Chuyên đề đường tròn- HSG toán

- Hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì điểm đó cách đến hai tiếp điểm ; tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến ; tia kẻ từ tâ[r]

CHUYÊN ĐỀ ĐƯỜNG TRÒN

A- MỤC TIÊU:

-Học sinh cần nắm vững kiến thức đường tròn.

-Vận dụng cách thành thục đn,tính chất để giải dạng tập đó. -Rèn kỹ tư hình học.Sáng tạo linh hoạt giải tốn hình học. B - NỘI DUNG :

I/ Những kiến thức :

1) Sự xác định tính chất đường tròn :

- Tập hợp điểm cách điểm O cho trước khoảng khơng đổi R gọi đường trịn tâm O bán kính R , kí hiệu (O,R)

- Một đường trịn hồn tồn xác định một điều kiện Nếu AB đoạn cho trước đường trịn đường kính AB tập hợp điểm M cho góc AMB = 900 Khi tâm O trung điểm AB cịn bán kính R=AB

2

- Qua điểm A,B ,C không thẳng hàng ln vẽ đường trịn mà thơi Đường trịn gọi đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

- Trong đường trịn , đường kính vng góc với dây qua trung điểm dây đó Ngược lại đường kính qua trung điểm dây khơng qua tâm vng góc với dây

- Trong đường trịn hai dây cung chúng cách tâm

- Trong đường tròn , hai dây cung không , dây lớn dây gần tâm

2) Tiếp tuyến đường tròn :

- Định nghĩa : Đường thẳng gọi tiếp tuyến đường trịn có điểm chung với đường trịn Điểm gọi tiếp điểm

- Tính chất : Tiếp tuyến đường trịn vng góc với bán kính tiếp điểm Ngược lại , đường thẳng vng góc với bán kính giao điểm bán kính với đường trịn gọi tiếp tuyến

- Hai tiếp tuyến đường trịn cắt điểm điểm cách đến hai tiếp điểm ; tia kẻ từ điểm qua tâm tia phân giác góc tạo hai tiếp tuyến ; tia kẻ từ tâm qua điểm tia phân giác góc tạo hai bán kính qua tiếp điểm - Đường tròn tiếp xúc với cạnh tam giác gọi đường tròn nội tiếp tam giác Tâm đường trịn nội tiếp tam giác giao đường phân giác tam giác - Đường tròn bàng tiếp tam giác đường tròn tiếp xúc với cạnh phần kéo dài

của hai cạnh

3) Vị trí tương đối hai đường trịn :

Vị trí tương đối Số điểm chung Hệ thức Hai đường tròn cắt nhau R – r <d < R + r Hai đường tròn tiếp xúc d = R + r ( d = R – r ) Hai đường trịn khơng giao nhau d > R + r ( d < R – r ) - Hai đường tròn tiếp xúc tiếp điểm nằm đường nối tâm

- Nếu hai đường tròn cắt đường nối tâm vng góc với dây cung chung chia dây cung hai phần

4) Các loại góc : a Góc tâm :

- Định nghĩa : Là góc có đỉnh tâm đường trịn

- Tính chất : Số đo góc tâm số đo cung bị chắn b Góc nội tiếp :

- Định nghĩa : Là góc có đỉnh nằm đường trịn hai cạnh góc chứa hai dây đường trịn

- Tính chất : Số đo góc nội tiếp nửa số đo cung bị chắn c Góc tạo tia tiếp tuyến dây qua tiếp điểm :

- Tính chất : Số đo góc tạo tia tiếp tuyến dây nửa số đo cung bị chắn

d Góc có đỉnh nằm bên đường trịn :

- Tính chất : Số đo góc có đỉnh nằm bên đường trịn nửa tổng số đo của hai cung bị chắn hai cạnh góc tia đối hai cạnh

e Góc có đỉnh nằm bên ngồi đường trịn :

- Tính chất : Số đo góc có đỉnh nằm bên ngồi đường trịn nửa hiệu số đo hai cung bị chắn hai cạnh góc

