u n p t v n Toán 11 A Lý t u t I p t , k ông g an mẫu 1 p t Một trong những khái niệm cơ bản của lí thuyết xác suất là phép thử Một thí nghiệm, một phép đo, hay một sự quan sát hiện tượng nào đó được[.]
u n pt v n - Toán 11 A Lý t u t I pt , k ông g an mẫu pt Một khái niệm lí thuyết xác suất phép thử Một thí nghiệm, phép đo, hay quan sát tượng đó… hiểu phép thử - Ví dụ Gieo ba đồng tiền xu liên tiếp, chọn ba tú lơ khơ từ 52 tứ lơ khơ, chọn hoa từ 10 hoa lọ… phép thử - Khi gieo đồng tiền, ta khơng thể đốn trước mặt xuất sấp hay ngửa Đó ví dụ p p t ngẫu n n - Tổng quát Phép thử ngẫu nhiên phép thử mà ta khơng đốn trước kết nó, biết tập hợp tất kết có phép thử K ơng g an mẫu Tập hợp kết xảy phép thử gọi không gian mẫu phép thử kí hiệu Ω (đọc ơ-mê-ga) - Ví dụ Nếu phép thử gieo súc sắc lần, khơng gian mẫu gồm phần tử là: Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6} - Ví dụ Nếu phép thử gieo đồng tiền ba lần không gian mẫu gồm tám phần tử là: {SSS; SSN; SNS; SNN; NSS; NSN; NNS; NNN} II B n - Một cách tổng quát, biến cố liên quan đến phép thử mô tả tập không gian mẫu - Địn ng ĩa: Biến cố tập không gian mẫu Ta thường kí hiệu biến cố chữ in hoa A; B; C… - Tập ∅ gọi là n ắ n k ông t ể (gọi tắt biến cố khơng) Cịn tập gọi ắn - Ví dụ Gieo súc sắc liên tiếp hai lần biến cố: “lần thứ mặt chấm, lần thứ mặt chấm” biến cố khơng (vì súc sắc khơng có mặt chấm) Còn biến cố: “Tổng số chấm hai lần gieo lớn nhỏ 13” biến cố chắn - Ta nói biến cố A xảy phép thử kết phép thử phần tử A (hay thuận lợi cho A) Như vậy, biến cố không xảy Trong đó, biến cố chắn ln ln xảy III p toán tr n n Giả sử A biến cố liên quan đến phép thử - Tập Ω\A gọi n biến cố A, kí hiệu A¯ A¯ xảy A khơng xảy - Ví dụ Nếu phép thử chọn học sinh lớp làm lớp trường thì: Biến cố A: “bạn nữ” Biến cố B: “bạn nam” Ta thấy, B biến cố đối biến cố A: B = A¯ - Giả sử A B hai biến cố liên quan đến phép thử Ta có định nghĩa: Tập A ∪B gọi ợp biến cố A B Tập A ∩B gọi giao biến cố A B Nếu A ∩B = ∅ ta cịn nói A B xung k ắ - Biến cố A ∪B xảy A xảy B xảy Biến cố A ∩B xảy A B đồng thời xảy Biến cố A ∩B viết A.B A B xung khắc chúng khơng xảy - Ta ó ảng sau: - Ví dụ Xét phép thử: gieo súc sắc hai lần liên tiếp, với biến cố: A: “Kết hai lần gieo giống nhau” B “Lần đầu xuất mặt chấm” Liệt kê kết thuận lợi cho biến A B Lờ g ả : A = {(1; 1); (2; 2); (3; 3); (4; 4); (5; 5); (6; 6)} B = {(5; 1); (5; 2); (5; 3); (5; 4); (5; 5); (5; 6)} B B tập I B tập trắ ng ệm Bài 1: Cho hai đường thẳng song song a b Trên đường thẳng a lấy điểm phân biệt Trên đường thẳng b lấy điểm phân biệt Chọn ngẫu nhiên điểm Xác định số phần tử biến cố A: "Ba điểm chọn tạo thành tam giác" A 135 B 165 C 990 D 360 Lờ g ả : Bài 2: Có ba hộp: hộp thứ chứa bi xanh đánh số từ đến 6, hộp thứ hai chứa bi đỏ đánh số từ đến 5, hộp thứ ba chứa bi vàng đánh số từ đến Lấy ngẫu nhiên ba viên bi Tính số phần tử biến cố A: "Ba bi chọn vừa khác màu vừa khác số" A 120 B 64 C 60 D 84 Lờ g