k ≤ n) Từ ta có số hạng khai triển sau: Khi k = ta có số hạng đầu thứ là: Cnk an− k bk Khi k = ta có số hạng thứ hai là: C1nan−1b Khi k = ta có số hạng thứ là: C2nan−2b2 …………………………………………… Khi k = n ta có số hạng thứ (n + 1) ( số hạng cuối )là: Cnnan− nbn = Cnnbn Chú ý: Nếu khai triển (a− b)n ta cần ý qui tắc :dấu số hạng thứt có dấu : ( - ) k (0≤ k≤ n) Ví dụ: Khai triển: (2a + b)5 Giải Áp dụng công thức nhị thức Niu – ton ta có: ( 2a + b) = C50 (2a)5 + C15(2a)4 b + C25 (2a)3 b2 + C35(2a)2 b3 + C45 2ab4 + C55b5 =32a5 + 80a4b + 80a3b2 + 40a2b3 + 10ab4 + b5 Nhận xét: Trong khai triển ta vận dụng công thức (1), nhiên số khai triển nhị thức Niu – tơn với lũy thừa đủ nhỏ ta vận dụng hệ số khai triển nhị thức tam giác Pax – can để khai triển như: Từ tam giác Pax – can ta thấy hệ số khai triển lủy thừa là: 10 10 ⇒ (2a + b) = 1.(2a) + 5.(2a) b +10.(2a) b + 10.(2a)2b3 + 5.2a.b4 + 1.b5 5 Bài tập: a) (2x + 1)5 ; b) (x − 2y)6 ; 6 d) (a− 2) ; 2 e) x + ÷ ; y c) (a+ 2b)5 ; 1 f) x − ÷ x II Vấn đề 2: Tìm số hạng thứ k + k n− k k Công thức: Tk + = Cna b 10 1 Ví dụ : Tìm số hạng thứ khai triển x + ÷ , x > x Giải k 10 Số hạng tổng quát thứ (k + 1) khai triển là: Tk + = C ( x) 10− k k 1 x÷ ( ) 1 6 x ÷ = C10 x = C10 x x4 x Vậy số hạng thứ bày khai triển là: C10 x Áp dụng cho k = 6, ta có: T7 = T6+1 = C10 Bài tập áp dụng: Tìm số hạng khai triển 21 1) Thứ (1− 2y) 2) ( 2) Thứ 13 3+ ) 15 1 3) Thứ tám + x ÷ 3 15 1 Ví dụ 2: Tìm số hạng khơng chứa x x + ÷ , x > x Cách 1: Có Tk+1 = C6k ( x) 6− k k 1 x ÷ = C6k ( x) 6− k k x = C6k x6− k 2k x = C6k x6−3k 6 − 3k = Ta có điều kiện thỏa mãn đề ⇔k = k ∈ ¥ ,k ≤ n Số hạng cần tìm: T3 = 15 Nhận xét: Khi gặp đề có u cầu ví dụ 2, học sinh cần ý : a0 =1, ∀a > Bài tập vận dụng Tìm số hạng khơng chứa x khai triển 12 1 1) x + x 10 2) + x3 ÷ x 12 3) 2x + ÷ x Vấn đề 3: Tìm hệ số biểu thức khai triển Phương pháp: Khai triển Niu ton tổn quát, sau từ lũy thừa u cầu tìm k Từ xác định hệ số cần xác định x a Ví dụ: Tìm hệ số x2 khai triển + ÷ với a, x ≠ a x Ví dụ 2: Tìm hệ số x4 khai triển P(x) = x(1+ x)2 + x2 (1+ x)3 + x3(1+ x)4 + x4 (1+ x)5 n Nhận xét: Trong biểu thức đại số viết dạng khai triển có dạng: ∑ ak xak+ b (a, b, k k= số ngun thỏa đk tốn ) Thì hệ số x ak +b ak điều kiện để có xm : a.k + b = m ( với a, b, k phải thỏa điều kiện tốn) - Trong ví dụ 2, học sinh ý chút thấy x có khai triển x2 (1+ x)3;x3(1+ x)4;x4 (1+ x)5 Vì ta cần tìm hệ số x khai triển x2 (1+ x)3;x3(1+ x)4;x4 (1+ x)5 sau cộng lại kết lại để xác định hệ số khai triển x4 khai triển P(x) Bài tập áp dụng Tìm hệ số xk khai triển ( 3) Của x3 ) 2) Của x6 + x2 1) Của x7 (2 – x)10 4) Của x9 (1+ x)2 + (1+ x)3 + (1+ x)4 + (1+ x)5 (1+ x)9 + (1+ x)10 + + (1+ x)14 n 1 Ví dụ 2: Xác định hệ số x11 khai triển x2 + ÷ cho biết tổng hệ số nhị thức x 1024 Giải n n 1 Ta có: x2 + ÷ = ∑ Cnk x2n−3k ⇒ Tổng hệ số khai triển x k= n 1 x + ÷ xác định là: x C0n + C1n + + Cnn = 1024= 210 ⇒ ( 1+ 1) = 210 ⇔ n = 10 n Để có số hạng chứa x-11 2n – 3k = 11 ⇒ 3k = 2.10 – 11 = ⇒ k = 3 = 120 ⇒ Hệ số khai triển x11 : C10 Bài tập áp dụng: Tìm hệ số xk khai triển n 1 1) x khai triển x2 + ÷ biết tổng hệ số khai triển 4096 x HD: C0n + C1n + + Cnn = 4096 ⇒ C12 11 n 1 2) Của số hạng không chứa x khai triển x2 + ÷ biết tổng hệ số nhị x thức thứ nhất, nhì, ba baèng 46 HD: Cn + Cn + Cn = 46 ⇒ 84 VẤN ĐỀ 4: Tính tổng hệ số Ví dụ 1: a Tính tổng hệ số khai triển nhị thức (1+ 2x)10 b Tính A = 25 C50 + 24 C15 + 23 C25 + 22 C35 + 2C54 + 35C55 c Tính B = 35 C50 − 34.2C15 + 33.22 C25 − 32.23C35 + 2.34 C54 − 35C55 Giải: a Ta có: ( 1+ 2x) 10 10 10 k k = ∑ C10 110− k.