Chuyên đề mặt tròn xoay - mặt nón trụ cầu

+ Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là r) bởi một mp(α) vuông góc với trục Δ thì ta được đường tròn có tâm trên Δ và có bán kính bằng r với r cũng chính là bán kính của mặt trụ đó..[r]

(1)

(2)

MỤC LỤC

MỤC LỤC

HÌNH NĨN - KHỐI NĨN

A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT

B – BÀI TẬP

HÌNH TRỤ - KHỐI TRỤ 20

A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT 20

B – BÀI TẬP 21

MẶT CẦU – KHỐI CẦU 39

A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT 39

(3)

HÌNH NĨN - KHỐI NĨN A – LÝ THUYẾT TĨM TẮT

1) Mặt nón tròn xoay

+ Trong mặt phẳng (P), cho đường thẳng d, Δ cắt O chúng tạo thành góc β với < β < 900 Khi quay mp(P) xung quanh trục Δ với góc β khơng thay đổi gọi mặt nón trịn xoay đỉnh O (hình 1)

+ Người ta thường gọi tắt mặt nón trịn xoay mặt nón

Đường thẳng Δ gọi trục, đường thẳng d gọi đường sinh góc 2β gọi góc đỉnh

2) Hình nón trịn xoay

3) Cơng thức diện tích thể tích hình nón

Cho hình nón có chiều cao h, bán kính đáy r đường sinh ℓ có: + Diện tích xung quanh: Sxq=π.r.l

+ Diện tích đáy (hình trịn): Str=π.r2

+ Diện tích tồn phần hình trịn: S = Str + Sxq + Thể tích khối nón: Vnón =

3Str.h = 3π.r

2 h

4) Tính chất:

Nếu cắt mặt nón trịn xoay mặt phẳng qua đỉnh có trường hợp sau xảy ra: + Mặt phẳng cắt mặt nón theo đường sinh→Thiết diện tam giác cân

+ Mặt phẳng tiếp xúc với mặt nón theo đường sinh Trong trường hợp này, người ta gọi mặt phẳng tiếp diện mặt nón

Nếu cắt mặt nón trịn xoay mặt phẳng khơng qua đỉnh có trường hợp sau xảy ra: + Nếu mặt phẳng cắt vng góc với trục hình nón→giao tuyến đường trịn

+ Nếu mặt phẳng cắt song song với đường sinh hình nón→giao tuyến nhánh hypebol + Nếu mặt phẳng cắt song song với đường sinh hình nón→giao tuyến đường parabol

+ Cho ΔOIM vng I quay quanh cạnh góc vng OI đường gấp khúc OIM tạo thành hình, gọi hình nón trịn xoay (gọi tắt hình nón) (hình 2)

+ Đường thẳng OI gọi trục, O đỉnh, OI gọi đường cao OM gọi

đường sinh hình nón

(4)

B – BÀI TẬP

Câu 1:Hình ABCD quay quanh BC tạo ra:

A.Một hình trụ B.Một hình nón C.Một hình nón cụt D. Hai hình nón Hướng dẫn giải:

Gọi O giao điểm BC AD Khi quay hình ABCD quanh BC tức tam giác vuông OBA quanh OB tam giác vng OCD quanh OC Mỗi hình quay tạo hình nón nên hình tạo tạo hình nón

Chọn đáp án D.

Câu 2:Cho tam giác ABC cạnh a quay xung quanh đường cao AH tạo nên hình nón Diện

tích xung quanh hình nón :

A.

a B.

2a C.

2a D.

2 4a Hướng dẫn giải:

2

; ;

2

  a  xq    a

r l a S rl nên

Chọn đáp án C.

Câu 3:Một hình nón có đường cao h20cm, bán kính đáy r 25cm Tính diện tích xung quanh hình nón đó:

A. 5 41 B. 25 41 C. 75 41 D. 125 41

Hướng dẫn giải:

Đường sinh hình nón  h2r2 5 41cm Diện tích xung quanh: Sxq  r125 41cm2

Câu 4:Cắt khối nón mặt phẳng qua trục tạo thành tam giác ABC có cạnh a, biết B, C thuộc đường tròn đáy Thể tích khối nón là:

A a3 B.

3

9 a

C

3 24 a

D.

3

8  a Hướng dẫn giải:

Bán kính đáy khối nón a

, chiều cao khối nón a

, suy

2

1 3

3 2 24

  

   

 

a a a

V ,

(5)

Câu 5: Gọi S diện tích xung quanh hình nón trịn xoay sinh đoạn thẳng AC’ hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh b quay xung quang trục AA’ Diện tích S là:

A. b2 B. b2 C. b2 D. b2

S = rl với r = b ; l = b S = b2 nên

Câu 6:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy

6

SCa Khi tam giác SAC quay quanh cạnh SA đường gấp khúc SAC tạo thành hình nón trịn xoay Thể tích khối nón trịn xoay là:

A.

3

3 a

B.

3  a

C.

3 3 a

D.

3 a

Ta có ACa 2SA SC2 AC2  6a22a2 2a Hình nón trịn xoay tạo thành hình nón tích là:

3

2 2

1 1

.2

3 3

a V  R h AC SA  a a 

Chọn đáp án A.

Câu 7:Một hình nón có đường sinh a góc đỉnh

90 Cắt hình nón mặt phẳng (P) qua đỉnh cho góc (P) mặt đáy hình nón bằng600 Khi diện tích thiết diện :

A.

2

 a

B

2 

a C. 2

3 

a D.3

2 

a Hướng dẫn giải:

Gọi S đỉnh hình nón,O tâm đường trịn đáy; I trung điểm AB , Góc tạo mp thiết diện đáy góc SIO

Suy luận OA=OS= 2 a

; SI= a

; OI= 6 a

; AI= a

; AB= a

;

2   td

a S

Câu 8:Cho tứ diện ABCD Khi quay tứ diện quanh trục AB có hình nón khác tạo thành ?

B.Hai

D. Khơng có hình nón

Khi quay ta bên cạnh, hình tạo thành từ hai hình nón

Chọn đáp án B

A.Một

C.Ba

(6)

Câu 9:Cho hình nón có chiều cao h góc đỉnh 900 Thể tích khối nón xác định hình nón trên:

A.

3 h 

B.

3 h

3 

C.

3 h

3 

D.

2h Hướng dẫn giải:

Do góc đỉnh hình nón 900 nên thiết diện qua trục hình nón tam giác vng cân Suy bán kính đáy hình nón Rh

Thể tích khối nón :

3

1 R

3

    h

V h

Câu 10:Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO Gọi A B hai điểm thuộc đường trịn đáy hình nón cho khoảng cách từ O đến AB SAO300; SAB600 Tính diện tích xung quanh hình nón ?

A. 4 B.

4 

C. 2 D. 3

Gọi I trung điểm AB OI  AB SI;  AB OI; 2

Lại có

3

.cos

2 cos

2 

 

  

  

 

AO SA SAO SA SA AI SA SAI Từ ta có

3  AI

AO Mặt khác

cos sin

3

     

AI

IAO IAO OA

AO OA

Mà 2

cos30

 OA   SA

Diện tích xung quanh cần tính là: Sxq  .OA SA  4

Câu 11:Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, góc SAB600 Thể tích hình nón đỉnh S đáy đường tròn ngoại tiếp ABCD là:

A

3 12 a

B

2 12 a

C

2 a

D

3 a

Tam giác SAB  SA ;a

2 2

3

2

;

4

2

1 2

( )

3 2 12

    

 

    

a a

SO SA AO a

a

R AO

a a a

V

(7)

Câu 12: Cho hình lập phương ABCD A B C D ’ ’ ’ ’ có cạnh a Một hình nón có đỉnh tâm hình

vng ABCD có đường trịn đáy ngoại tiếp hình vng A’B’C’D’ Diện tích xung quanh hình

nón là:

A

3 a

B

2 a

C

5 a

D

6 a

Hướng dẫn: Độ dài đường sinh bằng: (1 )2

2

 a

a a

Diện tích xung quanh hình nón bằng:

2

5

2

 rl a a  a

Câu 13:Trong không gian, cho tam giác ABC cân A, AB = a 10, BC = 2a Gọi H trung điểm BC Tính thể tích V hình nón nhận quay tam giác ABC xung quanh trục AH

A. V  2 a3 B.V  3 a3 C. V  9 a3 D. V  a3 Hướng dẫn giải:

+ Đường sinh l ABa 10 + Bán kính đáy

2  BC 

r a  đường cao h l2r2 3a + Thể tích hình nón tạo thành

3

   

V hr a

Câu 14:Cho hình trịn có bán kính Cắt bỏ hình trịn bán kính OA, OB, ghép bán

kính lại cho thành hình nón (như hình vẽ)

Thể tích khối nón tương ứng :

A 81

8 

. B.

8 

C.81

4 

D.

2  Hướng dẫn giải:

2 2

3 12

9 81

4 ; ; .

2 2



       



r h l r V r h nên

(8)

Câu 15:Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a, hình nón có đỉnh tâm hình vng ABCD có đường trịn đáy ngoại tiếp hình vng A’B’C’D’ Diện tích xung quanh hình nón là:

A 3 a B 2 a C a D a

S = rl với r = 2

a ; l =

a S =

3 a

nên

Câu 16:Một hình nón cắt mặt phẳng (P) song song với đáy Mặt phẳng chia với mặt xung quanh hình nón thành hai phần có diện tích Tỉ số thể tích hình nón phía mặt phẳng (P) hình nón cho trước số nào?

