DOI 10 18173/2354 1075 2017 0002JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE Educational Sci , 2017, Vol 62, No 1, pp 15 22 This paper is available online at http //stdb hnue edu vn KHAI THÁC MỐI QUAN HỆ LIÊN MÔN TOÁN[.]
JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE Educational Sci., 2017, Vol 62, No 1, pp 15-22 This paper is available online at http://stdb.hnue.edu.vn DOI: 10.18173/2354-1075.2017-0002 KHAI THÁC MỐI QUAN HỆ LIÊN MÔN TOÁN - TIN TRONG DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP Ngô Thị Tú Quyên Trường Đại học Sư phạm, Đại học Thái Nguyên Tóm tắt Trong chương trình Đại số Giải tích 11, số nội dung dạy học theo hướng khai thác mối quan hệ liên mơn Tốn - Tin để xây dựng thuật tốn lập trình giải tốn Qua đó, giúp học sinh khơng nắm kiến thức toán học, tin học cần thiết mà giúp em biết sử dụng kiến thức toán học để xây dựng thuật toán, kiến thức tin học để lập trình giải vấn đề đặt Bài báo trình bày việc khai thác mối quan hệ liên mơn Tốn - Tin dạy học giải tập Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp nhằm phát triển tư thuật toán cho học sinh đồng thời rèn luyện cho em kĩ lập trình góp phần phát triển lực giải vấn đề hướng tới tự động hóa Từ khóa: Kiến thức liên môn, lực giải vấn đề, lập trình, thuật tốn, tốn học Mở đầu Dạy học tích hợp quan điểm dạy học nhằm phát huy tính tích cực học sinh (HS), góp phần phát triển lực HS, giúp em có lực phẩm chất cần thiết để giải vấn đề học tập sống Dạy học tích hợp nghiên cứu vận dụng nhiều nước giới theo nhiều hướng khác Với quan điểm liên môn, số nước có giáo dục phát triển Mỹ, Úc, tích hợp số mơn học có nội dung liên quan Vật lí, Hóa học, Sinh học thành môn Khoa học Tự nhiên; môn Văn học, Lịch sử Địa lí tích hợp nội dung với thành Khoa học xã hội [3] Các nghiên cứu luận án tiến sĩ Kevin Costley (2015) rằng: “HS dạy học tốt nhờ việc tổ chức lại nội dung dạy học Các nội dung dạy học xây dựng từ môn học độc lập mà từ chủ đề bao quát xuất phát từ mối liên kết mặt lí thuyết mơn học Lợi ích lớn dạy học tích hợp tạo kết hợp có ý nghĩa nội dung môn học môn học, giúp HS hiểu kết nối em học nhà trường với hoạt động sống hàng ngày” [10] Ở Việt Nam, nghiên cứu tích hợp tiến hành từ năm 90 kỉ XX Kết nghiên cứu vận dụng vào xây dựng triển khai chương trình hành Về việc tích hợp chương trình giáo dục phổ thơng sau năm 2015, tác giả Cao Thị Thặng trình bày việc vận dụng quan điểm tích hợp phát triển chương trình giáo dục phổ thơng [9] Tác giả Đinh Quang Báo số vấn đề chung chương trình Giáo dục phổ thơng sau năm 2015 [1] Tác giả Nguyễn Anh Dũng - Phạm Thị Bích Đào đề xuất phương án tích hợp cấp tiểu học, trung học sở trung học phổ thông (THPT) [4], Từ năm học 2012 Ngày nhận bài: 28/11/2016 Ngày nhận đăng: 15/1/2017 Liên hệ: Ngô Thị Tú