Bài tập Hoán vị Chỉnh hợp Tổ hợp Toán 11 I Bài tập trắc nghiệm Bài 1 Sắp xếp năm bạn học sinh An, Bình, Chi, Dũng, Lệ vào một chiếc ghế dài có 5 chỗ ngồi Số cách sắp xếp sao cho bạn Chi luôn ngồi chín[.]
Bài tập Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp - Toán 11 I Bài tập trắc nghiệm Bài 1: Sắp xếp năm bạn học sinh An, Bình, Chi, Dũng, Lệ vào ghế dài có chỗ ngồi Số cách xếp cho bạn Chi ngồi A 24 B 120 C 60 D 16 Lời giải: Xếp bạn Chi ngồi có cách Số cách xếp bạn sinh An, Bình, Dũng, Lệ vào chỗ cịn lại hốn vị phần tử nên có có 4! = 24 cách Vậy có 1.24 = 24 cách xếp Chọn đáp án A Bài 2: Có viên bi đen khác nhau, viên bi đỏ khác nhau, viên bi xanh khác Hỏi có cách xếp viên bi thành dãy cho viên bi màu cạnh nhau? A 345600 B 725760 C.103680 D.518400 Lời giải: Số hoán vị màu bi xếp thành dãy 3! Số cách xếp viên bi đen khác thành dãy 3! Số cách xếp viên bi đỏ khác thành dãy 4! Số cách xếp viên bi xanh khác thành dãy 5! ⇒ Số cách xếp viên bi thành dãy cho viên bi màu cạnh 3! 3! 4! 5! = 103680 cách Chọn đáp án C Bài 3: Có cách xếp khác cho người ngồi vào chỗ bàn dài? A.15 B 720 C 30 D 360 Lời giải: Số cách xếp khác cho người ngồi vào chỗ bàn dài chỉnh hợp chập phần tử Suy có Chọn đáp án D cách Bài 4: Trong ban chấp hành đoàn gồm người, cần chọn người vào ban thường vụ Nếu cần chọn ban thường vụ gồm ba chức vụ bí thư, phó bí thư, ủy viên thường vụ có cách chọn? A 210 B 200 C 180 D 150 Lời giải: Số cách chọn ban thường vụ gồm ba chức vụ bí thư, phó bí thư, ủy viên thường vụ từ người số chỉnh hợp chập ba bảy phần tử Vậy có Chọn đáp án A Bài 5: Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam 15 nữ Chọn học sinh để tham gia vệ sinh cơng cộng tồn trường, hỏi có cách chọn trên? A.9880 B 59280 C 2300 D 455 Lời giải: Nhóm học sinh người chọn (không phân biệt nam, nữ - công việc) tổ hợp chập 40 (học sinh) Vì vậy, số cách chọn nhóm học sinh Chọn đáp án A Bài 6: Có cách cắm bơng hoa giống vào lọ khác (mỗi lọ cắm không bông)? A 10 B 30 C D 60 Lời giải: Cắm hoa giống nhau, vào lọ nên ta lấy lọ lọ khác để cắm bơng Vậy số cách cắm bơng tổ hợp chập phần tử (lọ hoa) Như vậy, ta có cách Chọn đáp án A Bài 7: Trong mặt phẳng, cho điểm phân biệt cho khơng có ba điểm thẳng hàng Hỏi lập tam giác mà đỉnh thuộc tập điểm cho? A 15 B 20 C 60 D Một số khác Lời giải: Cứ điểm phân biệt không thẳng hàng tạo thành tam giác Lấy điểm điểm phân biệt số tam giác cần tìm tổ hợp chập phần tử (điểm) Như vậy, ta có tam giác Chọn đáp án B Bài 8: Một tổ có học sinh nam học sinh nữ a) Hỏi có cách xếp học sinh tổ thành hàng dọc? A 4!.5! B 4!+5! C 9! b) Hỏi có cách xếp học sinh tổ thành hàng dọc cho học sinh nam nữ xen kẽ nhau? A 4!.5! B 4!+5! C 9! Lời giải: - Mỗi cách xếp có + = học sinh thành hàng dọc hoán vị học sinh Vậy có tất 9! cách xếp Chọn đáp án C Nhận xét: học sinh nhầm lẫn xếp nam nữ riêng nên cho kết 4!.5! (phương án A); vừa xếp nam nữ riêng sử dụng quy tắc cộng kết 4!+5! (phương án B); chọn học sinh nam học sinh học sinh nữ học sinh kết b) Do số học sinh nữ nhiều số học sinh nam bạn nên để nam, nữ đứng xen kẽ nữ đứng trước - Nếu đánh số theo hàng dọc từ đến cần xếp học nữ vào vị trí lẻ nên có 5!cách xếp; xếp học sinh nam vào vị trí chẵn nên có 4!cách xếp Theo quy tắc nhân ta có, ta có 4!.5! Cách xếp học sinh thành hàng dọc xen kẽ nam nữ Bài 9: a) Từ tập A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}, lập số có bốn chữ số khác nhau? b) Có số có bốn chữ số khác nhau? Lời giải: a) Mỗi số tự nhiên có bốn chữ số khác tạo từ chữ số tập A chỉnh hợp chập phần tử Vậy có số cần tìm Chọn đáp án B Nhận xét: học sinh nhầm coi số có bốn chữ số hoán vị phần tử nên chọn kết 4! (phương án A); tổ hợp tập phần tử nên chọn kết có (phương án D); suy luận có cách chọn chữ số hàng nghìn cách chọn chữ số cịn lại nên có kết b) Gọi số có bốn chữ số khác Do a ∈ {1,2,3,4,5,6,7,8,9} nên có cách chọn a Ứng với cách chọn a, 10 - = chữ số để viết (b, c, d 0), cách viết (phương án C) chỉnh hợp chập chữ số, nên có Theo quy tắc nhân, có số số cần tìm Chọn đáp án B Bài 10: Trong mặt phẳng có 18 điểm phân biệt khơng có ba điểm thẳng hàng a) Số tam giác mà đỉnh thuộc tập hợp điểm cho là: b) Số vecto có điểm đầu điểm cuối thuộc tập điểm cho là: Lời giải: - Chọn điểm 18 điểm cho làm đỉnh tam giác Mỗi tam giác tổ hợp chập 18 Vì số tam giác (chọn phương án B) Nhận xét: học sinh nhầm cho tam giác chỉnh hợp chập 18, nên số tam giác (phương án A); suy luận tam giác có đỉnh nên 18 điểm cho ta tam giác (phương án C); suy luận 18 điểm có 18! cách tam giác có đỉnh nên số tam giác cách (phương án D) - Do Nên vecto chỉnh hợp chập hai 18 Vì vậy, số vecto Chọn đáp án A II Bài tập tự luận có lời giải Bài 1: Có bì thư khác có tem khác Chọn từ bì thư tem sau dán tem lên bì thư chọn Biết bì thư dán tem Hỏi có cách dán? Lời giải: Có bì thư khác nhau, chọn bì thư có cách chọn Có tem khác nhau, chọn tem có cách chọn Dán tem lên bì thư có 3!cách dán khác Theo quy tắc nhân ta có cách dán tem lên bì thư Nhận xét: học sinh nhầm lẫn: số cách chọn bì thư tem , số cách chọn khơng tính cách dán tem lên bì thư dẫn đến chọn phương án A, B C Bài 2: Giải phương trình Lời giải: Điều kiện x ∈ N x ≥ 3, ta có: Bài 3: Một túi đựng bi trắng, bi xanh Lấy viên bi từ túi Hỏi có cách lấy mà viên bi lấy có đủ hai màu Lời giải: Các viên bi lấy có đủ màu nên ta có trường hợp: Cách Dùng phần bù Số cách chọn viên bi tùy ý từ 11 viên bi là: Số cách chọn viên bi màu trắng là: Số cách chọn viên bi màu xanh là: Vậy có -( + cách cách cách ) = 310 cách chọn viên bi có màu Bài 4: Từ 20 người cần chọn đoàn đại biểu gồm trưởng đoàn, phó đồn, thư kí ủy viên Hỏi có cách chọn đồn đại biểu ? Lời giải: Bài 5: Một nhóm đồn viên niên tình nguyện sinh hoạt xã nông thôn gồm có 21 đồn viên nam 15 đồn viên nữ Hỏi có cách phân chia nhóm ấp để hoạt động cho ấp có đoàn viên nam đoàn viên nữ? Lời giải: Nhóm thứ 1: chọn nam từ 21 bạn nam, chọn nữ từ 15 bạn nữ nên số cách chọn nhóm thứ là: cách Nhóm thứ 2: chọn nam từ 14 bạn nam lại, chọn nữ từ 10 bạn nữ lại nên số cách chọn nhóm thứ hai là: Số cách chọn nhóm thứ ba là: cách cách Vậy có cách chia nhóm Bài 6: Có 12 học sinh giỏi gồm học sinh khối 12, học sinh khối 11 học sinh khối 10 Hỏi có cách chọn học sinh số học sinh giỏi cho khối có học sinh? Lời giải: Số cách chọn học sinh 12 học sinh là: cách Số cách chọn học sinh mà khơng có học sinh khối 10 ( hay học sinh từ khối 11 12) là: cách