Trang chủ»Khoa Học Tự Nhiên»Toán họcMột số ý tưởng tích hợp trong dạy học cấp số nhân trong chương trình Toán 11Tại nhiều nước trên thế giới, việc xây dựng chương trình và triển khai nội dung dạy học ở bậc phổ thông luôn gắn liền với quan điểm dạy học tíc

TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 Điện thoại 0946798489 Facebook Nguyễn Vương httpTrang chủ»Khoa Học Tự Nhiên»Toán họcMột số ý tưởng tích hợp trong dạy học cấp số nhân trong chương trình Toán 11Tại nhiều nước trên thế giới, việc xây dựng chương trình và triển khai nội dung dạy học ở bậc phổ thông luôn gắn liền với quan điểm dạy học tích hợp. Bài viết Một số ý tưởng tích hợp trong dạy học cấp số nhân trong chương trình Toán 11 trình bày một số ý tưởng dạy học tích hợp nội dung cấp số nhân trong chương trình Toán 11.s www facebook comphong baovuong Trang 1 I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM I Định nghĩa 1 Định nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy số Định ng.

TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 Điện thoại: 0946798489 Bài GIỚI HẠN DÃY SỐ • Chương GIỚI HẠN • |FanPage: Nguyễn Bảo Vương I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM I Định nghĩa Định nghĩa giới hạn hữu hạn dãy số - Định nghĩa 1: Ta nói dãy số   un   có giới hạn  khi  n  dần tới dương vơ cực, nếu  un  có thể nhỏ hơn  một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.  Kí hiệu:  lim un   hay  un   khi  n     n  - Định nghĩa 2: Ta nói dãy số     có giới hạn a  khi  n   , nếu  lim   a     n  Kí hiệu:  lim  a  hay   a  khi  n     n  Định nghĩa giới hạn vơ cực dãy số - Ta nói dãy số   un   có giới hạn   khi  n   , nếu  un  có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một  số hạng nào đó trở đi.  Kí hiệu:  lim un    hay  un    khi  n     - Dãy số   un   có giới hạn   khi  n   , nếu  lim  un      Kí hiệu:  lim un    hay  un    khi  n       II Một số giới hạn đặc biệt định lí giới hạn dãy số   Giới hạn hữu hạn Giới hạn đặc biệt: 1 lim  0; lim k  ( k    ) n  n n  n         lim q n  ( q  1)   n        lim C  C         n  Định lí: a) Nếu  lim un  a ;  lim  b  thì   Giới hạn vơ cực Giới hạn đặc biệt: lim       n  n   lim n k  (k    ) n    n lim q  (q  1) n  Định lí: a) Nếu  lim un   thì  lim      un b) Nếu  lim un  a ;  lim    thì  lim  lim(un  )  a  b  lim(un  )  a  b  lim(un )  a.b   un  0  c) Nếu  lim un  a  0, lim       u a  lim n  (b  0) b       b) Nếu  un  0; n  và  lim un  a  thì  a   và  lim un  a   c) Nếu  un  ; n và  lim   thì  lim un      d) Nếu  lim un  a  thì  lim un  a     (a.vn  0) un     (a.vn  0)  d) Nếu  lim un   ,  lim  a   thì  lim  thì  lim(un )    (a  0) (a  0)    Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/   PHẦN CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng 1: Dãy số có giới hạn   Định nghĩa dãy số có giới hạn 0: Định nghĩa: Ta nói rằng dãy số  U n   có giới hạn   , nếu với mọi số dương nhỏ bao nhiêu tùy ý  cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số  dương đó.  Khi đó ta viết  lim  un    hay  un  hay  lim un    n  Bằng cách sử dụng các kí hiện tốn, định nghĩa trên có thể viết như sau:  lim un      0, n0 : n  n0  un        Nhận xét:   Dãy số  U n   có giới hạn   khi và chỉ khi dãy số  U n   có giới hạn   .  -       Dãy số khơng đổi  U n   , với  U n   thì dãy số có giới hạn   .