Bài 1 Khái niệm về mặt tròn xoay Hoạt động 1 trang 31 SGK Toán lớp 12 Hình học Hãy nêu tên một số đồ vật có hình dạng là các mặt tròn xoay Lời giải Một số đồ vật có hình dạng là các mặt tròn xoay cái[.]
Bài : Khái niệm mặt tròn xoay Hoạt động trang 31 SGK Tốn lớp 12 Hình học: Hãy nêu tên số đồ vật có hình dạng mặt tròn xoay Lời giải: Một số đồ vật có hình dạng mặt trịn xoay: nón, lọ hoa, ốc, cuộn dây điện Hoạt động trang 35 SGK Tốn lớp 12 Hình học: Cắt mặt xung quanh hình nón trịn xoay dọc theo đường sinh trải mặt phẳng ta nửa hình trịn bán kính R Hỏi hình nón có bán kính r đường trịn đáy góc đỉnh hình nón ? Lời giải: Cắt mặt xung quanh hình nón trịn xoay dọc theo đường sinh trải mặt phẳng ta nửa hình trịn bán kính R ⇒ Đường sinh có độ dài R chu vi đường tròn đáy nửa chu vi đường trịn bán kính R r= R Ta có: sin A1 = r r = = A1 = 30 l R Suy ra, góc đỉnh hình chóp A = 2A1 = 60 Hoạt động trang 38 SGK Toán lớp 12 Hình học: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Tính diện tích xung quanh hình trụ thể tích khối trụ có hai đáy hai hình trịn ngoại tiếp hai hình vng ABCD A’B’C’D’ Lời giải: Biểu diễn đường trịn ngoại tiếp hình vng ABCD cạnh a hình vẽ Khi đó: Tâm đường trịn giao điểm đường chéo Ta có: AC = AB2 +BC2 = a Bán kính đường tròn = r = IA = AC a = 2 Diện tích đường trịn là: πr2 = π a πa = 2 Suy ra: diện tích xung quanh hình trụ thỏa mãn đề (l = a) là: Sxq = 2πrl = 2π a a = πa 2 Thể tích khối trụ thỏa mãn đề (h = a) là: a2 πa V = Bh = π .a = 2 Bài tập Bài trang 39 SGK Tốn lớp 12 Hình học : Cho đường trịn tâm O bán kính r nằm mặt phẳng (P) Từ điểm M nằm đường tròn ta kẻ đường thẳng vng góc với (P) Chứng minh đường thẳng nằm mặt trụ trịn xoay Hãy xác định trục bán kính mặt trụ Lời giải: Gọi d đường thẳng vng góc với mặt phẳng (P) tâm O đường tròn (T) Từ điểm M đường tròn (T), vẽ đường thẳng Δ vng góc với mặt phẳng (P) Khi đường thẳng Δ song song với d cách d khoảng r Đường thẳng Δ thuộc mặt trụ trịn xoay có trục đường thẳng d bán kính r Bài trang 39 SGK Tốn lớp 12 Hình học: Trong trường hợp sau đây, gọi tên hình trịn xoay khối trịn xoay sinh bởi: a) Ba cạnh hình chữ nhật quay quanh đường thẳng chứa cạnh thứ tư b) Ba cạnh tam giác cân quay quanh trục đối xứng c) Một tam giác vuông kể điểm tam giác vng quay quanh đường thẳng chứa cạnh góc vng d) Một hình chữ nhật kể điểm hình chữ nhật quay quanh đường thẳng chứa cạnh Lời giải: a) Khi quay hình chữ nhật xung quanh đường thẳng chứa cạnh ta hình trụ b) Khi quay tam giác cân xung quanh trục đối xứng ta hình nón trịn xoay c) Một tam giác vng kể điểm quay xung quanh đường