Đang tải... (xem toàn văn)
Các bài toán về hàm số liên tục 1 Lý thuyết a) Hàm số liên tục tại một điểm Cho hàm số y = f(x) xác định trên K và 0x K Hàm số y = f(x) liên tục tại x0 khi và chỉ khi 0 x x0 lim f (x) f (x ) Hàm[.]
Các toán hàm số liên tục Lý thuyết a) Hàm số liên tục điểm Cho hàm số y = f(x) xác định K x K - Hàm số y = f(x) liên tục x0 lim f (x) f (x ) x x - Hàm số y = f(x) không liên tục x0 ta nói hàm số gián đoạn x0 b) Hàm số liên tục khoảng - Hàm số y = f(x) liên tục khoảng (a; b) liên tục điểm x0 khoảng - Hàm số y = f(x) liên tục [a; b] liên tục (a; b) lim f (x) f (a), x a lim f (x) f (b) x b c) Các định lý Định lý 1: - Hàm số đa thức liên tục toàn tập - Các hàm số đa thức, phân thức hữu tỉ, lượng giác liên tục khoảng xác định chúng Định lý 2: Cho hàm số y = f(x) y = g(x) liên tục x0 Khi đó: - Các hàm số: y = f(x) + g(x); y = f(x) - g(x); y = f(x).g(x) liên tục x0 - Hàm số y f x liên tục x0 g x gx Định lý 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục [a; b] f(a).f(b) < Khi phương trình f(x) = có nghiệm (a; b) Các dạng toán Dạng 1: Xét tính liên tục hàm số điểm f1 x , x x x = x0 f x , x x Loại 1: Xét tính liên tục hàm số f x Phương pháp giải: Bước 1: Tính f(x0) = f2(x0) Bước 2: Tính lim f x lim f1 x L x x x x Bước 3: Nếu f2(x0) = L hàm số f(x) liên tục x0 Nếu f x L hàm số f(x) khơng liên tục x0 (Đối với tốn tìm tham số m để hàm số liên tục x0, ta thay bước thành: Giải phương trình L = f2(x0), tìm m) Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Xét tính liên tục hàm số sau điểm x = - x 5x f x x 1 x 1 x 1 Lời giải Hàm cho xác định Ta có: f(-1) = x 5x x 1 x lim x lim f x lim lim x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Ta thấy lim f x f 1 x 1 Vậy hàm số liên tục x = - x 1 x Ví dụ 2: Cho hàm số: f x x Tìm m để hàm số liên tục x = m x x Lời giải Hàm cho xác định 0; Ta có f(1) = m2 lim x 1 x 1 1 lim x x 1 x Để hàm số liên tục x = limf x f 1 m2 x 1 1 m 2 Vậy m f1 x , x x x = x0 f x , x x 2 Loại 2: Xét tính liên tục hàm số f x Phương pháp giải: Bước 1: Tính f(x0) = f2(x0) Tính giới hạn trái: lim f x lim f x L1 x x 0 x x 0 Tính giới hạn phải: lim f x lim f1 x L2 x x 0 x x 0 Bước 2: Nếu L = L1 hàm số liên tục bên trái x0 Nếu L = L2 hàm số liên tục bên phải x0 Nếu L = L1 = L2 hàm số liên tục x0 (Nếu trường hợp khơng xảy hàm số khơng liên tục x0) * Đối với tốn tìm m để hàm số liên tục x0 ta giải phương trình: L = L1 = L2 Tìm m Ví dụ minh họa: x x Ví dụ 1: Cho hàm số f x x 2x , x 1 , x 1 Xét tính liên tục hàm số x = -1 Lời giải Ta có: f(- 1) = = (-1) + = lim f x lim 2x 3 x 1 x 1 lim f x lim x 1 lim x 1 x 1 x x2 x 1 x2 x x 1 x x2 lim x 1 x x 1 x x lim x2 x x2 x 1 x 1 Ta thấy lim f x lim f x x 1 x 1 Vậy hàm số gián đoạn x = - x 3x Ví dụ 2: Cho hàm số: f x x m x Tìm m để hàm số liên tục x x=1 Lời giải x 3x Ta có: f x x m x x x 3x x x 1 Khi đó: f x m x x 3x x x 1 x x Hay: f x m x 2 x x (vì x2 – 3x + = (x – 2)(x – 1)) Ta có: f(1) = m lim f x lim x 1 x 1 x 1 lim f x lim x x 1 x 1 Để hàm số liên tục x = lim f x lim f x f 1 x 1 x 1 Khi đó: = m = - (vơ lý) Vậy không tồn m để hàm số liên tục x = Dạng 2: Xét tính liên tục hàm số khoảng Phương pháp giải: Bước 1: Xét tính liên tục hàm số khoảng đơn Bước 2: Xét tính liên tục hàm số điểm giao Bước 3: Kết luận Ví dụ minh họa: 1 x x Ví dụ 1: Cho hàm số y f x x Xét liên tục hàm số 2x x Lời giải Hàm số xác định liên tục ;1 1; Xét tính liên tục x = f(1) = 2.1 = 1 x x 1 x limf x lim lim lim x 1 x 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 Ta thấy limf x f 1 nên hàm số liên tục x = x 1 Vậy hàm số liên tục 3 x , 0x 9 x Ví dụ 2: Cho hàm số f x m Tìm m để hàm số liên tục , x 0 3 , x 9 x 0; Lời giải Với x 0;9 : f x 3 9 x xác định liên tục 0;9 x Với x 9; : f x Với x = 9, ta có f xác định