(hay  lim  )  Một số dãy số có giới hạn 1 lim     lim     n n   lim      n Định lí:          n k lim      n lim lim  un  Định lí 1: Cho hai dãy số:  un , :   lim un     lim    Định lí 2: Nếu  q   limq n      Bài tập tự luận Câu Chứng minh rằng dãy số sau có giới hạn là    a un Câu  1 cosn       n4 c      n  2n   Chứng minh rằng dãy số sau có giới hạn là    2n a u n   0,99     c.  un Câu  1 b.   cos  2n  1   5n  1 d b un   n sin  2n  1 n2 sin n  n2  1  2n      n d.  un  n       cos  n  1    2n  2.sin n    n4    Chứng minh rằng dãy số sau có giới hạn là    n    3n u a. Chứng minh rằng:  n 1    với mọi  n    un Cho dãy số   un   với  un  n 2 b. Chứng minh rằng:  un       3 c. Chứng minh dãy số có giới hạn     Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/    n Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 Câu Câu  cos n n  sin 2n  ;    có giới hạn     2n  n2  n Chứng minh rằng các dãy số   un   sau đây có giới hạn     Chứng minh rằng hai dãy số   un  ,    với  un  5n a un  n    1 b un  1  n n 1  n 1    n    c un  n n n n  cos Câu Chứng minh rằng dãy số sau có giới hạn là   :  un  Câu Chứng minh rằng:   a lim Câu   n   n      nn  n    2n   b.  lim  (*) Chứng minh rằng dãy số sau có giới hạn là   :  un  d.  sin n    n n 1 n 2n     n   n     15n    n  n  25n  Dạng Dãy số có giới hạn hữu hạn I Định nghĩa:  Ta nói rằng dãy số   un   có giới hạn là số thực  L , nếu  lim  un  L      Kí hiệu:  lim  un  L    lim un  L   Ii Định lý:  Cho   un   mà  un  c, n :lim un  c    Định lý 1: lim un  L  lim un  L   lim un  L Nếu  un   thì  L   thì  lim un  lim un    Định lý 2: Giả sử  lim un  L  và  lim  M  và  c  là một hằng số. Khi đó:  lim  un    L  M   lim  un    L  M   lim  un   L.M   lim un L    M lim  c.un   c.L   Dạng 2.1 Chứng minh đẳng thức lim un  A định nghĩa Bài tập tự luận Câu Câu Câu  Bằng định nghĩa hãy chứng minh rằng  lim    n3   n  Chứng minh rằng:  lim              6n  Chứng minh rằng  lim 6  n5 Cho dãy số    với  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/   Câu Chứng minh:  lim  2n n2 1  2   Dạng 2 Tìm giới hạn dãy số có giới hạn hữu hạn Thơng thường ta sẽ gặp các dạng tốn cơ bản sau  1) Gặp giới hạn của   un  trong đó  un  là một phân thức hữu tỉ dạng  un  P  n  (trong đó  P  n  , Q  n   là hai  Q  n đa thức chứa của  n ).   Phương pháp: Chia tử và mẫu cho  nk  với  n k  là lũy thừa có số mũ lớn nhất của  P  n   và  Q  n   (hoặc là rút  nk  làm nhân  a   k    để tính.  nk 2) Gặp giới hạn của dãy   un   là biểu thức chứa  n  dưới dấu căn.  Phương pháp -Khi  un  phân thức tử) sau đó áp dụng các định lí về giới hạn hữu hạn và  lim TH1: Đưa  nk  ra ngồi dấu căn ( với k là số mũ cao nhất của n trong dấu căn) và áp dụng trực tiếp định lí về  giới hạn  TH2: Khi đưa  nk  ra ngồi dấu căn mà giới hạn vẫn vơ định (mẫu tiến đến 0) thì ta phải nhân và chia với  biểu thức liên hợp của biểu thứa chứa căn tiến về 0.  -Khi un khơng phân thức:  un  có dạng  A  B , A  B, A  B  thì ta nhân và chia với lượng liên  hợp đưa về dạng phân thức  Chú ý  a  b  lượng liên hợp là   a  b   a  b  lượng liên hợp là   a  b   a  b  lượng liên hợp là   a  a b  b   a  b  lượng liên hợp là   a  a b  b   3) Gặp giới hạn mà  un  là một phân thức mà tử và mẫu của nó là biểu thức các lũy thừa có dạng  a n , b n  n    trong đó các cơ số  a, b  là các hằng số  Phương pháp: Chia tử và mẫu cho  a n  trong đó  a  là cơ số có trị tuyệt đối lớn nhất trong các lũy thừa ở tử và mẫu.  