Bài 2 Mặt cầu Hoạt động 1 trang 43 SGK Toán lớp 12 Hình học Tìm tập hợp tâm các mặt cầu luôn luôn đi qua hai điểm cố định A và B cho trước Lời giải Tập hợp tâm các mặt cầu luôn luôn đi qua hai điểm cố[.]
Bài : Mặt cầu Hoạt động trang 43 SGK Tốn lớp 12 Hình học: Tìm tập hợp tâm mặt cầu luôn qua hai điểm cố định A B cho trước Lời giải: Tập hợp tâm mặt cầu luôn qua hai điểm cố định A B cho trước đường trung trực đoạn thẳng AB Hoạt động trang 45 SGK Tốn lớp 12 Hình học: a) Hãy xác định đường tròn giao tuyến mặt cầu S(O; r) mặt phẳng (α) biết r khoảng cách từ tâm O đến (α) b) Cho mặt cầu S(O; r), hai mặt phẳng (α) (β) có khoảng cách đến tâm O mặt cầu cho a b (0 < a < b < r) Hãy so sánh hai bán kính đường tròn giao tuyến Lời giải: a) Đường tròn giao tuyến mặt cầu S(O; r) mặt phẳng (α) đường trịn tâm H: Xét tam giác OAH vng H có OA = r; OH = r r2 r HA = OA −OH = r − = 2 2 Vậy đường tròn giao tuyến có bán kính r b) Xét tam giác OHA vng H ta có: HA = OA2 − OH2 = r − a Xét tam giác OKB vng K ta có: KB = OB2 − OK = r − b Mà < a < b < r nên < r2 - b2 < r2 - a2 ⇒ r − b2 r − a hay KB < HA Vậy đường tròn cắt (β) có bán kính nhỏ bán kính đường trịn cắt (α) Hoạt động trang 48 SGK Toán lớp 12 Hình học: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a Hãy xác định tâm bán kính mặt cầu: a) Đi qua đỉnh hình lập phương b) Tiếp xúc với 12 cạnh hình lập phương c) Tiếp xúc với mặt hình lập phương Lời giải: a) Tâm O mặt cầu giao điểm đường chéo Bán kính mặt cầu OA = AC' Đường chéo hình vng cạnh a AC = AB2 + BC2 = a Xét tam giác vng ACC’ vng C có: AC' = AC2 + CC'2 = (a 2) +a = a Do đó: OA = a AC' = 2 Vậy bán kính mặt cầu qua đỉnh hình lập phương cạnh a R = a b) Khơng có mặt cầu tiếp xúc với 12 cạnh hình lập phương c) Tâm mặt cầu tiếp xúc mặt hình lập phương trung điểm I đường nối hai tâm đáy Bán kính mặt cầu r = a AA ' = 2 Hoạt động trang 48 SGK Tốn lớp 12 Hình học: Cho hình lập phương ngoại tiếp mặt cầu bán kính r cho trước Hãy tính thể tích hình lập phương Lời giải: Ta lấy hình vẽ phần c) câu hỏi trên: Hình lập phương ngoại tiếp mặt cầu bán kính r có cạnh 2r Thể tích hình lập phương là: V = (2r)3 = 8r3 Bài tập Bài trang 49 SGK Toán lớp 12 Hình học: Tìm tập hợp tất điểm M khơng gian ln ln nhìn đoạn thẳng AB cố định góc vng Lời giải: + Gọi O trung điểm AB Tam giác AMB vng M có OM đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AB nên : OM = AO = BO = Mà AB cố định, điểm O cố định nên M thuộc mặt cầu tâm O, bán kính R = AB AB + Ngược lại, xét mặt cầu O; với O trung điểm AB Vì A; B thuộc mặt cầu suy ra: OA = OB = AB (1) Lấy điểm M thuộc mặt cầu Suy ra: OM = Từ (1) (2) suy ra: OM = AO = BO = AB (2) AB ⇒ Tam giác MAB vuông M Kết luận: Vậy tập hợp điểm M không gian ln nhìn đoạn thẳng AB cố AB định góc vng mặt cầu O; Bài trang 49 SGK Toán lớp 12 Hình học: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh a Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Lời giải: Vì S.ABCD hình chóp tứ giác cạnh a ⇒ ABCD hình vng cạnh a SA = SB = SC = SD = a Gọi O hình chiếu S (ABCD) ⇒ O tâm hình vng ABCD OA = OB = OC = OD = AC a = ; vi AC = AB2 + BC = a 2 Tam giác SAO vuông O nên: a 2 a SO = SA − AO = a − = 2 2 ⇒ OA = OB = OC = OD = OS ⇒ O tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD bán kính mặt cầu R = OA = a Bài trang 49 SGK Tốn lớp 12 Hình học: Tìm tập hợp tâm mặt cầu ln chứa đường trịn cố định cho trước Lời giải: Gọi I tâm đường tròn (C) Gọi O tâm mặt cầu chứa đường tròn (C) cố định cho trước ⇒ O cách tất điểm M thuộc đường tròn (C) ⇒ O nằm đường thẳng qua tâm I đường trịn (C) vng góc với mặt phẳng chứa (C) Bài trang 49 SGK Toán lớp 12 Hình học : Tìm tập hợp tâm mặt cầu tiếp xúc với ba cạnh tam giác cho trước Lời giải: * Xét mặt cầu (S) tâm J, bán kính R tiếp xúc với ba cạnh: AB, BC, AC M, N P Ta chứng minh J nằm trục đường tròn nội tiếp tam giác ABC Gọi I hình chiếu vng góc J lên mp (ABC) ⇒ IJ ⊥ (ABC) Ta có: JM ⊥ AB; JI ⊥ AB IM ⊥ AB (định lí đường vng góc) Chứng minh tương tự có: IN ⊥ BC; IP ⊥ AC (1) Xét ba tam giác JIM; JIN JIP có: JIM = JIN = JIP = 900 IJ chung JN = JM = JP = R Do đó: ∆ JIM = ∆ JIN = ∆JIP (ch- cgv) ⇒ IN = IM = IP (2) Từ (1) (2) suy ra, I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC * Ngược lại, lấy điểm J thuộc trục đường tròn nội tiếp tam giác ABC Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với ba cạnh AB, BC CA M, N P Ta có: IM ⊥ AB; IN ⊥ BC; IP ⊥ AC (3) Mặt khác; IM = IN = IP = r ⇒ ∆ JIM = ∆ JIN = ∆JIP (c-g-c) ⇒ JM = JN = JP (4) Từ (3) (4) suy ra, mặt cầu (S) tâm J tiếp xúc với ba cạnh tam giác ABC Vậy tập hợp tâm mặt cầu tiếp xúc với ba cạnh tam giác ABC cho trước trục đường tròn nội tiếp tam giác ABC Bài trang 49 SGK Toán lớp 12 Hình học : Từ điểm M nằm ngồi mặt cầu (O; r), vẽ hai đường thẳng cắt mặt cầu A, B C, D a) Chứng minh MA.MB = MC.MD b) Gọi MO = d Tính MA.MB theo r d Lời giải: a) Hai đường thẳng MAB MCD giao xác định mặt phẳng (P) Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo giao tuyến đường tròn (C), ngoại tiếp tứ giác phẳng ABCD Xét ΔMAC ΔMDB có: C = B ( góc nội tiếp chắn cung AD) M chung Suy ra: hai tam giác MAC MDB đồng dạng với MA MC = MD MB ⇒ MA.MB = MC.MD (đpcm) b) Giả sử đường thẳng MO cắt mặt cầu P Q Theo kết phần a) ta có: MA.MB = MP.MQ Mà MP.MQ = (MO – OP)(MO + OQ) = (d – r)(d + r) = d2 – r2 Vậy MA.MB = d2 – r2 Bài trang 49 SGK Toán lớp 12 Hình học: Cho mặt cầu (O; r) tiếp xúc với mặt phẳng (P) I Gọi M điểm nằm mặt cầu điểm đối xứng với I qua tâm O Từ M ta kẻ hai tiếp tuyến mặt cầu cắt (P) A B Chứng minh : AMB = AIB Lời giải: * Do mặt cầu S(O; r) tiếp xúc với mp (P) I nên: OI ⊥ (P) ⇒ OI ⊥ IA Suy ra, AI tiếp tuyến mặt cầu cho điểm I Ta có AM AI hai tiếp tuyến cắt A mặt cầu nên: AM = AI ( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) * Tương tự có BM = BI * Xét hai tam giác AMB tam giác AIB có: AM = AI BM = BI AB chung Suy ra: ∆ AMB = ∆ AIB ( c.c.c) AMB = AIB (đpcm) Bài trang 49 SGK Tốn 12 Hình học : Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AA' = a, AB = b, AD = c a) Hãy xác định tâm bán kính mặt cầu qua đỉnh hình hộp b) Tính bán kính đường trịn giao tuyến mp(ABCD) với mặt cầu Lời giải: a) Gọi O tâm hình hộp chữ nhật, ta có: OA = OB = OC = OD = OA’ = OB’ = OC’= OD’ = AC' Vì AC’ đường chéo hình hộp chữ nhật nên: AC' = a + b2 + c2 Suy ra: OA = OB = OC = OD = OA’ = OB’ = OC’= OD’ = a + b +c 2 Suy ra, tâm mặt cầu qua đỉnh hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ điểm a +b +c O bán kính R = b) Mặt cầu (O; R) cắt mp(ABCD) theo giao tuyến đường trịn (C) ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD, bán kính đường trịn (C) : AC r= = b2 + c2 Bài trang 49 SGK Tốn lớp 12 Hình học 12: Chứng minh có mặt cầu tiếp xúc với cạnh hình tứ diện tổng cặp cạnh đối diện tứ diện Lời giải: Cho tứ diện ABCD Gọi mặt cầu S(O; R) tiếp xúc với cạnh hình tứ diện cho M, N, P, Q, R S * Ta chứng minh: AM = AR = AQ Do mặt cầu tiếp xúc với ba cạnh AB, AC AD M; R Q nên : OM ⊥ AB; OR ⊥ AC; OQ ⊥ AD Xét ba tam giác OAM; OAR OAQ có: OMA = ORA = OQA = 900 OA chung OM = OR = OQ = R Suy ra: ∆OAM = ∆OAR = ∆OAQ ( ch- cgv) Suy ra: AM = AR = AQ = a * Chứng minh tương tự ta có: BM = BN = BS = b CP = CN = CR = c DP = DQ = DS = d Ta có: AM = AR = AQ = a BM = BN = BS = b CP = CN = CR = c DP = DQ = DS = d Suy ra: AB + CD = (AM + MB) + (CP + DP) = a + b + c + d AC + BD = (AR + CR) + (BS + SD) = a + b + c + d AD + BC = (AQ + DQ) + (BN + CN) = a + b + c + d Do đó, AB + CD = AC + BD = AD + BC Bài trang 49 SGK Tốn 12 Hình học: Cho điểm A cố định đường thẳng a cố định không qua A Gọi O điểm thay đổi a Chứng minh mặt cầu tâm O bán kính r = OA ln ln qua đường trịn cố định Lời giải: Gọi (P) mặt phẳng qua A vng góc với đường thẳng a H Khi (P) H cố định Ta có: (P) cắt mặt cầu S(O; R) theo đường tròn tâm H bán kính HA khơng đổi Vậy mặt cầu tâm O bán kính R = OA ln qua đường trịn cố định tâm H bán kính HA Bài 10 trang 49 SGK Tốn 12 Hình học: Cho hình chóp S.ABC có bốn đỉnh nằm mặt cầu, SA = a, SB = b, SC = c ba cạnh SA, SB, SC đôi vng góc Tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu tạo nên mặt cầu Lời giải: * Gọi M trung điểm tam giác SAB Tam giác SAB tam giác vuông S có SM đường trung tuyến nên ta có: AB ⇒ M tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB SM = MA = MB = * Kẻ Mt ⊥ (SAB), ta có: Mt // SC Mt trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB Trong mp(Mt, SC), đường trung trực SC cắt Mt điểm I Ta có: IS = IC (1) Và IS = IB = IA (2) Từ (1) (2) suy ra: IA = IB = IC = IS Do đó, I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp : R = IS = IM + SM SA +SB2 AB = = 2 SC c IM = SN = = 2 SM = Vậy R = a +b 2 a + b2 +c2 = a + b +c2 2 ... thẳng MO cắt mặt cầu P Q Theo kết phần a) ta có: MA.MB = MP.MQ Mà MP.MQ = (MO – OP)(MO + OQ) = (d – r)(d + r) = d2 – r2 Vậy MA.MB = d2 – r2 Bài trang 49 SGK Toán lớp 12 Hình học: Cho mặt cầu (O; r)... : AC r= = b2 + c2 Bài trang 49 SGK Tốn lớp 12 Hình học 12: Chứng minh có mặt cầu tiếp xúc với cạnh hình tứ diện tổng cặp cạnh đối diện tứ diện Lời giải: Cho tứ diện ABCD Gọi mặt cầu S(O; R)... tiếp xúc với 12 cạnh hình lập phương c) Tâm mặt cầu tiếp xúc mặt hình lập phương trung điểm I đường nối hai tâm đáy Bán kính mặt cầu r = a AA '' = 2 Hoạt động trang 48 SGK Tốn lớp 12 Hình học: