Đang tải... (xem toàn văn)
Bài t p 3: Cho hình chóp S.ABCDcó áy ABCD là hình vuông và SA vuông góc v i áy... ng th ng i qua tâm..[r]
(1)Chuyên Ch M T TRÒN XOAY- M T C U Luy n thi i H c 2013 M T NÓN TRÒN XOAY 1: I- LÝ THUY T: 1/ nh ngh a: ng th ng l c t ∆ t i O và t o Cho ng th ng ∆ M t v i ∆ m t góc α không i ( < α < 900 ) M t tròn xoay sinh b i ng th ng l quay quanh ∆ g i là m t nón tròn xoay (hay n gi n là m t nón) ∆ : tr c c a m t nón l: ng sinh c a m t nón O : nh c a m t nón 2α : góc nh 2/ Hình nón và kh i nón: P' α l a/ Hình nón: Cho m t nón N v i tr ∆c ∆ , nh O và góc nh là 2α G i ( P ) là m t ph ng vuông góc v i ∆ t i I O α ( I ≠ O ) , c t m t ph ng theo thi t di n là tròn ( ); ( P ') là m t ph ng vuông góc v l r I O ng i∆ t i O P ∆ Khi ó ph n c a m t nón N gi i h n b i hai m t ph ng ( P ) và ( P ') cùng v i ng tròn ( ) c g i là hình nón b/ Kh i nón: Là ph n không gian gi i h n b i hình nón, k c hình nón ó Nh n xét: + Thi t di n c a hình nón và m t ph ng qua nh c a hình nón là tam giác cân t i nh m t nón (có c nh tam giác là l ) + ∀M ∈ C ( O, R ) : SM = l : cách xác nh ng sinh c a hình nón 3/ Di n tích hình nón và th tích kh i nón: Cho hình nón N có chi u cao h, ng sinh l và bán kính áy R * Di n tích xung quanh và di n tích toàn ph n: S xq = ( )( ) = π Rl Stp = S xq + S * Th tích: V= ( Giáo viên: LÊ BÁ B O = πRl + πR )( ) = π R 2h Lop12.net T Toán THPT Phong i n (2) Chuyên M T TRÒN XOAY- M T C U Luy n thi i H c 2013 II- BÀI T P MINH H A: Bài t p 1: Cho hai i m A, B c nh M t ng th ng d thay i luôn i qua A và cách AB B m t o n không i a = Ch ng minh r ng d luôn n m trên m t m t nón tròn xoay Bài gi i: Xét tam giác AHB vuông t i H: HB = α = 600 sin α = A AB Suy ng th ng d là ng sinh c a m t nón v i góc α nh 2α = 120 (không i), tr c là ng th ng AB (c nh) h H Nh n xét: d ch ng minh m t ng th ng ã cho luôn n m trên h B m t m t nón tròn xoay, c n ch rõ m t tròn xoay v i các thu c tính không i Bài t p 2: Cho kh i nón tròn xoay có ng cao h = 20cm , bán kính áy R = 25cm M t m t ph ng ( P ) i qua nh c a kh i nón và có kho ng cách n tâm O c a áy là 12cm Hãy xác nh thi t di n c a ( P ) v i kh i nón và tính di n tích thi t di n ó S Bài gi i: l = SO + OA2 = 41 cm Thi t di n tà tam giác SAB cân t i S G i I là trung i m AB OI ⊥ AB AB ⊥ ( SOI ) Ta có: SO ⊥ AB suy ( SOI ) ⊥ ( SAB ) và ( SOI ) ∩ ( SAB ) = SI D ng OH ⊥ SI H OH ⊥ ( SAB ) hay d ( O, ( SAB ) ) = OH B Xét tam giác SOI vuông t i O: 1 1 1 = + ⇔ = − = suy OI = 15 cm 2 2 OH OS OI OI OH OS 225 Xét tam giác OIA vuông t i I: AI = OA2 − OI = 20 cm O I A AB = 40 cm và SI = SA2 − AI = 25 cm 1 V y S ∆SAB = SI AB = 40.25 = 500 cm 2 Bài t p 3: Cho hình nón nh S, ng cao SO, A và B là hai i m thu c ng tròn áy 0 ˆ = 30 , SAB ˆ = 60 Tính cho kho ng cách t O n AB b ng a và SAO dài ng sinh c a hình nón theo a S Bài gi i: OI ⊥ AB t SA = l G i I là trung i m AB SI ⊥ AB Xét tam giác SOA vuông t i O: SO l cos SAO = ⇔ SO = SA cos SAO = SA B O Xét tam giác SAI vuông t i I: I 30 60 0 A Giáo viên: LÊ BÁ B O Lop12.net T Toán THPT Phong i n d (3) Chuyên M T TRÒN XOAY- M T C U sin SAI = Luy n thi i H c 2013 SI ⇔ SI = SA sin SAI = l SA l2 3l 2 Xét tam giác SOI vuông t i O: SO + OI = SI ⇔ + a = ⇔l =a 4 Nh n xét: Hoàn toàn chúng ta có th bi u di n l theo OA và AI, áp d ng nh lí Pitago tam giác AIO Bài t p 4: Cho kh i nón có bán kính áy r = 12cm và có góc nh là α = 1200 Tính di n tích c a thi t di n i qua hai ng sinh vuông góc v i Bài gi i: S Nh n xét: Thi t di n là tam giác cân SAB v i SA = SB = l Xét tam giác SOA vuông t i O: 600 OA α r sin OSA = ⇔ sin = SA l r 2r 24 ⇔l= = = cm α 3 sin O 2 2 1 24 Lúc ó: S ∆SAB = l = = 96 cm A 2 Bài t p 5: Cho tam giác ABC vuông t i A G i V1 , V2 , V3 l n l sinh l n l B t là th tích c a kh i nón 1 t cho tam giác ABC quay quanh AB, AC và BC CMR: = + V3 V1 V2 Bài gi i: G i H là hình chi u c a A trên BC B C AB.πAC D th!y: V2 = AC.