Áp dụng  lim q n   q  1  và các quy tắc để tính  4) Giới hạn của dãy xác định bởi một cơng thức truy hồi  Phương pháp  Tìm cơng thức tính  un  theo  n , từ đó tìm  lim un    Hoặc chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn (bawfng cách chứng minh dãy số tăng và bị chặn trên hoặc  giảm và bị chặn dưới) sau đó dựa vào hệ thức truy hồi để tìm giới hạn.  Chú ý rằng: Nếu  lim un  a  thì  lim un 1  lim un   a   5) Tổng cấp số nhân lùi vô hạn  Phương pháp a) Định nghĩa: Cấp số nhân vô hạn   un   có cơng bội  q  với  q   được gọi là một cấp số nhân lùi vơ hạn.   b) Định lí: Gọi  S  u1  u2   un   là một tổng của cấp số nhân đã cho, ta có  S  n u1   1 q n 6) Giới hạn của dãy số mà  un  có dạng  un   ak  hay  un   ak   k 1 k 1 Phương pháp: Cách 1: Dùng sai phân thu gọn  un , dựa vào đó tìm  lim un   Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 Cách 2: Sử dụng định lí kẹp: Cho ba dãy số   un  ,   ,  w n   thỏa mãn   un  w n  với mọi  n  và  lim  lim wn  L  L     lim un  L   Bài tập tự luận   Câu Tìm các giới hạn sau:  n 1   n2    a.  lim Câu Tìm các giới hạn sau:    a.  lim b.  lim n  n  1  n  4 Câu 3n  4n  5n  3n lim   b.    3n  4n  5n  3n Tìm các giới hạn sau:   sinn  a.  lim     n 1 Tìm các giới hạn sau:    a.  lim Câu   Câu n n 1   nn n Tìm các giới hạn sau:    a.  lim   c.  lim 3n3  2n    n  5n  d.  lim 2n3   n  3n  c.  lim 4.3n  n1   2.5n  n d.  lim 4n1  6n    5n  8n b.  lim sin10n  cos10n   n  2n 8n  3n   n2 b.  lim n2    n n c.  lim b.  lim 2n  3n    n    n3  3n  n  4n      c.  lim n   n2    Câu 10 Tìm các giới hạn sau:    a.  lim   c.  lim 2n  2n    3n3  n   n  3n   2  n 1 n n2  n  n b.  lim d.  lim    5.3 4n   n      n  2n   n   Câu 11 Tìm các giới hạn sau:  2n  n    n  3n5 Câu 12 Tìm các giới hạn sau:    a.  un  b.  un  n3  n sin 3n    2n  n  Câu 13 Tìm giới hạn:      a.  un  a) c) b.  un   n  5n  n      lim  3n  9n       2n  n  b)   lim    d)   lim  b) lim    c.  un  5.2n  3n   2n 1  3n 1   lim 2n  n  c.  un  2n   n n3  2n  n 7.2 n  n   2.3n  4n n  3n3    2n  n     Câu 14 Tìm giới hạn:  a)  lim n  n  2n  Câu 15 Tìm giới hạn: lim         n  2n   n  4n  2n  n  9n  n  2n Câu 16 Tìm giới hạn:  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/   a)            lim 3n   9n  b) lim  b) lim  8n   n  n  n2 n   Câu 17 Tìm giới hạn:  a)  lim n  2n   n   Câu 18 Tìm giới hạn:  a) lim  n2   n2    b) lim 3n2   n     n c) lim        n  2n  n Câu 19 Tìm giới hạn  1  1 a.  lim 1        n   16 n b.  lim 1  0,1  0,12  0,13   1 0,1n      Câu 20 Tìm giới hạn    n ’  n2 Câu 21 Tìm giới hạn  a.  lim b.  lim n    2n   3n  n    1 a.  lim          2n  1  2n  1  1.3 3.5 5.7  1 b.  lim     1   n  1 n  n  Câu 22 Tìm giới hạn  a.  lim n3   n n n n2  c.  lim      n  1  b.  lim     n   n  3n 3n    3n    c.  lim 3n3  n  n  2 4n  n    d.  lim n  n  1  n  4    u1  5 Câu 23 Cho dãy số   un   được xác định bởi:    Tìm  lim un   un 1  un u1  1 Câu 24 Cho dãy số   un  xác định bởi :     un1  un  , n  N , n  un Tính  lim   5n  2020 u1   Câu 25 Cho dãy số   un  xác định bởi :     u  u  ;  n   * n  n  2 Tính giới hạn của dãy   un    u1   Câu 26 Cho dãy số   un  xác định bởi :    n   un  ; n   *   u   n 1 n  u Tính giới hạn  lim n2   n Câu 27 Cho dãy số   un   xác định bởi  u1   và  un 1  un  2n  1, n   *    Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/   Điện thoại: 0946798489 Tính  lim TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 un  u4 n  u42 n   u42018 n un  u2 n  u22 n   u22018 n   u1   Câu 28 Cho dãy số   un   được xác định bởi:   *   Tính  lim  un     un 1  un  2n ; n   u1  Câu 29 Cho dãy số   un  xác định bởi :     n 1 un1  2un  3.2 ; n   * Tính  lim un    2n  1 2n 1  u1  Câu 30 Cho dãy số   un  xác định bởi :     u  2nun ; n   *  n 1 n  u  u u  Tính  L  lim   22    nn     2 u1   Câu 31 Cho dãy số  (un ) xác định bởi  :     un 1   u ; n   * n  Tính giới hạn của dãy   un    u1  1; u2   Câu 32 Cho dãy số   un  xác định bởi :     2un un 1 un   u  u ; n   * n n 1  Tính giới hạn của dãy   un    u1  2019  Câu 33 Cho dãy số   un  xác định bởi :     un 1  u  ; n   * n  Tính giới hạn của dãy   un    u1  Câu 34 Cho dãy số   un  xác định bởi :     un1    un ; n   * Tính giới hạn của dãy   un     u1  Câu 35 Cho dãy số   un  xác định bởi :     u  u  u ; n   * n n  n1 Tính giới hạn của dãy   un    u1  2019 Câu 36 Cho dãy số   un  xác định bởi :     un 1  un ; n   * Tính giới hạn của dãy   un    Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/   u1  Câu 37 Cho dãy số   un  xác định bởi :     un1   un , n   * Tính giới hạn của dãy   un    u1  Câu 38 Cho dãy số   un   được xác định bởi       2u n  1 un 1  u  ; n   *  n Tính  lim un   u1  2019  Câu 39 Cho dãy số   un  xác định bởi :     un3  12un u  ,  n   * n   3un2   Tính giới hạn của dãy   un    Câu 40 Cho hình vng cạnh bằng  a  Người ta lấy bốn trung điểm các cạnh của hình vng trên để được  hình vng nhỏ hơn nằm bên trong hình vng bên ngồi. Quy trình làm như vậy diễn ra tới vơ  hạn. Tính diện tích tất cả hình vng có trong bài tốn.   Câu 41 Để trang hồng cho căn hộ của mình, chú chuột Mickey quyết định tơ màu một miếng bìa hình  vng cạnh bằng 1. Nó tơ màu xám các hình vng nhỏ được đánh số lần lượt là 1, 2, 3, 4, …n,…  trong đó cạnh của hình vng kế tiếp bằng một nửa cạnh hình vng trước đó.Giả sử quy trình tơ  màu của chuột Mickey có thể tiến ra vơ hạn (như hình vẽ dưới đây). Tính tổng diện tích mà chuột  Mickey phải tơ màu.     Câu 42 Từ độ cao 63m của tháp nghiêng Pi-sa ở Italia, người ta thả một quả bóng cao su xuống đất. Giả  sử mỗi lần chạm quả bóng lại nảy lên độ cao bằng   độ cao mà quả bóng đạt được ngay trước  10 đó. Tính độ dài hành trình của quả bóng từ thời điểm ban đầu cho đến khi nó nằm n trên mặt  đất.  Dạng 3: Dãy số có giới hạn vơ hạn I Dãy số có giới hạn vơ han (vơ cực, vô cùng) Định nghĩa giới hạn vô cực dãy số - Ta nói dãy số   un   có giới hạn   khi  n   , nếu  un  có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một  số hạng nào đó trở đi.  Kí hiệu:  lim un    hay  un    khi  n     - Dãy số   un   có giới hạn   khi  n   , nếu  lim   un      Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU TỰ HỌC TỐN 11 Kí hiệu:  lim un    hay  un    khi  n   Một số giới hạn đặc biệt định lí giới hạn vơ cực Giới hạn đặc biệt: lim n   lim n k  (k    )       n  n    n lim q  (q  1) n  Định lí: a) Nếu  lim un   thì  lim      un b) Nếu  lim un  a ;  lim    thì  lim un  0  c) Nếu  lim un  a  0, lim    (a.vn  0) un     (a.vn  0)  d) Nếu  lim un   ,  lim  a   thì  lim  thì  lim(un )    (a  