C u t s s Toán 11 A Lý t u ết I Đị ĩ Hai mặt phẳng (α), (β) được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung Khi đó ta kí hiệu (α) // (β) hoặc (β) // (α) II Tí c ất Đị lí 1 Nếu mặt phẳng ([.]
C u t s s - Toán 11 A Lý t u ết I Đị ĩ Hai mặt phẳng (α), (β) gọi song song với chúng khơng có điểm chung Khi ta kí hiệu (α) // (β) (β) // (α) II Tí - Đị c ất lí Nếu mặt phẳng (α) chứa hai đường thẳng cắt a, b a, b song song với mặt phẳng (β) (α) song song với (β) Ta có: a, b ⊂α,a∩b=Ma // βb // β⇒α//β - Đị lí Qua điểm nằm ngồi mặt phẳng cho trước có mặt phẳng song song với mặt phẳng cho - ệ Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng (α) qua d có mặt phẳng song song với (α) - ệ Hai mặt phẳng phân biệt song song với mặt phẳng thứ ba song song với - ệ Cho điểm A không nằm mặt phẳng (α) Mọi đường thẳng qua A song song với (α) nằm mặt phẳng qua A song song với (α) - Đị lí Cho hai mặt phẳng song song Nếu mặt phẳng cắt mặt phẳng cắt mặt phẳng hai giao tuyến song song với α//βa=α∩γb=β∩γ⇒a // b - ệ Hai mặt phẳng song song chắn hai cát tuyến song song đoạn thẳng α//βa∩α=A, b∩α=A'a∩β=B, b∩β=B'AA'=α∩γBB'=β∩γ⇒AA'=BB' Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi M, N, P theo thứ tự trung điểm SA, SD AB Chứng minh: a) M, N, O, P đồng phẳng b) mp(MON) // mp(SBC) Lờ ả: a) Ta có MN đường trung bình tam giác SAD nên MN // AD (1) Và OP đường trung bình tam giác ABC nên OP // BC // AD (2) Từ (1) (2) suy MN // OP // AD nên điểm M, N, O, P đồng phẳng b) Vì MP // SBOP // BCMP, OP ⊂ (MNOP)SB, BC ⊂(SBC) Suy ra, (MNOP) // (SBC) hay (MON) // (SBC) Ví dụ Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Gọi I trung điểm A’B’ Mặt phẳng (IBD) cắt hình hộp theo thiết diện hình gì? Lờ ả: - Ta tìm giao tuyến mp(IBD) (A’B’C’D’) BD // B'D'BD ⊂ (IBD); B'D' ⊂ (A'B'C'D') I chung Suy ra, giao tuyến (IBD) với (A’B’C’D’) đường thẳng d qua I song song với BD - Trong mặt phẳng (A’B’C’D’), gọi M giao điểm d A’D’ Suy ra, IM // BD // B’D’ Khi thiết diện tứ giác IMDB tứ giác hình thang III Đị - Đị lí T – let (Thalès) lí ( ị lí T - let) Ba mặt phẳng đôi song song chắn hai cát tuyến đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ - Nếu d, d’ hai cát tuyến cắt ba mặt phẳng song song (α), (β), điểm A, B, C A’, B’, C’ thì: ABA'B' = BCB'C' = CAC'A' IV ì lă trụ, ì ộ Cho hai mặt phẳng song song (α) (α’) Trên (α) cho đa giác lồi A1A2…An Qua đỉnh A1, A2, , An ta vẽ đường thẳng song song với cắt (α’) Hình gồm hai đa giác A1A2…An, hình bình hành A1A1’A2’A2; A2A2’A3’A3,…, AnAn’A1’A1 gọi hình lăng trụ kí hiệu A1A2…An - Hai đa giác A1A2…An, gọi hai mặt đáy hình lăng trụ - Các đoạn thẳng A1A’1, A2A2’,…., AnAn’ gọi cạnh bên hình lăng trụ - Các hình bình hành A1A1’A2’A2, A2A2’A3’A3, …, AnAn’A1’A1 gọi mặt bên hình lăng trụ - Các đỉnh hai đa giác gọi đỉnh hình lăng trụ - N ậ xét: + Các cạnh bên hình lăng trụ song song với + Các mặt bên hình lăng trụ hình bình hành + Hai mặt đáy hình lăng trụ hai đa giác Người ta gọi tên hình lăng trụ dựa vào tên đa giác đáy, chẳng hạn: + Hình lăng trụ có đáy hình tam giác gọi hình lăng trụ tam giác + Hình lăng trụ có đáy hình bình hành gọi hình hộp V Hì Đị c ó cụt ĩ : Cho hình chóp S.A1A2…An ; mặt phẳng (P) không qua đỉnh, song song với mặt phẳng đáy hình chóp cắt cạnh SA1, SA2, …,SAn A1’; A2’, , An’ Hình tạo thiết diện A1’A2’ An’ đáy A1A2…An hình chóp với tứ giác A1A1’A2’A2, A2A2’A3’A3,…, AnAn’A1’A1 gọi hình chóp cụt Đáy hình chóp gọi đáy lớn hình chóp cụt, cịn thiết diện A1’A2’ An’ gọi đáy nhỏ hình chóp cụt Các tứ giác A1A1’A2’A2, A2A2’A3’A3,…, AnAn’A1’A1 gọi mặt bên hình chóp cụt Các đoạn thẳng A1A’1, A2A2’,…., AnAn’ gọi cạnh bên hình chóp cụt - Tí c ất củ ì c ó cụt (1) Hai đáy hai đa giác có cạnh tương ứng song song tỉ số cặp cạnh tương ứng (2) Các mặt bên hình thang (3) Các đường thẳng chứa cạnh bên đồng quy điểm B Bà tậ I Bà tậ trắc ệ Bài 1: Khẳng định sau đúng? A mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng song song với mặt phẳng (Q) (P) // (Q) B hai đường thẳng nằm mặt phẳng song song với hai đường thẳng mặt phẳng khác hai mặt phẳng song song C hai mặt phẳng song song với mặt phẳng thứ ba song song với D cho hai mặt phẳng (P) , (Q) song song Khi đường thẳng a không nằm mặt phẳng (Q) a song song với (P) a song song với (Q) Lờ ả: Đáp án: D cho hai mặt phẳng (P) , (Q) song song Khi đường thẳng a không nằm mặt phẳng (Q) a song song với (P) a song song với (Q) Bài 2: Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? (1) hai mặt phẳng phân biệt song song với đường thẳng song song với (2) hai mặt phẳng phân biệt khơng song song cắt (3) hai mặt phẳng song song với mặt phảng thứ ba song song với Một đường thẳng cắt hai mặt phẳng song song cắt mặt phẳng cịn lại A.(1), (2) B (1), (2), (3) C (2), (4) D (1), (2), (3), (4) Lờ ả: Đáp án: C (2), (4) Bài 3: Cho hai mặt phẳng phân biệt (P) (Q) (1) hai mặt phẳng (P) (Q) song song với nhay đường thẳng nằm (P) song song với đường thẳng nằm (Q) (2) đường thẳng nằm mặt phẳng (P) song song với (Q) (P) song song với (Q) Trong hai phát biểu A có phát biểu B có phát biểu (2) C hai phát biểu C hai phát biểu sai Lờ ả: Đáp án: B Bài 4: Cho mặt phẳng (R) cắt hai mặt phẳng song song (P) (Q) theo hai giao tuyến a b Khi A a b có điểm chúng B a b khơng có điểm chung C a b trùng B có (1) (2) C (I), (II), (III) D