πAB V1 = A A B C Nh n xét: Kh i tròn xoay nh n c quay tam giác ABC quanh BC là h p c a hai kh i A nón chung ng tròn áy v i bán kính AH 1 Ta có: V3 = BH ( πAH ) + CH ( πA ' H ) 3 1 = BH ( πAH ) + CH ( πAH ) 3 C B 1 2 H = ( πAH ) ( BH + CH ) = ( πAH ) BC 3 1 9 Lúc ó: + = + 2 V1 V2 AB π AC AC π AB = π ( AB AC )2 Giáo viên: LÊ BÁ B O 1 + = AB AB π ( AH BC )2 AH Lop12.net A' T Toán THPT Phong i n (4) Chuyên M T TRÒN XOAY- M T C U Luy n thi i H c 2013 1 = = = 2 2 BC π AH V3 π AH ) BC ( III- BÀI T P T LUY N: Bài t p 1: Cho hình chóp t giác u S.ABCD c nh áy b ng a, c nh bên h p v i áy m t góc 600 G i (T) là ng tròn ngo i ti p áy ABCD Tính th tích hình nón có nh S và áy (T) Bài t p 2:Trong m t ph ng ( P ) cho i m O c nh Xét nh"ng ng th ng d thay i luôn i qua O và h p v i ( P ) m t góc 300 Ch ng minh r ng d luôn n m trên m t m t nón xác nh Bài t p 3:Cho hình l p ph ng ABCD A ' B ' C ' D ' c nh a Tính di n tích xung quanh c a hình nón có nh là tâm O c a hình vuông ABCD và áy là hình tròn n i ti p hình vuông A ' B 'C ' D ' Bài t p 4:Thi t di n qua tr c c a m t hình nón là m t tam giác vuông cân có c nh góc vuông b ng a a) Tính di n tích xung quanh và di n tích toàn ph n c a hình nón b) Tính th tích c a kh i nón t ng ng c) M t thi t di n qua nh và t o v i áy m t góc 600 Tính di n tích c a thi t di n này Bài t p 5:Cho S.ABC là hình chóp tam giác u có c nh bên b ng a và có góc gi"a các m t bên và m t áy là α M t hình nón nh S có ng tròn áy n i ti p tam giác u ABC Hãy tính di n tích xung quanh c a hình nón này theo a và α Bài t p 6:Tính th tích kh i nón có thi t di n qua tr c là m t tam giác u c nh a? Bài t p 7:Xét tam giác vuông OAB, vuông t i O có OA = 4, OB = N u tam giác vuông quay quanh c nh OA thì m t nón t o thành có di n tích xung quanh b ng bao nhiêu? Bài t p 8:M t hình nón có dài ng sinh b ng l và góc gi"a ng sinh và m t áy b ng α Tính th tích kh i nón Bài t p 9:N u hình nón có góc nh b ng 600 và di n tích áy b ng 9π thì th tích hình nón b ng bao nhiêu? Bài t p 10:Tính di n tích thi t di n l n nh!t c a hình nón có dài ng sinh l , chi u cao h c t b i m t ph ng qua nh hình nón? Giáo viên: LÊ BÁ B O Lop12.net T Toán THPT Phong i n (5) Chuyên Ch M T TRÒN XOAY- M T C U Luy n thi i H c 2013 M T TR TRÒN XOAY 2: I- LÝ THUY T: 1) nh ngh a: ng th ng ∆ M t ng th ng l song song v i ∆ và Cho cách ∆ m t kho ng không i R M t tròn xoay sinh b i ng th ng l quay quanh ∆ g i là m t tr tròn xoay (hay n gi n là m t tr ) ∆ : tr c c a m t tr l: ng sinh c a m t tr R : bán kính c a m t tr 2) Hình tr và kh i tr : ng sinh l và bán kính R a) Hình tr : Cho m t tr có tr c ∆ , C t m t tr b i m t ph ng ( P ) và ( P ') cùng vuông góc v i ∆ ta ∆ c thi t di n là tròn (C ) và (C / ) Khi ó ph n c a m t tr gi i h n b i hai m t ph ng ( P ) và ( P ') cùng v i hai (C ) và (C / ) c g i là hình tr b) Kh i tr : Là ph n không gian gi i h n b i hình tr , k c hình tr ó 3) Di n tích hình tr và th tích kh i tr : Cho hình tr có chi u cao h, ng sinh l và bán kính áy R * Di n tích xung quanh và di n tích toàn ph n: S xq = ( )( ) = 2π Rl Stp = S xq + S * Th tích: V =( R ng ng tròn O = 2πRl + 2πR l h )( l ) = π R2h R Nh n xét: O' + Rõ ràng h = l M + M t ph ng b t kì song song v i tr c c a tr (hay qua tr c) c t hình tr theo thi t di n là hình ch nh t + ∀M ∈ C ( O, R ) : MN // OO ' : cách xác nh ng sinh c a hình tr II- BÀI T P MINH H A: Bài t p 1: Cho m t ng tròn n m trên m t ph ng ( P ) T m t i m M n m trên ng tròn ta k# ng th ng m vuông góc v i m t ph ng ( P ) Ch ng minh r ng nh"ng th ng m nh v y n m trên m t m t tr tròn xoay Bài gi i: Do ng tròn (O) có bán kính R không i nên ng th ng A m song song và cách kho ng R v i ng th ng OO’ qua O, vuông góc (P) T ây suy ra, ng th ng m luôn n m trên m t tr v i tr c c a tr là ng th ng OO’ và có h = R (y.c.b.t) Nh n xét: ch ng minh m t ng th ng ã cho luôn n m M P trên m t m t tr tròn xoay, c n ch rõ m t tròn xoay v i các m M thu c tính không i m Giáo viên: LÊ BÁ B O Lop12.net ng O O' T Toán THPT Phong i n (6) Chuyên M T TRÒN XOAY- M T C U Luy n thi i H c 2013 Bài t p 2: Cho hình tr có bán kính áy R = 53 cm , chi u cao h = 56 M t thi t di n song song v i tr c là hình vuông Tính kho ng cách t tr c c a tr n m t ph ng thi t di n Bài gi i: B G i thi t di n là hình vuông ABCD và H là trung i m AB O H OH ⊥ AB A Ta có: OH ⊥ ( ABCD ) OH ⊥ AD Do OO '// ( ABCD ) d ( OO ', ( ABCD ) ) = d ( O, ( ABCD ) ) = OH Xét tam giác OAH vuông t i H: AB OH = OA − AH = R − 2 2 h = R − 2 C = 45 cm O' D K t lu n: d ( OO ', ( ABCD ) ) = 45 cm Bài t p 3: M t hình tr có bán kính áy b ng R và thi t di n qua tr c là m t hình vuông Tính di n tích xung quanh hình tr và th tích kh i tr theo R Bài gi i: O A G i thi t di n là hình vuông ABCD l = AD = AB = R Lúc ó, d th!y: h = l = 2R B V y S xq = 2πRl = 4πR ( v.d.t) D và V = h.