Ôn thi đại học : Chuyên đề mặt cầu (tiếp theo & hết)

Vì giao tuyến là đường tròn lớn, nên tâm I của hình cầu nằm trên P, I lại nằm trên d’, vì thế ta có hệ phương trình sau để xác định tọa độ của I... Ta có phương trình sau ẩn t... Vì hình

Chuyên đề : Mặt cầu

Phần 2

Xét mặt cầu  S 2 2 z z 2  2

:(x- x ) (y- y ) ( - ) R và mặt phẳng (P) với phương trình (P): Ax By C D 0 Như vậy (S ) có tâm tại   z  I(x ,y , )và bán kính R.0 0 z 0

Khi đó khoảng cách h từ tâm I tới (P) là :    

 

0

z

Ax By C D h

A B C + nếu h > R, thì (S ) và (P) không giao nhau

+ nếu h = R, thì (P) là tiếp diện của mặt cầu, tức là (P) và (S ) tiếp xúc với nhau Nếu gọi T là tiếp điểm, thì IT (P) và IT = R

+ nếu h < R, thì (P) và (S ) cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn (C), vậy (C) xác định bởi hệ phương trình



z z z

C

(x- x ) (y- y ) ( - ) R

:

Ax By C D 0 Lúc này tâm J của đường tròn giao tuyến (C) chính là hình chiếu của I lên (P) Gọi r là bán kính của (C), thì r được tính theo công thức sau: r R2 h2

Ví dụ 1 Lập phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng (d)

   



 



z

(d):

y 2 0 , và cắt mặt phẳng (P) theo thiết diện là đường tròn lớn có bán kính bằng 4, ở đây (P): y z0

Bài giải

Vì (C) cắt (P) theo thiết diện là đường tròn lớn có bán kính bằng 4, tức là bán kính của hình cầu bằng 4 Vì giao tuyến là đường tròn lớn, nên tâm I của hình cầu nằm trên (P), I lại nằm trên (d’), vì thế ta có hệ phương trình sau để xác định tọa độ của I

     

z

Vậy I(-1,2,2) là tâm của mặt cầu (S ) Kết hợp với R =

4, suy ra (S )

có phương trình  S :(x 1) (y- 2) ( - 2) 2 2 z 2 16

   



z z

x y 2 3 0 (d):

x 3y 0 Viết phương trình mặt cầu (S ), biết rằng tâm I của mặt cầu là giao điểm của (d) với (P), ngoài ra mặt phẳng (Q) cắt hình cầu (S ) theo thiết diện là hình tròn với diện tích 20

Bài giải Trước hết tìm giao điểm I của mặt cầu Vì nó là giao điểm của (d) với (P), nên ta có hệ phương trình sau để xác định tọa độ của I

      

      

z z

x y 2 3 0 x 1

Vậy I(1,0,1) là tâm của mặt cầu (S )

Khoảng cách h từ I tới (Q) là    

 

2 1 7 10 h

4 1 1 6 Gọi r là bán kính hình tròn thiết diện, ta có .r220  r220 Khi đó nếu gọi R là bán kính của (S ), thì 2 2 2  100 110

R r h 20

Vậy mặt cầu (S ) có phương trình  S :(x-1)2y ( -1)2 z 2110/3

  

 z

2x y 5 0 (d):

và mặt phẳng(P): 2x 2y   z 5 0

a) Viết phương trình mặt cầu (S ) có tâm là I, sao cho (P) cắt (S ) theo

c) Chứng minh rằng (d) tiếp xúc với (S )

Bài giải

Gọi r là bán kính đường tròn giao tuyến, ta có 2 r 8    r 4

Khoảng cách từ I tới (P) là h, với     

 

2 4 2 5

4 4 1 Vậy (S ) có bán kính R h r2 2  9 16 5 

Vì lẽ đó (S ) có phương trình  S :(x-1) (y- 2) (2 2 z2)225

b) Gọi (Q) là tiếp diện Vì (Q) chứa (d), nên (Q) thuộc chùm mặt phẳng

 2x y 5    y z3 0

Rõ ràng  0, nên có thể viết lại chùm mặt phẳng dưới dạng

2x y 5 m y     z3 0 hay 2x (m 1)y m 3m 5 0   z  

Ta có phương trình sau để xác định m

2

2 2(m 1) 2m 3m 5

5 7m 5 5 2m 2m 5

4 (m 1) m

 49m 70m 25 50m 50m 1252   2   m 20m 100 02  

 (m 10) 2  0 m10

Vậy tiếp diện (Q) có phương trình 2x 11y 10 35 0  z 

c) (d) có véc tơ chỉ phương    

 1 0 0 2 2 1

1 1 1 0 0 1

Rõ ràng điểm M(0,-5,-2) thuộc (d) Vậy khoảng cách từ tâm I tới đường thẳng (d) là h1, với

 

 



 



1

IM,u

h

u .