Quyên, e-mail: tuquyen.sptn@gmail.com 15 Ngô Thị Tú Quyên – 2013, Bộ GD&ĐT đưa vấn đề vận dụng kiến thức liên môn vào giảng dạy trường phổ thơng Tuy nhiên, hình thức dạy học mới, giáo viên (GV) chưa tiếp xúc nhiều chưa có kinh nghiệm giảng dạy Vì việc vận dụng kiến thức liên môn giảng dạy mơn cịn gặp nhiều khó khăn, lúng túng Trong mơn học trường phổ thơng mơn Tốn mơn học tảng Kiến thức tốn học thường kiến thức sở cho môn học khác Để giải vấn đề sống, HS phải sử dụng tổng hợp kiến thức tốn học, mơn học khác lĩnh vực khác [2] Chính vậy, mơn Tốn cần dạy theo hướng tích hợp liên mơn với mơn học khác, nhằm tạo điều kiện cho HS rèn luyện, phát triển lực giải vấn đề (GQVĐ) cách hiệu Trong báo này, chúng tơi trình bày việc khai thác mối quan hệ liên mơn Tốn - Tin dạy học giải tập Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp nhằm phát triển tư thuật toán cho HS đồng thời rèn luyện cho em kĩ lập trình góp phần phát triển lực GQVĐ hướng tới tự động hóa 2.1 Nội dung nghiên cứu Quy trình khai thác mối quan hệ liên mơn Tốn - Tin nhằm phát triển lực giải vấn đề hướng tới tự động hóa Ý tưởng phát triển cho HS lực GQVĐ hướng tới tự động hóa thơng qua việc khai thác mối quan hệ liên mơn Tốn - Tin xuất phát từ toán sách giáo khoa Đại số Giải tích 11 trình bày với trường hợp cụ thể Những toán khái quát hóa xây dựng thuật tốn để giải chúng Kết hợp với ngơn ngữ lập trình học chương trình Tin học 11, HS viết chương trình giải tốn đặt Như vậy, để khai thác mối quan hệ liên mơn Tốn - Tin nhằm phát triển lực GQVĐ hướng tới tự động hóa cho HS, GV triển khai hoạt động sau: Hoạt động 1: Phân tích, tìm lời giải tốn tốn học Dựa vào kiến thức toán học, trình phân tích trình bày lời giải cho tốn cụ thể cố gắng hướng đến tính quy luật (hoặc bước) để thuận lợi cho việc tìm lời giải toán khái quát xác định thuật toán hoạt động sau Hoạt động 2: Khái qt hóa tốn, giải tốn khái qt Bằng hoạt động tương tự hóa, khái quát hóa, đưa toán khái quát dựa toán ban đầu trình bày lời giải cho tốn khái quát Hoạt động 3: Xây dựng thuật toán hướng đến tự động hóa giải tốn khái qt Dựa vào lời giải toán trường hợp khái quát, xây dựng thuật toán (liệt kê bước sử dụng sơ đồ khối) Hoạt động 4: Lập trình giải toán - Dạy học tường minh câu lệnh, kiểu liệu (nếu cần); - Sử dụng ngôn ngữ lập trình, viết chương trình giải tốn Lưu ý: Trong hoạt động trên, sau trình bày lời giải toán, viết thuật toán lập trình giải tốn, thực việc nghiên cứu sâu lời giải để đưa lời giải tối ưu lời giải khác 16 Khai thác mối quan hệ liên mơn Tốn - Tin dạy học giải tập Hoán vị 2.2 Khai thác mối quan hệ liên mơn Tốn - Tin dạy học giải tập Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp góp phần phát triển cho học sinh lực giải vấn đề hướng tới tự động hóa Trong chương trình lớp 11, mơn Tốn