( 2x) = ∑ C10 ( 2x) = a0 + a1x + a2x2 + + a10x10 k= k k k= ( Với a0 , a1,a2 , ,a10 hệ số xK ( ≤ k ≤ 10 ) ) ⇒ Toång hệ số khai triển là: S = a0 + a1 + a2 + + a10 = 310 Cho x = ta coù : S = a0 + a1 + a2 + + a10 = 310 = 59049 Tổng quát toán : ( a + bx) n n n = ∑ Cnk an− k ( bx) = ∑ Cnk an− k ( b) k k= k k= a0 + a1 + a2 + + an = ( a + b) n ( x) k = ( Trong a , b hai số thực cho trước, Với a0 , a1,a2 , ,an hệ số xK ( ≤ k ≤ n ) ) Tính A = 25 C50 + 24 C15 + 23 C25 + 22 C35 + 2C54 + 35C55 p dụng khai triển (a + b)n cho a = 1; b = 2; n = ta coù: A = 25 C50 + 24 C15 + 23 C25 + 22 C35 + 2C54 + 35C55 = (1 + )5 = 243 B = 35 C50 − 34.2C15 + 33.22 C25 − 32.23 C35 + 2.34 C54 − 35C55 p dụng khai triển (a + b)n cho a = 3; b = - 2; n = ta coù: B = 35 C50 − 34.2C15 + 33.22 C25 − 32.23 C35 + 2.34 C54 − 35C55 ( – 2)5 = Nhận xét: - Dó nhiên học sinh không nắm kiến thức nhị thức Niutơn học sinh dùng máy tính cầm tay để tính giá trị A B, nhiên trường hợp n lớn việc tính không khả thi - Để vận dụng công thức nhị thức Niutơn (a + b) n để tính giá trị tổng A B học sinh cần ý: cơng thức khai triển lủy thừa a giảm từ n tới giá trị 0, lủy thừa b tăng từ lủy thừa đến n Từ ta suy giá trị a, b, n cần áp dụng để tính tổng - Trong tính B, học sinh ý tổng có dấu nên cẩn thận a hay b có dấu trừ Ví vụ 2: Tính giá trị biểu thức sau: a S = C07 + C27 + C47 + C67 + C10 + C10 + C10 + C10 b P = C10 10 Giải: a) Từ khai triển nhị thức Newton (a+ b)7 + Cho a = 1, b = − ta coù: C07 − C17 + C27 − C37 + + C67 − C77 = Suy ra: C07 + C27 + C47 + C67 = C17 + C37 + C57 + C77 (1) + Cho a = 1, b = ta coù: C07 + C17 + C27 + + C77 = 27 (2) ( ) Từ (1), (2) ⇒ C7 + C7 + C7 + C7 = Hay S = 64 + C10 + C10 + C10 + C10 b) P = C10 10 Từ khai triển nhị thức Newton (a + b)10 + Cho a = 1, b = ta coù: ( 1+ 1) 10 10 = 210 = C10 + C110 + C10 + C10 + + C10 + C10 10 Do C10 = C10;C10 = C10;C10 = C10;C10 = C10;C10 = C10 ⇒ P = 210 - C10 = 772 Nhận xét: - Trong hai tính tổng trên, học sinh cần hiểu đề đưa khơng thiết tình tổng tất hệ số cơng thức khai triển, mà tính số giá trị khai triển, ta phải tìm qui luật tổng qt tổng, từ vận dụng kiến thức cách linh hoạt - k Cần ý tới số Cn để nắm qui luật tổng Ví vụ 3: Chứng minh đẳng thức sau: 2n 2n−1 C2n + C2n + C2n + + C2n = C1n + C3n + C5n + + C2n = 22n−1 Giải Từ khai triển (a + b)2n Cho a = 1, b = -1, ta có: −1 2n 2n C2n − C12n + C2n − C32n + + (−1)2n−1C2n 2n + (−1) C2n = 0 2n −1 ⇔ C2n + C2n + C2n + + C2n = C1n + C3n + C5n + + C2n 2n Cho a = 1, b = 1, ta có: −1 2n 2n C2n + C12n + C2n + C32n + + C2n 2n + C2n = ( ) ( ) 2n 2n−1 2n ⇒ C2n + C2n + C2n + + C2n = Cn + Cn + Cn + + C2n = ⇒ điều phải chứng minh Bài tập tương tự: Tính tổng sau 1) A = C60 + C17 + C62 + + C66 HD: a = b = 1, n = 6, S = 64 2) B = C59 + C69 + + C99 HD: a = b = 1, n = 9, S = 256 10 + C10 + + C10 3) C = C10 HD: a = b = 1, n = 10, S = 386 4) D = C50 + 2C15 + 22C25 + + 25C55 HD: a =1, b = 2, n = 5, D = 243 5) E = C60 − 3C16 + 9C26 − 27C36 + 81C64 − 243C56 + 729C66 HD: a = 1, b = - 3, n = 6, E = 64 6) F = 25C50 + 24.3C15 + 23.32C25 + 22.33C35 + 2.34C54 + 35C55 HD: a = 2, b = 3, n = 5, F = 3125 7) G = 25C50 − 23C15 + 2C25 − 2−1C35 + 2−3C54 − 2−5C55 243 HD: a = 2, b = − , n = 5, G = 32 Tính tổng hệ số khai triển nhị thức 1) (3x − 4)17 ÑS:– 2) (2x + 1)5 ÑS:243 3) (1+ x)2 + (1+ x)3 + (1+ x)4 + (1+ x)5 ĐS: 60 Chứng minh rằng: C0n − C1n + C2n − C3n + + (−1)p Cnp = (−1)p Cnp−1 C MỘT SỐ BÀI