Do   

IM ( 1, 7,0)nên        

  7 0 0 1 1 2

2 2 2 1 1 7

Do vậy      

 

1

196 4 25 15

3

1 4 4

Từ h1 = R, suy ra đường thẳng (d) tiếp xúc với (S )

Chú ý Có thể giải lại phần c) như sau: (d) tiếp xúc với (S ) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có duy nhất nghiệm

z

z z

(x-1) (y- 2) ( 2) 25(1) x (y 5)/ 2 (4)

y 3 0 (3) [(y 5)/ 2-1] (y- 2) (y 3 2) 25(6)

ta thấy (6) (y 3) 24(y- 2)24(y 5) 2 100

 9y 30y 25 02    (3y 5) 2 0

Từ đó suy ra hệ (4) (5) (6) (tức là hệ (1) (2) (3)) có nghiệm duy nhất

x 5/3, y -5/3, 4/3

Như vậy (d) tiếp xúc với (S ) tại điểm (5/3, -5/3, 4/3) (cách giải này còn cho phép ta tìm được tiếp điểm của đường thẳng với mặt cầu )

Ví dụ 4 Cho 3 đường thẳng:

   





 z

1

x 5y 2 0

(d ):

0 ,

 



 



 

 z

2

x t (d ): y 2 t

0



z

3

y

x 8 (d ):

a) Chứng minh (d1), (d2), (d3) đôi một cắt nhau và giả sử các giao điểm tạo thành tam giác ABC

b) Lập phương trình mặt cầu đi qua A, B, C và có tâm I nằm trên mặt phẳng (P), ở đây (P):18x 35y 17 2 0  z 

Bài giải

a) + Xét (d1) và (d2) Ta có phương trình sau (ẩn t)

+ xét (d1) và (d3) Từ (d3) suy ra     x 8 y x 8 y, thay vào (d1) có

        

8 y 5y 2 0 6 6y 0 y 1 Vậy (d ) (d ) B(7,1,0)1  3 

+ Xét (d3) và (d2) Từ (d3) suy ra        x 8 y t 8 2 t t 3.Vậy

(d ) (d ) C(3,5,0)

Vậy (d1), (d2), (d3) đôi một cắt nhau Các giao điểm của chúng tạo thành tam giác ABC với A(-3,-1,0); B(7,1,0), C(3,5,0)

b) Theo trên ta có (d ) (d ) C Chú ý rằng (d2  3  2) có véc tơ chỉ phương





2

u (1,1,0)còn (d3) có véc tơ chỉ phương  



3

u (1, 1,0) Do 

 

2 3

u u 0, nên



(d ) (d ), tức là ABC là tam giác vuông tại C, nên trung điểm H của AB chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Gọi I là tâm mặt cầu (S ) cần tìm Vì hình cầu qua A, B, C, nên hình chiếu của I xuống (ABC) chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, tức J

là hình chiếu của I xuống (ABC) Ta có J là trung điểm của AB, nên tọa độ J

là J(2,0,0)

Véc tơ pháp n của (ABC) được xác định như sau

  

1 2

1 0 0 1 1 1

1 0 0 1 1 1

Phương trình đường thẳng nối IJ có dạng tham số

 







 

z

x 2

y 0 2t

Do I nằm trên (P):18x 35y 17 2 0, nên ta có phương trình sau để xác  z  định t

    

36 34t 2 0 t 1 Vậy tọa độ tâm I hình cầu (S ) là I(2,0,2)

Do hình cầu qua A(-3,-1,0) nên bán kính (S ) là  R IA 5 1 22 2 2  30

Vậy phương trình (S ) là  S :(x- 2)2y ( - 2)2 z 2 30

II. Củng cố kiến thức

Bài 1 (Đề thi Đại học, Cao đẳng khối D 2004)

Cho ba điểm A(2,0,1), B(1,0,0), C(1,1,1) và mặt phẳng phương trình

  z 

(P):x y 2 0

Viết phương trình mặt cầu đi qua A, B, C và có tâm thuộc (P)

Bài giải

Giả sử I(x ,y , ) (P)là tâm của mặt cầu , và R là bán kính của nó, khi đó ta0 0 z 0  có



0 0

z

(x 2) y ( 1) (x 1) y

IA IB IC R

(x 1) y (x 1) (y 1) ( 1)

             

Từ đó R2 = 1 Vậy phương trình mặt cầu là  S :(x-1)2y ( -1)2 z 21

Chú ý: Có thể làm: Phương trình mặt cầu là

 S : x y2 2z 2 2Ax + 2By + 2C + D = 0z

Vì qua A, B, C, nên ta có

     







4 1 4A 2C D 0

1 2A D 0

3 2A 2B 2C D 0

, tâm hình cầu là (-A,-B,-C) thuộc (P) nên suy ra – A –

B – C – 2 = 0

Từ 4 hệ trên suy ra A = -1, B = 0, C = -1, D = 1 từ đó suy ra

 S :(x-1)2y ( -1)2 z 21

Trong không gian cho hình lăng trụ đứng ABCA1B1C1 với A(0,-3,0), B(4,0,0), C(0,3,0), B1(4,0,4)

Tìm tọa độ các đỉnh A1, C1 rồi viết phương trình mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc với mặt phẳng BCC1B1