có (1) (IV) Lờ ả: Đáp án: C Bài 7: Cho tứ diện S.ABC Gọi I trung điểm AB, M điểm lưu động đoạn AI Qua M vẽ mặt phẳng (∝) //(SIC) Khi thiết diện mặt phẳng (∝) tứ diện S.ABC là: A tam giác cân M B tam giác C hình bình hành D hình thoi Lờ ả: Đáp án: A Bài 8: Cho hình bình hành ABCD Gọi Bx, Cy, Dz đường thẳng qua B, C, D song song với Mặt phẳng (∝) qua A cắt Bx, Cy, Dz A’, C’, D’ với BB’ = 2, DD’ = Khi CC’ bằng: A B C D Lờ ả: Đáp án: D Bài 9: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ gọi I J K trọng tâm tam giác ABC, ACC’, A’B’C’ Mặt phẳng sau song song với (IJK) A (AA’B’) B (AA’C’) C (A’B’C’) D (BB’C’) Lờ ả: Đáp án: D Bài 10: Cho hai đường thẳng chéo a b (P) chứa a song song với b, Q chưa b song song với a Phát biểu sau đúng? A (P) (Q) cắt B (P) (Q) song song với C (P) (Q) trùng D (P) (Q) cắt song song với Lờ ả: Đáp án: B II Bà tậ tự luậ có lờ ả Bài 1: Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai A Hai mặt phẳng phân biệt song song với mặt phẳng song song với B Nếu hai mặt phẳng phân biệt qua hai đường thẳng song song cắt mặt phẳng lại C Nếu đường thẳng cắt hai mặt phẳng song song cắt mặt phẳng lại D Cho mặt phẳng (P) ba điểm khơng thẳng hàng A, B, C nằm ngồi (P) lúc đó, đường thẳng AB, BC, CA cắt mặt phẳng (P) ba giao điểm thẳng hàng Lờ ả: B sai hai mặt phẳng cắt Đáp án B Bài 2: Cho hình bình hành ABCD Qua đỉnh A, B, C, D ta dựng nửa đường thẳng song song với nằm phía mặt phẳng (ABCD) Một mặt phẳng (P) cắt bốn đường thẳng nói A’, B’, C’, D’ Hỏi A’B’C’D’ hình gì? Lờ ả: Vận dụng kết giao tuyến mặt phẳng với hai mặt phẳng song song hai đường thẳng song song, ta có tứ giác A’B’C’D’ hình bình hành Đáp án D Bài 3: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ gọi I, J, K trọng tâm tam giác ABC, ACC’, A’B’C’ mặt phẳng sau song song với (IJK)? Lờ ả: Gọi M trung điểm AC, ta có: Lại có IK // BB’ Vậy (IJK) //(BB’C’) Đáp án C Bài 4: Cho hai mặt phẳng (∝), (β) cắt song song với đường thẳng d Khẳng định sau đúng? A giao tuyến (∝), (β) trùng với d B giao tuyến (∝), (β) song song trùng với d C giao tuyến (∝), (β) song song với d D giao tuyến (∝), (β) cắt d Lờ ả: Đáp án: C Bài 5: Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A (∝) //(β) d1 ⊂(∝);d2 ⊂(β) d1// d2 B d1 // (∝) d2 // (β) d1 // d2 C (∝) //(β) d1 // (∝), d1 // (β) d1 ⊂ (β) D d1 // d2 d1⊂(∝),d2⊂(β) (∝) //(β) Lờ ả : Phương án A, B sai d1, d2 chéo Phương án D sai (∝) (β) cắt Bài 6: Cho hai đường thẳng a b nằm hai mặt phẳng song song (P) (Q) Lờ ả: Gọi M giao điểm AC BD, N giao điểm AC’ B’D’ ta có MN đường trung bình tam giác ACC’ đường trung bình hình thang BB’’D’’D nên CC’ = 2MN = BB’ + DD’ = Bài Trong