5) Quỹ tích cung chứa góc :

- Quỹ tích điểm M nhìn đoạn thẳng AB cố định góc

 khơng đổi hai

cung trịn đối xứng qua AB gọi cung chứa góc  dựng đoạn thẳng AB Đặc

biệt cung chứa góc 900 đường trịn đường kính AB - Dựng tâm O cung chứa góc đoạn AB :

o Dựng đường trung trực d AB

o Dựng tia Ax tạo với AB góc  , sau dựng Ax’ vng góc với Ax

o O giao Ax’ d 6) Tứ giác nội tiếp đường trịn :

- Đinh nghĩa : Tứ giác có đỉnh nằm đường trịn

- Tính chất : Trong tứ giác nội tiếp , tổng số đo hai góc đối diện góc vng Ngược lại , tứ giác có tổng góc đối diện góc vng tứ giác nội tiếp đường trịn

- Chu vi hình trịn : C = 2 π R - Diện tích hình trịn : S = π R2 - Độ dài cung tròn : l = 180πRn - Diện tích hình quạt trịn : S = πR2n

180

8) Tính bán kính đường trịn nội tiếp , ngoại tíêp , bàng tiếp đa giác a Bán kính đường trịn nội tiếp đa giác n cạnh :

R =

a

2 Sin180

0 n

r =

a

2 tg180

0 n

b Bán kính đường trịn ngoại tiếp đa giác n cạnh

r =

a

2 tg180

0 n

c Bán kính đường trịn nội tiếp tam giác (R) : R = 2 SinAa = b

2 SinB=

c

2 SinC

R = abc4S

Δ

Với tam giác vuông A : R = a2 Với tam giác cạnh a : R = a

√3

d Bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác (r) : r = SΔ

p với ( 2p = a+b+c )

Với tam giác vuông A : r = c+b− a2 Với tam giác cạnh a : r = a√3

6

e Bán kính đường trịn bàng tiếp g óc A tam giác (ra) : ra=

S

p −a ( bán kính đường trịn bàng tiếp góc A ) Với tam giác vuông A : = a

+b+c

2

Với tam giác cạnh a : = a√3

2

II/ Bài tập vận dụng

Sử dụng tính chất đường trịn quan hệ đường kính dây cung ; dây cung khoảng cách đến tâm để chứng minh hai đường thẳng vng góc , so sánh hai đoạn thẳng

Sử dụng đường kính dây cung lớn đường tròn để để xác định vị trí đường thẳng , điểm để có hình đặc biệt áp dụng để giải toán cực trị

b Các ví dụ :

Bài : Trong đường trịn (O) kẻ hai bán kính OA OB tùy ý dây MN vng góc với phân giác Ox góc AOB cắt OA F OB G Chứng tỏ MF = NG FA = GB

Hướng dẫn chứng minh :

Sử dụng tính chất đường kính dây cung chứng minh : HM = HN

Chứng minh tam giác OFG cân để : HF = HG ; OF = OG

Từ hai điều suy điều phải chứng minh

Bài : Cho hai đường trịn đồng tâm hình vẽ So sánh độ dài : a) OH OK

b) ME MF c) CM MK Nếu biết

AB > CD

AB = CD AB < CD

Bài : Cho (O) điểm I nằm bên đường tròn Chứng minh dây AB vng góc với OI I ngắn dây khác qua I

Hướng dẫn chứng minh :

Kẻ dây CD qua I không trùng với AB

Nhờ mối liên hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây , ta kẻ OK vng góc với CD OI > OK nên AB < CD

* Từ tập thấy bán kính đường trịn R OI = d hỏi :

B A

E

F D

C M O

H

K

A B

O

I K

D

C

M

N

O H

F

G

x 1

2 A

- Tính độ dài dây ngắn qua I ? - Tính độ dây dài qua I ?