A. B. C. D. Hướng dẫn giải:

Gọi O tâm đáy, mặt phẳng (P) cắt SO O’ Theo đề

2

' ' '

' '

 

    

  

S S SO

S S S SO

3

' ' '

4

2 2

 

      

 

SO V SO

Câu 17:Cho tứ diện OABC có OAB tam giác vng cân ,

2

   a

OA OB a OC OCOAB Xét hình nón trịn xoay đỉnh C, đáy đường trịn tâm O, bán kính a Hãy chọn câu sai

A.Đường sinh hình nón B.Khoảng cách từ O đến thiết diện (ABC)

C.Thiết diện (ABC) tam giác D.Thiết diện (ABC) hợp với đáy góc 450 Hướng dẫn giải:

Tam giác OAB vuông cân O nên ABa

2

2 2 3a

:

2

OAC AC OA OC a  a  ,  a

AC Vì AB AC:

Câu 18:Hình nón trịn xoay ngoại tiếp tứ diện cạnh a, có diện tích xung quanh là:

A.    xq a S B. 2   xq a S C. 3   xq a S D.   xq a S

Kẻ SOABC SH; BCOH BC

Ta có: 2 3

3 3

  a a

OA AH

3

.a

3

   

xq

a

S OA SA

2 S   xq a B

(9)

Câu 19:Một khối nón trịn xoay có độ dài đường sinh l = 13 cm bán kính đáy r5cm Khi thể tích khối nón là:

A.

100  

V cm B.

300  

V cm C. 325

3

 

V cm D.

20  

V cm

Chiều cao h khối nón 2

13 12

  

h cm

Thể tích khối nón:

.5 12 100

   

V cm

Câu 20:Một phễu rỗng phần có kích thước hình vẽ Diện tích xung quanh phễu là:

A. Sxq 360cm2 B. Sxq 424cm2

C. Sxq 296cm2 D. Sxq 960cm2 Hướng dẫn giải:

2 .8.10 8.17 296       xq

S cm

Chọn đáp án C

Câu 21:Một hình nón có bán kính đáy R, đường cao 4R

3 Khi đó, góc đỉnh hình nón 2 Khi khẳng định sau khẳng định ?

A. tan

5

  B. cot

5

  C. cos

5

  D. sin

5   Hướng dẫn giải:

Gọi điểm hình vẽ bên

Khi ,

3

  R   R

HC R SH SC

Ta có sin

5   HC 

SC

(10)

A. Sxq  2 a2 B. Sxq  a2 C.

2

2   xq

a

S D.

2

4   xq

a S

Hình trịn xoay hình nón Kẻ SOABCD O tâm hình vng ABCD Do SOA vng cân O nên

2

  a 

SA OA a,

2

2 2

      xq

AB a a

S SA a

Câu 23:Một hình nón có thiết diện qua trục tam giác vng cân có cạnh góc vng a Diện tích xung quanh hình nón

A.

2

2 a

B.

2 2 a

C.

2

2 a

D. a2 Hướng dẫn giải:

Giả sử SAB thiết diện qua trục hình nón (như hình vẽ) Tam giác SAB cân S tam giác cân nên SASBa

Do đó, 2

2

  

AB SA SB a

2

   a

SO OA AB

Vậy, diện tích xung quanh hình nón :

2



    

xq

a a

S rl a

Chọn đáp án B.

Câu 24:Cho hình nón S, đường cao SO Gọi A, B hai điểm thuộc đường trịn đáy hình nón cho khoảng cách từ O đến AB a SAO 30 ,0 SAB 600 Tính diện tích xung quanh hình nón

A.

2

2   xq

a

S B.

2

2   xq

a

S C.

2   xq

a

S D. Sxq  a2

Gọi I trung điểm AB ,SI AB, OI a

  

OI AB Ta có OA 3, AI

2

 SA  SA

Từ

3  AI

OA , mà

 cos  AI

IAO OA

 6

sin

3

 IAO  a OAa

OA , SAa

Vậy Sxq  .OA.SA a2

Câu 25:Cho hình cầu bán kính 5cm, cắt hình cầu mặt phẳng cho thiết diện tạo thành đường kính 4cm Tính thể tích khối nón có đáy thiết diện vừa tạo đỉnh tâm hình cầu cho (lấy  3,14, kết làm tròn tới hàng phần trăm)

(11)

Ta có:

2

4 21

      

MN cm MA cm OA MO MA cm

 

2

3,14.4    d

S R cm

 

21.3,14.4 19,185 19,19

  

V ml ml

Câu 26:Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy a, góc cạnh bên mặt đáy 600 Tính diện tích xung quanh thể tích hình nón có đỉnh S đáy đường trịn ngoại tiếp đáy hình chóp S.ABCD Khi diện tích xung quanh thể tích hình nón

A.

3

2

;

12 

  

xq

a

S a V B.

3

2

;

12 

  

xq

a

S a V

C.

3

2

2 ;

12 

  

xq

a

S a V D.

3

2

2 ;

6 

  

xq

a

S a V

Gọi O tâm hình vng ABCD Do S.ABCD hình chóp nên SOACBD

Suy ra, OB hình chiếu vng góc SB lên mp(ABCD) Do đó, SBO 600 Kết hợp

2

  a

r OB ta suy :

0

.tan 60

2

  a a

h SO OB

0

2

2 cos 60 2.cos 60

  OB  a 

l SB a

Diện tích xung quanh mặt nón: 2

2

     

xq

a

S r l a a

Thể tích hình nón:

2

1 6

3 2 12



   a a  a

V r h

Câu 27:Một hình trụ trịn xoay, bán kính đáy R, trục OO'R Một đoạn thẳng ABR đầu A O B,  O' Góc AB trục hình trụ gần giá trị sau

A. 550 B. 450 C. 600 D. 750

Kẻ đường sinh B’B B B' O O' R

 '

' : cos cos ' 54,7

6

ABB   AB B BB  R     AB R

(12)

A 3 B 4 C 6 D 8 Hướng dẫn giải:

Đặt r OA SO, h SA, SBSCl đường sinh hình nón Gọi I trung điểm đoạn AB Ta có SOA vng O: 2 2 2

(1) SA SO OA l r h

2 2 2 2

2

: c os <=> cos r cos 2

(1) cos (1 cos )

1 cos

      

        



SIA AI SA r l l

h

l h l h l a l

a Do

2 cos cos

1 cos

h a

r l a

a

 



2

cos cos

1 cos cos 2cos

 

     



 

xq

h a h h

S rl

a

a a

Câu 29:Hình chữ nhật ABCD có AB6,AD4 Gọi M, N, P, Q trung điểm bốn cạnh AB, BC, CD, DA Cho hình chữ nhật ABCD quay quanh QN, tứ giác MNPQ tạo thành vật trịn xoay tích bằng:

A. V  8 B.V  6 C. V 4 D. V  2 Hướng dẫn giải:

Gọi O tâm hình chữ nhật ABCD, suy MNPQ hình thoi tâm O

Ta có

2

  

QO ON AB

2

  

OM OP AD

Vật trịn xoay hai hình nón có: đỉnh Q, N chung đáy * Bán kính đáy OM 2

* Chiều cao hình nón OQON 3

Vậy thể tích khối trịn xoay

2

3

 

    

 

V OM ON (đvtt)

Câu 30:Cho hình nón trịn xoay đỉnh S, đáy hình trịn tâm O bán kính R, chiều cao hình nón 2R Gọi I điểm nằm mặt phẳng đáy cho IO=2R Gỉa sử A điểm đường tròn (O) cho OAOI Diện tích xung quanh hình nón bằng:

A. R2 B. R2 C. R22 D. R2

3

2

1

.2 ,

3 3



     R xq  

V R h R R S Rl

Trong đó:

2 2

2

4

     

 xq  

l SA OA SO R R R

S R

Câu 31:Hình bên cho ta hình ảnh đồng hồ

(13)

A

2 B

1

4 C

2

5 D.

1 Hướng dẫn giải:

Chiều cao hình nón h

Tổng thể tích hình nón

2

1

2

3



  

n

h R h

V R

Thể tích hình trụ    n  t

t

V

V R h

V

Câu 32:Cho tam giác ABC vuông A, ABc AC, b Gọi V V V1, 2, 3là thể tích khối trịn xoay sinh tam giác quay quanh AB, CA, BC So sánh 2

3

V 12 22 1



V V ta được:

A. 2 2 2

3

1 1

 

V V V B. 32 12 22

1 1

 

V V V C. 32 12 22

1 1

 

V V V D.Cả A, Bvà C sai Hướng dẫn giải:

Ta có 2

1

,

3

   

V b c V c b

và 3 2

3 3

     

V AH BH AH CH

2 2

2

1 1

3 3

  AH BC  b c  a b c

a a

Do

2

2 4

3 1   a

V b c 12 22 2

1 1 1

1          

V V b c b c Vì tam giác ABC vuông A nên 2

 

a b c

Mặt khác

2 2

4 2 2 2 2 2 4

1 1 1

.b c a

b c b c b c b c b c b c b c 

 

     

  Vậy 32 12 22

1 1

 

V V V

Câu 33:Cho hình thang cân ABCD có cạnh đánh AB2 , a CD4 ,a cạnh bên

 

AD BC a Hãy tính thể tích khối nón xoay sinh hình thang quay quanh trục đối xứng

A. 14 a B. 56 a C. 14 a D. 28 a

Gọi AD BC cắt E  AB =



DCnên AB đường trung bình EDCED2AD6a Gọi H K trung điểm AB CD ta có EK vng góc với CD HK trục đối xứng ABCD

(14)

Khối nón xoay sinh hình thang ABCD quay quanh trục phần thể tích nằm khối nón:

+Khối nón 1: Có đáy hình trịn tâm K, bán kính KD=2a, đường cao EK=4a +Khối nón 2: Có đáy hình trịn tâm H, bán kính HA=a, đường cao EH 2a Do thể tích cần tìm

3

2

1

1 14

.(2 ) 2

3 3

       a

V V V a a a a

Câu 34:Cho hình vẽ:

Tam giác SOA vng O có MN || SO với M, N nằm cạnh SA,

OA Đặt SO = h khơng đổi Khi quay hình vẽ quanh SO tạo thành hình trụ nội tiếp hình nón đỉnh S có đáy hình trịn tâm O bán kính R OA Tìm độ dài MN để thể tích khối trụ lớn

A

2  h

MN B

3  h MN

C

4  h

MN D

6  h MN Hướng dẫn giải:

Phân tích: Ta thấy quay quanh trục SO tạo nên khối trụ nằm khối chóp Khi thiết diện qua trục hình trụ hình chữ nhật MNPQ Ta có hình sau:

Ta có SO=h; OA=R Khi đặt OI=MN=x Theo định lí Thales ta có

.(  )

   

IM SI OA SI R h x

IM

OA SO SO h

Thể tích khối trụ

2

 ( )

   R 

V IM IH x h x h

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

3

2 2( )

2 ( )

3

 

 

   

 

x h x

x h x

Vậy

2

27   R h

V Dấu “=” xảy  h

x hay

3 h MN

S

A O

O x Câu 35: Cho hình nón trịn xoay N có đỉnh S đáy hình trịn tâm

O bán kính r nằm mặt phẳng P, đường cao SOh. Điểm O' thay

đổi đoạn SO cho SO'x 0xh Hình trụ trịn xoay T có

đáy thứ hình trịn tâm O bán kính r'0r'r nằm mặt phẳng P, đáy thứ hai hình trịn tâm O' bán kính r' nằm mặt phẳng Q,Q vng góc với SO O' (đường trịn đáy thứ hai

T giao tuyến Q với mặt xung quanh N) Hãy xác định giá trị x để thể tích phần khơng gian nằm phía N phía

(15)

A 

x h B.