TOÁN MỞ RỘNG Trong phần này, đề tài đề cặp đến số toán có dạng khó tốn mà kiến thức lớp 11 ( theo chương trình ) khơng giải : Một vài dạng toán nhị thức Niutơn với a, b có số mũ hữu tỉ, số mũ số thực Khai triển lủy thừa có nhiều số hạng Xác định hệ số lớn khai triển nhị thức Niutơn Các toán chứng minh có liên quan đến hệ số khai triển nhị thức Niutơn Các tốn có liên quan đến đạo hàm nhị thức Niutơn Bài tốn có liên quan đến tích phân nhị thức Niutơn I hữu tỉ, số mũ thực: VẤN ĐỀ 1: Khai triển nhị thức Niutơn với số a, b có số mũ Ví dụ 1: Tìm số hạng không chứa khai triển Ta có : ( 3+ ) 24 = 24 ∑ C24k k= ( ) 24− k ( ) k = 3+ ) 24 24− k k 27 24 ∑ C24k k= Điều kiện để có số hạng 24 − k = 5n k = 7m n,m∈ ¥ * ⇒ k = 14 (nhậ n) k ∈ ¥ ,k ≤ 24 ( ( không chứa ) 2 14 Vậy số hạng phải tìm là: T15 = C14 243 = 36C24 Bài tập tương tự: Tìm số hạng không chứa khai triển ( + 2) 2) ( + 2) 3) ( + 3) 1) 3 ĐS: 60 ĐS: 4526 10 ÑS: T1, T4, T7, T10 12 3 Ví dụ 2: Tìm số hạng chứa x7 khai triển x2 + x÷ 4 Giải: 12− k 12 12 3 2 33 2 k x + x ÷ = ∑ C12 x ÷ ÷ k= k 2 (12 − k) + k = ⇒ k = Để x xuất là: k ∈ ¥ ,k ≤ 12 k 24−2k k 12− k 12 2 1 2 k 3 x ÷ = ∑ C12. ÷ ÷ x x ÷ k= 4 3 là: Vậy số hạng chứa x C12 3 ÷ 4 6 2 ÷ x7 = C12 x 3 Bài tập tương tự: Tìm số hạng chứa xk khai triển 21 x 1) + y y mà số mũ x y ĐS: ÷ T10 = C21(xy) x÷ 16 a 1 2) − x2 ÷ số hạng đứng x ÷ a8 ÑS: T9 = 12870 x n Ví dụ 3: Tìm hệ số x khai triển nhị thức + x5 ÷ , x > biết x n+1 n Cn+ − Cn+3 = 7(n + 3) (Khối A – 2003) Giải: Ta thấy Cnn++14 − Cnn+3 = 7(n + 3) ⇒ n = 12 12 ( ) k Ta cóo: + x5 ÷ = ∑ C12 x−3 x 12 − k k −72 +11k 5 k x ÷ = ∑ C12 x ÷ −72 + 11k =8 ⇔ k = Để x xuất thì: k ∈ ¥ ,k ≤ 12 8 = 495 Vậy hệ số x8 : C12 Bài tập tương tự: Tìm hệ số xk khai triển n 28 − 1) Của số hạng không chứa x khai triển nhị thức x3 x + x 15 ÷ biết ÷ n n−1 n− raèng Cn + Cn + Cn = 79 ÑS: n = 12, a6 = 792 n 2) Của số hạng thứ mười ba khai triển 9x − ÷ biết hệ số số 3x hạng thứ ba khai triển 105 HD: Cn = 105, a13 = 455 n x y 3) Của số hạng chứa x khai triển x − ÷ biết tổng hệ số x3 ÷ nhị thức số hạng đứng vị trí lẻ 2048 HD: Tổng hệ chẵn, lẻ ⇒ a8 = –264 Ví dụ 3: Xác định x để số hạng thứ tư khai triển nhị thức: 11 a4 + a.x+1 ax−1 ÷ bằ ng 56a ( a > ) x ax−1 ÷ a4 Giaûi: Số hạng tổng quát thứ (k + 1) khai triển + a.x+1 ax−1 ÷ là: x ax−1 ÷ 8− k 1− x k Tk+1 = C8 a5 a x ÷ ÷ Vaäy: T4 = k 1+ x−1 1− x x + a ÷ ⇒ T4 = C8 a5a x ÷ ÷ ÷ 11 56a 1+ x−1 a x+1 ÷ ÷ 1− x x − 1 11 ⇔ 5 + vớ i x>0 ÷+ 3 1+ ÷= x x + 1 5 x + 3x − 10 = ⇔ ⇔ x = x> Bài tập tương tự: 1) Xác định n để khai triển nhị thức (1+ x)n mà hệ số của: a) Số hạng thứ hai, thứ ba, thứ tư tạo thành cấp số cộng b) Số hạng thứ năm, thứ sáu, thứ bảy tạo thành cấp số cộng HD: Hệ số nhị thức a, b, c cấp số cộng ⇔ a + c = 2b ĐS: a) n = 7; b) n = vaø n = 14 n 1 −1 2) Tìm n để ba số hạng khai triển x2 + x ÷ với x > tạo ÷ thành cấp số cộng ÑS: n = 3) Tìm x để khai triển 2x 2−1 + 4− x ÷ mà số hạng thứ ba 240 4 ĐS: x = n 1 4) Số hạng thứ ba khai triển 2x + ÷ không chứa x Tìm x để số x ( hạng số hạng thứ hai khai triển 1+ x3 ) 30 ĐS: x = n x−1 − x 5) Trong khai trieån 2 + ÷ cho biết C3n = 5C1n số hạng thứ tư ÷ 20n Tìm x n (Khối A/2002) ĐS: n = 7, x = Ví dụ :Có số hạng hữu tỉ khai triển ( 2+43 ) 100 Giaûi: Số hạng tổng quát thứ (k + 1) khai triển ( 2+43 ) 100 100 − k = 2m ( m,p∈ ¥ ) Để Tk+1 số hữu tỉ, cần phải có: k = 4p Từ (1) suy ra: m = 50 – 2p ( m,p∈ ¥ ) ⇒ p = 0, 1, , 25 100− k k 34 là: T = Ck k+1 100 (1) Do k = 4p, với p = 0, 1, , 25 Hay ta coù k = 0, 4, 8, 