Bài : Cho (O;R) điểm M nằm ngồi đường trịn Hãy dựng cát tuyến MPQ với đường tròn cho MP = MQ

Hướng dẫn :

Phân tích : Giả sử dựng hình thỏa mãn đề Kẻ OI vng góc với PQ

Ta có : IP=1

2PQ  IP=

1 3MI

 MP=2

3MI

Kẻ PN vng góc MQ ta thấy MN=2

3MO

P giao đường trịn đường kính MN (O)

Cách dựng : Dựng điểm N dựng điểm P… 2) Bài tập tiếp tuyến đường tròn :

a Ứng dụng tiếp tuyến :

- Từ tính chất tiếp tuyến , hai tiếp tuyến cắt ta đường thẳng vng góc , cặp đoạn thẳng cặp góc ; từ ta xây dựng hệ thức cạnh , góc

- Từ tính chất tiếp tuyến vận dụng vào tam giác tìm cơng thức tính diện tích đường trịn nội tiếp , đường trịn ngoại tiếp đường tròn bàng tiếp tam giác , bán kính

- Lưu ý : Chứng minh Ax tiếp tuyến (O;R) làm theo cách sau :

 A  (O;R) góc OAx = 900  Khoảng cách từ O đến Ax R

 Nếu X nằm phần kéo dài EF XA2 = XE.XF

( xem hình )

 Góc EAX = góc AEF

b Các ví dụ :

Bài : Cho tam giác ABC vuông A Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ; d tiếp tuyến đường tròn A Các tiếp tuyến đường tròn B C cắt d theo thứ tự D E

a) Tính góc DOE

b) Chứng minh : DE = BD + CE

c) Chứng minh : BD.CE = R2 ( R bán kính đường tròn tâm O ) d) Chứng minh BC tiếp tuyến đường trịn có đường kính DE Hướng dẫn chứng minh :

M

N O

Q

P I

X

E

F

a) Sử dụng tính chất tiếp tuyến ta chứng minh : DO E^ =DO A^ +EO A^ =1

2(BO A^ +CO A^ )=90

0

b) Sử dụng tính chất tiếp tuyến ta chứng minh : DE = DA + EA = BD + EC

c) Sử dụng tính chất tiếp tuyến ta có : BD.CE = DA.EA

Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông cho tam giác DOE DA.EA = OA2 = R2

d) Trung điểm I DE tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông DOE Ta thấy OI đường trung bình hình thang vng BDEC nên OI // BD // CE hay OI  BC hay

BC tiếp tuyến đường trịn đường kính DE

Bài : Cho hai đường tròn ( O) (O’) tiếp xúc A Kẻ đường kính AOB ; AOC’ Gọi DE tiếp tuyến chung đường tròn ; D  ( O ) ; E  ( O’) Gọi M giao

điểm BD CE

a) Tính số đo góc DAE b) Tứ giác ADME hình ?

c) Chứng minh MA tiếp tuyến chung hai đường tròn Hướng dẫn chứng minh :

a) Kẻ tiếp tuyến chung hai đường tròn qua A cắt tiếp tuyến chung DE F Dựa vào tính chất tiếp tuyến ta có FA = FD = FE Vậy tam giác DAE tam giác vuông A hay góc DAE = 900

b) Tứ giác ADME có ^D= ^A=^E=900 nên

nó hình chữ nhật

c) Từ câu b) AM qua trung điểm DE hay AM trùng với AF nên AM tiếp tuyến chung hai đường tròn

Lời bình :

- Với tập cho trước hai đường tròn tiếp xúc , ta nên lưu ý đến tiếp tuyến chung chúng Nó thường có vai trị quan trọng lời giải

- Với tập hỏi :

 CMR : góc OFO’ góc vng

 DE tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác OFO’

 Các tia AD AE cắt (O) (O’) H ; K Chứng minh : SAHK = SADE

Bài : Gọi a , b, c số đo cạnh tam giác ABC , r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác Tính diện tích tam giác theo p r , p nửa chu vi tam giác

Hướng dẫn :

Gọi D , E , F tiếp điểm

Theo tính chất tiếp tuyến : ID = IF = IE = r

A E

C O

B D

A

B C

D F E

O O

’

M

I A

B C

E F

Nên : SABC = SABI + SBCI + SACI = 12 ( a + b + c).r = pr S = pr

Từ tập tính :

- Bán kính r đường trịn nội tiếp tam giác vng , tam giác theo cạnh tam giác

- Các đoạn tiếp tuyến AE , BF , CD theo cạnh a , b, c tam giác 3) Bài tập loại góc đường trịn

Bài : Cho A điểm cố định đường tròn (O) M điểm di động đường trịn N giao AM với đường kính cố định BC Chứng minh giao điểm đường tròn (O) với đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN cố định

Hướng dẫn chứng minh :

Kẻ DA // BC Kẻ đường kính DP

Ta dễ thấy : ^N= ^P ( góc A )

Nên đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN qua P  (O)

cố định Nhận xét :

Trong P cịn góc nội tiếp hai đường trịn nên đóng vai trị đại lượng trung gian để chứng minh góc Kĩ gặp lại thường xuyên

Bài : Cho tham giác ABC có góc nhọn Đường trịn (O) có đường kính BC cắt AB , AC theo thứ tự D , E Gọi I giao điểm BE CD

a) Chứng minh : AI  BC

b) Chứng minh : I^D E=I^A E

c) Cho góc BAC = 600 Chứng minh tam giác DOE tam giác Hướng dẫn chứng minh :

a) Dựa vào tính chất góc chắn nửa đường tròn , ta chứng minh I trực tâm tam giác ABC nên AI  BC

b) Góc IAE = EBC góc có cạnh tương ứng vng góc Góc EBC = EDC chắn cung EC

Từ hai điều suy điều chứng minh c) Góc BAC = 600

 Góc DBE = 300 chắn cung DE  Số đo cung DE = 600

 Góc DOE = 600 mà tam giác DOE cân đỉnh O nên

DOE tam giác

Bài : Cho đường trịn (O) đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn Điểm C thuộc nửa đường tròn nửa mặt phẳng với Ax với bờ AB Phân giác góc ACx cắt đường tròn E , cắt BC D Chứng minh :

C B

O

A D

P M

N

E

B C

D A

a) Tam giác ABD cân

b) H giao điểm BC DE Chứng minh DH  AB

c) BE cắt Ax K Chứng minh tứ giác AKDH hình thoi

Hướng dẫn giải :

a) AD phân giác hai cung AE CE

Dựa vào góc nội tiếp ta dễ dàng chứng minh BE vừa phân giác vừa đường cao tam giác ABD , nên ABD

cân đỉnh B

b) Dựa vào góc chắn nửa đường trịn Ta thấy H trực tâm ABD nên DH  AB

c) Ta thấy KE = HE (vì AKH cân đỉnh A) AE = DE ( ABD cân đỉnh B)

ADKH , nên tứ giác AKDH hình thoi

* Từ tập câu hỏi khác : - Chứng minh OE  AC

- Tìm vị trí C cung AB để ABD

Bài : Cho tam giác ABC nội tiếp (O;R) Chứng minh : a) R = 2 SinAa = b

2 SinB=

c

2 SinC

b) R = abc4S

Δ

Hướng dẫn giải

a) Kẻ đường kính AA’lúc ACA’ vng C

Dựa vào hệ thức lượng tam giác vng góc nội tiếp chắn cung ta có :

b=AA' SinA \{^A'C = 2R SinB Hay R= b

2 SinB

Chứng minh tương tự

b) Ta thấy hai tam giác vuông AHB ACA’ đồng dạng nên AHAB=AC

AA'

hay ha

c = b

2R mà ha=

2S

a suy

2S

ac =

b

2R hay S=

abc 4R

Từ tập tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác vng , tam giác đều

4) Bài tập tứ giác nội tiếp đường tròn

Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn theo cách sau : - Chứng minh tổng hai góc đối diện tứ giác 1800.

- Chứng minh hai điểm nhìn hai điểm cịn lại góc

- Tứ giác ABCD có AC cắt BD M mà MA.MC = MB.MD tứ giác ABCD nội tiếp

A B

C D K E

H O

A

B C

A’ H

O

- Tứ giác có hai cạnh bên AB CD giao M mà MA.MB = MC.MD tứ giác ABCD nội tiếp

Các ví dụ :

Bài : Cho tam giác ABC có góc nhọn với đường cao BD , CE a) Chứng minh BEDC tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh : AD.AC = AE.AB

c) Kẻ tiếp tuyến Ax đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh : Ax // ED

Hướng dẫn chứng minh :

a) D, E nhìn BC góc 900 nên tứ giác BEDC nội tiếp

b) Hai tam giác vuông ABD ACE đồng dạng Suy AD.AC = AE.AB c) x^A B=AC B^ vì chắn cung AB.

A^E D=AC B^ vì phụ với góc BED Nên x^A B=AE D^ Suy Ax // ED Nhận xét :

Với giả thiết toán khai thác tốn theo nhiều hướng nhiều câu hỏi :

- Kéo dài đường cao BD , CE , AF cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC D’ , E’ , F’ Chứng minh :

 H tâm đường tròn nội tiếp tam giác D’E’F’  H đối xứng với D’,E’,F’ qua AC , AB , BC  ED // E’D’

 OA  E’D’

 Các đường tròn tam giác : HAB , HBC, HCA có bán kính  SABC =

abc 4R

- Vẽ hình bình hành BHCK , I trung điểm BC Chứng minh :

 Tứ giác ABKC nội tiếp với K nằm đường tròn (O)  B^A H=O^A C

 H , I , K thẳng hàng

 AH // OI ; AH = 2.OI Nếu B , C cố định A di động bán kính đường

trịn ngoại tiếp tam giác ADE không đổi

 Đường thẳng qua K song song với BC cắt AH M A,B,C,K,M

nằm đường tròn

Bài : Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) ; E điểm cung AB , hai dây EC , ED cắt AB P Q Các dây AD EC kéo dài cắt I , dây BC ED kéo dài cắt K Chứng minh :

a) Tứ giác CDIK nội tiếp

x A

B C

b) Tứ giác CDQP nột tiếp c) IK // AB

d) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AQD tiếp xúc với EA

Hướng dẫn :

a) D C nhìn IK hai góc ( góc nội tiếp chắn hai cung ) Suy tứ giác DIKC nội tiếp

b) sđ (QDC + QPC) = ½sđ (BE + CB) + ½ sđ (ADC + BE)

= ½ sđ( BE + CB + ADC + BE ) = 1800

Nên tứ giác CDQP nội tiếp

c) sđ API = ½ sđ( CB + AE ) = ½ sđ ( CB + BE ) = sđ CDK = sđ CIK = ½ sđ CK Từ suy IK // AB

d) EAQ = ADQ ( góc nội tiếp chắn cung ) Suy AE tiếp tuyến

Bài : Cho tứ giác nội tiếp đường trịn (O) Chứng minh tích hai đường chéo tổng tích cặp cạnh đối diện

Hướng dẫn :

Giả sử ACD > ACB

Lấy E BD cho ACB = DCE

Hai tam giác ABC DEC đồng dạng : AB.DC = AC.DE Hai tam giác ADC BEC đồng dạng : AD.BC = AC.BE Cộng vế hai đẳng thức suy điều chứng minh II Bài tập tổng hợp :

Trong phần I , làm quen dần với dạng toán tương ứng với kiến thức đường tròn

Trong phần II , nâng cao kĩ giả toán tập tổng hợp dạng toán

1) Các câu hỏi thường gặp tốn hình :

1 Chứng minh : Nhiều điểm nằm đường tròn (đặc biệt điểm nằm đường tròn hay chứng minh tứ giác nội tiếp )

2 Chứng minh hai đường thẳng song song , vng góc với Chứng minh đẳng thức hình học

4 Nhận biết hình hình ? ( tam giác cân , hình bình hành , hình thoi , hình chữ nhật , hình thang cân …) Lưu ý : Khi chứng minh tứ giác hình thang cân khơng chứng minh hình thang có hai cạnh bên