3 

x h C 2

3

x h D.

4 

x h

Áp dụng định lí Thales ta có: x r'r' xr

h r h

Khi ta có cơng thức tính thể tích khối trụ V  f x    r' hx  

2  r x hx

h

Khi    

2

'

3 

 r     h

f x hx x x

h x0

Câu 36:Cho khối nón đỉnh O trục OI, bán kính đáy a chiều cao a

Mặt phẳng (P) thay đổi ln qua O cắt hình nón theo thiết diện tam giác AOB Diện tích lớn tam giác AOB là:

A a B. 3 a C. 3 a D. a Hướng dẫn giải:

Phân tích: Thiết diện mặt phẳng qua đỉnh nón với nón hình tam giác có đỉnh đỉnh nón Gọi H trung điểm AB, ta có IH  AB Đặt IH x Ta tính độ dài đoạn sau theo x a

2

2 2

2  

     

  a

OH OI IH x AB2AH 2 a2 x2 diện tích tam giác

OAB tính là:

2

2 2

1 2           a

S OH AB x a x

Áp dụng bất đẳng thức AM GM ta có

2

2 2

2

2 2

2

  

 

      

 

a

x a x

a

S x a x a

Câu 37: Cho hình nón trịn xoay có đỉnh S đáy đường trịn C O R( ; ) với Ra a( 0), '

2 ,

 

SO a O SO thỏa mãn OO  x (0x2 ),a mặt phẳng   vng góc với SO O cắt hình nón trịn xoay theo giao tuyến đường trịn  C Thể tích khối nón đỉnh O đáy đường tròn  C đạt giá trị lớn

A a

x B. xa C

3 a

x D.

3  a x Hướng dẫn giải:

Theo Định lý Ta-lét

 



R a x

R a Suy   (2  ) R

R a x

a

Khi thể tích khối nón đỉnh O đáy đường tròn  C là:

2 2

2

1

(2 ) (2 )

3 12

R R

V x a x x a x

a a



  

     

 

Xét f x( )x(2ax)2 (0; )a ta có f x( ) đạt giá trị lớn  a x

(16)

A.

3R B.

3

3R C.

3

9 R D.

3 32 81R Hướng dẫn giải:

Gọi bán kính đáy khối nón a 0aR Ta có

   

2 2 2

1

3



     R  

V a R R a t t với t a (0;1]

R Xét hàm số 2 2

( ) 1 1

f t t t (0;1] thu kết 32 81R

Câu 39:Hồn có bìa hình trịn hình vẽ, Hồn muốn biến hình trịn thành hình phễu hình nón Khi Hồn phải cắt bỏ hình quạt trịn AOB dán hai bán kính OA OB lại với (diện tích chỗ dán nhỏ khơng đáng kể) Gọi x góc tâm hình quạt trịn dùng làm phễu Tìm x để thể tích phễu lớn nhất?

A.

3  B.



C. 

D.  Hướng dẫn giải:

AB

l Rx; r = Rx 2

2 2 2 2

1 1

(4 ) (8 )

2

3 24 24 2

       

 

V R h R x x R x x x

Để V lớn 2 2



    

x x x

Câu 40:Một vật N1 có dạng hình nón có chiều cao 40cm Người ta cắt vật N1 mặt cắt song song với mặt đáy để hình nón nhỏ N2 tích

8 thể tích N1.Tính chiều cao h hình nón N2?

A.5 cm B.10 cm C.20 cm D.

40 cm

Gọi V1, V2 thể tích N1và N2 r1, r2 bán kính đáy N1, N2 ta có: O

B A

x

R

A, B

O

r

h

(17)

2 2 2 2 1 1 3 40 40      r h

V r h

V r

r Mặt khác ta có:

1 40 

r h

r Do ta có:

3

1

( ) 20

8 40 40 2  

h h

h cm

Câu 41: Một bình đựng nước có dạng hình nón (khơng có đáy), đựng đầy nước Người ta thả vào

một khối cầu có đường kính chiều cao bình nước đo thể tích nước tràn ngồi 18 (dm3) Biết khối cầu tiếp xúc với tất đường sinh hình nón nửa khối cầu chìm nước (hình dưới) Tính thể tích nước cịn lại bình

A. 24 (dm3) B. 54 (dm3) C. 6 (dm3) D.12 (dm3) Hướng dẫn giải:

Gọi R bán kính khối cầu thể tích nước tràn

1

18

2 3R   R dm

Suy chiều cao nón h2R6 dm

Gọi r bán kính đáy nón 12  12  12 r 2

r h R

dm, suy 24

   

N

V r h dm3

Vậy thể tích nước lại 24 18  6 dm3

Câu 42:Một công ty sản xuất loại ly giấy hình nón tích 27cm3 Với chiều cao h bán kính đáy r Tìm r để lượng giấy tiêu thụ

A   r B   r C   r D 6   r

Cái ly hình nón có V 27cm3, đường sinh l, đường cao h bán kính r

2

1 3

3

    

 

V

V r h h

r r

2 2

2

4

2 2

2 3 tp

S r r l r r h r

r r r r r

r r                             Xét hàm số

8

2

2 ( )    

f r r r

(18)

8

2 3

8

2

3 '( )

3

2

r r

f r r

r r

 



 

 



, f r'( )0

6

2

3

r



 

Bảng biến thiên: r

0

2

2 

'( )

f r - +

( ) f r

8

2  



r f r( ) hayStp đạt cực tiểu

Câu 43:Từ kim loại dẻo hình quạt hình vẽ có kích thước bán kính R5 chu vi hình quạt P8 10 , người ta gị kim loại thành phễu theo hai cách:

1 Gò kim loại ban đầu thành mặt xung quanh phễu

2 Chia đôi kim loại thành hai phần gò thành mặt xung quanh hai phễu Gọi V1 thể tích phễu thứ nhất, V2 tổng thể tích hai phễu cách Tính

2 V V ?

A.

2 21

7  V

V B.

1

2 21  V

V C.

1

2  V

V D.

1

6  V V Hướng dẫn giải:

Phân tích: Do chu vi hình quạt trịn P = độ dài cung + 2R Do độ dài cung trịn l 8 Theo cách thứ nhất: 8 chu vi đường tròn đáy phễu Tức 2    r r Khi h R2r2  52 42 3 1 1.3 42

3

V  

Theo cách thứ hai: Thì tổng chu vi hai đường tròn đáy hai phễu 8  chu vi đường tròn đáy 4      4 r r

(19)

2

1

2 21.2

V   Khi

2

4 21 21

3

 

V V

Câu 44:Cắt mặt xung quanh hình nón theo đường sinh trải phẳng thành hình quạt Biết bán kính quạt độ dài đường sinh độ dài cung chu vi đáy Quan sát hình tính số đo cung hình quạt

A. 1250 B.1100 C. 1300 D.1200

Độ dài l cung hình quạt trịn bán kính cm chu vi đáy hình nón: l  4 Áp dụng cơng thức tính độ dài cung x0 ta có:

0

4 120

180 Rx

I    x 

Câu 45:Người ta đặt vào hình nón hai khối cầu có bán kính a 2a cho khối cầu tiếp xúc với mặt xung quanh hình nón, hai khối cầu tiếp xúc với khối cầu lớn tiếp xúc với đáy hình nón Bán kính đáy hình nón cho là:

A 8

a

B 2a C. 2a D.

3 a

Giả sử thiết diện qua trục hình nón ABC với A đỉnh nón, BC đường kính đáy nón H tâm đáy O O1, 2lần lượt tâm mặt cầu lớn nhỏ, D D1, 2 tiếp điểm AC với  O1  O2 Cần tính r = HC Vì O D1 1//O D2 2 O D1 12O D2 2nên O2là trung điểm AO1AO1 2O O1 2 2.3a6a

1 , 1

O D  a AH  AO O H  a, AD1 AO12O D1 12 4a

1 1

1 2

O D AD

O D ACH CH a

CH AH

     

(20)

HÌNH TRỤ - KHỐI TRỤ A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT

1) Mặt trụ tròn xoay

+ Trong mp(P) cho hai đường thẳng Δ ℓ song song nhau, cách khoảng r Khi quay mp(P) quanh trục cố định Δ đường thẳng ℓ sinh mặt trịn xoay gọi mặt trụ tròn xoay hay gọi tắt mặt trụ

+ Đường thẳng Δ gọi trục + Đường thẳng ℓ gọi đường sinh

+ Khoảng cách r gọi bán kính mặt trụ

2) Hình trụ trịn xoay

3) Cơng thức tính diện tích thể tích hình trụ

Cho hình trụ có chiều cao h bán kính đáy r, đó: + Diện tích xung quanh hình trụ: Sxq = 2πrh

+ Diện tích tồn phần hình trụ: Stp=Sxq+Sđ=2πrh+2πr2

+ Thể tích khối trụ: V = Bh = πr2h

4) Tính chất:

sin, φ góc trục Δ mp(α) với < φ < 900

Cho mp(α) song song với trục Δ mặt trụ tròn xoay cách Δ khoảng k + Nếu k < r mp(α) cắt mặt trụ theo hai đường sinh → thiết diện hình chữ nhật + Nếu k = r mp(α) tiếp xúc với mặt trụ theo đường sinh

+ Nếu k > r mp(α) khơng cắt mặt trụ

+ Khi quay hình chữ nhật ABCD xung quanh đường thẳng chứa cạnh, chẳng hạn cạnh AB đường gấp khúcABCD tạo thành hình, hình gọi hình trụ trịn xoay hay gọi tắt hình trụ

+ Đường thẳng AB gọi trục + Đoạn thẳng CD gọi đường sinh

+ Độ dài đoạn thẳng AB = CD = h gọi chiều cao hình trụ

+ Hình trịn tâm A, bán kính r = AD hình trịn tâm B, bán kính r = BC gọi đáy hình trụ

+ Khối trụ tròn xoay, gọi tắt khối trụ, phần khơng gian giới hạn hình trụ trịn xoay kể hình trụ

+ Nếu cắt mặt trụ trịn xoay (có bán kính r) mp(α) vng góc với trục Δ ta đường trịn có tâm Δ có bán kính r với r bán kính mặt trụ

(21)

Câu 1: Gọi l h R, , độ dài đường sinh, chiều cao bán kính đáy hình trụ Đẳng thức ln là?