12, , 100 Vậy có 26 số hạng hữu tỉ khai triển ( 2+43 ) 100 Bài tập tương tự: Có số hạng hữu tỉ khai triển ( 2) ( 3) ( 4) ( 5) ( ) 1) + 3 100 ) 5) 2) 2+ 3+ 20 50 ÑS: 34 ÑS: ÑS: 13 100 6+ 12 + II ) 30 ÑS: ÑS: Khai triển lủy thừa có nhiều số hạng ( Ví dụ:Tìm hệ số x9 khai triển + 2x − 3x2 ) Giải: Ta thấy (1+ 2x − 3x2)8 = 1+ (2x − 3x2) Áp dụng khai triển nhị thức (a + b)5 với a = 1, b = 2x + 3x2 Ta có số hạng tổng quát thứ (k + 1) khai triển là: Tk+1 = C8k (2x − 3x2)k = C8k Cik (2x)k− i (−3x2)i = 2k−i (−3)i C8k Cik xk+ i Để x9 xuất k + i = 9, với ≤ i ≤ k ≤ Suy ra: Hêệ số x9 khai triển là: −27.3.C88 C18 + 25.9C87 C82 − 23.27C86 C38 + 2.81C85 C84 = −30288 Chú ý: Khi giải toán ta áp dụng cho a = + 2x, b = -3x2 Bài tập tương tự: Tìm hệ số của: ( ) 1) x4 khai triển 1+ x + x2 ( ) ( ) ÑS: a5 = 19 2) x5 khai trieån 1− x + x2 ÑS: a6 = –51 3) x5 khai trieån + x − x2 ( 4) x7 khai trieån 1− x + 2x2 ( ) ÑS: a6 = –266 10 5) x17 khai trieån + x4 + x7 ) 15 ĐS: a8 = –19440 ĐS: i, k không tồn nên a = 6) x8 khai triển 1+ x2(1− x) (Khối A/2004) ĐS: a5 = 238 7) Cho n∈ ¥ * gọi an−3 hệ số x3n−3 khai triển thành đa thức (x2 + 1)n(x + 2)n Tìm n để an−3 = 26n (Khoái D/2003) HD: an−3 = 23Cn0 C3n + 2C1nC1n ⇒ n = Hệ số lớn khai triển nhị thức Niutơn k Ví dụ 1: Trong hệ số Cn khai triển (a + b) n ( n số nguyên lớn cho k trước , k số nguyên dương nhỏ n ) Tìm hệ số khai triển Cn lớn Giải k Đặt ak = Cn = n! n! ⇒ ak+1 = k!(n − k)! (k + 1)!(n − k − 1)! Nếu ak ≤ ak + ⇔ 1 n ≤ ⇔ k ≤ −1 n− k k + Nếu n số nguyên dương lẻ ⇒ n – số tự nhiên chẳn ⇒k≤ n−1 ⇒ a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ ………… ≤ an−1 ≥ an+1 ≥ ≥ an 2 n−1 n+1 ⇒ hệ số Cnk có giá trị lớn trường hợp là: C = C n n Nếu n số nguyên dương chẳn ⇒ n ⇒ a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ ………… ≤ an ≥ an+1 ≥ ≥ an 2 n ⇒ hệ số Cnk có giá trị lớn trường hợp là: C n n−1 n2−1 C = C nế u n làsốlẻ n n k MaxC = Vậy 0≤ k≤ n n n (n ∈N) C n∈¥ nế u n làsốchẳ n n Ví dụ 2:Tìm hệ số lớn khai triển nhị thức ( + 2x) 12 Giaûi: k k (2x)k (0 ≤ k ≤ 12) ⇒ hệ số xk khai triển ak+1 = 2k C12 Ta coù Tk+1 = C12 k−1 k k k−1 ≤ 2k C12 ⇔ 2k C12 − 2k−1C12 ≥0 Neáu ak ≤ ak+1 ⇔ 2k−1C12 12! 2k−1 26 2 ⇔ ⇒ k≤8 − ÷ ≥ ⇔ 2(13− k) − k ≥ ⇔ k ≤ (k − 1)! (12− k) k 13− k ⇒ a0 ≤ a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ … ≤ a9 ≥ a10 ≥ a11 ≥ a12 ⇒ Max k = (nhaän) 8 = 126720 Vậy hệ số lớn a9 = C12 Bài tập tương tự: 15 1 1) Tìm hệ số lớn khai triển + x ÷ 3 2) Tìm số hạng lớn khai triển: ĐS: a7 = 27 C10 310 100 1 a) + ÷ 2 b) ( 5+ ÑS: a51 = ) 20 100 50 c100 ÷ 2 ĐS: a9 = 314925.105 3) Tìm x > cho số hạng thứ 50 khai triển (5+ 3x)10 lớn HD: T3 < T4 < T5 ⇒ 20 < x< 21 4) Tìm x cho số hạng thứ 50 khai triển (x + y)100 có giá trị lớn nhất, biết x + y = vaø x > 0, y > HD: x < 51 = 0,504 ⇒ x = (nhận) 101 Các toán chứng minh ( ) +( C ) +(C ) Ví dụ: Chứng minh C0n 2 n 2 + + n (C ) n n n = C2n Giải: Ta có (1+ x)2n = (1+ x)n (1+ x)n n 2n k k n Hệ số x khai triển (1+ x) = ∑ C2nx laø C2n n (1) k= Hệ số xn khai triển n n i =0 j= n n n n (1+ x)n (1+ x)n = ∑ Cinxi ∑ Cnj xj = ∑∑ Cinxi Cnj xj = ∑∑ CinCnj xi + j ∑ CinCnj , với i + j = n i = j= i = j= (2) n = ∑ Cni Cnj Từ (1), (2) ta coù C2n Hay Cn2 n = C0nCnn + C1nCnn−1 + C2nCnn−2 + + C1nCnn−1 + C0nCnn , mà Cnk = Cnn− k nên ta có: ( ) +( C ) +(C ) n C2n = Cn0 2 n 2 + + n (C ) n n Bài tập tương tự: Chứng minh đẳng thức: 2n−1 = C2n + C22n + + C2n 1) C12n + C32n + + C2n 2n HD: (1+ x)2n cho x = – 2) C50Cnk + C15Cnk−1 + + C55Cnk−5 = Cnk+ với ≤ k ≤ n HD: (1+ x)5(1+ x)n = (1+ x)n+5 k− m k = Cm 3) C0mCnk + C1mCnk−1 + C2mCnk−2 + + Cm mCn + n , với m ≤ k ≤ n HD: (1+ x)m+ n = (1+ x)m.