πR = 2πR ( v.t.t) C O' Bài t p 4: M t hình tr có bán kính áy b ng 50 cm và có chi u cao h = 50 a) Tính di n tích xung quanh c a hình tr và th tích kh i tr c t o nên b) M t o n th ng có chi u dài 100 cm và có hai u mút n m trên hai ng tròn c a áy Tính kho ng cách t o n th ng ó n tr c c a hình tr Bài gi i: a) S xq = 2πRl = 5000π cm O và V = h.πR = 12500π cm b) D ng BB’ // OO’ OO '// ( ABB ') B' d ( OO ', AB ) = d ( OO ', ( ABB ') ) P G i H là trung i m AB’ OH ⊥ AB ' Ta có: OH ⊥ ( ABB ') OH ⊥ BB ' Suy ra: A H K O' d ( OO ', ( ABB ') ) = d ( O, ( ABB ') ) = OH B Xét tam giác ABB’ vuông t i B’: AB ' = AB − BB '2 = AB − OO '2 = 50 cm AB ' Xét tam giác OHB’: OH = OB ' − B ' H = OB ' − = 25 cm K t lu n: d ( OO ', AB ) = OH = 25 cm M r ng: Xác nh o n vuông góc chung c a hai ng th ng OO’ và AB + D ng HK // OO’ Giáo viên: LÊ BÁ B O 2 Lop12.net T Toán THPT Phong i n (7) Chuyên M T TRÒN XOAY- M T C U Luy n thi i H c 2013 + D ng KP // OH Suy ra, o n PK là o n vuông góc chung c a hai ng th ng OO’ và AB Bài t p 5: (Kh i A- 2006) Cho hình tr có các áy là hai hình tròn tâm O và O’, bán kính áy b ng chi u cao và b ng a Trên ng tròn áy tâm O l!y i m A, trên ng tròn áy tâm O’ l!y i m B cho AB = 2a Tính th tích kh i t di n OO’AB Bài gi i: K# ng sinh AA’ G i D là i m i x ng v i A’ qua O’ O' H A' D ng th ng A’D và H là hình chi u c a B trên Do BH ⊥ A ' D và BH ⊥ AA ' nên BH ⊥ ( AOO ' A ') B Suy ra: VOO ' A ' A = BH S ∆OO ' A Ta có A ' B = AB − A ' A2 = 3a a ∆BO ' D u BH = BD = A ' D − A ' B = a A O Vì AOO’ là tam giác vuông cân v i c nh góc vuông b ng a nên S ∆AOO ' = a 3a a 3a V y th tích kh i t di n OO’AB là V = = ( v.t.t) 2 12 Bài t p 6: Cho hình tr có bán kính áy R = 70 cm , chi u cao h = 20 cm M t hình vuông có các nh n m trên hai ng tròn áy và m t ph ng hình vuông không song song v i tr c hình tr Tính di n tích hình vuông ó Bài gi i: G i H là K l n l t là trung i m c a c nh AB và CD c a hình vuông ABCD Ta có: OH // O ' K HK ∩ OO ' = { I } A D th!y: ∆OIH = ∆O ' IK ( c.g.c ) OI = O ' I HI = KI B hay I là trung i m c a OO’ và HK t AB = x ( < x ≤ R = 140 cm ) Xét tam giác OHB vuông t i H: I D x OH = OB − HB = R − (1) Xét tam giác OHI vuông t i O, ta có: 2 OH = HI − OI = H O BC h − = 4 O' K C x2 h2 − (2) 4 T (1) và (2) suy ra: x R − = 2 x2 h2 x x2 h2 h2 2 − ⇔R − = − ⇔x= R + = 100 cm 4 4 4 III- BÀI T P T LUY N: Bài t p 1: Cho m t ph ng ( P ) , m t i m A n m trên ( P ) , m t i m B n m ngoài ( P ) cho hình chi u H c a B lên ( P ) không trùng v i A M t i m M di Giáo viên: LÊ BÁ B O Lop12.net ng m t ph ng ( P ) T Toán THPT Phong i n (8) Chuyên M T TRÒN XOAY- M T C U Luy n thi i H c 2013 ˆ = BMH ˆ Ch ng minh r ng i m M luôn n m trên m t m t tr tròn cho ta luôn có ABM xoay có tr c là AB Bài t p 2: Cho kh i tr có bán kính R = 5cm , kho ng cách hai áy b ng 7cm C t kh i tr b i m t m t ph ng song song v i tr c và cách tr c 3cm Tính di n tích c a thi t di n Bài t p 3: Cho l$ng tr tam giác u ABC.A’B’C’ c nh áy b ng a , chi u cao a Tính di n tích toàn ph n m t tr n i ti p, m t tr ngo i ti p l$ng tr Bài t p 4: Cho kh i tr có chi u cao b ng 20 cm và có bán kính áy b ng 10 cm Ng i ta k# hai bán kính OA và O’B’ l n l c trên hai áy cho chúng h p v i m t góc 300 C t kh i tr b i m t m t ph ng ch a ng th ng AB’ và song song v i tr c OO’ c a kh i tr ó Hãy tính di n tích c a thi t di n Bài t p 5: M t hình tr có bán kính áy R và có thi t di n qua tr c là m t hình vuông a) Tính di n tích xung quanh và di n tích toàn ph n c a hình tr b) Tính th tích c a kh i tr t ng ng c) Tính th tích c a kh i l$ng tr t giác u n i ti p kh i