A. l h B. Rh C. R2 h2 l2 D. l2 h2R2

+ Đường sinh chiều cao hình trụ nên đẳng thức l h

Câu 2:Cho hình chữ nhật ABCD có AB3,BC4 Gọi V V1, 2lần lượt thể tích khối trụ sinh quay hình chữ nhật quanh trục AB BC Khi tỉ số

2 V

V bằng:

A.

3 B.

3

4 C.

9

16 D.

16

2

1

2

4

;

3

    V  BC 

V BC AB V AB BC

V AB

Câu 3:Một hình trụ có hai đáy hai hình trịn O r;  O r';  Khoảng cách hai đáy '

OO r Một hình nón có đỉnh O’ có đáy hình trịn O r;  Mặt xung quanh hình nón chia khối trụ thành phần Gọi V1 thể tích phần bên ngồi khối nón, V2 phần thể tích bên khối nón Khi

2 V

V bằng:

A.

2 B.

1

3 C.2 D.3

Ta có hình vẽ minh họa sau: Ta tích khối chóp

3  chop

V B h

1

3

  

tru

V

V B h

V , mặt khác

1

2

   V 

V V V

V

Câu 4:Tính diện tích xung quanh Sxq hình trụ có đường cao ha thể tích  

V a

A Sxq  4 a2 B Sxq  6 a2 C Sxq  8 a2 D Sxq  2 a2

+ Thể tích hình trụ tính cơng thức      

V

V hr r a

h + Diện tích xung quanh hình trụ Sxq  2 rh 2 a2

(22)

Câu 5:Cho khối trụ có đáy đường trịn tâm (O), (O’) có bán kính R chiều cao hR Gọi A, B điểm thuộc (O)và (O’) cho OA vng góc với O B’ Tỉ số thể tích khối tứ diện OO’AB với thể tích khối trụ là:

A.

3 B.

1

6 C.

1

3 D.

1 4

2   tru

V R Có AOOO', AOO'BAOOBO'

Lại có

' '

1 2

' '

2

    

OBO O O AB

S O O O B R V R

O'AB   tru

O

V

Câu 6:Một khối trụ có bán kính đáy r có thiết diện qua trục hình vng Tính diện tích xung quanh khối trụ

A. r2 B. 8r2 C. 4r2 D. 2r2

Vì thiết diện qua trục hình trụ hình vng nên đường sinh hình trụ đường cao 2r Do diện tích xung quanh hình trụ Sxq  2 rl 4 r2(đvdt)

Câu 7: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = n.AD Khi quay hình chữ nhật ABCD vịng quanh cạnh CD ta khối trụ có diên tích tồn phần S1 , quay hình chữ nhật ABCD vịng quanh cạnh AD ta khối trụ có diên tích tồn phần S2 Khẳng định sau đúng?

A.n.S1 = S2 B.S1 = nS2

C.S1 =(n +1)S2 D S2 =(n +1)S1

Ta có: Stp  2 rh 2 r2

Khi quay hình chữ nhật ABCD vịng quanh cạnh CD ta khối trụ có bán kính r1 AD h; 1 AB

Khi S1  2 AD AB  2 AD2  2 nAD2 AD2

Tương tự quay hình chữ nhật ABCD vịng quanh cạnh AD ta có: r2  AB h; 2  AD Khi S2  2 nAD2n AD2 2

(23)

Do 2

1 

 



S n

S n n n

Câu 8:Cắt khối trụ mặt phẳng qua trục ta thiết diện hình chữ nhật ABCD có AB CD thuộc hai đáy khối trụ Biết AB = 4a, AC = 5a Thể tích khối trụ là:

A. 16a3 B. 8a3 C. 4a3 D.12a3

Hướng dẫn giải: Tính BC = 3a

2

.4 12

   

V a a a

Chọn đáp án D

Câu 9:Một khối trụ có bán kính đáy r có thiết diện qua trục hình vng Gọi V V, ' thể tích khối trụ thể tích hình lăng trụ nội tiếp bên hình trụ cho Tỉ số V'

V là:

A.  B.

2 

C.

 D.

 2

' 2 4

V r r r

Vậy

3

'

2

 

 

V r

Câu 10:Cho khối trụ có khoảng cách hai đáy 10, biết diện tích xung quanh khối trụ 80 Thể tích khối trụ là:

A. 160 B.164 C. 64 D.144

Ta có: Chu vi đáy bằng: 80 :10  8 16.10 160



       



R V

Câu 11:Một hình trụ có bán kính đáy 53 cm, khoảng cách hai đáy 56 cm Một thiết diện song song với trục hình vng Tính khỏag cách từ trục đến mặt phẳng

cắt ?

B.45cm

D.55 cm

Hình dạng tốn miêu tả hình vẽ Tuy nhiên để tìm khoảng cách, ta cần vẽ mặt cắt mặt phẳng đáy

Nhận thấy: Để mặt phẳng thiết diện hình vng hình vng có độ dài cạnh 56 (bằng độ dài chiều cao hình trụ) Khi ta có mặt Vì thiết diện qua trục hình trụ hình vng nên đường cao h 2r (với r bán kính)

Do V  r2.2r2r3

Lăng trụđều nội tiếp hình trụđã cho có đáy hình vng nội tiếp đường trịn đáy nên độ dài cạnh hình vng r

Ta tính thể tích hình trụ nội tiếp hình trụđã cho là:

(24)

mặt phẳng cắt ta dựa vào định lý Pytago

2 56

53 45

2  

   

  d

Câu 12: Gọi S diện tích xung quanh hình nón trịn xoay sinh đoạn thẳng AC’ hình lập phương ABCD A B C D ’ ’ ’ ’ có cạnh b quay xung quang trục AA’ Diện tích S là:

A. b2 B. b2 C. b2 D. b2

Tìm đường cao b, đường sinh b 3, bán kính đáy b Sxq  rl b2

Câu 13: Cho hình chữ nhật ABCD với AB1 ; BC 3 Đường thẳng đồ thị nằm mặt phẳng

ABCD; đồ thị song song AD cách AD khoảng 2; đồ thịkhơng có điểm chung với hình chữ nhật

ABCD Tính thể tích khối trịn xoay tạo quay hình chữ nhật ABCD quanh D

A.15π B.27π C.12π D. 10π

BC cách đường d khoảng d'2 AB3

Do khối trịn xoay tập hợp điểm nằm hai hình trụ

có bán kính 3, chiều cao hai hình trụđều Thể tích khối trịn xoay hiệu thể tích hai khối trụ nêu

2

3 3 15

V      

Câu 14: Trong không gian cho hình chữ nhật ABCD có AB = BC = Gọi P, Q

điểm cạnh AB CD cho: BP1, QD3QC Quay hình chữ nhật APQD xung quanh trục

PQ ta hình trụ Tính diện tích xung quanh hình trụđó

A. 10 B. 12 C. 4 D. 6

Quay hình chữ nhật APQD xung quanh trục PQ ta hình trụ có hPQ2, r AP3 nên có diện tích xung quanh Sxq 2 .r h2 .3.2 12

Câu 15: Cho hình lăng trụ tứgiác đế ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy a cạnh bên 4a Thể

tích khối trụ nội tiếp hình lăng trụ là: A.

2 B.

1

8 C.

2

4 D.

2

Khối trụ nội tiếp hình lăng trụ tứ giác ABCD ' ' ' '

A B C D có bán kính

2   a

R OI (I trung điểm AB) có chiều cao h4a

Thể tích khối trụ

2

.4  

        

a

V R h a a

(25)

A.

2Sa B.

1

3Sa C.

1

4Sa D. Sa

Gọi R h bán kính đáy chiều cao hình trụ Khi :

2 2

R R

     

d

S a (Sd diện tích mặt cầu) R2a

 

2 R

4

     



xq xq

S

S h S S S h

a Vậy

2

4

   

 d

S

V S h a Sa

a

Câu 17: Cho hình trụ trịn xoay hình vng ABCD cạnh a có hai đỉnh A, B nằm đường trịn đáy thứ hình trụ, hai đỉnh cịn lại nằm đường trịn đáy thứ hai hình trụ Mặt phẳng (ABCD) tạo với đáy hình trụ góc 450 Tính thể tích khối trụ

A. . B. . C. . D. .

Gọi M, N trung điểm AB CD Khi OM AB O’N CD Gọi I giao điểm MN OO’

Đặt R = OA h = OO’ Khi IOM vuông cân O nên:

Phương án nhiễu:

Đáp án A : HS nhớ sai công thức

Đáp án B : HS nhớ sai công thức

Đáp án C : HS thay sốsai tính R tính R = a

Câu 18: Một hình trụcó bán kính đáy r50cm có chiều cao h50cm Diện tích xung quanh hình trụ bằng:

A. 2500(cm2) B. 5000 (cm2) C. 2500 (cm2) D.5000 (cm2) Hướng dẫn giải:

Diện tích xung quanh hình trụđược tính theo cơng thức:

   xq

S r với r 50cm,h50cm

Vậy  2

2 50.50 5000

   

xq

S cm

3

16 a



4 a



2 a

 3

16 a 

 



2

2 2

2

2 2

2 2 2

2

3

8 16

h a a

OM OI IM h

a a a

R OA AM MO

a a a

V R h  

     

   

             

   

2

1 2

3 16

a a a

V  R h   

2

4 2

3

a a a

V  R h   

3

2 2

2

a a

(26)

Câu 19:Cho khối trụ có chiều cao cm, bán kính đường trịn đáy cm Cắt khối trụ mặt phẳng song song với trục cách trục cm Diện tích thiết diện tạo thành là:

A

16 5cm B

32 3cm C

32 5cm D.

16 3cm

Giả sử thiết diện hình chữ nhật MNPQ hình vẽ Với O H' 4 khoảng cách từ trục đến thiết diện

' 8; 'PO'Qrd 6

OO h O

Ta có 2 2

2 ' ' 4

     

PQ PH O P O H

Khi Std PQ MQ 4 5.832 5cm2

Câu 20:Trong khơng gian, cho hình lăng trụ tam giác có cạnh đáy 3a cạnh bên 4a Tính diện tích tồn phần khối trụ ngoại tiếp khối lăng trụ tam giác

A Stp a28 3 B Stp  a 8 36

C Stp 2a8 36 D.  

2

8

  

tp S a

Khối trụ có bán kính : R=AO=2AH= 3a 3

3 a

Diện tích xung quanh hình trụ : Sxq 2 .a 3.4a8 3.a2 (đvdt)

Diện tích tồn phần hình trụ : S tp = Sxq +2.Sđ =

 

2 2

8 3.a 6a  a  36

Câu 21:Trong không gian cho hình chữ nhật ABCD có AB = BC = Gọi P, Q điểm cạnh AB CD cho: BP = 1, QD = 3QC Quay hình chữ nhật APQD xung quanh trục PQ ta hình trụ Tính diện tích xung quanh hình trụ

A. 10 B.12 C. 4 D. 6

2 3.2 12

     

xq

S rl

Câu 22:Một hình trụ có bán kính đáya 3, chiều cao 2a Diện tích mặt cầu nội tiếp hình trụ :

A 4 3a3 B

24a C 8 6a2 D. 12a

Vì khối cầu nội tiếp khối trụ nên khối cầu có bán kính a 3nên thể tích

2

4 ( 3) 12

   

V a a

(27)

M D A

Câu 23: Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB  AD  Quay hình chữ nhật xung quanh trục AB ta hình trụ Tính diện tích tồn phần Stp hình trụ

A. Stp  12 B.Stp  6 C. Stp  4 D.Stp  8

Hình trụ có bán kính đáy r = 2, chiều cao h = nên có

2 12

      tp

S r rh

Câu 24:Cho hình vng ABCD có cạnh a Gọi M, N trung điểm AB CD Khi

quay hình vng ABCD quanh MN thành hình trụ Gọi (S) mặt cầu có diện tích diện tích tồn phần hình trụ, ta có bán kính mặt cầu (S) là:

A.

3 a

B.

2 a

C.

4 a

D. a

Mặt trụ tạo hình vng ABCD quay quanh MN có đường sinh 1=a bán kính đáy  a r nên có diện tích toàn phần

 

2

2 2



 

       

 

tp

a a a

S r r h a

Mặt cầu (S) có diện tích Stp mặt trụ có bán kính R với

2

4

2

 R  a  a

Câu 25:Trong khơng gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB1 AD2 Gọi M N, trung điểm AD BC Quay hình chữ nhật xung quanh trục MN, ta hình trụ Diện tích tồn phần hình trụ bằng:

A. 2 B. 3 C. 4 D. 8

Theo giả thiết ta hình trụ có chiều cao hAB1, bán

kính đáy

2  AD

R

(28)

Câu 26:Cắt khối trụ mặt phẳng qua trục ta thiết diện hình chữ nhật ABCD có AB CD thuộc hai đáy khối trụ Biết AB = 4a, AC = 5a Thể tích khối trụ là:

A.

16a B.

8a C.

4a D.

12a

Theo định lý Pytago ta tính BC=3a, suy khối trụ có bán kính đáy 2a, chiều cao 3a

Vậy V  2a2.3a12a3

Câu 27:Cho hình nón có góc đỉnh 90o bán kính đáy Khối trụ (H) có đáy thuộc đáy hình nón đường tròn đáy mặt đáy lại thuộc mặt xung quanh hình chóp Biết chiều cao (H) Tính thể tích (H)

A VH  9 B VH  6 C VH 18 D VH  3

Thiết diện qua trục hình nón hình trụ có dạng hình bên, với A đỉnh nón, BC đường kính đáy nón, O tâm đáy, D giao điểm đường trịn đáy hình trụ với BC

Có góc BAC 90 ,0 OBOC OA4

Chiều cao hình trụ nên áp dụng định lý Ta lét ta có OC4CDCD1

⇒Bán kính đáy hình trụ rOD3 Thể tích hình trụ V  r h2  9

Câu 28:Hai bạn An Bình có hai miếng bìa hình chữ nhật có chiều dài a, chiều rộng b Bạn An cuộn tầm bìa theo chiều dài cho hai mép sát dùng băng dính dán lại hình trụ khơng có đáy tích V1 (khi chiều rộng bìa chiều cao hình trụ) Bạn Bình cuộn bìa theo chiều rộng theo cách tương tự hình trụ tích V2 Tính tỉ số

2 V V A.

2 

V a

V b B.

1



V b

V a C.

1

 V

ab

V D.

1

1  V

V ab

Hình trụ bạn An có chu vi đáy a, chiều cao b nên tích V1=

2 2

2

    

 

 

a a b

b

V2=

2 2

2

    

 

 

b ab

a Do



V a

V b

Câu 29:Cho lập phương có cạnh a hình trụ có hai đáy hai hình trịn nội tiếp hai mặt đối diện hình lập phương Gọi S1 diện tích mặt hình lập phương, S2 diện tích xung quanh hình trụ Hãy tính tỉ số

1 S S

(29)

A.

  S

S B.

2

  S

S C.

2

1  S

S D.

2

  S S

Ta có: S16a S2, 2  a2 suy

  S S

Câu 30:Một hình trụ có bán kính đáy 50cm có chiều cao 50cm Một đoạn thẳng AB có chiều dài 100cm có hai đầu mút nằm hai đường trịn đáy Tính khoảng cách d từ đoạn thẳng đến trục hình trụ

A. d 50cm B. d 50 3cm C. d 25cm D. d 25 3cm

Cách 1: Kẻ AA1 vuông góc với đáy, A1 thuộc đáy Suy ra:

 

       

1 1

1 1 1

/ / / /

, , ,



  

OO AA OO AA B

d OO AB d OO AA B d O AA B

Tiếp tục kẻ O H1  A B1 H, O1H nằm đáy nên vng góc với A1A suy ra:

 

1 

O H AA B Do

 1,   1,   1,  d OO AB d OO AA B d O AA B O H Xét tam giác vng AA B1 ta có A B1  AB2 AA12 50 Vậy O H1  O A1 12 A H1 25cm

Cách 2: Gọi tâm hai đường đáy O O1, giả sử đoạn thẳng AB có điểm mút A nằm đường tròn đáy tâm O điểm mút B nằm đường tròn đáy O1

Theo giả thiết AB100cm Gọi IK IOO K1, AB đoạn vng góc chung trục OO1 đoạn AB Chiếu vng góc đoạn AB xuống

Mặt phẳng đáy chứa đường trịn tâm O1, ta có A1, H, B hình chiếu A, K, B Vì IK OO1 nên IK song song với mặt phẳng, O H1 / /IK O H1 IK

Suy O H1 AB O H1  AA1 Vậy O H1  A B1

Xét tam giác vng AA1B ta có A B1  AB2 AA12 50 Vậy IK O H1  O A1 12 A H1 25cm

Câu 31:Cho hình trụ có đường cao h5cm, bán kính đáy r3cm Xét mặt phẳng  P song song với trục hình trụ, cách trục 2cm Tính diện tích S thiết diện hình trụ với mặt phẳng  P

A S 5 5cm2 B. S 6 5cm2 C. S 3 5cm2 D. S 10 5cm2

(30)

Giả sử mặt phẳng  P cắt hình trụ theo thiết diện hình chữ nhật ABB A  hình vẽ

Gọi OH AB H, OH 2cm Trong OHA có HA OA2 OH2  Khi AB2HA2

Vậy diện tích thiết diện hình trụ với mặt phẳng  P 5.5 10

    

ABB A

S AB AA

Câu 32:Cho hình trụ có bán kính a chiều cao a Hai điểm A, B nằm hai đường trịn đáy cho góc AB trục hình trụ

45 Khoảng cách AB trục hình trụ ?

A. a B

2 a

C.

2 a

D.

2 a

Gọi O O’ tâm đường tròn hai đáy Gọi AC đường sinh góc AB OO’ góc



45 

BAC nên BC =a

Do OO’ // AC nên OO’ // (ABC) d(OO ';AB)d(OO ';(ABC))d(O;(ABC)) Kẻ OHBC, ta có OH AC nên OH(ABC) suy d O ABC( ;( ))OH

Trong tam giác vuông OHB H :

2

2 2

4

   a  a

OH OB BH a

Câu 33:Một hình trụ có diện tích tồn phần 6 Bán kính khối trụ tích lớn là?

A. R1 B. R2 C.

2 

R D. R

Gọi R h chiều cao bán kính hình trụ.( R>0, h>0) Ta có diện tích tồn phần

2

6  2 Rh 2 R   6 h R R Thể tích khối trụ

2

2 3

 (3 )

    R   

v R h R R R

R

Xét hàm số

( )3 

f R R R (0; 3).Ta V lớn R=1

Câu 34:Tính thể tích V khối trụ ngoại tiếp hình lập phương có cạnh a

A

3

4   a

V B.