5 Chứng minh đường thẳng đồng quy ; hay nhiều điểm thẳng hàng A

B D

C Q

P

E I

K

A

B

C D

6 Chứng minh đường thẳng tiếp tuyến đường tròn , tiếp tuyến chung hai đường tròn

7 Xác định vị trí đặc biệt để có hình đặc biệt Tốn cực trị hình học

9 Tốn đại lượng hình học : Đoạn thẳng , cung ,góc , chu vi , diện tích …

Trong câu hỏi tùy theo mà câu hỏi cho có logic câu thứ , thứ hai câu sau

Thông thường kết câu giả thiết để chứng minh câu dưới, đơi cần vẽ thêm hình tốn trở lên đơn giản

2) Bài tập vận dụng

Bài : Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB Từ A B kẻ tiếp tuyến Ax By Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ cắt tiếp tuyến Ax By E F

1. Chứng minh AEMO tứ giác nội tiếp

2. AM cắt OE P , BM cắt OF Q Tứ giác MPOQ hình ? Tại ? 3. Kẻ MH  AB ( H  AB) Gọi K giao MH EB So sánh MK KH

Hướng dẫn :

1) EAO = EMO = 900 Nên AEMO tứ giác nội tiếp

2) Dựa vào tính chất hai tiếp tuyến cắt có MPO = MQO = 900 PMQ = 900 nên PMQO hình chữ nhật

3) EMK  EFB (g.g)  EMMK=EF

FB mà

MF = FB

 EMMK=EF

MF EAB  KHB (g.g)  EKKH=AB

HB mà

EF

MF=

AB

HB ( Ta let)  EM

MK=

EA KH

Vì EM = EA  MK = KH

Bài : Cho (O) cắt (O’) A B Kẻ cát tuyến chung CBD  AB ( C (O) D

(O’).)

1 Chứng minh A , O , C A ,O’, D thẳng hàng

2 Kéo dài CA DA cắt (O’) (O) theo thứ tự I K Chứng minh tứ giác CKID nội tiếp

3 Chứng minh BA , CK DI đồng quy Hướng dẫn :

1 CBA = DBA = 900 nên AC DA đường kính hay A,O, C thẳng hàng D ,O’,A thẳng

A B

F E

M

O P

Q K

H

C B D

G

K I

O O

hàng

2 Từ câu 1) dựa vào góc nội tiếp chắn nửa đường trịn ta thây K , I nhìn CD góc vuông nên tứ giác CDIK nội tiếp

3 A trực tâm tam giác ADG có AB đường cao hay BA qua G

Bài : Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt hai điểm A,B Các đường AO AO’cắt đường tròn (O) C D , cắt đường tròn (O’) E , F

a) Chứng minh B , F , C thẳng hàng b) Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp

c) Chứng minh A tâm đường tròn nội tiếp tam giác BDE

d) Tìm điều kiện để DE tiếp tuyến chung (O) (O’)

Hướng dẫn :

a) CBA + FBA = 1800 nên A , B , F thẳng hàng

b) D, E nhìn CF góc vng nên CDEF nội tiếp

c) Tứ giác CDEF nội tiếp nên EDF = ECF ; ACB = ADB từ suy EDF = ADB Hay DE phân giác góc D BDE Tương tự EC phân giác góc E BDE

Hai phân giác cắt A nên A tâm đường tròn nội tiếp BDE

d) Giả sử DE tiếp tuyến chung hai đường trịn ta có OO’ // CE vng góc với AB : AOO’ = ACB mà ACB = FDE ( DCFE nội tiếp ) suy : AOO’ = ODE hay tứ giác ODEO’ nội tiếp (1)

DE tiếp tuyến DE vng góc với OD O’E (2)

Vậy ODEO’ hình chữ nhật : Hay OD = O’E ( Hai đường trịn có bán kính )

Bài : Cho (O,R) đường kính AB , đường kính CD di động Gọi đường thẳng d tiếp tuyến đường tròn B Đường thẳng d cắt đường thẳng AC , AD theo thứ tự P Q