(1+ x)n 4) 1+ 3C1n + 32C2n + + 3n−1Cnn−1 + 3n = 4n HD: (1+ x)n , cho x = 4 2n 2n−1 2n + C22n32 + C2n + + C2n (2 + 1) 5) C2n 2n3 = HD: (1+ x)2n cho x = ± cộng vế Bài tốn có liên quan đến đạo hàm nhị thức Niutơn: Ví dụ: Tính tổng: 100 S1 = C100 + 2C100 + 3C100 + 4C100 + + 100C100 Giải 2 3 4 100 100 Xét P(x) = (1 + x)100 = C100 + xC100 + x C100 + x C100 + x C100 + + x C100 2 3 99 100 P'(x) = 100(1+ x)99 = C100 + 2xC100 + 3x C100 + 4x C100 + + 100x C100 + 3C100 + 4C100 + + 100C100 ⇒ P' (1 ) = 100.299 = C1100 + 2C100 100 ⇒ S1 = 100.299 Nhận xét: Khi thấy tốn tính tổng có dạng:S = a1 + 2a2 + 3a3 + 4a4 + + nan , với a1,a2 ,3a3 ,4a4 , .,nan hệ số khai triển nhị thức Niutơn ta vận dụng đạo hàm để tính tổng Bài tập tương tự: n−1 n− 2 n−3 3 n− 4 n n 1) Tính S2 = a bCn + 2a b Cn + 3a b Cn + 4a b Cn + + nb Cn ) Tính S3 = na C + (n − 1)an−1bC1n + (n − 2)an−2b2C2n + (n − 3)an−3b3C3n + + abn−1Cnn−1 n n Bài tốn có liên quan đến tích phân nhị thức Niutơn Ví dụ: 10 a) Tính ∫ (1+ x) dx 1 10 b) S = C10 + C10 + C10 + C10 + + C10 11 Giải a) Ta có: ∫ (1+ x) 10 dx = ( 1+ x) 11 11 = 2037 11 2 3 4 10 10 b) Ta có: (1 + x)10 = C10 + xC10 + x C10 + x C10 + x C10 + + x C10 Lấy tích phân hai vế cận từ đến ta được: 10 ∫ (1+ x) dx = ∫( C 10 ) 10 + xC110 + x2C10 + x3C10 + x4C10 + + x10C10 dx 1 10 = C10 + C10 + C10 + C10 + + C10 11 ⇒ S = ∫ (1+ x)10dx = ( 1+ x) 11 11 = 2037 11 Bài tập tương tự: 1 k n k+1 Cn + + (−1)n+1 Cn 1) Tính A = Cn − Cn + Cn − Cn + + (−1) k +1 n+ ĐS: n+1 1 k n Cn + + Cn 2) Tính B = Cn + Cn + Cn + Cn + + k+1 n+ 2n+1 − ĐS: n+ 3) Chứng minh rằng: 1 1 n n 2C0n − 22 Cn + 23 C2n − 24 C3n + + (−1)n+1 2n+1 Cn = 1+ ( −1) n+ n + 1 BÀI TẬP ÔN TẬP 1 Bài 1: Khai triển ( x + 2y) ; x2 − ; ( 3x − 2) + ( 2x + 1) − ( x − 1) ; x Bài 2: Tìm hệ số x khai triển biểu thức (x + 1)2 + (x + 1)3 + (x + 1)4 + (x + 1)5 + (x + 1)6 ( ) x +1 n 1 Bài 3: Trong khai triển biểu thức x + , hệ số số hạng thứ hai lớn hệ số số x hạng thứ ba 35 Tìm số hạng khơng chứa x khai triển 1 Bài 4: Tìm số hạng khơng chứa x, số hạng khai triển: + x x 2 3 4 5 Bài 5: Tính tổng C + 2C + C + C + C + C Bài 6: Chứng minh : 12 1) 1+ 4C1 + 42C2 + 43C3 + + 4n−1C n − + 4n = 5n n 2) 3) n n n n−1 n C − 2C + 3C − 4C + + (−1) nC = n n n n n n n+1 C C C C −1 C + n + n + n + + n = n + 1+ 1+ 1+ n 1+ n n −x x −1 Bài 7: Trong khai triển 2 + ÷ biết số hạng thứ tư 20n Cn = 5Cn Tìm n x n n Bài 8: Tìm số n nguyên dương cho Cn + 2Cn + 4Cn + + Cn = 243 n−2 Bài 9: Tìm số n nguyên dương cho An + 2Cn ≤ 9n Bài 10: Giả sử n số nguyên dương ( + x ) = a0 + a1 x + a2 x + + an x n Biết tồn a a a số k nguyên, ≤ k ≤ n − , cho k −1 = k = k +1 Hãy tính n 24 10 Bài11: Xét khai triển ( x + 1) ( x + ) = x11 + a1 x10 + a2 x + + a11 Tính hệ số a5 n n 1 Bài 12: Tìm hệ số x8 khai triển biểu thức + x ÷ biết x n +1 n Cn + − Cn + = ( n + 3) Bài 13: Gọi a3n −3 hệ số x 3n −3 khai triển ( x + 1) ( x + ) Tìm n để n n a3n −3 = 26n Bài 14: Tìm hệ số x8 khai triển thành đa thức 1 + x ( − x ) n−2 3 n −3 Bài 15: Tìm số tự nhiên n thỏa mãn Cn Cn + 2Cn Cn + Cn Cn = 100 Bài 16: Tìm số hạng khơng chứa x khai triển x + ÷ với x > x An +1 + An 2 2 Bài 17: Tính giá trị M = biết Cn +1 + 2Cn + + 2Cn +3 + Cn + = 149 n + ! ( ) Bài 18: Tìm hệ số x khai triển ( − x ) C n +1 +C n +1 +C n +1 + + C n +1 n +1 2n biết = 1024 Bài 19: Giả sử ( + x ) = a0 + a1 x + a2 x + + an x n , biết a0 + a1 + a2 + + an = 729 tìm