 

V a

C

3

6   a

V D

3

2   a

V

Khối trụ ngoại tiếp hình lập phương

3

 a

V cạnh a có:

A

B

O

A B

(31)

Bán kính đường trịn đáy

2

 AC  a

R ; chiều cao ha Vậy thể tích khối trụ là:

2

     a  a

V R h a

Câu 35:Cho hình trụ có thiết diện qua trục hình vng Xét hai mặt cầu sau:

 Mặt cầu tiếp xúc với hai đáy hình trụ tiếp xúc với tất đường sinh hình trụ, gọi mặt cầu nội tiếp hình trụ

 Mặt cầu qua hai đường trịn đáy hình trụ, gọi mặt cầu ngoại tiếp hình trụ

Kí hiệu S1 diện tích mặt cầu nội tiếp hình trụ, S2 diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình trụ Tính tỉ số

2 S S A.

2  S

S B.

1

1  S

S C.

1

2  S

S D.

1

1  S S

Đáp án : Phương án B Lời giải:

+ Gọi a cạnh hình vng thiết diện Khi 1 

S a ;

2  2

S a

+ Vậy,

1  S

S

Câu 36:Cần phải thiết kế thùng dạng hình trụ có nắp đậy để đựng nước có dung tích V(cm3) Hỏi bán kính đáy trụ nhận giá trị sau để tiết kiệm vật liệu

A. x = 4

V

B.x =

 V

C.x = 3

2 V

D.x =

2 V

Bài toán yêu cầu xác định giá trị bán kính đáy R, cho Stp nhỏ Gọi h chiều cao hình trụ, ta có:

 

V R h

2

2 2 3

2

2 2

2

   

              

   

   

tp d xq

V V V V

S S S R Rh R R

R R R

Dấu = xảy ta có 

 V R

(32)

A. 2

3R h B.

2

6R h C.

2

3R h D.

2 2R h

MN vng góc với (PQI) Dựng QH vng góc với PI nên QH hình chiếu Q lên mặt phẳng PMN

2

1 1

.2

2 2

     

PQI

S h PQ h R hR QH IP QH h R

Suy

2 2 

 Rh QH

R h

;

2 2

1 2

3 3

  



MNPQ MNP

Rh

V QH S IP MN R h

R h

w

Câu 38:Cho hình trụ trịn xoay hình vng ABCD cạnh a có hai đỉnh liên tiếp A, B nằm đường tròn đáy thứ hình trụ, hai đỉnh cịn lại nằm đường trịn đáy thứ hai hình trụ Mặt phẳng (ABCD) tạo với đáy hình trụ góc

45 Thể tích hình trụ bằng:

A

3

16 a

B

4 a

C

3

8 a

D

3 16

a

Gọi M, N theo thứ tự trung điểm AB CD Khi ; '

 

OM AB O N CD Giả sử I giao điểm MN OO’ Đặt R=OA h=OO’ Khi tam giác IOM vuông cân O

nên 2

2 2 2

  h  a  

OM OI a h a

Ta có:

2

2 2 2 2

( ) ( )

2

    a  a  a

R OA AM MO

3

16  V  R h a

Câu 39: Một hình trụ trịn xoay bán kính R = Trên đường tròn đáy (O) (O’) lấy A B cho AB =2 góc AB trục OO’ 300

Xét hai khẳng định:

(I):Khoảng cách O’O AB (II):Thể tích khối trụ V = 3 Kết luận sau đúng?

A.Chỉ (I) B.Chỉ (II)

C.Cả (I) (II) sai D.Cả (I) (II)

R

2 O'

O

B

(33)

Kẻ đường sinh BC OO’ // (ABC) Vì (ABC) vng

góc với (OAC) nên kẻ OH  AC OH  (ABC) Vậy d(OO’, AB) = OH

∆ABC : BC = AB.cos300 = ;AC = AB.sin300 = 1, ∆OAC tam giác đều, có cạnh 1, nên OH =

2 : (I) V = π.R2.h nên (II) nên chọn D

Câu 40:Cho hình trụ có đáy hình trịn tâm O O’, bán kính đáy chiều cao a Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, đường tròn đáy tâm O’ lấy điểm B cho AB = 2a Thể tích khối tứ diện OO’AB theo a

A.

3

 a

V B.

3

6

 a

V C.

3 12

 a

V D.

3

4

 a

V

Kẻ đường sinh AA ' Gọi D điểm đối xứng với A' qua O' H hình chiếu B đường thẳng A D'

Do BH A D BH' , AA'BH (AOO A' ')

2 2

'   '  3  '  ' 

A B AB A A a BD A D A B a

'

O BDđều nên a BH

'  AOO

a

S Suy thể tích khối tứ diện OO’AB là:

3 12

 a

V

Câu 41:Xét hình trụ nội tiếp mặt cầu bán kính R Tìm chiều cao hình trụ để thiết diện qua trục hình trụ có diện tích lớn Tính thể tích V diện tích tồn phần hình trụ

A

2

; 

 R

R B

3

2

;3



 R

R C. R3 2;3 R2 D. R3 2; R2

Gọi O’ trung điểm trục O1O hình trụ O’ tâm mặt cầu cho Kí hiệu h r chiều cao bán kính đáy hình trụ diện tích thiết diện qua trục Std 2 r h

Mặt khác

2

2 2 2

'

4

  h   h

R O A r r R

Từ 2 2 2

4

   

td

S h R h h R h

Vậy S lớn hR

30°

C H R

2 O'

O

B

(34)

Khi 1.2 2

4 2

   R  h

r R R , tức thiết diện qua trục hình vng

2 3

2 ; 2

2 

       R p      

V r h r r r St r rh R

Câu 42:Khi sản xuất vỏ lon sữa bị hình trụ, nhà thiết kế ln đặt mục tiêu cho chi phí ngun liệu làm vỏ lon nhất, tức diện tích tồn phần hình trụ nhỏ Muốn thể tích khối trụ diện tích tồn phần phần hình trụ nhỏ bán kính đáy gần số ?

A.0,5 B.0,6 C.0,8 D. 0,7

Bài toán yêu cầu xác định giá trị bán kính đáy R, cho

nhỏ Gọi h chiều cao hình trụ, ta có:2 R h2

2 2 3

2

2 2

2

   

              

   

   

tp d xq

S S S R Rh R R

R R R

Dấu = xảy ta có

3

2

 

 

R

Câu 43:Từ tơn hình chữ nhật kích thước 80cm x 360cm, người ta làm thùng đựng nước

hình trụ có chiều cao 80cm, theo hai cách sau (xem hình minh họa đây): * Cách 1: Gị tơn ban đầu thành mặt xung quanh thùng

* Cách 2: Cắt tôn ban đầu thành hai nhau, gò thành mặt xung quanh thùng

Kí hiệu V1 thể tích thùng gị theo cách 10

C tổng thể tích hai thùng gị theo cách Tính tỉ số

1 V V

A

1  V

V B.

2

1  V

V C.

2

2  V

V D.

2

4  V V

Do chiều cao thùng nhau, nên tỉ số V

V tỉ số tổng diện tích đáy thùng Ta có chu vi đường trịn C 2 R diện tích hình trịn S  R2, từ ta có mối liên hệ

2 2

2 1 2

2

2 1

2

4

          

 

C C S C V S

S R

S C V S

(35)

Câu 44: Một khúc gỗ hình trụ có chiều cao 3m, đường kính đáy 80 cm Người ta cưa bìa để khối lăng trụ nội tiếp khối trụ Tổng thể tích bìa bị cưa (xem mạch cưa không đáng kể)

A.

0,12( 2)m B.

1,92( 2)m C.

0, 4( 2)m D.

0, 48( 2)m

Tổng thể tích bìa bị cưa = thể tích khối trụ - thể tích khối lăng trụ

Câu 45: Từ 37,26cm3 thủy tinh Người ta làm cốc hình trụ có đường kính 8cm với đáy cốc dày 1,5cm, thành xung quanh cốc dày 0,2 cm Khi hồn thành cốc có chiều cao là:

A. 10cm B. 8cm C. 15cm D.12cm

Thể tích đáy V  .16.1,524cm3

Phần thủy tinh làm thành cốc là: 37, 26cm324cm3 13, 26cm3 Gọi chiều cao thành cốc khơng kể đáy x ta có

 2 13, 26

8, 16 3,8

 

 x Vậy chiều cao cốc là: 8,5 1,5 10cm

Câu 46:Một miếng bìa hình chữ nhật có kính thước 2a 4a Uốn cong bìa theo bề rộng (hình vẽ) để hình trụ khơng đáy Ký hiệu V thể tích khối trụ tạo

Khẳng định sau đúng?

A. V= 4a3

B.V= 16a3

C. V=

 a

D. V=

3

16 a

Chu vi đáy 2a= 2R Ta tính R=  a

Chiều cao h = 4a, từ ta tính V=

 a

Câu 47:Để làm cống thoát nước cho khu vực dân cư người ta cần đúc 500 ống hình trụ có đường kính chiều cao ống 1m, độ dày thành ống 10 cm Chọn mác bê tông

3m

2a

(36)

A 1.200 (bao) B 1.210 (bao) C 1.110 (bao) D 4.210(bao)

+ Tính thể tích khối trụ bán kinh 0,6m:  2 0,

25

     

n

V R h

+ Tính thể tích khối trụ bán kinh 0,5m:  2 0,5

4

     

t

V R h

+ Lượng hồ bê tông cho ống là: 11

0.3456( ) 25 100

 

       

 

n t

V V V m

+ Lượng hồ bê tông để làm 500 ống là: 500 55 172.7876( )

V m

A. 91125( 3)

4 cm B.

3 91125

( )

2 cm C.

3 108000

( )

 cm D.