1) Chứng minh tứ giác CPQD nội tiếp đường tròn

2) Chứng minh AD AQ = AC.AP

3) Tứ giác ADBC hình ? Tại ? 4) Xác định vị trí CD để SCPQD = 3.SACD

Hướng dẫn :

1 CPB = CDA ( CBA) nên CPB + CDQ = 1800. ADC APQ (g.g) suy AD.AQ = AC.AP

3 Tứ giác ADBC hình chữ nhật có góc vng

4 Để SCPQD = 3.SACD SADC = ¼ SAPQ tức tỉ số đồng dạng hai tam giác ½

Suy AD = ½ AP hay BC = ½ AP mà tam giác ABC vuông B nên C trung điểm CP

E D

C

B F

O’ A

O

A B

Q D

C O

 CB = CA hay ACB cân  CD  AB

Bài : Từ điểm S nằm ngồi đường trịn (O) vẽ hai tiếp tuyến SA , SB cát tuyến SCD đường trịn

1) Gọi E trung điểm dây CD Chứng minh điểm S ,A , E , O , B nằm đường tròn

2) Nếu SA = OA SAOB hình ? Tại ? 3) Chứng minh AC BD = BC.DA = ½ AB.CD Hướng dẫn chứng minh

1) Sử dụng tính chất tiếp tuyến , ta có A , B nhìn SO góc vng , nên tứ giác SADO nội tiếp đường trịn đường kính SO

Dựa vào tính chất đường kính vng góc với dây cung , ta có SEO = 900 Nên E thuộc đường trịn đường kính SO

2) Nếu SA = OA SA = AB = OA = OB góc A vng nên tứ giác SAOB hình vng

3) Ta thấy SAC SDA  ACDA=SC

SA

SCB SBD  BCBD=SC

SB

Mà SA = SB  ACAD=BC

BD  AC.BD = AD.BC (1)

Trên SD lấy K cho CAK = BAD lúc

CAK BAD (g.g)  AC.DB = AB.CK BAC DAK (g.g)  BC.AD = DK.AB

Cộng vế ta AC.BD + BC.AD = AB( CK+DK )= AB.CD (2) Từ (1) (2) suy : AC.BD + AC.BD = AB.CD hay AC.BD = ½ AB.CD Vậy AC.BD = AD.BC = ½ AB.CD

Bài : Cho tam giác ABC vng A Đường trịn đường kính AB cắt BC D Trên cung AD lấy điểm E Nối BE kéo dài cắt AC F

1) Chứng minh CDEF nội tiếp

2) Kéo dài DE cắt AC K Tia phân giác góc CKD cắt EF CD M N Tia phân giác góc CBF cắt DE CF P Q Tứ giác MNPQ hình ? Tại ? 3) Gọi r1 , r2 , r3 theo thứ tự đường tròn nội tiếp tam giác ABC , ADB , ADC Chứng

minh : r = r12 + r22

Hướng dẫn :

1) Dựa vào số đo cung ta thấy C = DEB  C + DEF = 1800

Nên tứ giác CDEF nội tiếp

S O

D A

C

B E K

A

B

K F

Q

C N

D E

2) BED BCQ ( g.g)  BPE = BQC  KPQ = KQP hay KPQ cân

CNK MK  EMK = CNK

 BMN = BNM hay BMN cân  MN  PQ MN cắt PQ trung điểm

đường Nên MNPQ hình thoi 3) ABC DAB DAC  r

BC=

r1

AB=

r2

AC 

r2

BC2= r12 AB2=

r22 AC2

 r

2

BC2=

r12+r22 AB2

+AC2= r12+r22 BC2

 r2 = r12 + r22

Bài : Cho tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp (O;R) Hạ đường cao AD , BE tam giác Các tia AD , BE cắt (O) điểm thứ hai M , N Chứng minh :

a) Bốn điểm A , E , D , B nằm đường trịn TÌm tâm I đường trịn

b) MN // DE

c) Cho (O) dây AB cố định , điểm C di chuyển cung lớn AB Chứng minh độ dài bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác CED không đổi Hướng dẫn giải :

a) E,D nhìn AB góc vuông nên tứ giác AEDB nội tiếp đường trịn đường kính AB có I ( trung điểm AB ) tâm

b) Ta thấy : ABE = ADE ( chắn cung AE ) mà ABE = AMN ( chắn cung AN )

nên ADE = AMN hay DE // MN

c) Kẻ thêm hình vẽ Dựa vào góc nội tiếp tứ giác AEBD suy CN = CM nên OC  MM  OC  DE