liên tục 9; x lim f x x 9 3 9 x 3 99 x 9 x lim f x lim x 9 Ta thấy lim f x lim f x f 9 nên hàm số liên tục x = x 9 x 9 Với x = ta có f(0) = m lim f x lim x 0 x 0 1 3 9 x 32 x lim lim x 0 x x 0 x x x Để hàm số liên tục 0; hàm số phải liên tục x = lim f x f m x 0 Vậy m hàm số liên tục 0; Dạng 3: Chứng minh phương trình có nghiệm Phương pháp giải: Sử dụng định lý: Cho hàm số y = f(x) liên tục [a; b] f(a).f(b) < Khi phương trình f(x) = có nghiệm (a; b) Chú ý: Đa thức bậc n có tối đa n nghiệm * Chứng minh phương trình f(x) = có nghiệm - Tìm hai số a b cho hàm số f(x) liên tục đoạn [a; b] f(a).f(b) < - Phương trình f(x) = có nghiệm x a;b * Chứng minh phương trình f(x) = có k nghiệm - Tìm k cặp số ai; bi cho khoảng (ai; bi) rời f(ai).f(bi) < 0; i = 1; 2; … k - Phương trình f(x) = có nghiệm x i a i ;bi Khi f(x) = có k nghiệm Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Phương trình: x 3x x có nghiệm thuộc khoảng (-1; 3) b) Phương trình 2x x có nghiệm Lời giải a) Xét hàm số f x x 3x x Ta có: f 1 23 ; f 0 ; 8 liên tục [- 1; 3] 23 1 f ; f 1 ; f 3 8 16 Ta thấy: f(- 1).f(0) < 0, phương trình có nghiệm thuộc (- 1; 0) 1 f .f , phương trình có nghiệm thuộc 2 1 0; 2 1 f f 1 , phương trình có nghiệm thuộc 2 1 ;1 2 f(1).f(3) < 0, phương trình có nghiệm thuộc (1; 3) Do phương trình có ngiệm thuộc khoảng (-1; 3) Mặt khác phương trình bậc có tối đa bốn nghiệm Vậy phương trình có nghiệm thuộc khoảng (-1; 3) b) Đặt t x x t Khi phương trình cho có dạng 2t3 – 6t + = Xét hàm f(t) = 2t3 – 6t + liên tục Ta có f(- 2) = - 3, f(0) = 1, f(1) = - 3, f(2) = Ta thấy: f(- 2).f(0) = - < 0, phương trình có nghiệm t1 (2;0) Khi x1 t13 , x1 (1;9) f(0).f(1) = - < 0, phương trình có nghiệm t (0;1) Khi x t 23 , x (0;1) f(1).f(2) = - 15 < 0, phương trình có nghiệm t (1;2) Khi x t 33 , x (7;0) Do phương trình 2t3 – 6t + = có nghiệm thuộc (-2; 2) Mà phương trình bậc có tối đa nghiệm Suy ra, phương trình 2t3 – 6t + = có nghiệm thuộc (-2; 2) Vậy phương trình 2x x có nghiệm thuộc (-7; 9) Ví dụ 2: Chứng minh phương trình (1 – m2)x5 – 3x – = ln có nghiệm với m Lời giải Xét hàm số f(x) = (1 – m )x – 3x – Ta có: f(0) = - f(- 1) = m2 + nên f 1.f m2 1 0, m Mặt khác: f(x) = (1 – m2)x5 – 3x – hàm đa thức nên liên tục [-1; 0] Suy ra, phương trình (1 – m2)x5 – 3x – = có nghiệm thuộc (-1; 0) Vậy phương trình (1 – m2)x5 – 3x – = có nghiệm với m Bài tập tự luyện x 2 x x Câu Cho hàm số f (x) x Khẳng định sau A Hàm số liên tục x = B Hàm số liên tục điểm tập xác định gián đoạn x = C Hàm số không liên tục x = D Tất sai x x Câu Cho hàm số f x x 2x , x 1 , x 1 Khẳng định sau nhất: A Hàm số liên tục x0 = -1 B Hàm số liên tục điểm C Hàm số gián đoạn x0 = -1 D Tất sai x 1 x 1 x Câu Cho hàm số f (x) x 2 x Khẳng định sau A Hàm số liên tục x0 = B Hàm số liên tục điểm gián đoạn x0 = C Hàm số liên tục điểm D Tất sai Câu Cho hàm số f x x Chọn câu câu sau: (I) f(x) liên tục x = (II) f(x) gián đoạn x = (III) f(x) liên tục đoạn [-2; 2] A Chỉ (I) (III) (III) B Chỉ (I) Câu Cho hàm số f (x) C Chỉ (II) D Chỉ (II) x2 Khẳng định sau x x 6 A Hàm số liên tục R B Hàm số liên tục R\{-2; 3} hàm số gián đoạn x = -2; x = C Hàm số liên tục x = -2; x = D Tất sai x 2x x Câu Tìm m để hàm số f (x) liên tục x 1 3m x A m = B m 13 C m = D m = x 1 1 x Câu Tìm m để hàm số f (x) liên tục x 2x 3m x A m = B m x 3x Câu Cho hàm số f (x) x 1 ax C m = x D m = x Tìm a để hàm số liên tục x0 = A 2 B C 3 2 x 2,a a x Câu Cho hàm số f x 2 a x x D -2 Giá trị a để f(x) liên tục R là: A B -1 C -1 D -2 x2 x Câu 10 Cho hàm số f x x 2 x Tìm khẳng định khẳng định sau: (I) f(x) liên tục x (II) f(x) gián đoạn x (III) f(x) liên tục R A Chỉ (I) (II) B Chỉ (II) (III) C Chỉ (I) (III) D Cả (I),(II),(III) Câu 11 Tìm khẳng định khẳng định sau: I f(x) liên tục đoạn [a; b] f(a).f(b)