3 13500

( )

 cm

Gọi I trung điểm BC Suy I trung điểm MN

Đặt MN = x ( 0x90 ); 3(90 )

2

MQ  BM MQ x

AI BI

Gọi R bán kính trụ

2

 

 x

R ( )2 3(90 ) 3( 90 2)

2

      

 

T

x

V x x x

Xét ( ) 3( 90 2)

  



f x x x với 0x90 Khi đó:

(0;90)

13500 max ( )



  x

f x x= 60

Câu 49:Từ khúc gỗ trịn hình trụ có đường kính 40 cm, cần xả thành xà có tiết diện ngang hình vng bốn miếng phụ tơ màu xám hình vẽ Tìm chiều rộng x miếng phụ để diện tích sử dụng theo tiết diện ngang lớn

A. 34 17 2 

 

x cm B 34 19 2 

2  

x cm

C. 34 15 2 

 

x cm D. 34 13 2 

2  

x cm

A

B C

M N

P Q

+ Số lương bao xi-măng cần mua 1.209,1532(bao)

Câu 48:Bạn A muốn làm thùng hình trụ khơng đáy từ ngun liệu mảnh tơn hình tam

(37)

Diện tích sử dụng theo tiết diện ngang S SMNPQ 4xy Cạnh hình vng 40 20 2 

2

 MP  

MN cm

20 22 800

S   xy  xy (1)

Ta có 2xABMN  AB20 2BD20 4020  0 x20 10 2 Lại có AB2 AD2 BD2 402 2x20 22 y2 1600

2 2

800 80 800 80

 y   x  x y  x  x

Thế vào  1 S 8004x 800 80 x 24x2 8004 800x280x3 24x4 Xét hàm số f x 800x280x3 24x4, với x0;20 10 2  có

   2

' 1600 240 216 16 100 15 2

f x x x x x x x

Ta có  

 

 2

0;20 10

0;20 10 5 34 15 2

2

' 16x 100 15x

  

   

 

  

 

   

 

 

x x

x

f x x

Khi 34 15 2  

x giá trị thỏa mãn toán

B.3cm C. 3,2cm D.3,44cm

Đáp án C

Thực chất tồn chai hình trịn thành phần hình vẽ:

Vì miếng bánh có chiều cao nên diện tích đáy miếng bánh phải

3 diện tích bánh ban đầu

Trong hình vẽ ta có OA=OB=6

2

1

12



   OA   S S S

Đặt AOB=α(0, ) ta có: S S S

2

1

12 sin 

   OA OB  OA 

Câu 50: Trong ngày trung thu, bố bạn Nam đem cho bạn Nam bánh trung thu Nam vui vẻ điều đó, nhiên để kích thích tinh thần tốn học bạn Nam, bố bạn Nam đưa

toán sau : Giả sử bánh có hình trụđứng, đày hình trịn đường kính 12cm, chiều cao 2cm Bạn Nam phải cắt bánh thành phần nhau, cách cắt phải tuân thủ quy tắc Nam chỉđược cắt hai nhát, mặt phẳng nhát dao phải vng góc với đáy song song với Như vậy, theo cách cắt có hai miếng giống việc khác hình thù, miếng có chung thể tích Hỏi khoảng cách mặt phẳng nhát cắt gần với giá trị ?

(38)

Sử dụng chức máy tính ta tìm giá trị α 2,605325675 Khoảng cách nhát dao cos 3,179185015

2 

 

x OA

Câu 51:Một phần dụng cụ gồm phần có dạng trụ, phần cịn lại có dạng nón, hình trụ, đường kính đáy 1,4m, chiều cao 70cm, hình nón, bán kính đáy bán kính hình trụ, chiều cao hình nón 0,9m( Các kích thước cho hình 100) Khi diện tích mặt ngồi dụng cụ ( Khơng tính nắp đậy) có giá trị gần với:

A.5,58 B.6,13 C.4,86 D.6,36

Diện tích cần tính gồm diện tích xung quanh hình trụ diện tích xung quanh hình nón Đường sinh hình nón là:

Sxqtrụ =

1,

2 2.3,14 .0, 3,077( )

rh  m

xq

S nón=

2 3,14.0,7.1,14 2,506( )

rl   m

A. 700cm2 B. 754, 25cm2 C. 750, 25cm2 D. 756, 25cm2

Tổng diện tích tính tổng diện tích xung quanh hình trụ diện tích đáy, với diện tích hình

vành khăn

Ta có  2

2 7,5.30 7,5 17, 7, 756, 25

        

S

10cm

30cm

Vậy diện tích tồn phần phễu: S=Sxqtrụ+Sxqnón=5,583(m

2 )

(39)

MẶT CẦU – KHỐI CẦU

A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT

I Mặt cầu – Khối cầu: 1 Định nghĩa

Mặt cầu: Khối cầu:

2 Vị trí tương đối mặt cầu mặt phẳng

Cho mặt cầu S(O; R) mặt phẳng (P) Gọi d = d(O; (P))

 Nếu d < R (P) cắt (S) theo giao tuyến đường trịn nằm (P), có tâm H bán kính

Nếu d = R (P) tiếp xúc với (S) tiếp điểm H ((P) gọi tiếp diện (S)) Nếu d > R (P) (S) khơng có điểm chung

Khi d = (P) qua tâm O gọi mặt phẳng kính, đường trịn giao tuyến có bán kính R gọi đường tròn lớn

3 Vị trí tương đối mặt cầu đường thẳng

Cho mặt cầu S(O; R) đường thẳng  Gọi d = d(O; ) Nếu d < R  cắt (S) hai điểm phân biệt

Nếu d = R  tiếp xúc với (S) (được gọi tiếp tuyến (S)) Nếu d > R  (S) khơng có điểm chung

4 Mặt cầu ngoại tiếp – nội tiếp

Mặt cầu ngoại tiếp Mặt cầu nội tiếp

Hình đa diện Tất đỉnh hình đa diện nằm mặt cầu

Tất mặt hình đa diện tiếp xúc với mặt cầu

Hình trụ Hai đường trịn đáy hình trụ nằm mặt cầu

Mặt cầu tiếp xúc với mặt đáy đường sinh hình trụ

 

S(O; R) M OMR V(O; R)M OMR

(40)

5 Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện * Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp:

Cách 1: Nếu (n – 2) đỉnh đa diện nhìn hai đỉnh cịn lại góc vng tâm mặt cầu trung điểm đoạn thẳng nối hai đỉnh

Cách 2: Để xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

–Xác định trục  đáy ( đường thẳng vng góc với đáy tâm đường trịn ngoại tiếp đa giác đáy)

–Xác định mặt phẳng trung trực (P) cạnh bên

–Giao điểm (P)  tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp *Mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đứng:

–Xác định trục  hai đáy ( đường thẳng vng góc với đáy tâm đường trịn ngoại tiếp đa giác đáy)

–trung điểm đoạn nối hai tâm đa giác đáy tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

II Diện tích – Thể tích

Diện tích: Thể tích:

2 S 4 R

3

V R

(41)

Câu 1:Công thức tính thể tích khối cầu đường kính R là: A.

3R B.

3

4R C.

3

5R D.

3 6R

Chọn đáp án A

Câu 2:Trong mệnh đề sau mệnh đề đúng ? A.Hình chóp có đáy tứ giác có mặt cầu ngoại tiếp

B.Hình chóp có đáy hình thang vng có mặt cầu ngoại tiếp C.Hình chóp có đáy hình bình hành có mặt cầu ngoại tiếp D.Hình chóp có đáy hình thang cân có mặt cầu ngoại tiếp

B.Hình chóp ngũ giác D. Hình hộp chữ nhật

A.2( )

3  

a b c

B.2 a2 b2c2 C.1 2

2 a b c D.

2 2

  a b c Hướng dẫn giải:

Dựng hình hộp chữ nhật có cạnh a.b,c nên có độ dài đường chéo a2 b2c2 Do bán Hướng dẫn giải:

Hình thang cân nội tiếp đường trịn nên.Hình chóp có đáy hình thang cân có mặt cầu ngoại tiếp

Câu 3:Tìm khẳng định sai khẳng định sau đây:

A.Tồn mặt cầu qua đỉnh hình tứ diện

B.Tồn mặt cầu qua đỉnh hình lăng trụ có đáy tứ giác lồi C.Tồn mặt cầu qua đỉnh hình hộp chữ nhật

D.Tồn mặt cầu qua đỉnh hình chóp đa giác Hướng dẫn giải:

Sử dụng phương pháp loại trừ rõ ràng A, C, D nên B sai

Câu 4:Cho ba điểm A, B, C thuộc mặt cầu biết ABC900 Trong khẳng định sau khẳng định đúng?

A.AB đường kính mặt cầu cho

B.Ln ln có đường trịn thuộc mặt cầu ngoại tiếp tam giác ABC

C.ABC tam giác vuông cân C

D.AB đường kính đường trịn lớn mặt cầu cho

Câu 5:Trong đa diện sau đây, đa diện không ln ln nội tiếp mặt cầu: A.Hình chóp tam giác (tứ diện)

C.Hình chóp tứ giác Hướng dẫn giải:

Chọn C cạnh bên đồng phẳng với trục đáy tứ giác nội tiếp thì hình chóp tứ giác có tâm mặt cầu ngoại tiếp

Câu 6:Hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng A có SA vng góc với mặt phẳng

(42)

Câu 7:Cho tứ diện ABCD có O trung điểm đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh đối diện Tập hợp điểm M không gian thỏa mãn hệ thức    MAMBMCMD a (với a0 khơng đổi) là:

A.Mặt cầu tâm O bán kính a

r B.Mặt cầu tâm O bán kính  a r

C.Mặt cầu tâm O bán kính ra D.Mặt cầu tâm O bán kính  a r Hướng dẫn giải:

Gọi E, F trung điểm cạnh AB CD O trung điểm EF

Ta có: MA   MBMCMD2ME2MF 4MO

   

    MA MB MC MD MO a

 MO MOa

4  a r

A.Mặt cầu có tâm trọng tâm tam giác ABC bán kính 2 a

B.Mặt cầu có tâm trọng tâm tứ diện bán kính a

C.Mặt cầu có tâm trọng tâm tứ diện bán kính 2 a

D.Mặt cầu có tâm trọng tâm tam giác ABC bán kính a

Gọi G trọng tâm tứ diện ABCD ta có

2 2

( ) ( ) ( ) ( )

3

4

2

      

       

    

           

MA MB MC MD MA MB MC MD

MG GA MG GB MG GC MG GD

MG a a MG

Vậy quỹ tích điểm M mặt cầu tâm G bán kính

Câu 9:Mặt cầu tâm O bán kính R17dm Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu cho giao tuyến qua ba điểm A, B, C mà AB18dm BC, 24dm CA, 30dm Tính khoảng cách từ O đến (P)

A.7 dm B.8 dm C.14 dm D. 16 dm

Vậy tập hợp điểm M cần tìm khơng gian mặt cầu tâm O bán kính

Câu 8:Cho tứ diện ABCD có cạnh a.Tập hợp điểm M cho

(43)

Ta có giao tuyến mặt phẳng (P) với mặt cầu đường trịn Khi A, B, C nằm đường tròn này, để ý kĩ ta thấy 2

 

CA AB BC , tam giác ABC vuông B, tức AC đường kính đường trịn này, hay r15dm Ta có hình vẽ minh họa sau:

Nhìn vào hình vẽ ta thấy d O P ;  R2 r2  172152 8

Câu 10:Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' có cạnh

A. 32 B. 36 C. 64 D. 4

Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' có cạnh Mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' có bán kính '

2  AC

r mà

2 3

' 3

2

   

AC r

Vậy 4

3 36

3

     

V r

Câu 11:Cho tứ diện ABCD có cạnh a Thể tích khối cầu tiếp xúc với tất cạnh tứ diện ABCD bằng:

A.