Số cách chọn học sinh mà khơng có học sinh khối 11 (hay học sinh từ khối 10 12) là: cách Số cách chọn học sinh mà khơng có học sinh khối 12 (hay học sinh từ khối 10 11) là: Vậy có -( cách + + ) = 805 cách chọn thỏa mãn yêu cầu tốn Bài 7: Một hộp bi có viên bi đỏ, viên bi vàng viên bi xanh Hỏi có cách lấy viên bi số viên bi đỏ lớn số viên bi vàng Lời giải: Tổng số bi lấy có viên mà bi đỏ nhiều bi vàng nên có trường hợp xảy ra: TH1: Khơng có bi vàng, số bi đỏ phải từ viên trở lên Số cách lấy viên bi tổng số viên bi (gồm đỏ xanh) là: Số cách lấy viên bi xanh ( bi đỏ khơng lấy ra) là: Số cách lấy thỏa mãn trường hợp là: - cách cách = 125 cách TH2: Có viên bi vàng, số bi đỏ phải từ viên trở lên Số cách lấy viên bi vàng: cách Số cách lấy viên bi lại có bi đỏ bi xanh là: Số cách lấy viên bi lại bi đỏ là: Số cách lấy thỏa mãn trường hợp là: *( + ) = 150 cách cách cách Vậy có 125 + 150 = 275 cách lấy thỏa mãn u cầu tốn Bài 8: Tìm giá trị n ∈ N thỏa mãn Lời giải: Bài 9: Cho 10 điểm phân biệt A1, A2, , A10 có điểm A1, A2, A3, A4 thẳng hàng, ngồi khơng có điểm thẳng hàng Hỏi có tam giác có đỉnh lấy 10 điểm trên? Lời giải: Số cách lấy điểm từ 10 điểm phân biệt Số cách lấy điểm điểm A1, A2, A3, A4 Khi lấy điểm điểm A1, A2, A3, A4 không tạo thành tam giác Như vậy, số tam giác tạo thành : 120 - = 116 tam giác Bài 10: Cho hai đường thẳng song song d1 d2 Trên d1 lấy 17 điểm phân biệt, d2 lấy 20 điểm phân biệt Tính số tam giác mà có đỉnh chọn từ 37 điểm Lời giải: Một tam giác tạo ba điểm phân biệt nên ta xét: TH1 Chọn điểm thuộc d1 điểm thuộc d2: có tam giác TH2 Chọn điểm thuộc d1 điểm thuộc d2: có tam giác Như vậy, ta có + = 5950 tam giác cần tìm III Bài tập vận dụng Bài 1: Số giao điểm tối đa đường tròn phân biệt là? Bài Với đa giác lồi 10 cạnh số đường chéo là? Bài Cho đa giác n đỉnh, n ∈ N n ≥ Tìm n biết đa giác cho có 135 đường chéo Bài Có số tự nhiên có chữ số khác tạo từ số khác mà số luôn có mặt hai chữ số chẵn hai chữ số lẻ? Bài Từ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập số tự nhiên gồm sáu chữ số khác Hỏi: a) Có tất số? b) Có số chẵn, số lẻ? c) Có số bé 432 000? Bài Có cách để xếp chỗ ngồi cho mười người khách vào mười ghế kê thành dãy? Bài Giả sử có bảy bơng hoa màu khác ba lọ khác Hỏi có cách cắm ba hoa vào ba lọ cho (mỗi lọ cắm bơng)? Bài Có bao cách mắc nối tiếp bóng đèn chọn từ bóng đèn khác nhau? Bài Có cách cắm hoa vào lọ khác (mỗi lọ cắm không bông) nếu: a) Các hoa khác nhau? b) Các hoa nhau? Bài 10 Trong mặt phẳng, cho sáu điểm phân biệt cho khơng có ba điểm thẳng hàng Hỏi lập tam giác mà đỉnh thuộc tập điểm cho? ... khác tạo từ chữ số tập A chỉnh hợp chập phần tử Vậy có số cần tìm Chọn đáp án B Nhận xét: học sinh nhầm coi số có bốn chữ số hoán vị phần tử nên chọn kết 4! (phương án A); tổ hợp tập phần tử nên... giác Như vậy, ta có + = 5 950 tam giác cần tìm III Bài tập vận dụng Bài 1: Số giao điểm tối đa đường tròn phân biệt là? Bài Với đa giác lồi 10 cạnh số đường chéo là? Bài Cho đa giác n đỉnh, n... C) chỉnh hợp chập chữ số, nên có Theo quy tắc nhân, có số số cần tìm Chọn đáp án B Bài 10: Trong mặt phẳng có 18 điểm phân biệt khơng có ba điểm thẳng hàng a) Số tam giác mà đỉnh thuộc tập hợp