thẳng chứa cạnh góc vng tạo khối nón trịn xoay d) Một hình chữ nhật kể điểm quay quanh đường thẳng chứa cạnh tạo khối trụ trịn xoay Bài trang 39 SGK Tốn lớp 12 Hình học: Một hình nón có đường cao h = 20cm, bán kính đáy r = 25cm a) Tính diện tích xung quanh hình nón cho b) Tính thể tích khối nón tạo thành hình nón c) Một thiết diện qua đỉnh hình nón khoảng cách từ tâm đáy đến mặt phẳng thiết diện 12cm Tính diện tích thiết diện Lời giải: a) Độ dài đường sinh hình nón cho là: l = h + r = 202 + 252 = 1025 Diện tích xung quanh hình nón cho là: S = πrl = π.25 1025 800,39π cm b) Ta có: thể tích khối nón tạo thành hình nón 1 12500π V = πr h = π252.20 = cm3 3 c) Gọi hình nón cho có đỉnh S H tâm đường tròn đáy Thiết diện qua đỉnh S tam giác SAC (với A C thuộc đường tròn đáy) Gọi M trung điểm AC Ta có: AC ⊥ HM; AC ⊥ SH Suy ra: AC ⊥ mp(SHM) Suy ra: (SAC) ⊥ (SHM) mặt phẳng cắt theo giao tuyến SM Trong mp(SHM) kẻ HI vng góc SM Suy ra: HI ⊥ (SAC) Do đó, d(H; (SAC)) = HI = 12 Trong tam giác vng SHM ta có: 1 1 1 = + = 2− 2 2 HI SH HM HM HI SH 1 1 = 2− = HM = 15 HM 12 20 225 Trong tam giác vuông HAM ta có: AM2 = HA2 – HM2 = 252 – 152 = 400 nên AM = 20 (cm) Ta có: sin HSM = Suy ra: SM = HM HI = SM SH HM SH 15.20 = = 25 HI 12 Do đó, diện tích thiết diện SAC là: SSAC = AC SM = AM.SM = 20.25 = 500cm Bài trang 39 SGK Toán lớp 12 Hình học): Trong khơng gian cho hai điểm A, B cố định có độ dài AB = 20cm Gọi d đường thẳng thay đổi qua A cách B khoảng 10cm Chứng tỏ đường thẳng d ln nằm mặt nón, xác định mặt nón (trục góc đỉnh) Lời giải: Từ B vẽ đường thẳng vng góc với d cắt d H Ta có BH = 10cm = d(B, d) Gọi α = BAH Ta có: sin α = BH 10 = = α = 300 AB 20 Vậy đường thẳng d nằm mặt nón có đỉnh A, trục đường thẳng AB góc đỉnh 2α = 60o Bài trang 39 SGK Tốn lớp 12 Hình học: Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm có khoảng cách hai đáy 7cm a) Tính diện tích xung quanh hình trụ thể tích khối trụ tạo nên b) Cắt khối trụ mặt phẳng song song với trục cách trục 3cm Hãy tính diện tích thiết diện tạo nên Lời giải: a) Do khoảng cách hai đáy chiều cao hình trụ (đồng thời độ dài đường sinh) nên h = l = Diện tích xung quanh hình trụ là: Sxq = 2π.r.l = 2π.5.7 = 70π (cm2 ) Thể tích khối trụ tạo nên là: V = πr2.h = π.52.7 = 175π (cm3 ) b) Mặt phẳng (P) song song với trục cách trục 3cm, cắt hình trụ theo thiết diện tứ giác AA1B1B Gọi H trung điểm AB Ta có: OH ⊥ AB; OH ⊥ AA1 OH ⊥ (AA1B1B) Suy ra: OH = d(O; (AA1B1B)), (1) Lại có: OO1 // mp (AA1B1B) , (2) Từ (1) (2) suy ra: OH = d(O; (AA1B1B)) = d( OO1; (AA1B1B) ) = cm * Xét tam giác AOH vng H ta có: AH2 = AO2 - OH2 = 52 - 32 = 16 ⇒ AH = 4cm ⇒ AB = 2AH = 8cm Diện tích thiết diện cần tính : SAA1B1B = AB AA1 = = 56 (cm2) Bài trang 39 SGK Tốn lớp 12 Hình học : Cắt hình nón mặt phẳng qua trục ta thiết diện tam giác cạnh 2a Tính diện tích xung quanh thể tích hình nón Lời giải: Tam giác SAB có cạnh 2a thiết diện qua trục hình nón Khi đó, hình nón có đường kính 2a nên có bán kính R = a; đường sinh l = 2a chiều cao: h = l2 − R = (2a)2 − a = a Diện tích xung quanh hình nón là: Sxq = πRl = π.a.2a = 2πa Thể tích hình nón là: 1 πa 3 V = πR 2h = πa a = 3 Bài trang 39 SGK Tốn lớp 12 Hình học: Một hình trụ có bán kính r chiều cao h = r a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình trụ b) Tính thể tích khối trụ tạo nên hình trụ cho c) Cho hai điểm A B nằm hai đường trịn đáy cho góc đường thẳng AB trục hình trụ 30o.Tính khoảng cách đường thẳng AB trục hình trụ Lời giải: a) Diện tích xung quanh hình trụ là: Sxq = 2πrh = 2πr.r = 2πr Diện tích tồn phần hình trụ là: Stp = Sxq + 2Sday = 2πr + 2.πr = 2πr ( + 1) b) Thể tích khối trụ tạo nên hình trụ cho là: V = πr h = π.r r = π.r 3 c) Vẽ đường thẳng AA’// OO’ Ta có: (AB; OO’) = (AB; AA’) = BAA' = 300 Gọi M trung điểm A’B Ta có: OM ⊥ A'B; OM ⊥ AA' OM ⊥ (AA'B) Suy ra: d(O; (AA’B)) = OM + Tính OM Xét tam giác vng AA’B có: A’B = AA’ tan300 = r 3 =r A 'M = A 'B r = 2 Xét tam giác OMA’ ta có: 2 r 3r OM = OA − MA ' = r − = 2 2 OM = r 2 Vì OO’ // AA’ nên: d(OO’; AB) = d(OO’; (AA’B)) = OM = r Bài trang 40 SGK Tốn 12 Hình học: Một hình trụ có hai đáy hai hình trịn (O; r) (O'; r) Khoảng cách hai đáy OO' = r Một hình nón có đỉnh O' có đáy hình trịn (O; r) a)Gọi S1 diện tích xung quanh hình trụ S2 diện tích xung quanh hình S nón, tính tỉ số S2 b) Mặt xung quanh hình nón chia khối trụ thành hai phần, tính tỉ số thể tích hai phần Lời giải: a) Hình trụ hình nón có chiều cao h = r , bán kính đường trịn đáy r - Hình nón có đường sinh: l = h 2+ r = 3r + r = 2r Diện tích xung quanh hình trụ là: S1 = 2πrh = 2π.r.r = 2πr Diện tích xung quanh hình nón là: S2 = πrl = 2πr S1 2πr = Suy ra: S2 2πr b)Thể tích khối trụ là: Vtru = πr h = πr r = πr 3 Thể tích khối nón là: Vnon 2 3πr = πr h = πr r = 3 Thể tích khối trụ nằm ngồi khối nón là: V= Vtru − Vnon = πr 3πr 3πr 3− = 3 Mặt xung quanh hình nón chia khối trụ thành phần; tỉ số thể tích hai phần là: V 3πr 3πr = : = Vnon 3 Bài trang 40 SGK Tốn 12 Hình học: Cắt hình nón đỉnh S mặt phẳng qua trục ta tam giác vng cân có cạnh huyền a a) Tính diện tích xung quanh, diện tích đáy thể tích khối nón tương ứng b) Cho dây cung BC đường tròn đáy hình nón cho mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nón góc 60o Tính diện tích tam giác SBC Lời giải: a) Ta có thiết diện qua trục hình nón tam giác vng cân SAB, cạnh huyền AB = a Đường cao hình nón h = SO = Đường sinh l = SA= a Bán kính: r = AB a = 2 =a AB a = 2 Diện tích xung quanh hình nón: a πa 2 Sxq = πrl = π a = 2 Diện tích tồn phần; Stp = Sxq +Sday πa 2 = + πr 2 2 a a πa Thể tích hình nón: V = πr h = π = 3 12 b) Gọi M trung điểm BC nên OM ⊥ BC M (tam giác OBC cân O) Ta có: SO ⊥ BC; OM ⊥ BC BC ⊥ mp(SMO) BC ⊥ SM (1) Vì mp (SMO) (SBC) cắt theo giao tuyến SM (2) Từ (1) (2) suy ra: góc mp (SMO) (SBC) SMO = 600 Xét tam giác SMO có: a SO a SO = SM.sinSMO SM = = = sinSMO sin 60 OM = SO cotSMO = a a cot 60 = + Xét tam giác OBM vng M có: 2 a 2 a 6 a BM = OB2 − OM = − = Suy ra: BC = BM = 2a Diện tích tam giác SBC : 1 a 2a a 2 S = SM BC = = 2 3 Bài 10 trang 40 SGK Toán 12 Hình học: Cho hình trụ có bán kính r có chiều cao r Hình vng ABCD có hai cạnh AB CD dây cung hai đường tròn đáy, cạnh BC AD khơng phải đường sinh hình trụ Tính diện tích hình vng cơsin góc mặt phẳng chứa hình vng mặt phẳng đáy Lời giải: Gọi O, O' tâm đường tròn đáy hình trụ Gọi CC1 DD1 hai đường sinh khối trụ Suy ra: D1C1 song song DC (vì tứ giác CC1D1D hình bình hành) (1) Vì ABCD hình vng nên AB song song DC (2) Từ (1) (2) suy ra: AB song song D1C1 Suy ra, tứ giác ABC1D1 hình bình hành Mặt khác ABC1D1 nội tiếp đường trịn (O) nên ABC1D1 hình chữ nhật (vì hình bình hành mà nội tiếp đường trịn phải hình chữ nhật) Suy AC1 đường kính (O) Suy ra: AC1 = 2r Tam giác ABC1 vuông B nên: BC12 = AC12 −AB2 = 4r − AB2 (3) Vì tam giác BCC1 vng C1 nên: BC12 = BC2 − CC12 = AB2 − r (4) 5r Từ (3) (4) suy ra: 4r – AB = AB – r nên AB = 2 2 2 5r Vậy diện tích hình vng ABCD S = AB = 2 + Gọi α góc hợp mp(ABCD) mp đáy hình trụ 5r Ta có: S = SABCD = AB = 2 S’ = SABC1D1 = AB BC1 5r Với BC1 = AC − AB = (2r) − =r 2 2 r 10 r2 S' = r = 15 2 Mà ABC1D1 hình chiếu ABCD mặt đáy hình trụ nên: S' r 15 5r 15 S' = S cosα cosα = = : = S 2 ... trịn phải hình chữ nhật) Suy AC1 đường kính (O) Suy ra: AC1 = 2r Tam giác ABC1 vuông B nên: BC12 = AC12 −AB2 = 4r − AB2 (3) Vì tam giác BCC1 vng C1 nên: BC12 = BC2 − CC12 = AB2 − r (4) 5r Từ (3)... = d(O; (AA1B1B)), (1) Lại có: OO1 // mp (AA1B1B) , (2) Từ (1) (2) suy ra: OH = d(O; (AA1B1B)) = d( OO1; (AA1B1B) ) = cm * Xét tam giác AOH vng H ta có: AH2 = AO2 - OH2 = 52 - 32 = 16 ⇒ AH = 4cm... S = SABCD = AB = 2 S’ = SABC1D1 = AB BC1 5r Với BC1 = AC − AB = (2r) − =r 2 2 r 10 r2 S'' = r = 15 2 Mà ABC1D1 hình chiếu ABCD mặt đáy hình trụ nên: S'' r 15 5r 15 S'' = S cosα cosα = = : =