tr ã cho Bài t p 6: M t hình tr có bán kính áy R và ng cao b ng R ; A và B là hai i m trên hai ng tròn áy cho góc h p b i AB và tr c c a hình tr là 300 a) Tính di n tích xung quanh và di n tích toàn ph n c a hình tr b) Tính kho ng cách gi"a AB và tr c c a hình tr Xác nh o n vuông góc chung c) Tính góc gi"a hai bán kính áy qua A và B d) Tính di n tích c a thi t di n qua AB và song song v i tr c c a kh i tr Bài t p 7: Cho hình tr có áy là hai ng tròn tâm O và O’; ABCD là hình vuông n i ti p ng tròn tâm O, AA’, BB’ là các ng sinh c a hình tr Bi t bán kính áy c a hình tr là R và m t ph ng(A’B’BA) h p v i áy m t góc 600 Tính di n tích t giác A’B’CD Bài t p 8: Cho hình tr n i ti p m t m t c u bán kính R ( ng tròn áy c a hình tr trên m t c u) a) Cho bi t chi u cao c a hình tr b ng h Tính di n tích xung quanh hình tr và th tích kh i tr ã cho b) Tính giá tr l n nh!t c a th tích hình tr n i ti p m t c u bán kính R cho tr c Giáo viên: LÊ BÁ B O Lop12.net T Toán THPT Phong i n (9) Chuyên Ch M T TRÒN XOAY- M T C U 3: Luy n thi i H c 2013 M TC U I- LÝ THUY T: 1/ nh ngh a: nh và m t s th c d ng R Cho i m I c T p h p t!t c nh"ng i m M không gian cách I m t kho ng R c g i là m t c u tâm I, bán kính R K/h: S ( I ; R ) S ( I ; R ) = {M / IM = R} 2/ V trí t ng i gi a m t c u và m t ph ng: Cho m t c u S ( I ; R ) và m t ph ng ( P ) G i H là hình chi u vuông góc c a I lên ( P ) d = IH là kho ng cách t I n m t ph ng ( P ) Khi ó: N u d > R : M t c u và m t ph ng không có i m chung + + N u d = R : M t ph ng ti p xúc m t c u Lúc ó: ( P ) gl mp ti p di n c a m t c u H: ti p i m + N u d < R : M t ph ng c t m t c u theo thi t di n là ng tròn có tâm H và bán kính r = R − IH α L u ý: Khi m t ph ng (P) i qua tâm I thì mp(P) c g i là m t ph ng kính và thi t di n lúc ó c g i là ng tròn l!n 3/ V trí t ng i gi a m t c u và ng th ng: Cho m t c u S ( I ; R ) và ng th ng ∆ G i H là hình chi u c a I lên ∆ Khi ó: + + + IH > R ∆ không c t m t c u IH = R : ∆ ti p xúc v i m t c u ∆ : Ti p n c a (S) IH < R : ∆ c t m t c u t i hai i m phân bi t ∆ *L u ý: Lúc ó bán kính R c a (S) c tính nh sau: + Xác nh: d ( I ; ∆ ) = IH ∆ AB + Lúc ó: R = IH + AH = IH + 2 4/ Di n tích m t c u và th tích kh i c u: * Di n tích m t c u: S = 4π R * Th tích kh i c u: V = π R3 Giáo viên: LÊ BÁ B O 2 Cho S ( I ; R ) Khi ó: Lop12.net T Toán THPT Phong i n (10) Chuyên M T TRÒN XOAY- M T C U Luy n thi i H c 2013 II- BÀI T P MINH H A: D"ng 1: V# TRÍ T$%NG &I C'A M T C U VÀ M T PH(NG Bài t p 1: Cho m t c u S ( O; R ) và m t i m A bi t OA = R Qua A k# ti p n v i m t c u t i B và k# cát n c t S ( O; R ) t i C, D Bi t CD = R a) Tính dài o n AB b) Tính kho ng cách t O Bài gi i: a) Tính dài o n AB: D Xét ∆OAB vuông t i B, ta có: n ng th ng CD O AB = OA2 − OB = R b) Tính kho ng cách t O n ng th ng CD: G i H là trung i m CD OH ⊥ CD Xét ∆OHC vuông t i H, ta có: H R R B C CD 3R R OH = OC − HC = OC − = R − = 4 2 2 A Bài t p 2: Cho m t c u S ( O; R ) ti p xúc v i mp(P) t i I G i M là i m n m trên S ( O; R ) nh ng không ph i i x ng v i I qua O T M k# ti p n v i S ( O; R ) và hai ti p n này vuông góc, c t (P) t i A, B Ch ng minh r ng: AB = AI + BI Bài gi i: Do ∆MAB vuông t i M, ta có: MA2 + MB = AB (1) D th!y, OI ⊥ ( P ) và A, B ∈ ( P ) nên AI và BI là các ti p M R O n c a S ( O; R ) R c ti p n AM và AI t i S ( O; R ) Lúc ó, t A d ng A I B v i các ti p i m M, I nên ta có: AM = AI (2) P T ng t : BM = BI (3) T (1), (2) và (3) suy ra: AB = AI + BI ( p.c.m) Bài t p 3: Cho m t c u v i S ( O; R ) L!y i m A trên m t c u và g i (α ) là m t ph ng qua A cho góc gi"a OA và (α ) b ng 300 a) Tính di n tích thi t di n t o b i (α ) và hình c u b) ng th ng ∆ qua A và vuông góc v i (α ) c t m t c u t i B Tính AB Bài gi i: ∆ a) Tính di n tích thi t di n t o b i (α ) và hình c u: B G i thi t di n c a (α ) và S ( O; R ) là ng tròn tâm H O và bán kính AH Do AH ⊥ (α ) góc gi"a OA và (α ) là góc gi"a OA và I R A, t c là góc OAH = 300 Xét ∆AOH vuông t i H, ta có: Giáo viên: LÊ BÁ B O A 10 Lop12.net α 300 H T Toán THPT Phong i n (11) Chuyên M T TRÒN XOAY- M T C U Luy n thi i H c 2013 AH 