mặt phẳng (α) cho hình bình hành ABCD Qua A, B, C, D vẽ bốn đường thẳng a, b, c, d song song với không nằm (α) Trên a, b c lấy ba điểm A’, B’ C’ tùy ý a) Hãy xác định giao điểm D’ đường thẳng d với mặt phẳng (A’B’C’) b) Chứng minh A’B’C’D’ hình bình hành Lờ ả: a) Giả sử (A’B’C’) ∩ d = D’ ⇒ (A’B’C’) ∩ (C’CD) = C’D’ + AA’ // CC’ ⊂ (C’CD) ⇒ AA’ // (C’CD) AB // CD ⊂ (CC’D) ⇒ AB // (CC’D) (AA’B’B) có: ⇒ (AA’B’B) // (C’CD) Mà (A’B’C’) ∩ (AA’B’B) = A’B’ ⇒ (A’B’C’) cắt (C’CD) giao tuyến song song với A’B’ ⇒ C’D’ // A’B’ b) Chứng minh tương tự phần a ta có B’C’ // A’D’ Tứ giác A’B’C’D’ có: B’C’ // A’D’ C’D’ // A’B’ ⇒ A’B’C’D’ hình bình hành Bài C ì lă trụ t ác ABC.A’B’C’ Gọ M M’ lầ lượt tru ể củ cạ BC B’C’ a) Chứng minh AM song song với A’M’ b) Tìm giao điểm mặt phẳng (A’B’C’) với đường thẳng A’M c) Tìm giao tuyến d hai mặt phẳng (AB’C’) (BA’C’) d) Tìm giao điểm G đường thẳng d với mp(AMA’) Chứng minh G trọng tâm tam giác AB’C’ Lờ ả: a) Do ABC.A’B’C’ hình lăng trụ nên ta có: BCC’B’ hình bình hành Xét tứ giác BCC’B’ có M M’ trung điểm BC B’C’ nên MM’ đường trung bình Lại có: AA’// BB’ AA’= BB’ ( tính chất hình lăng trụ) (2) Từ (1) (2) suy ra: MM’// AA’ MM’ = AA’ => Tứ giác AMM’A’ hình bình hành b) Trong (AMM’A’) gọi O = A’M ∩ AM’, ta có : Ta có : O ∈ AM’ ⊂ (AB’C’) ⇒ O = A’M ∩ (AB’C’) c) Gọi K = AB’ ∩ BA’, ta có : K ∈ AB’ ⊂ (AB’C’) K ∈ BA’ ⊂ (BA’C’) ⇒ K ∈ (AB’C’) ∩ (BA’C’) Dễ dàng nhận thấy C’ ∈ (AB’C’) ∩ (BA’C’) ⇒ (AB’C’) ∩ (BA’C’) = KC’ Vậy d cần tìm đường thẳng KC’ d) Trong mp(AB’C’), gọi C’K ∩ AM’ = G Ta có: G ∈ AM’ ⊂ (AM’M) G ∈ C’K ⇒ G = (AM’M) ∩ C’K + K = AB’ ∩ A’B hai đường chéo hình bình hành ABB’A’ ⇒ K trung điểm AB’ ΔAB’C’ có G giao điểm trung tuyến AM’ C’K ⇒ G trọng tâm ΔAB’C’ Bài C ì ộ ABCD.A’B’C’D’ a) Chứng minh hai mặt phẳng (BDA’) (B’D’C) song song với b) Chứng minh đường chéo AC’ qua trọng tâm G1 G2 hai tam giác BDA’ B’D’C c) Chứng minh G1 G2 chia đoạn AC’ thành ba phần d) Gọi O I tâm hình bình hành ABCD AA’C’C Xác định thiết diện mặt phẳng (A’IO) với hình hộp cho Lờ ả: ... (Q) a song song với (P) a song song với (Q) Bài 2: Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? (1) hai mặt phẳng phân biệt song song với đường thẳng song song với (2) hai mặt phẳng phân biệt không song song... (P) chứa hai đường thẳng song song với mặt phẳng (Q) (P) // (Q) B hai đường thẳng nằm mặt phẳng song song với hai đường thẳng mặt phẳng khác hai mặt phẳng song song C hai mặt phẳng song song với... ba song song với D cho hai mặt phẳng (P) , (Q) song song Khi đường thẳng a khơng nằm mặt phẳng (Q) a song song với (P) a song song với (Q) Lờ ả: Đáp án: D cho hai mặt phẳng (P) , (Q) song song