Bài giải

Dễ thấy tọa độ của A1C1 là A1(0,-3,4) và C1(0,3,4)

Để viết phương trình mặt cầu có tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng BCC1B1,

ta gọi h là khoảng cách từ A tới mặt phẳng này, khi đó phương trình cần tìm có dạng  x (y 3)2 2z 2 = h (1)2

Xét mặt phẳng BCC1B1 Ta có B(4,0,0), C(0,3,0), B1(4,0,4)

1

BC ( 4,3,0), BB (0,0,4)

Do đó véc tơ pháp n của nó là

  

1

3 0 0 4 4 3

n BC,BB , , (12,16,0)/ /(3,4,0)

0 4 4 0 0 0 Vậy BCC1B1 có phương trình 3(x 4) 4(y 0) 0     3x 4y-12 0 

Vậy khoảng cách h từ A xuống nó là 3.0 4.( 3) 12 24   

h

Thay vào (1), ta có  2 2z 2 576

x (y 3) =

25 là phương trình mặt cầu cần tìm

4 Bài tập tự giải

Bài 1 Trong không gian cho mặt phẳng (P):2x 2y  z m 3m 02 

và mặt cầu  S :(x-1) (y 1) ( -1)2  2 z 29

Tìm m để (S ) và (P) tiếp xúc với nhau Tìm tiếp điểm

Hướng dẫn:

Đáp số:  





m 2 và tiếp điểm (3,1,2)

Bài 2 Trong không gian cho mặt phẳng (P):2x y  z 5 0 và có các điểm A(0,0,4), B(2,0,0) Viết phương trình mặt cầu qua O, A, B và tiếp xúc với (P)

Hướng dẫn:

Đáp số:   x y2 2 z 2 2x 2y 4 = 0   z

Bài 3 Trong không gian cho tam giác ABC có phương trình các cạnh là

   





z

x 5y 2 0

(AB):

 



 



 

z

x t (BC): y 2 t

0



z

y

x 8 (CA):

Lập phương trình mặt cầu (S ) qua 3 đỉnh A, B, C và có tâm I thuộc mặt phẳng

  z 

(P):18x 35y 17 2 0

Hướng dẫn: Tìm A, B, C, ta có A(7,1,0), B(-3,-1,0), C(3,5,0)

Đáp số:  S :(x- 2)2y ( - 2)2 z 2 30

Bài 4 Trong không gian cho điểm I(3,2,4) và đường thẳng x y z 3

(d):

Lập phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với (d)

Đáp số:  S 2  2 z 2

:(x- 3) (y 2) ( - 4) 41 Bài 5 Lập phương trình mặt cầu tâm I(2,3,-1) và cắt đường thẳng



   



z z

5x 4y 3 20 0

(d):

3x 4y 8 0

tại A, B sao cho AB = 16

Đáp số:  S 2  2 z 2 

:(x- 2) (y 3) ( 1) 289 Bài 6 Cho mặt cầu  S : x y2 2z 2 = 4 và (P):x z 2

b) Viết phương trình hình chiếu (C1) của (C) trên xOy

Đáp số: a) Tâm H(1,0,1), bán kính R 2 b)   

2

2

Bài 7 Trong không gian cho đường tròn    



2

z

x y 4x + 6y + 6 + 17 = 0 (C):

x - 2y + 2 + 1 = 0 a) Tìm tọa độ tâm và bán kính của (C)

b) Lập phương trình mặt cầu chứa (C) và có tâm thuộc mặt phẳng

   z

x y 3 0

Đáp số: a) Tâm H(5/3, -7/3, -11/3), bán kính R = 2

b)  S : x y2 2z 2 6x + 10y + 2 + 15 = 0z

Bài 8 Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc  S : x y2 2z 2  2x 4y 6  z  2 = 0

và song song với(P):4x 3y 12 1 0 Đáp số:   z      



z z

4x 3y 12 26 0 4x 3y 12 78 0 Bài 9 Cho mặt cầu  S 2 2z 2    z 

: x y 2x 4y 6 67 = 0 Mặt phẳng (Q):5x 2y 2 7 0  z 

Đường thẳng 



z

3x - 2y + - 8 = 0 (d):

2x - y + 3 = 0 a) Viết phương trình mặt phẳng chứa (d) và tiếp xúc với (S )

b) Tìm hình chiếu của (d) trên (Q)

Đáp số: a)        



z z

(8 6 3)x (7 3 3)y 22 287 9 3 0 (8 6 3)x (7 3 3)y 22 287 9 3 0 b)







z

z

5x + 2y + 2 - 7 = 0

2x + 3y - 8 + 103 = 0

Bài 10 Lập phương trình mặt phẳng chứa 



z

z

8x - 11y + 8 - 30 = 0 (d):

x - y - 2 = 0

và tiếp xúc với  S : x y2 2z 2 2x - 6y + 4 -15 = 0z

Đáp số: 



z

z

3x - 4y + 2 - 10 = 0

2x - 3y + 4 - 10 = 0