3R ⇔ AH = OA.cos OAH = OA 3R 2π Lúc ó: S = π AH = ( v.d.t) b) Tính AB: G i I là trung i m AB OI ⊥ AB V y t giác OHAI là hình ch" nh t Suy ra: AI = OH ⇔ AB = 2OH Xét ∆AOH vuông t i H, ta có: OH R sin OAH = ⇔ OH = OA.sin OAH = OA K t lu n: AB = R Bài t p 4: Cho hình chóp S.ABC có chi u cao SO = a , áy là tam giác ABC vuông t i A có AB = a, AC = a Tính bán kính m t c u tâm A ti p xúc mp(SBC) Bài gi i: S Goi m t c u là S ( A; R ) cos OAH = Do mp(SBC) ti p xúc v i S ( A; R ) ⇔ ( A, ( SBC ) ) = R G i H là hình chi u c a A trên BC, ta có: a A AH ⊥ BC C ⇔ AH ⊥ ( SBC ) ⇔ ( A, ( SBC ) ) = AH AH ⊥ SO a O H ng cao AH, ta có: Xét ∆ABC vuông t i A v i B 1 1 a = + = + ⇔ AH = AH AB AC a 3a 2 a K t lu n: R = III- BÀI T P T LUY N: Bài t p 1: M t c u ti p xúc v i c nh c a tam giác ABC Cho bi t ba c nh c a tam giác ABC l n l t là: 13 cm, 14 cm, 15 cm và bán kính c a m t c u là cm Tính kho ng cách t tâm c a (S) n mp(ABC) Bài t p 2: Cho m t c u v i S ( O; R ) v i R = M t ph ng (P) c t (S) theo thi t di n là m t ng tròn có di n tích b ng 9π Tính d ( O, mp( P ) ) Bài t p 3: Cho m t c u v i S ( O; R ) v i ng kính AA’ G i H là m t i m trên AA’ 4R M t ph ng (P) qua H và vuông góc v i AA’ c t m t c u v i thi t di n là m t ng tròn (C) Tính di n tích (C) Bài t p 4: Cho m t c u (S) tâm O v i R = 13 cm Thi t di n m t ph ng (P) c t (S) là ng tròn ngo i ti p tam giác ABC có các c nh là cm, cm, 10 cm Tính d ( O, mp( P ) ) Bài t p 5: Cho t di n ABCD có c nh AB, BC, CD vuông góc t ng ôi m t G i I là trung i m c a BC N u có AB = a 2, BC = a thì bán kính m t c u tâm I, ti p xúc v i mp(ACD) b ng bao nhiêu? Bài t p 6: Cho t di n u SABC có c nh b ng a G i O là tr ng tâm tam giác ABC M t c u tâm O ti p xúc c nh SA có di n tích bao nhiêu? cho AH = Giáo viên: LÊ BÁ B O 11 Lop12.net T Toán THPT Phong i n (12) Chuyên M T TRÒN XOAY- M T C U Luy n thi i H c 2013 Bài t p 7: Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình thoi v i AC = a, BD = 2a và SA vuông góc v i mp(ABCD) G i I là trung i m SA, m t c u tâm I và ti p xúc v i mp(SAB) có bán kính b ng bao nhiêu? 8a Bài t p 8: Cho hình chóp t giác u S.ABCD có chi u cao SO = 2a, V = M t c u tâm O ti p xúc c nh bên c a hình chóp có th tích b ng bao nhiêu? Bài t p 9: Cho hình chóp t giác u S.ABCD có c nh áy b ng a , các c nh bên h p v i áy m t góc 600 M t c u tâm O ti p xúc c nh bên c a hình chóp có th tích b ng bao nhiêu? Bài t p 10: Cho hình chóp t giác u S.ABCD có c nh áy b ng a , các m t bên h p v i áy m t góc 600 M t c u tâm O ti p xúc các m t bên c a hình chóp có th tích b ng bao nhiêu? - D"ng toán: M T C U NGO)I TI P KH&I A DI N Ph ng pháp: Ch*ng minh m t c u S(O;R) ngo"i ti p a di n: Thông th ng ta ch ng minh m t c u i qua t t c các nh c a a di n thông qua m t s nh n xét quan tr ng sau: i m M thu c S(O;R) ⇔ OM = R i m M thu c S(O;R) ch M nhìn ng kính d i góc vuông i u ki n c n và : m t hình chóp có m t c u ngo i ti p là áy c a hình chóp có ng tròn ngo i ti p m t hình l$ng có m t c u ngo i ti p là hình l$ng tr ó ph i là hình l ng tr ng và có áy l ng tr là m t a giác n i ti p M t ph ng trung tr+c c a o"n th ng: Cho o n th ng AB M t ph ng (α ) c g i là m t ph ng trung tr c c a o n th ng AB mp (α ) i qua trung i m I c a AB và vuông góc v i AB α D"ng toán: CH,NG MINH KH&I A DI N N-I TI P M T C U I- PH$%NG PHÁP: Ch*ng minh m t c u S(O;R) ngo"i ti p a di n: Thông th ng ta ch ng minh m t c u i qua t t c các nh c a a di n thông qua m t s nh n xét quan tr ng sau: i m M thu c S(O;R) ⇔ OM = R i m M thu c S(O;R) ch M nhìn ng kính d i góc vuông II- BÀI T P MINH H A: Bài t p 1: Cho hình chóp S.ABC có áy ABC là tam giác vuông t i B và SA ⊥ ( ABC ) a) Ch ng minh hình chóp S.ABC n i ti p m t m t c u b) Cho SA = BC = a và AB = a Tính bán kính m t c u nói trên Bài gi i: a) Ch ng minh hình chóp S.ABC n i ti p m t m t c u: Ta có: SAC = 900 (1) SA ⊥ BC M t khác: ⇔ BC ⊥ ( SAB ) BC ⊥ SB hay SBC = 900 (2) AB ⊥ BC Giáo viên: LÊ BÁ B O 12 Lop12.net T Toán THPT Phong i n (13) Chuyên M T TRÒN XOAY- M T C U T (1), (2) suy i m A và B cùng nhìn o n SC d SC vuông V y i m A, B, C, S cùng thu c S