0)    (a  0) Bài tập tự luận   Câu Tìm giới hạn   Câu c.  lim  n  sin 2n    d.  lim   b.  lim n  n2  n    Tìm giới hạn  n5  n  n    4n3  6n  b.  lim n n  n   n3 c.  lim   n  n n  12 Tìm giới hạn  d.  lim 3n  4n 1   n  3n c.  lim 4n  2.3n  3.2n     Câu    2n  n3  n   n  n  5n    n  12 13  23  n3   n  3n n  b.  lim n  n    a.  lim Câu   n  cos n Tìm giới hạn  a.  lim Câu  b.  lim  n  n n    a.  lim Câu   a.  lim n3  n  n       Tìm giới hạn của dãy số   un   với  a.  u n   n  50n  11   b.  un  n  n3   c.  un  5n2  3n    d.  un  2n3  n2    Tìm giới hạn của dãy số   un   với  a.  un  3n  n3   2n  15 b.  un  2n  n    4n  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/   c.  un  Câu 2n  15n  11   3n  n  Tìm các giới hạn sau:  n a.  lim 1, 001   d.  un  Câu n3  n      2n  3n   n  2n Câu 10 Tìm giới hạn của dãy số   un   với   a.  lim d.  lim n 1 n  2.5   .  3.2n  7. 4n 1 Tìm giới hạn của dãy số   un   với  un       n Tìm các giới hạn sau:  c.  lim Câu b.  lim 3.2n  5n1  10   n  11    7.2n  2n  11  3n    b.  lim 100n   2n   2n 1  3n  11 13. 3n  5n   b.    u  n 3n   n   3. 2n  5. 4 n Câu 11 Tìm số hạng đầu và cơng bội của một cấp số nhân lùi vơ hạn, biết rằng tổng của cấp số nhân đó là  12, hiệu của số hạng đầu và số hạng thứ hai là   và số hạng đầu là một số dương.  PHẦN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM   Câu Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai? A. Nếu  lim un    và  limv n  a   thì  lim  un    a.  un  u  B. Nếu  lim un  a   và  limvn    thì  lim  n     u C. Nếu  lim un  a   và  limv n   thì  lim  n  Câu      u  D. Nếu  lim un  a   và  limv n   và    với mọi  n  thì  lim  n        Tìm dạng hữu tỷ của số thập phân vơ hạn tuần hồn  P  2,13131313 , 212 213 211 211 B.  P  C.  P  D.  P    99 100 100 99 Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Ta nói dãy số   un   có giới hạn là số  a  (hay  un  dần tới  a ) khi  n   , nếu  lim  un  a   A.  P  Câu n  B. Ta nói dãy số   un   có giới hạn là  khi  n  dần tới vơ cực, nếu  un  có thể lớn hơn một số dương  tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi C. Ta nói dãy số   un   có giới hạn    khi  n    nếu  un  có thể nhỏ hơn một số dương bất kì,  kể từ một số hạng nào đó trở đi D. Ta nói dãy số   un   có giới hạn    khi  n    nếu  un  có thể lớn hơn một số dương bất kì,  kể từ một số hạng nào đó trở đi.  un  bằng Câu Cho các dãy số   un  ,    và  lim un  a, lim    thì  lim Câu A.  B.  C.   Trong các khẳng định dưới đây có bao nhiêu khẳng định đúng?  D.     Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ ... n Câu 11 Tìm? ?số? ?hạng đầu? ?và? ?cơng bội của một? ?cấp? ?số? ?nhân? ?lùi vơ hạn, biết rằng tổng của? ?cấp? ?số? ?nhân? ?đó là  12, hiệu của? ?số? ?hạng đầu? ?và? ?số? ?hạng thứ hai là  ? ?và? ?số? ?hạng đầu là một? ?số? ?dương.  PHẦN... un 1  lim un   a   5) Tổng? ?cấp? ?số? ?nhân? ?lùi vô hạn  Phương pháp a) Định nghĩa:? ?Cấp? ?số? ?nhân? ?vô hạn   un   có cơng bội  q ? ?với? ? q   được gọi là một? ?cấp? ?số? ?nhân? ?lùi vơ hạn.   b) Định lí: Gọi ... Dãy số có giới hạn   Định nghĩa dãy số có giới hạn 0: Định nghĩa: Ta nói rằng dãy? ?số? ? U n   có giới hạn   , nếu? ?với? ?mọi? ?số? ?dương nhỏ bao nhiêu tùy? ?ý? ? cho trước, mọi? ?số? ?hạng của dãy? ?số,  kể từ? ?số? ?hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn? ?số? ?