ả : Ba bi khác màu nên phải chọn từ hộp viên bi Chọn từ hộp thứ ba viên: có cách chọn Chọn từ hộp thứ hai viên có số khác với viên bi chọn từ hộp ba: có cách chọn Chọn từ hộp thứ viên bi có số khác với số hai viên chọn từ hộp hai: có cách chọn Vậy |ΩA| = 43 = 64 Bài 3: Một nhóm bạn có bạn gồm bạn nam Mạnh, Dũng hai nữ Hoa, Lan xếp ngẫu nhiên ghế dài Kí hiệu (MDHL) cách xếp theo thứ tự: Mạnh, Dũng, Hoa, Lan a) Tính số phần tử khơng gian mẫu A B 24 C D b) Xác định biến cố M:”xếp hai nam ngồi cạnh nhau” A M={(MDHL),(HMDL),(HLMD)} B M={(MDHL),(LMDH),(LHMD)} C M={(MDHL),(MDLH),(HMDL),(LMDH),(HLMD),(LHMD)} D M={(MDHL),(DMHL),(MDLH),(DMLH),(HMDL),(HDML),(LMDH),(LDMH),(HL MD),(HLDM),(LHMD),(LHDM)} c) Tìm số phần tử biến cố N:”xếp nam nữ ngồi xen kẽ nhau” A 24 B C D Lờ g ả : a Mỗi cách xếp bạn vào chỗ ngồi hoán vị phần tử Vì số phần tử khơng gian mẫu 4! =24 b Đánh số ghế theo thứ tự 1,2,3,4 Hai bạn nam ngồi cạnh vị trí ( 2) (2 3) (3 4) Nếu hai bạn nam đổi chỗ cho nhau( giữ nguyên chỗ hai bạn nữ) Ta có cách xếp Vì cần chọn phương án D c Trường hợp 1: bạn nam ngồi đầu Khi bạn nam xếp vào chỗ ( số ghế 3) có 2! cách, nữ xếp vào hai chỗ lại ( ghế số 4) có 2! cách Suy ra: số cách xếp 2!.2! = Trường hợp 2: bạn nữ ngồi đầu Tương tự có cách xếp Vậy theo quy tắc cộng số phần tử biến cố N 4+4=8 Bài 4: Gieo ngẫu nhiên ba đồng xu phân biệt lần Kí hiệu S, N đồng xu lật sấp, lật ngửa a) Hãy mô tả không gian mẫu A Ω={S,N,S} B Ω={SSS,SSN,SNS,NSS} C Ω={SSS,SSN,SNS,NSS,NNS,NSN,SNN,NNN} D Ω={NNN,NSN,SNS} b) Xác định biến cố C:”có hai đồng tiền xuất mặt ngửa” A C={NNS,NSN,SNN} B C={NNS,NSN,SNN,NNN} C C={N,N,S} D C={N,N,N} Lờ g ả : a Mỗi phần tử không gian mẫu rõ ba đồng tiền xuất ngẫu nhiên mặt sấp hay mặt ngửa Vì cần chọn phương án C: Ω = {SSS, SSN, SNS, NSS, NNS, NSN, SNN, NNN} b Biến cố C: “ Có hai đồng tiền xuất mặt ngửa” tức có hai ba đồng tiền xuất mặt ngửa Vì chọn phương án B: C = {NNS, NSN, SNN, NNN} Bài 5: Xét phép thử tung súc sắc mặt hai lần Cho biến cố: A: “Số chấm xuất hai lần tung giống nhau” B: “ Tổng số chấm xuất hai lần tung chia hết cho 3” Tính |ΩA| + |ΩB|? A 18 B 12 C 16 D 20 Lờ g ả : * Ta có: Các kết thuận lợi để số chấm xuất hai lần tung giống là: A = { (1, 1); (2, 2); (3,3); (4, 4); (5,5); (6, 6)} ⇒ |ΩA| = * Các kết thuận lợi để tổng số chấm xuất hai lần tung chia hết cho là: B = { (1; 2); (2;1); (1; 5); (5; 1); (4; 2); (2; 4); (3; 3); (3; 6); (6;3); (4;5); (5; 4); (6; 6)} ⇒ |ΩB| = 12 ⇒ |ΩA| + |ΩB| = + 12 = 18 Bài 6: Bộ tú - lơ khơ có 52 quân Rút ngẫu nhiên quân Tính xác suất biến cố A: “Rút tứ quý K” Lờ g ả : Bài 7: Trong hộp có 20 viên bi, có viên bi màu đỏ, viên bi màu xanh viên bi màu vàng Lấy ngẫu nhiên viên bi Tìm xác suất để viên bi lấy màu đỏ Lờ g ả : Bài Gieo súc sắc cân đối, đồng chất quan sát số chấm xuất a) Hãy mô tả không gian mẫu A Ω={2,4,6} B Ω={1,3,5} C Ω={1,2,3,4} D Ω={1,2,3,4,5,6} b) Xác định biến cố A: ”Xuất mặt có số chấm khơng nhỏ 2” A A={1,2} B A={2,3} C