I ; v i I là trung i m c a SC Luy n thi i H c 2013 i góc S I a b) Tính bán kính m t c u: C A Xét ∆ABC vuông t i B, ta có: AC = AB + BC = a Trong ∆SAC vuông t i A, ta có: SC = SA2 + AC = 2a a a SC B K t lu n: Bán kính m t c u R = = a Bài t p 2: Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình vuông c nh a, SA ⊥ ( ABCD ) và SA = a G i O là tâm hình vuông ABCD và K là hình chi u c a B trên SC a) Ch ng minh hình chóp S.OAKB n i ti p m t m t c u b) Xác inh tâm và bán kính m t c u nói trên Bài gi i: S a) Ch ng minh hình chóp S.OAKB n i ti p m t m t c u: Ta có: SAB = 900 (1) và SKB = 900 (2) K M t khác: a I BD ⊥ AC ⇔ BD ⊥ ( SAC ) BD ⊥ SO A BD ⊥ SA hay SOB = 90 (3) T (1), (2), (3) suy i m A, K và O cùng nhìn o n SB d a D a O B i góc vuông V y i m A, B, O, K, S cùng thu c S I ; C SB v i I là trung i m c a SC b) Tính bán kính m t c u: Trong ∆SAB vuông t i A, ta có: SB = SA2 + AB = 2a SB K t lu n: Bán kính m t c u R = = a III- BÀI T P T LUY N: Bài t p 3: Ch ng minh nh c a m t hình h p ch" nh t cùng n m trên m t m t c u Tính bán kính c a m t c u !y, bi t hình h p ch" nh t có ba kích th c là a,b,c Bài t p 3: Cho hình chóp S.ABCDcó áy ABCD là hình vuông và SA vuông góc v i áy M t ph ng (P) qua A và vuông góc v i SC c t SB, SC, SD l n l t t i B’, C’, D’ a) Ch ng minh r ng: A, B, C, D B’, C’, D’ cùng thu c m t c u b) Ch ng minh r ng: S, A, B’, C’, D’ cùng thu c m t c u Bài t p 3: Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình thang cân v i áy AB, AB= 2a, BC= CD= DA= a; SA vuông góc v i áy Ch ng minh r ng: A, B, C, D, P, Q, R cùng trên m t m t c u và t giác DCQR n i ti p Bài t p 3: Cho t di n ABCD có AD vuông góc v i mp(BCD) G i E là chân ng cao DE c a tam giác BCD, BF và BK là ng cao c a tam giác ABC và BCD; H và I là tr c tâm c a tam giác ABC và BCD Ch ng minh r ng: C, E, H, F, I, K cùng thu c m t c u Giáo viên: LÊ BÁ B O 13 Lop12.net T Toán THPT Phong i n (14) Chuyên M T TRÒN XOAY- M T C U Luy n thi i H c 2013 Bài t p 3: Cho tam giác ABC có AB= 3a, AC= 2a, Góc B b ng 60 Trên ng th ng vuông góc v i mp(ABC) t i A l!y i m S, k# AH ⊥ SB và AK ⊥ SC Ch ng minh r ng: A, K, H, B, C cùng thu c m t c u Xác nh tâm và tích bán kính c a m t c u này Bài t p 3: Hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình thang vuông t i A và D; AB= AD= a; CD= 2a, SD ⊥ (ABCD) T trung i m E c a CD k# mp(SCD) ng vuông góc v i SC c t SC t i K Ch ng minh r ng: S, A, D, B, E, K cùng thu c m t c u Xác nh tâm và tích bán kính c a m t c u này I- Thu t toán 1: XÁC #NH M T C U NGO)I TI P HÌNH CHÓP Cho hình chóp S A1 A2 An (tho mãn i u ki n t%n t i m t c u ngo i ti p) Thông th ng, xác nh m t c u ngo"i ti p hình chóp ta th+c hi n theo hai b !c: B !c 1: Xác nh tâm c a ng tròn ngo i ti p a giác áy D ng ∆ : tr c ng tròn ngo i ti p a giác áy B !c 2: L p m t ph ng trung tr c (α ) c a m t c nh bên α - Tâm O c a m t c u: ∆ ∩ mp(α ) = {O} Lúc ó: - Bán kính: R = OA ( = OS ) Tu& vào t ng tr L u ý: K n/ng xác nh tr c ng h p ng tròn ngo"i ti p a giác áy Tr c ng tròn ngo"i ti p a giác áy: là ti p áy và vuông góc v i m t ph ng áy ∆ Tính ch t: Suy ra: ng th ng i qua tâm ng tròn ngo i ∀M ∈ ∆ : MA = MB = MC MA = MB = MC ⇔ M ∈ ∆ Các b !c xác nh tr c: - B c 1: Xác nh tâm H c a ng tròn ngo i ti p a giác áy - B c 2: Qua H d ng ∆ vuông góc v i m t ph ng áy VD: M t s tr ng h p c bi t a Tam giác vuông b Tam giác u c Tam giác b!t kì ∆ Giáo viên: LÊ BÁ B O ∆ ∆ 14 Lop12.net T Toán THPT Phong i n (15) Chuyên M T TRÒN XOAY- M T C U L u ý: K n ng tam giác ng d ng Luy n thi i H c 2013 SO SM = SA SI ∆SMO %ng d ng v i ∆SIA Nh n xét quan tr0ng: ∃M , S : MA = MB = MC !" "# ∆ SM SA = SB = SC II- BÀI T P MINH H A: Bài t p 1: Cho hình chóp S.ABC v i SA ⊥ ( ABC ) và SA = 2a Xác c u ngo i ti p hình chóp S.ABC các tr ng h p sau: a) Tam giác ABC vuông cân t i B, v i BC = a b) Tam giác ABC vuông cân t i A, v i AB = a c) Tam giác ABC u c nh 3a d) **Tam giác ABC có AB = a, AC = 2a và BAC = 300 H ng d n: S a) Tam giác ABC vuông cân t i B, v i BC = a Do ∆ABC vuông cân t i B nên trung i m O c a AC là tâm ng tròn ngo i ti p ∆ABC K + Qua O d ng ∆ ⊥ ( ABC ) ∆ // SA 2a + G i K là trung i m SA, qua K d ng d ⊥ SA d ∩ ∆ = {I } nh tâm và bán kính m t A ∆ d I C O I ∈ ∆ : IA = IB = IC ⇔ IA = IB = IC = IS a I ∈ d : IA = IS V y I là tâm m t c u ngo i ti p hình chóp S.ABC Rõ ràng: I là trung i m AC Ta có: B SA AC a 10 + = 4 b) Tam giác ABC vuông cân t i A, v i AB = a Do ∆ABC vuông cân t i A nên trung i m O c a AC là tâm ng tròn ngo i ti p ∆ABC + Qua O d ng ∆ ⊥ ( ABC ) ∆ // SA + G i K là trung i m SA, qua K d ng d ⊥ SA d ∩ ∆ = {I } Ta có: R $% = IA = IO + AO = I ∈ ∆ : IA = IB = IC Ta có: ⇔ IA = IB = IC = IS I ∈ d : IA = IS Giáo viên: LÊ BÁ B O a 15 Lop12.net S ∆ 2a K d I C A O a B T Toán THPT Phong i n (16) Chuyên M T TRÒN XOAY- M T C U V y I là tâm m t c u ngo i ti p hình chóp S.ABC 2 Ta có: R $% = IA = IO + AO = Luy n thi SA BC a 10 + = 4 2S c) Tam giác ABC !u c nh 3a Do ∆ABC u nên tr ng tâm G là tâm ng 2a tròn ngo i ti p ∆ABC K + Qua G d ng ∆ ⊥ ( ABC ) ∆ // SA + G i K là trung i m SA, qua K d ng d ⊥ SA d ∩ ∆ = {I } Ta có: I ∈ ∆ : IA = IB = IC ∆ I d C A ⇔ IA = IB = IC = IS I ∈ d : IA = IS V y I là tâm m t c u ngo i ti p hình chóp S.ABC 2 Ta có: R $% = IA = IG + GA = SA + AM = 2a ∆ I ⇔ IA = IB = IC = IS I ∈ d : IA = IS V y I là tâm m t c u ngo i ti p hình chóp S.ABC Lúc ó: R $% M B 2 3a = a + 2 I ∈ ∆ : IA = IB = IC SA = IA = OA + OI = R + 3a G 3a d) **Tam giác ABC có AB = a, AC = 2a và BAC = 300 G i O là tâm ng tròn ngo i ti p ∆ABC v i bán S kính OA = R + Qua O d ng ∆ ⊥ ( ABC ) ∆ // SA 2a + G i K là trung i m SA, qua K d ng d ⊥ SA K d ∩ ∆ = {I } Ta có: i H c 2013 2 d a A R & * Ta có: BC = AB + AC − AB.AC 'BAC = a − 1 S ∆ABC = AB AC.sin BAC = a 2 AB AC.BC AB AC.BC M t khác: S ∆ABC = ⇔R= = a 5−2 4R S ∆ABC Thay vào (*) ta c: B 300 2a O C O C A 300 B R $% = IA = OA + OI = a − Bài t p 2: Cho hình chóp tam giác u S.ABC v i c nh áy b ng 2a và c nh bên b ng 3a Xác nh tâm và bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp S.ABC H ng d n: G i G là tr ng tâm ∆ABC Do hình chóp S.ABC là hình chóp tam giác u nên SG ⊥ ( ABC ) Suy ra: SG là tr c ng tròn ngo i ti p ∆ABC G i K là trung i m SA, qua K d ng ng Giáo viên: LÊ BÁ B O 16 Lop12.net T Toán THPT Phong i n (17) Chuyên M T TRÒN XOAY- M T C U th ng trung tr c c a SA, c t SG t i I IA = IB = IC Ta có: ⇔ IA = IB = IC = IS IA = IS V y I là tâm m t c u ngo i ti p hình chóp S.ABC và R $% = IS S Luy n thi i H c 2013 S 3a K K I A G * Xét ∆KSI %ng d ng v i ∆GSA : SI KS SA.KS Ta có: = ⇔ SI = SA GS GS A SA SA 9a 69 = = 46 SA2 − AG I C G M 2a B 9a 69 V y R $% = IS = 46 Hoàn toàn t "ng t#, các em gi i quy t bài t p sau: Bài t p 2-1: Cho hình chóp tam giác u S.ABC v i c nh áy b ng 2a và c nh bên h p v i áy góc 600 Xác nh tâm và bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp S.ABC Bài t p 2-2: Cho hình chóp tam giác u S.ABC v i c nh áy b ng 2a và m t bên h p v i áy góc 600 Xác nh tâm và bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp S.ABC Chúng ta xem xét bài t p sau… Bài t p 3: Hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC = a và có chi u cao b ng h Xác nh tâm và bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp Tính di n tích m t c u H ng d n: S Do SA = SB = SC = a nên S thu c tr c ng tròn ngo i ti p ABC G i O là tâm ng tròn ngo i ti p ABC , suy SO là ng cao và SO = h G i K là trung i m SA, qua K d ng ng th ng a trung tr c c a SA, c t SG t i I K IA = IB = IC Ta có: ⇔ IA = IB = IC = IS h IA = IS I V y I là tâm m t c u ngo i ti p hình chóp S.ABC A S và R $% = IS O M N * Xét ∆KSI %ng d ng v i ∆OSA : B a SA SA K SI KS SA.KS h =a Ta có: = ⇔ SI = = SA OS OS OS 2h I a V y R $% = IS = O A 2h Ta xem bài t p 3, là d ng t ng quát c a các bài toán t "ng t# và c bi t sau: Bài t p 3-1: Hình chóp tam giác S.ABC có c nh áy b ng 2a và SA = SB = SC = 3a Xác nh tâm và bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp Tính di n tích m t c u H ng d n: Do SA = SB = SC = a nên S thu c tr c ng tròn ABC G i G là tr ng tâm c a ABC , suy SG là ng cao Giáo viên: LÊ BÁ B O 17 Lop12.net T Toán THPT Phong i n C (18) Chuyên M T TRÒN XOAY- M T C U G i K là trung i m SA, qua K d ng ng th ng