Tin học có mối quan hệ chặt chẽ với nhau, giúp bồi dưỡng, phát triển tư thuật toán cho HS Tin học đời giúp cho Toán học phát triển nhanh chóng nhiều lĩnh vực, đặc biệt lĩnh vực tính tốn tự động Việc khai thác mối quan hệ liên mơn Tốn - Tin dạy học Tốn trường THPT nói chung, dạy học giải tập Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp nói riêng giúp HS có kiến thức, kĩ toán học, tin học cần thiết đồng thời phát triển cho HS lực GQVĐ hướng tới tự động hóa Bài tốn [3 tr 54]: Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, lập số tự nhiên gồm chữ số khác Hỏi: a) Có tất số? b) Có số chẵn, số lẻ? c) Có số bé 432000? Hoạt động 1: Phân tích, tìm lời giải toán toán học Để giải toán, HS vận dụng kiến thức toán học học hốn vị: a) Áp dụng cơng thức tổng quát hoán vị: Đáp số 6! = 720 số b) Tính số số chẵn: Nhận xét: Trong số cho có ba chữ số chẵn 2, 4, Để số tạo thành số chẵn chữ số hàng đơn vị phải chẵn Vậy lấy chữ số làm chữ số hàng đơn vị cịn lại chữ số để tạo thành số có chữ số khác tức có 5! cách lập số có chữ số khác Sau ghép chữ số hàng đơn vị vào bên phải số có số chẵn có chữ số khác Như có 3*5! = 360 số chẵn có chữ số khác tạo thành từ số cho Tương tự có 3*5! = 360 số lẻ có chữ số khác tạo thành từ số cho c) Gọi chữ số khác theo thứ tự từ trái sang phải A, B, C, D, E, G Các số có chữ số khác cần tìm phải nhỏ 432000 Trường hợp 1: Chọn A < 4, tức có cách chọn A Sau chọn chữ số làm A, lại chữ số để tạo số BCDEG Vậy có 5! cách tạo số BCDEG Đem ghép A vào bên trái số có chữ số số có chữ số khác nhỏ 432000, tức có 3*5! = 360 số Trường hợp 2: Chọn A = 4, B < Như có cách chọn A, cách chọn B tức có 1*2 cách tạo số AB Sau chọn chữ số làm A, chữ số làm B cịn lại chữ số để tạo số CDEG Vậy có 4! cách tạo số CDEG Đem ghép AB vào bên trái số có chữ số số có chữ số nhỏ 432000, tức có * 4! = 48 số Trường hợp 3: Chọn A = 4, B = 3, C = để tạo số 431 Như có cách chọn A, cách chọn B cách chọn C tức có 1*1*1 cách tạo số ABC Sau chọn chữ số làm A, chữ số làm B, chữ số làm C cịn lại chữ số (cụ thể 2, 5, 6) để tạo số DEG Vậy có 3! cách tạo số DEG Đem ghép ABC vào bên trái số có chữ số số có chữ số nhỏ 432000 tức có * 3! = số Lấy tổng ba trường hợp ta có số số có chữ số khác nhỏ 432000 Đáp số 414 số *) Phát triển lực GQVĐ: Bài toán xét với số tự nhiên liên tiếp từ đến 6, tương tự mở rộng tốn cho N số tự nhiên liên tiếp từ đến N (N ≤ 9) hướng dẫn HS xây dựng thuật toán hướng đến tự động hóa cho tốn khái qt Cũng kết hợp với việc 17 Ngô Thị Tú Quyên dạy cấu trúc lặp chương trình để lập trình giải tốn Hoạt động 2: Khái qt hóa tốn, giải tốn khái qt Bài toán khái quát: Cho N chữ số liên tiếp từ đến N (3 ≤ N ≤ 9) Lập số tự nhiên gồm N chữ số khác Hỏi: a) Có tất số? b) Có tất số chẵn, số lẻ? c) Có số bé số có N chữ số tính từ trái sang phải