A={2,3,4,5,6} D A={3,4,5,6} Lờ g ả : a) Quan sát súc sắc có mặt ghi số chấm 1,2,3,4,5,6 Vì không gian mẫu Ω={1,2,3,4,5,6} Chọn đáp án D b) Biến cố A xảy mặt có số chấm khơng nhỏ xuất Vậy A={2, 3, 4, 5, 6} Chọn đáp án C Bài Gieo súc sắc sau gieo đồng tiền Quan sát số chấm xuất súc sắc xuất mặt sấp (S), mặt ngửa (N) đồng tiền a) Hãy mô tả không gian mẫu A Ω={1S,2N,3S,4N,5S,6N} B Ω={1N,2S,3N,4S,5N,6S} C Ω={1S,2,S,3S,4S,5S,6S,1N,2N,3N,4N,5N,6N} D Ω={SS,SN,NS} b) Xác định biến cố M:”con súc sắc xuất mặt chẵn chấm đông tiền xuất mặt sấp” A M={2S} B M={4S} C M={6S} D M={2S,4S,6S} Lờ g ả : a) Gieo súc sắc độc lập với đồng tiền nên khả xảy là: Ω = {1S, 2S, 3S, 4S, 5S, 6S, 1N, 2N, 3N, 4N, 5N, 6N} b) Biến cố M:”con súc sắc xuất mặt chẵn chấm đồng tiền xuất mặt sấp” nên M = {2S, 4S, 6S} Chọn đáp án C b) Chọn đáp án D Bài 10 Gieo đồng xu cân đối đồng chất liên tiếp lần xuất mặt sấp năm lần ngửa dừng lại a Mơ tả không gian mẫu b Xác định biến cố: A: “Số lần gieo khơng vượt q ba” B: “Có lần gieo xuất mặt ngửa” Lờ g ả : Kí hiệu mặt sấp S, mặt ngửa N a Ta có Ω = {S; NS; NNS; NNNS; NNNNS;" NNNNN" }⇒|Ω|=6 b A = {S; NS; NNS} ⇒ |ΩA| = B = {NNS; NNNS; NNNNS; NNNN} ⇒ |ΩB| = II B tập tự luận ó g ả Bài 1:Trong hộp đựng viên bi đỏ, viên bi xanh, 10 viên bi trắng Lấy ngẫu nhiên viên bi Tính số phần tử Không gian mẫu Các biến cố: a) A: “ viên bi lấy có hai viên bi màu trắng” b) B : “ viên bi lấy có viên bi màu đỏ” c) C: “ viên bi lấy có đủ màu” Lờ g ả : Trong hộp có tất cả: + + 10 = 24 viên bi Ta có, số phần tử khơng gian mẫu số cách lấy viên bi từ 24 viên bi: a) Số cách chọn viên bi có hai viên bị màu trắng, viên bi lại màu đỏ xanh là: Suy |ΩA| = 4095 b) Số cách lấy viên bi mà khơng có viên bi màu đỏ chọn từ 8+ 10 = 18 viên màu xanh trắng) Suy số cách lấy viên bi lấy có viên bi màu đỏ: c) ( lấy viên bi Bài 2: Gieo hai đồng tiền lần Kí hiệu S,N để đông tiền lật sấp, lật ngửa a) Mô tả không gian mẫu b) Xác định biến cố M: “hai đồng tiền xuất hai mặt không giống nhau” Lờ g ả : 1.a Gieo hai đồng tiền lần Mô tả không gian mẫu: Ω = {SN, NS, SS, NN} 1.b Biến cố M: “hai đồng tiền xuất hai mặt không giống nhau” nên M = {NS, SN} Bài 3: Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên có chữ số đơi khác Tính số phần tử a Không gian mẫu? b Biến cố A: “Số chọn chia hết cho 5” Lờ g ả : Gọi số có bốn chữ số đơi khác thỏa yêu cầu toán a Số số tự nhiên có bốn chữ số đơi khác là: * có cách chọn a * Sau chọn a, cịn số khác a nên có cách chọn Suy |Ω| = 9.504 = 4536 b) *TH1: d = Có cách chọn a (a khác a khác d) Với cách chọn a có, Có cách chọn = 448 (số thỏa mãn) *TH2: Nếu d = 0, có cách chọn Nên có 504 số có chữ số khác chia hết cho có chữ số hàng đơn vị Vậy số có chữ số khác chia hết cho là: |Ω| = 448 + 504 = 952 Bài 4: Từ chữ số 1,2,3,4 ta lập số tự nhiên có chữ số khác a) Tính số phần tử khơng gian mẫu b) Phát biểu biến cố A={123,234,124,134} dạng mệnh đề Lờ g ả : a Gọi số tự nhiên có chữ số khác