trung tr c c a SA, c t SG t i I IA = IB = IC ⇔ IA = IB = IC = IS Ta có: IA = IS V y I là tâm m t c u ngo i ti p hình chóp S.ABC và R $% = IS * Xét ∆KSI %ng d ng v i ∆GSA : S Ta có: SA SA SI KS SA.KS = ⇔ SI = = = K SA GS GS SA − AG 3a I Luy n thi i H c 2013 S 3a K I C G M 2a B 3a 2 2a 3a − = 3a 15 10 3a 15 27 πa S $% = 4πR ($% = ( v.d.t) 10 Bài t p 3-2: Hình chóp tam giác S.ABC có áy là tam giác vuông cân t i A v i AB = a và SA = SB = SC = 2a Xác nh tâm và bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp Tính di n tích m t c u S H ng d n: Do SA = SB = SC = a nên S thu c tr c ng tròn ABC ng cao G i O là trung i m BC, suy SO là K G i K là trung i m SA, qua K d ng ng th ng trung tr c c a SA, c t SG t i I I IA = IB = IC Ta có: ⇔ IA = IB = IC = IS B IA = IS O V y I là tâm m t c u ngo i ti p hình chóp S.ABC và R $% = IS A * Xét ∆KSI %ng d ng v i ∆OSB : SB SB SI KS SB.KS 2a 2a 14 Ta có: = ⇔ SI = = = = SB OS OS SB − OB a 4a − A V y R $% G V y R $% = IS = 2a 14 = IS = S $% 32πa = 4πR $% = ( v.d.t) ( Thu t toán 2: XÁC #NH M T C U NGO)I TI P HÌNH CHÓP Cho hình chóp S A1 A2 An (tho mãn i u ki n t%n t i m t c u ngo i ti p) Thông th ng, xác nh m t c u ngo"i ti p hình chóp ta th+c hi n theo hai b !c: B !c 1: Xác nh tâm c a ng tròn ngo i ti p a giác áy D ng ∆ : tr c ng tròn ngo i ti p a giác áy B !c 2: Xác nh tr c d c a m t m t bên ( d xác nh ) c a kh i chóp Giáo viên: LÊ BÁ B O 18 Lop12.net T Toán THPT Phong i n C (19) Chuyên M T TRÒN XOAY- M T C U Lúc ó: - Tâm O c a m t c u: ∆ ∩ d = {O} Luy n thi - Bán kính: R = OA ( = OS ) Tu& vào t ng tr i H c 2013 ∆ ng h p S R d I D C A B Bài t p 4: Cho hình chóp S.ABCD v i ABCD là hình vuông c nh 2a G i H là trung i m AB và SH = a là dài ng cao c a hình chóp Xác nh tâm và bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp ó H ng d n: S ∆ G i O là tâm hình vuông ABCD Qua O d ng ∆ ⊥ ( ABCD ) ∆ // SH Ta có: SH ⊥ ( ABCD ) ( SAB ) ∩ ( ABCD ) = AB R OH ⊥ ( SAB ) I G d B M t khác: ∆SAB cân có AB = 2a và SH = a suy ra: ∆SAB u c nh 2a G i G là tâm ∆SAB , qua G d ng d ⊥ ( SAB ) d // OI H C O A D Lúc ó: d ∩ ∆ = { I } Ta có: IA = IB = IC = ID ⇔ IA = IB = IC = ID = IS hay I là tâm m t c u ngo i ti p hình IA = IB = IS chóp S.ABCD Bán kính R $% = SI 2 Xét ∆SGI vuông t i G, ta có: SI = SG + GI = SH + IO = a 21 3a + a = a 21 Bài t p 5: Cho hình chóp S.ABCD có áy là hình thang vuông t i A, D, AB = AD = 2a, CD = 2a C nh bên SD ⊥ ( ABCD ) và SD = a G i E là trung i m c a DC Xác nh tâm và tính bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp S.BCE Bài gi i: Vì AB = DE = AD = a và DAB = 900 nên ABED là hình vuông Tam giác BED có EB = ED = EC = a nên vuông t i B, BE ⊥ CD nên trung i m M c a BC là tâm ng tròn ngo i ti p tam giác EBC + Qua M d ng ∆ ⊥ ( ABCD ) ∆ // SD + D ng m t ph ng trung tr c c a c nh SC, m t ph ng này c t ∆ t i I K t lu n: R $% = Giáo viên: LÊ BÁ B O 19 Lop12.net T Toán THPT Phong i n (20) Chuyên M T TRÒN XOAY- M T C U IB = IE = IC Ta có: : ⇔ IB = IE = IC = IS IC = IS V y I là tâm m t c u ngo i ti p hình chóp S.BEC và R $% = IS * K# SN // DM c t MI t i N, ta có SDMN là hình ch" nh t, DB + DC BC v i SD = a và DM = − ( AB = S N I + AD ) + DC 5a 2 + ( a − IM ) i H c 2013 ∆ EC + EB 5a − = 2 Ta có: SI = SN + NI = SN + ( NM − IM ) = Luy n thi J D C M A B a2 và R = IC = SI M t khác: IC = IM + MC = IM + 2 2 5a a2 3a a a 11 = + ( a − IM ) = IM + ⇔ IM = R $% = IC = IM + 2 2 Bài t p 6: Cho t di n ABCD có ABC và BCD là các tam giác u c nh b ng a Góc gi"a ng th ng AD và (ABC) b ng 600 Tính di n tích m t c u ngo i ti p t di n ABCD H ng d n: Tâm I là giao i m c a hai tr c ng tròn ngo i ti p ∆ABC và ∆BCD Cách 1: Ch rõ góc IMG = 30 Do IG = IG ' IM là ng phân giác c a góc AMD Cách 2: Xét hai tam giác GKI và G’KM %ng d ng: GI GK = A G 'M G 'K a 13 áp s : R = IA = Suy ra: K H G I C M G' B H' K' D Bài t p 7: Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình bình hành, AB = a 2, BC = a và dài các c nh bên b ng a G i giao i m c a AC và BD là H Tính th tích kh i c u ngo i ti p t di n SHAB H ng d n: Giáo viên: LÊ BÁ B O 20 Lop12.net T Toán THPT Phong i n (21)