ba chữ số a1 , a2 , a3 N - chữ số sau (a1 , a2 , a3 số khác lấy N chữ số cho) Lập luận tìm lời giải cho tốn khái qt: a) Áp dụng cơng thức tổng quát hoán vị: Đáp số N! số b) Lập luận tương tự toán trường hợp cụ thể - Tính số số chẵn: Nhận xét: Trong N chữ số từ đến N có [N/2] chữ số chẵn Để số tạo thành số chẵn chữ số hàng đơn vị phải chẵn.Vậy lấy chữ số làm chữ số hàng đơn vị cịn lại N - chữ số để tạo thành số có N - chữ số khác tức có (N - 1)! cách lập số có N - chữ số khác Sau ghép chữ số hàng đơn vị vào bên phải số có số chẵn có N chữ số khác Như có [N/2] * (N - 1)! số chẵn có N chữ số khác - Tính số số lẻ: Trong N chữ số từ đến N có N - [N/2] chữ số lẻ Tương tự lập luận trên, số số lẻ có N chữ số là: (N - [N/2]) *(N - 1)! c) Gọi chữ số khác theo thứ tự từ trái sang phải A, B, C Số tạo thành ABC N - chữ số khác (và khác A, B, C) sau phải nhỏ số tạo thành a1 a2 a3 N - chữ số sau Gọi Cc1 số cách chọn chữ số thứ A, Cc2 số cách chọn chữ số thứ hai B, Cc3 số cách chọn chữ số thứ ba C Trường hợp 1: Chọn A < a1 , tức có a1 -1 cách chọn A Vậy Cc1 ← a1 - 1, tức có Cc1 cách chọn A Sau chọn chữ số làm A, lại N- chữ số để tạo số có N – chữ số khác Vậy có (N - 1)! cách tạo số có N -1 chữ số khác Đem ghép A vào bên trái số có N - chữ số số có N chữ số cần tìm Tóm lại trường hợp có Cc1*(N-1)! số Trường hợp 2: Chọn A = a1 , B < a2 , ta có Cc2 ← a2 - Nếu a2 > a1 Cc2 ← Cc2 - Vậy có Cc2 cách chọn B Như có cách chọn A, Cc2 cách chọn B tức có 1*Cc2 cách chọn số A, B Sau lấy hai chữ số làm A B cịn lại N - chữ số để lập số có N- chữ số khác Vậy có (N - 2)! cách lập số có N - chữ số khác Đem ghép AB vào bên trái số có N - chữ số khác số có N chữ số cần tìm Tóm lại trường hợp có Cc2 *(N - 2)! số Trường hợp 3: Chọn A = a1 , B = a2 , C < a3 , ta có Cc3 ← a3 - Nếu a3 > a2 Cc3 ← Cc3 -1 Nếu a3 > a1 Cc3 ← Cc3 - Vậy có Cc3 cách chọn C Như có cách chọn A nhân với cách chọn B nhân với Cc3 cách chọn C tức có 1*1*Cc3 cách chọn ba số A, B, C Sau lấy ba chữ số làm A, B C cịn lại N - chữ số để lập số có N - chữ số khác Vậy có (N - 3)! cách lập số có N - chữ số khác Đem ghép ABC vào bên trái số có N - chữ số khác số có N chữ số cần tìm Tóm lại trường hợp có Cc3 * (N - 3)! số Lấy tổng ba trường hợp ta có số số có N chữ số khác nhỏ số cho 18 Khai thác mối quan hệ liên mơn Tốn - Tin dạy học giải tập Hoán vị Đáp số Cc1 * (N - 1)! + Cc2 * (N - 2)! + Cc3 * (N - 3)! Hoạt động 3: Xây dựng thuật tốn hướng đến tự động hóa giải tốn khái qt Ta nhận thấy để hồn thành tốn cho cần nhiều lần tính hốn vị N phần tử Vậy viết thuật tốn cho hàm tính giai thừa số tự nhiên N để gọi nhiều lần Trong phần đầu hàm: Tên hàm đặt P, tham số N Thân hàm cách tính giai thừa N Sau thuật tốn tính cho câu a), b), c) đâu cần tính giai thừa gọi hàm P đặt giá trị cụ thể tham số vào cặp dấu