n n số lớn số a0 , a1 , a2 , , an n Bài 20: Tìm hệ số x khai triển + x ÷ , biết x n 20 C2 n +1 + C2 n+1 + C2 n+1 + + C2 n +1 = − 26 a + Bài 21: Trong khai triển b ( Đ42) b a 21 ÷ ÷ tìm hệ số số hạng chứa a b có số mũ Bài 22: Cmr: với ∀n ∈ ¥ ta có ( Cn0 ) + ( Cn1 ) + + ( Cnn ) = C2nn (Đ45) 2 12 x 3 Bài 23: Tìm hệ số x khai triển − ÷ 3 x n 1 Bài 24: Tổng hệ số khai triển + x ÷ 1024 Tìm hệ số x6 x 20 Bài 25: Tìm số hạng khơng chứa x khai triển x + ÷ , x > x 10 1 Bài 26: Tìm số hạng khơng chứa x khai triển 2x − ÷ ( x ≠ ) x 15 1 Bài 27: Tìm hệ số x khai triển x + ÷ x 10 Bài 28: Tìm số hạng khơng chứa x khai triển 2x + ÷ , ( x ≠ ) x 2 2k 2k n−2 n −2 2n 2n 15 16 Bài 29: Tìm n biết C2 n + C2 n + + C2 n + + C2 n + C2 n = ( − 1) Bài 30: Chứng minh với ∀n ≥ 2, n ∈ ¥ ta có 1 n −1 + + + = A2 A3 An n Bài 31: Tìm hệ số x5 khai triển ( + x + x + x3 ) 10 Bài 32: Tìm tất số hạng hữu tỷ khai triển 2+33 Bài 33: Tính giá trị biểu thức Q = ( ) 20 Ax3 18 − x biết x nghiệm phương trình Px C2xx+1 = C2xx−+11 2 Bài 34: Giải bất phương trình Ax + Cx +1 ≤ 20 n 1 Bài 35: Trong khai triển x + ÷ , hệ số số hạng thứ ba lớn hệ số số hạng thứ hai x 35 Tìm hệ số số hạng khơng chứa x khai triển nói Bài 36: Cho tập A gồm n phần tử, n ≥ Tìm n biết số tập gồm phần tử tập A hai lần số tập gồm phần tử tập A 100 Bài 37: Biết ( + x ) = a0 + a1 x + a2 x + + a100 x100 C/minh a2 < a3 Với giá trị k ( ≤ k ≤ 99 ) ak < ak +1 (Đ76) n 1 Bài 38: Biết khai triển x + ÷ tổng hệ số hai số hạng 24, x tính tổng hệ số lũy thừa bậc nguyên dương x chứng tỏ tổng số phương ( Đ78) k Bài 39: Tìm k ∈ { 0;1; 2; ; 2005} cho C2005 đạt GTLN 2 Bài 40: Tìm n >1 cho Pn + An − Pn An = 12 ÔN TẬP TRẮC NGHIỆM Buổi Câu 1: 2016 Tổng C 2016 + C 2016 + C 2016 + + C 2016 bằng: A 22016 B 22016 + C 22016 − D 42016 Câu 2: Trong khai triễn (1 + 3x)20 với số mũ tăng dần, hệ số số hạng đứng là: 9 12 12 11 11 10 10 A C20 B C20 C C20 D C20 3n Câu 3: Tổng hệ số nhị thức Niu - tơn khai triển 2nx + 64 Số hạn ÷ 2nx khơng chứa x khai triển là: A 360 B 210 C 250 D 240 Câu 4: Trong khai triển (x – y )11, hệ số số hạng chứa x8y3 A - C11 B C11 C C11 D − C11 Câu 5: Tổng số hạng thứ khai triển (5a − 1)5 số hạng thứ khai triể (2a − 3)6 là: A 4160a Câu 6: −4610a B n lẻ D 4620a C n hữu hạn D trường hợp Trong khai triển nhị thức (1 + x) xét khẳng định sau: I Gồm có số hạng B Chỉ II III D Cả ba Tìm số hạng khai triển ( x + −1 A 56 x III Hệ số x5 II Số hạng thứ 6x Trong khẳng định A Chỉ I III C Chỉ I II Câu 8: C 4610a Tổng số C n0 − C n1 + C n2 − + (−1)nC nn có giá trị bằng: A n chẵn Câu 7: B B 70 x ) ,với x > x −1 C 70 x 56 x D 70 x x mọ Câu 9: x 2( x −1) m + 4.2 ) Gọi Cm , Cm hệ số hạng tử thứ thứ Tìm Xét khai triển ( m cho: lg(3Cm3 ) − lg(Cm1 ) = A B C D Câu 10: Nếu bốn số hạng đầu hàng tam giác Pascal ghi lại là: 16 120 560 Khi số hạng đầu hàng là: A 32 360 1680 B 18 123 564 C 17 137 697 D 17 136 680 n Câu 11: 1 Trong khai triển x + ÷ hệ số x3 là: 34 Cn5 giá trị n là: A Câu 12: A Câu 13: A Câu 14: x 15 B 12 C D KQ khác Giá trị tổng A = C7 + C7 + .C7 bằng: 255 B 63 C 127 D 31 Nếu Ax = 110 thì: x = 11 B x = 10 C x = 11 hay x = 10 D x = 100 Trong khai triển (x – 2) = a0 + a1x +…+ a100x100 Tổng hệ số: a0 + a1 +…+ a100 C 3100 D 2100 -1 B Câu 15: Cho khai triển (1 + 2x)n = a0 + a1x1 +…+ anxn; n ∈ N * hệ số thỏa mãn h A thức a0+ A Câu 16: A Câu 17: A Câu 18: A Câu 19: A Câu 20: A Câu 21: a a1 + + nn = 4096 Tìm hệ số lớn 2 1293600 B 126720 C 924 D 792 10 Trong khai triển (3x – y) , hệ số số hạng là: -22400 B -4000 C -8960 D -40000 2 n n Cho A = Cn + 5Cn + Cn + + Cn Vậy A = 7n B 5n C 6n D 4n Trong khai triển (x – 2)100 = a0 + a1x1 +…+ a100x100 Hệ số a97 là: 97 98 1.293.600 B -1.293.600 C -297 C100 D (-2)98 C100 Trong khai triển (0,2 + 0,8)5, số hạng thứ tư là: 0,2048 B 0,0064 C 0,0512 D 0,4096 n+6 Trong khai triển nhị thức (a + 2) (n ∈N) Có tất 17 số hạng Vậy n bằng: 10 B 17 C 11 D 12 Tìm hệ số chứa x khai triển (1 + x)9 + (1 + x)10 + (1 + x)11 + (1 + x)12 + (1 + x)13 + (1 + x)14 + (1 + x)15 A 3000 B 8008 C 3003 D 8000 16 Câu 22: Trong khai triển x − y , hai số hạng cuối là: ( ) A − 16 x y 15 + y B − 16x y15 + y C 16xy15 + y4 D 16xy15 + y8 Câu 23: Tìm số nguyên dương bé n cho khai triển (1 + x)n có hai hệ số liên tiế có tỉ số 15 A 20 B 21 C 22 10 Câu 24: Trong khai triển (2x – 1) , hệ số số hạng chứa x8 D 23 A 11520 B -11520 C 256 D 45 n Câu 25: Số hạng thứ khai triển x + ÷ khơng chứa x Tìm x biết số hạng bằn x số hạng thứ hai khai triển ( + x ) A -2 B C -1 D 2 n−1 n Câu 26: Trong khai triển (1+x) biết tổng hệ số Cn + C n + Cn + + C n = 126 Hệ số x 30 A Câu 27: A Câu 28: A Câu 29: A Câu 30: A Câu 31: A Câu 32: A bằng: 15 B 21 C 35 Có số hạng hữu tỉ khai triển ( 10 + 3)300 37 B 38 C 36 Hệ số x khai triển (3 – x) 7 C97 B 9C9 C − 9C9 Hệ số x5 khai triễn (1+x)12 bằng: 820 B 210 C 792 Trong khai triển (a – 2b)8, hệ số số hạng chứa a4.b4 1120 B 560 C 140 15 Hệ số x khai triển (2 - 3x) là: 8 C 15 27.37 B C 15 C C 15 28 C20n + C22n + C24n + + C22nn Bằng: n-2 B n-1 C 22n-2 D 20 D 39 D − C97 D 220 D 70 D - C15 28.37 D 22n - n + ÷ Tìm n biết tỉ số số hạng thứ tư thứ ba Câu 33: Cho khai triển A B 10 C Câu 34: Trong bảng khai triển nhị thức (x − y)11 , hệ số x8y3 là: A Câu 35: A Câu 36: A Câu 37: A Câu 38: A Câu 39: A Câu 40: A C 11 B C 11 D C 10 + C 10 C D −C 11 n Tổng T = C n + C n + C n + C n + + C n bằng: T = 2n B T = 4n C T = 2n + D T = 2n - Nghiệm phương trình A 10x + A 9x = 9A 8x x=5 B x = 11 C x = 11 x = D x = 10 x = Tổng tất hệ số khai triển (x + y)20 77520 B 1860480 C A = 6n D 81920 Ba số hạng theo lũy thừa tăng dần x khai triển (1 + 2x)10 là: 1, 45x, 120x2 B 1, 4x, 4x2 C 1, 20x, 180x2 D 10, 45x, 120x2 Tìm hệ số x5 khai triển: P(x) = (x + 1)6 + (x + 1)7 + + (x + 1)12 1711 B 1287 C 1716 D 1715 Trong khai triển (2a – b) , hệ số số hạng thứ bằng: 80 B -10 C 10 D -80 ĐÁP ÁN 10 C D D A C D C B B D 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 C C A B B A C B A A 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 B A B A D C B C C A 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 D D D D A B B C D A Buổi 1.Trong khai triển ( x + xy )15 số hạng là: A:6435x31y7 B:6435x29y8 C:6435x31y7 6435x29y8 D:6435x29y7 6435x29y8 2.Trong khai triển (x-2)100 = a0+a1x1+…+a100x100 1.A Hệ số a97 là: A: 1.293.600 B: -1.293.600 97 98 C: -297 C100 D: (-2)98 C100 C:2100 D:3100 1.B Tổng hệ số: a0+a1+…+a100 A:1 B:-1 1.C Tính tổng T= a0 - a1 + a2 – a3 + + a100 A:1 C:2100 B:-1 D:3100 n 1 3.Tìm số hạng khơng chứa x khai triển x − ÷ Biết: x A:9 B:8 C:6 Cn2Cnn-2 + 2Cn2Cn3 + Cn3Cnn −3 =100 D: Khơng có giá trị thỏa 4.Trong khai triển ( − 5)124 có số hạng hữu tỉ A: 32 B: 64 C: 16 D: 48 n 1 5.Tổng hệ số khai triển + x ÷ 1024 Tìm hệ số chứa x5 x A: 120 B: 210 C: 792 D: 972 6.Tìm hệ số chứa x9 khai triển (1+x)9+(1+x)10+(1+x)11+(1+x)12+(1+x)13+(1+x)14+(1+x)15 A: 3003 B: 8000 C: 8008 7.Biết hệ số số hạng thứ khai triển (x2 x + A:84 x x B:9 x.3 x x D: 3000 x n ) 36 Hãy tìm số hạng thứ x C:36 x.3 x x D:Đáp án khác 8.Tìm hệ số có giá trị lớn khai triển ( 1+x2)n Biết tổng hệ số 4096 A:253 B:120 C:924 D:792 9.Cho khai triển (1+2x)n = a0+a1x1+…+anxn; n ∈ N hệ số thỏa mãn hệ thức a0+ a a1 + + nn = 4096 Tìm hệ số lớn 2 * A:924 B:126.720 C:1293600 D: 792 11.Tìm số hạng khai triển ( x + A:70 x 3 B:70 x 56 x ) ,với x>0 x −1 C:56 x −1 4 D:70 x x y y +1 y −1 13 Tìm x,y cho: C x +1 : Cx : Cx = 6:5:2 A: (3,7) B: (3,2) C: (8,3) D: (7,3) y y −1 y −1 y −1 14 Tìm x,y cho: ( Ax −1 + yAx −1 ) : Ax : Cx = 10 : :1 A: (3,7) B: (3,2) C: (8,3) D: (7,3) Axy + 5C xy = 90 y A − 2Cxy = 80 15 Giải phương trình: x nghiệm (y,x) là: A: (2,5) B: (5,2) C: (3,5) D: (5,3) 16 Tổng tất hệ số khai triển (x+y)20 A:81920 B:819200 C:10485760 D:1.048.576 2 n n 17 Cho A= Cn + 5Cn + Cn + + Cn Vậy A: A = 5n B: A = 6n C: A = 7n D: Đápán khác 5 18 Biết Cn = 15504 Vậy An bao nhiêu? A:108528 B:62016 C:77520 D:1860480 19 Tìm số nguyên dương bé n cho khai triển (1+x)n có hai hệ số liên tiếp có tỉ số 7/15 A:22 B:21 C:20 D:23 C:5005 D:58690 20 Tính hệ số x25y10 khai triển (x3+xy)15 A:3003 B:4004 21 Gieo đồng xu phân biệt đồng chất Gọi A biến cố” Có hai lần ngửa” Tính xác suất A A: B: C: D: 22 Trong hộp đựng bi xanh, bi đỏ bi vàng Lấy ngẫu nhiên viên bi, tính xác suất để bi vàng lấy A: ĐÁP ÁN 37 455 B: 22 455 C: 50 455 D: 121 455 1.C 1.A B 1.B A 11.A 13.C 15.A 14.D 16.D 1,C D C A A 6.C 7.D 17.B 19.B 20.A 21.C 22.A 18.D 8.C 9.B Buổi Hệ số x7 khai triển (3 – x)9 7 A) C9 B) − C9 C) 9C9 Hệ số x10y19 khai triểm (x – 2y)29 : 19 10 19 10 10 A) C 29 B) − C 29 C) C 29 D) − 9C9 10 D) − C 29 Ba số hạng theo lũy thừa tăng dần x khai triển (1 + 2x) 10 : A) 1, 45x, 120x2 B) 1, 20x, 180x2 C) 10, 45x, 120x2 D) 1, 4x, 4x2 Số nghiệm nguyên dương phương trình C n + C n = 4n : A) B) C) D) Số nghiệm nguyên dương phương trình C n + C n + C n = n : A) B) C) D) 2007 1 1 Trong khai triển x15 y + x y ÷ A) 650 B) 655 , số hạng mà lũy thừa x y : C) 669 D) 670 Số hạng khai triển (5x + 2y)4 : A) C 42 x y B) 4C 42 x y C) 60 x y D) 100C 42 x y Trong khai triển nhị thức (1 + x)6 xét khẳng định sau : I Gồm có số hạng II Số hạng thứ 6x III Hệ số x5 Trong khẳng định A) Chỉ I III B) Chỉ II III đúng C) Chỉ I II 2016 Tổng C 2016 + C 2016 + C 2016 + + C 2016 : A) 22016 B) 22016 + C) 22016 − D) Cả ba D) 42016 10 Cho đa thức P(x) = (1 + x) + (1 + x)9 + (1 + x)10 + (1 + x)11 + (1 + x)12 Khai triển rút gọn P(x) ta hệ số x8 : A) 700 B) 715 C) 720 D) 730 3 11 Hệ số x y khai triển (x – 3y) : A) 135 B) -540 C) 1215 D) -15 12 Hệ số x5 khai triển (1 + 3x)2n biết An + An = 100 : A) − C125 B) − 35 C125 C) C10 13 Cho A = Cn0 + 5Cn1 + 52 Cn2 + + 5n Cnn Vậy A = A) 5n B) 6n C) 7n 5 D) C10 D) 4n 14 Tính hệ số x25y10 khai triển (x3+xy)15 : A) 3003 B) 4004 C) 5005 5 15 Biết Cn = 15504 Vậy An bao nhiêu? A) 108 528 B) 62 016 C) 77 520 16 Số hạng có chứa y6 khai triển (x – 2y2)4 laø: A) 32xy6 B) 24x2y6 C) − 32xy6 D) 58690 D) 860 480 D) − 24x2y6 ... triển nhị thức Niutơn Các tốn chứng minh có liên quan đến hệ số khai triển nhị thức Niutơn Các tốn có liên quan đến đạo hàm nhị thức Niutơn Bài tốn có liên quan đến tích phân nhị thức Niutơn I... sinh không nắm kiến thức nhị thức Niutơn học sinh dùng máy tính cầm tay để tính giá trị A B, nhiên trường hợp n lớn việc tính khơng khả thi - Để vận dụng cơng thức nhị thức Niutơn (a + b) n để tính... BÀI TOÁN MỞ RỘNG Trong phần này, đề tài đề cặp đến số tốn có dạng khó toán mà kiến thức lớp 11 ( theo chương trình ) khơng giải : Một vài dạng tốn nhị thức Niutơn với a, b có số mũ hữu tỉ, số