Tứ giác HDCE nội tiếp đường tròn tâm K ( trung điểm HC) đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE  KD = KE ID = IE nên IK  DE hay IK // OC OI // CK

nên OIKC hình bình hành  KC = OI không đổi

Bài : Cho tam giác nội tiếp đường tròn (O,R)

1) Tính theo chiều R độ dài cạnh chiều cao ABC

2) Gọi M điểm di động cung nhỏ BC ( M  B,C ) Trên tia đối MB lấy MD =

MC Chứng tỏ MCD

3) CMR : M di động cung nhỏ BC D di chuyển đường tròn cố định , xác định tâm vị trí giới hạn

4) Xác định vị trí điểm M cho tổng S = MA + MB + MC lớn Tính giá trị lớn S theo R

A

N

C I

B M D

E O

Hướng dẫn :

1) AH=AB√3

2 AB = AC = BC = R

√3

2) Có MC = MD ( gt)

sđ BMC = ½ sđ BAC = ½ ( 3600 : 3).2 = 1200

 CMD = 600 Vậy CMD

3) IMC = IMD ( c.g.c)  IC = ID

Khi M di động cung nhỏ BC D chạy đường trịn ( I ; IC )

Khi M  C  D  C ; M  I  D  E

4) ACM = BCD ( g.c.g )  AM = BD  S = MA + MB + MC = 2.AM  2.AI  S  4R S Max= 4R AM đường kính

Bài : Cho ABC ngoại tiếp (O) Trên BC lấy M , BA lấy N , CA lấy P cho

BM=BN CM = CP Chứng minh : a) O tâm đường tròn ngoại tiếp MNP

b) Tứ giác ANOP nội tiếp đường trịn

c) Tìm vị trí M , N , P cho độ dài NP nhỏ Hướng dẫn :

a) Từ tính chất tiếp tuyến cắt giả thiết suy :

DN = EM = FP ODA = OEM = OFP ( c.g.c ) ON = OM = OP hay O tâm đường tròn ngoại tiếp

MNP

b) Từ câu a) suy OND = OPF nên tứ giác ANOP nội tiếp

c) Kẻ OH  NP

Có NP = NH = NO cosHNO = 2.NO.Cos(A/2) = 2.OE Cos (A/2)

Vậy NPMin = 2r.cos(A/2)

Khi M , N , P trùng với tiếp điểm

Bài 10 : Cho hình vng ABCD có cạnh 3a Lấy AE = a cạnh AD DF = a cạnh DC Nối AF BE cắt H

a) Chứng minh : AF  BE

b) Tính cạnh tứ giác ABFE đường chéo theo a c) Tính theo a đoạn HE , HB

d) Chứng minh : EDFH nội tiếp đường tròn Đường tròn cắt BF K Tính theo a đoạn BK Nhận xét điểm E , K ,C

B

A C

I

E

O M

D H

A

B C

D P

F

E M N

Hướng dẫn :

a) ADF = BAE DAF = EBA  BE  AF

b) Pitago : BE = AF = a √10 ; EF = a √5 ; BF = a

√13

c) Dùng hệ thức lượng : EH = a√10

10 ; HB = 9a√10

10

d) Dựa vào tổng góc đối 1800 nên EDFH nội tiếp

BEK BFH  BK=BE BH

BF =

9a√13 13

e) Dựa vào vng góc : E , K , C thẳng hàng C : KẾT LUẬN

Trên số định hướng nhằm giải số vấn đề “Đường tròn’’

A B

C

D F

E H