tạo từ số 1;2;3;4 Mỗi số tự nhiên có chữ số thỏa mãn đầu chỉnh hợp chập phần tử nên có số thỏa mãn Vậy số phần tử không gian mẫu |Ω| = 24 b Phát biểu biến cố A = {123, 234, 124, 134} dạng mệnh đề: Số tự nhiên có ba chữ số thành lập từ số 1; 2; 3; có chữ số đứng sau lớn chữ số đứng trước Bài 5: Gieo đồng tiền ba lần a) Mô tả không gian mẫu b) Xác định biến cố: A: "Lần đầu xuất mặt sấp" B: "Mặt sấp xảy lần" C: "Mặt ngửa xảy lần" Lờ g ả : a) Phép thử T xét là: "Gieo đồng tiền ba lần" Có thể liệt kê phần tử không gian mẫu phép thử T nhờ sơ đồ sau đây: Không gian (KG) mẫu: Do Ω = {SSS, SSN, SNS, SNN, NSS, NSN, NNS, NNN} b) A = {SSS, SSN, SNS, SNN} B = {SNN, NSN, NNS} C = {SSN, SNS, SNN, NSS, NSN, NNS, NNN} = Ω \ {SSS} Bài Gieo súc sắc hai lần a) Mô tả không gian mẫu b) Phát biểu biến cố sau dạng mệnh đề: A = {(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} B = {(2, 6), (6, 2), (3, 5), (5, 3), (4, 4)} C = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)} Bài Phép thử T xét là: "Gieo súc sắc hai lần" a) Các phần tử không gian mẫu phép thử T liệt kê bảng sau Lờ g ả : Trong bảng này, cột I mặt i chấm xảy lần gieo thứ nhất, i = Dòng II (dòng cùng) mặt j chấm xảy lần gieo thứ 2, j = Mỗi ô (i, j) (giao dòng i cột j, ≤ i, j ≤ 6) biểu thị kết có phép thử T là: Lần gieo thứ mặt i chấm, lần gieo thứ mặt j chấm Khơng gian mẫu: Ta cịn mơ tả khơng gian mẫu dạng sau: Ω = {(i, j) | i, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6} Ở (i, j) kết quả: "Lần đầu xuất mặt i chấm, lần sau xuất mặt j chấm" Khơng gian mẫu có 36 phần tử b) A = "Lần gieo đầu mặt chấm" B = "Tổng số chấm hai lần gieo 8" C = "Kết hai lần gieo nhau" Bài Một hộp chứa bốn thẻ đánh số 1, 2, 3, Lấy ngẫu nhiên hai thẻ a) Mô tả không gian mẫu b) Xác định biến cố sau A: "Tổng số hai thẻ số chẵn" B: "Tích số hai thẻ số chẵn" Lờ g ả : a Mô tả không gian mẫu cách liệt kê phần tử không gian mẫu b A tập không gian mẫu cho tổng số hai thẻ số chẵn B tập không gian mẫu cho tích số hai thẻ số chẵn Bài Gieo đồng tiền ba lần: a) Mô tả không gian mẫu b) Xác định biến cố III B tập vận dụng Bài Hai xạ thủ bắn vào bia Kí hiệu Ak biến cố: "Người thứ k bắn trúng", k = 1, a) Hãy biểu diễn biến cố sau qua biến cố A1A2 A: "Không bắn trúng" B: "Cả hai đểu bắn trúng" C: "Có người bắn trúng" D: "Có người bắn trúng" b) Chứng tỏ A = ; B C xung khắc ... phần tử A (hay thuận lợi cho A) Như vậy, biến cố không xảy Trong đó, biến cố chắn ln ln xảy III p toán tr n n Giả sử A biến cố liên quan đến phép thử - Tập Ω\A gọi n biến cố A, kí hiệu A¯ A¯ xảy... mẫu? b Biến cố A: “Số chọn chia hết cho 5” Lờ g ả : Gọi số có bốn chữ số đơi khác thỏa yêu cầu toán a Số số tự nhiên có bốn chữ số đơi khác là: * có cách chọn a * Sau chọn a, cịn số khác a nên... chữ số khác a) Tính số phần tử khơng gian mẫu b) Phát biểu biến cố A={123,234,124,134} dạng mệnh đề Lờ g ả : a Gọi số tự nhiên có chữ số khác tạo từ số 1;2;3;4 Mỗi số tự nhiên có chữ số thỏa mãn