ngoặc tròn Những thuật tốn viết để thuật tốn khác dùng gọi thuật tốn mơđun Thuật tốn mơđun viết cho hàm tính giai thừa số tự nhiên N mơ tả sau: Bước Xác định phần đầu môđun: Tên đặt P, tham số N, viết P(N); Bước Tg ← 1; J ← N; Bước Nếu N < chuyển đến bước 6; Bước Tg ← Tg * j; Bước Nếu j > j ← j - 1; Quay lại bước 4; Bước P ← Tg; Bước Kết thúc môđun; Lưu ý: - Bước đảm bảo 0! = theo qui ước 1! = đương nhiên Bước kiểm tra j > thực lệnh hợp lí nhân với số cho kết số - Thuật tốn tính giai thừa viết trên, mã hóa thành chương trình chương trình đó, cho N giá trị cụ thể, gọi hàm máy tự động tính tốn theo lệnh cho để có giá trị giai thừa ứng với giá trị thực tham số Chẳng hạn, cho N giá trị gọi hàm P(N) có kết 720; P(N-1) 120 Chúng ta gọi P cho số tự nhiên cụ thể vào vị trí N Ví dụ P(3) cho giá trị 6, P(4) cho giá trị 24 Thuật toán hướng đến tự động hóa viết gồm hai phần: Phần thứ thuật tốn mơđun tính số hốn vị N phần tử Phần thứ hai thuật toán nhận vào số N (để biết có N số chữ số khác cho liên tiếp từ đến N) Sau gọi mơđun tính số giao hốn N phần tử chỗ thích hợp để có kết mong muốn Gọi N biến nhận số chữ số khác 0, SCSC biến nhận số chữ số chẵn N chữ số cho, SCSL biến nhận số chữ số lẻ N chữ số cho, Cc1 biến nhận số cách chọn a trường hợp 1, Cc2 số cách chọn b trường hợp 2, Cc3 số cách chọn c trường hợp Phần thứ thuật toán Phần thứ hai: Bước Thông báo “Cho giá trị N”; Nhận vào giá trị cho N; Bước Nếu N < N > quay lại bước 1; Bước Câu a Thơng báo “Số số có N chữ số khác là”; Viết giá trị P(N); Bước SCSC ← [N/2]; SCSL ← N – SCSC; 19 Ngô Thị Tú Quyên Bước Câu b Thông báo “Số số chẵn có N chữ số khác là”; Viết giá trị SCSC * P(N - 1); Bước Thơng báo “Số số lẻ có N chữ số khác là”; Viết giá trị SCSL * P(N - 1); Bước Câu c Thông báo “Cho chữ số a1”; Nhận vào giá trị cho a1; Bước Nếu (a1 < 1) (a1 > N) quay lại bước 7; Bước Thông báo “Cho chữ số a2”; Nhận vào giá trị cho a2; Bước 10 Nếu (a2 = a1) (a2 < 1) (a2 > N) quay lại bước 9; Bước 11 Thông báo “Cho chữ số a3”; Nhận vào giá trị cho a3; Bước 12 Nếu (a3 = a1) (a3= a2) (a3< 1) (a3 > N) quay lại bước 11; Bước 13 Cc1 ← a1 – ; Cc2 ← a2 – 1; Cc3 ← a3 – 1; Bước 14 Nếu a2 > a1 Thì Cc2 ← Cc2 – 1; Bước 15 Nếu a3 > a2 Thì Cc3 ← Cc3 – 1; Bước 16 Nếu a3 > a1 Thì Cc3 ← Cc3 – 1; Bước 17 Viết giá trị biểu thức Cc1*P(N - 1) + Cc2*P(N-2) + Cc3*P(N-3); Bước 18 Kết thúc Hoạt động 4: Lập trình giải tốn Chương trình: Program Lap_so; Uses Crt; Var SCSC, SCSL, i, N, a1, a2, a3, Cc1, Cc2, Cc3: byte; Function P(N:byte): longint; Var GT: longint; j: byte; Begin GT := 1; For j := N downto GT := GT*j; P := GT; End; BEGIN Clrscr; N := ; While (N < 3) or (N > 9) Begin Write(’Cho N mot gia tri tu den 9: ’); Readln(N); End; Writeln(’So cac so co ’, N,’ chu so khac la: ’, P(N)); SCSC := N div 2; SCSL := N - SCSC; Writeln(’So cac so chan co ’, N,’ chu so khac la: ’, SCSC*P(N-1)); Writeln(’So cac so le co ’,N,’ chu so khac la: ’, SCSL*P(N-1)); a1 := ; a2 := ; a3 := 0; 20 Khai thác mối quan hệ liên mơn Tốn - Tin dạy học giải tập Hoán vị While (a1 < 1) or (a1 > N) Begin Write(’Cho a1 mot gia tri tu den ’, N, ’: ’); Readln(a1); End; While (a2 = a1) or (a2 < 1) or (a2 > N) Begin Write(’Cho a2 mot gia tri tu den ’, N, ’ va khac ’,a1, ’: ’); Readln(a2); End; While (a3 = a1) or (a3 = a2) or (a3 < 1) or (a3 > N) Begin Write(’Cho a3 mot gia tri tu den ’, N, ’ va khac ’, a1, ’, ’ a2, ’: ’); Readln(a3); End; Cc1 := a1-1; Cc2 := a2-1; Cc3 := a3-1; If a2 > a1 then Cc2 := Cc2-1; If a3 > a1 then Cc3 := Cc3-1; If a3 >a2 then Cc3 := Cc3-1; Write(’So cac so be hon ’,a1,a2,a3); for i:=1 to N - write(’0’); writeln(’ la: ’,Cc1*P(N-1)+Cc2*p(N-2)+Cc3*P(N-3)); Readln; END Chú ý: Ở trường hợp cụ thể số 432000 có a1 4, a2 3, a3 Như a1 , a2 , a3 ba số giảm dần Ở toán khái quát a1 , a2 , a3 ba chữ số khác lấy tập N chữ số cho, không cần điều kiện ba chữ số giảm dần Nếu ta cho a1 , a2 , a3 ba chữ số lấy tập 10 chữ số từ đến (vượt tập N chữ số cho) phức tạp cịn tăng lên nhiều Nhiệm vụ học tập: Viết thuật tốn tính chỉnh hợp chập k n phần tử, tổ hợp chập k n phần tử (1 ≤ k ≤ n, n ≥ 1) Như vậy, với hoạt động đề xuất cho phương án chuyển đổi từ lời giải toán toán học sang lời giải toán tin học Việc hướng dẫn HS xây dựng thuật tốn lập trình giải tốn dựa vào kiến thức tốn học q trình dạy học mơn Tốn trường THPT giúp HS thấy rõ mối liên hệ hữu ứng dụng toán học tin học ngược lại Kết luận Việc khai thác mối quan hệ liên mơn Tốn - Tin dạy học Tốn trường THPT nói chung dạy học giải tập Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp (Đại số Giải tích 11) nói riêng khơng giúp HS nắm kiến thức tốn học, tin học cần thiết mà cịn giúp em biết sử dụng kiến thức toán học để xây dựng thuật toán, kiến thức tin học để lập trình GQVĐ đặt Qua đó, HS hiểu rõ mối liên hệ mật thiết toán học tin học, đồng thời rèn luyện phát triển tư thuật tốn, khả lập trình góp phần phát triển cho HS lực GQVĐ hướng tới tự động hóa 21 ... mối quan hệ liên môn Toán - Tin dạy học giải tập Hoán vị 2.2 Khai thác mối quan hệ liên môn Toán - Tin dạy học giải tập Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp góp phần phát triển cho học sinh lực giải vấn... liên hệ hữu ứng dụng toán học tin học ngược lại Kết luận Việc khai thác mối quan hệ liên mơn Tốn - Tin dạy học Tốn trường THPT nói chung dạy học giải tập Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp (Đại số Giải. .. động Việc khai thác mối quan hệ liên mơn Tốn - Tin dạy học Tốn trường THPT nói chung, dạy học giải tập Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp nói riêng giúp HS có kiến thức, kĩ toán học, tin học cần thiết