3

8 a

B.

3

24 a

C.

3 2

9 a

D. 3 24

a

, , ,

    

  

   



OI OJ OK OH OM ON

OI AB OK CD OM AC ON BC

 O tâm mặt cầu tiếp xúc với cạnh tứ diện ABCD Xét hình vng IJKH cạnh

2  a

IH 2

2

OI  IH  a R

3

4

3 24

 V  R a

Câu 12: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a, SA vng góc với mặt đáy Gọi I, J,K, H, M, N trung trung điểm AB, BC, CD, DA, AC, BD Theo tính chất hình bình hành ta chứng minh IK, JH, MN cắt trng điểm đường, gọi giao

điểm O

(44)

A. a B. 12 a C. a D a Hướng dẫn giải:

Gọi O trọng tâm tam giác ABC M, N trung điểm

của BC SA

3

AO AM a

Gọi I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC ( )

IO ABC IN SA AOIN hình chữ nhật

2 2 21

2

 

      

 

SA a

R IA AH IH AH

2

4

3  Scau  R  a

Câu 13:Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy cạnh bên

bằng a là:

A a B.

2 a

C. a D.

3 a

R = 2 2 2     

SM SA a a

R SI

SO a

a

Câu 14:Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông cân B, AB=a Cạnh bên SA vng góc

mp(ABC) SC hợp với đáy góc 600 Gọi (S) mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Thể tích khối cầu tạo nên mặt cầu (S) bằng:

A. a B. a . C. a D. 2 a

Tâm mặt cầu ngoại tiếp trung điểm SC nên bán kính   2 2

2

2 2

 

   

a a

SC SA AC

R a

3

4

3



   a

V R

Câu 15:Cho hình lăng trụ tam giác ABC A’B’C’ có tất cà cạnh a.Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ theo a

A. 17 13   a S B.   a

S C.

17

 

S a D.

7  

(45)

Thể tích lăng trụ là:

2

3

V=AA'.S

4

 

ABC

a a

a

Gọi O, O’ tâm đường tròn ngoại tiếp , ' ' '

ABCA B C

Khi tâm mặt cầu (S) ngoại tiếp hình lăng trụ ABC A’B’C’ trung điểm I OO’

Mặt cầu có bán kính là:

2

2 21

4

6



    a     a

R IA AO OI S R

Câu 16:Hình chóp S.ABC có SASBSCa có chiều cao a Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

A.

2 9a

2  mc

S B.

2

2   mc

a

S C.

2

4   mc

a

S D.

2

4  mc

a S

Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC suy SOABC Gọi M trung điểm cạnh SA Trong tam giác SAO kẻ đường trung trực cạnh SA cắt cạnh SO I Khi I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC có bán kính

4

  SA SM  a

R IS

SO Khi

2

2   mc

a S

Câu 17:Cho tứ diện S.ABC, đáy ABC tam giác vuông B với AB3,BC 4 Hai mặt bên (SAB) (SAC) vng góc với (ABC) SC hợp với (ABC) góc 450 Thể tích hình cầu ngoại tiếp S.ABC là:

A.  

V B. 25

3  

V C. 125

3  

V D. 125

3   V Hướng dẫn giải:

: AC 16 ABC   

SAB  ABC , SAC  ABCSAABC



45

SAC SASC  3

4 125

3 3

 

 

 

      

   

SC V

Câu 18:Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang cân ABCD với AB=2a, BC=CD=DA=a SA

(ABCD) Một mặt phẳng qua A vng góc với SB cắt AB, SC, SD M, N, P Tính đường kính khối cầu ngoại tiếp khối ABCDMNP

A. a B.a C.2a D.

2 

(46)

Nhận xét hình thang ABCD cân AB=2AD =2BC = 2CD =2a nên ACB = ADB = 90o

Mặt phẳng qua A vng góc với SB M nên AMB = 90o Ta có BC AC BC SA nên BC(SAC)

Do AN BC AN SB nên AN (SBC) ⟹ANBN, hay ANB = 90o

Ta có APSB AP BD nên AP(SBD) ⟹APBP, hay APB = 90o

Ta thấy điểm C,D,M,N nhìn AB góc vng Nếu nắm lời giải đề trước đề này, khơng khó để q độc giả nhận AB đường kính khối cầu Do d=AB=2a

Chú ý: Nhiều độc giả theo thói quen tìm bán kính khơng phải đường kính dẫn đến chọn sai đáp án

Câu 19:Hình chóp S ABC có đáy tam giác ABC vng A, có SA vng góc với mặt phẳng (ABC) có SAa AB, b AC, c Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có bán kính r bằng:

A. 2 

3 a b c B.

2 2

2 a b c C.

2 2

2   a b c

D. a2 b2c2 Hướng dẫn giải:

2

 

IA AM MI

2

4

 BC  SA 2 2

 a b c

Câu 20:Cho khối chóp tam giác S.ABC có SA = 3, SB = 4, SC = SA, SB, SC đơi vng góc

Khối cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC tích là: A. 25 2 B. 125

3 

C 10



D.

3

3  Hướng dẫn giải:

Gọi M,N trung điểm SC, AB

Vì SAB vng góc S nên N tâm đường trịn ngoại tiếp SAB Trong mặt phẳng (MSN) dựng hình chữ nhật MSNO ON trục đường trịn ngoại tiếp SAB OM đường trung trực đoạn SC mặt phẳng (OSC)

Suy O tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC

Cách xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, tơi giới thiệu cho quý độc giả đề trước, đề xin áp dụng vào hình vẽ sau:

Bước 1: vẽ trục đường tròn tam giác đáy Gọi M trung điểm BC, M tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ABC vng A Kẻ MxABC Mx trục đường tròn tam giác đáy ABC

Bước 2: lấy giao điểm trục đường tròn với trung trực cạnh bên

Kẻ NI trung trực SAIMx Khi I tâm đường trịn ngoại tiếp hình chóp SABC

Cách diễn giải phía lằng nhắng, nhiên lúc làm thi, tư nhanh, điều lại trở nên đơn giản

(47)

2

1 5

,

2 2 2

      

BN AB SA SB ON MS SC

Bán kính thể tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện 2 125

,

2 3



      

R OB ON BN V R

Câu 21:Cho hình chóp S.ABC có SA(ABC SA), 2a, tam giác ABC cân A, BC 2a 2,



cos

3 

ACB Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

A.

2 97

4   a

S B.

2 97

3   a

S C.

2 97

4   a

S D.

2 97

5   a S

Ta có : 2

sin ; tan 2; 2; tan

3

    

C C CM a AM CM C a

1 2 sin sin 2sin cos

3

   

A C C C

Theo định lý hàm sin tam giác ABC ta có sin  BC  a R

A Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ta có IA = R Dựng trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Mặt phẳng trung trực SA cắt trục đường trịn J J tâm mặt cầu ngoại tiếp SABC

Gọi r bán kính mặt cầu ngoại tiếp S.ABC

2

2 97

2

 

       

 

SA a

r JA JB JS JC IA

Diện tích mặt cầu cần tính

2 97

4     a

S r

Câu 22:Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng B BABC 3 Cạnh bên

6 

SA vng góc với mặt phẳng đáy Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là? A.

2 B.9 C.

3

2 D.

(48)

Hơn nữa, tam giác SAC vng A có I trung điểm SC nên IS ICIA (2)

Từ (1) (2), ta có IS IAIBIC hay I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Vậy bán kính

2

3

2 2



  SC  SA AC  R IS

Câu 23: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh 1, mặt bên SAB tam giác

đều nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích V khối cầu ngoại tiếp hình chóp cho

A 15 18

 

V B 15

54  

V C

27  

V D

3   V

Gọi Glà trọng tâm củaABCGlà tâm đường tròn ngoại tiếp ABC

Gọi Klà trung điểm SC, SHCvng cân

  

H SH HC HKlà đường trung trực ứng với SC

Gọi I dHK ta có

 



   

  

IA IB IC

IA IB IC IS

IS IC

Ilà tâm khối cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC

Xét hai tam giác ABC SABcó độ dài cạnh

Glà trọng tâm

3

ABCCG  CH 

Xét HIGvuông Gta có 15

6

   

IG HG IC

Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp

3

4 15 15

3 54

  

         

V IC

Câu 24:Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh 2a, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích V khối cầu ngoại tiếp hình chóp cho?

A.

3 24 21

27 a

B.

3 25 21

27 a

C.

3 28 21

27 a

D.

3 24 21

25 a

Gọi O trọng tâm ABC Qua O kẻ Ox SH , lấy QOx cho

3

  a

OH CH

Gọi Hlà trung điểm AB Vì SABđều nên SH  AB

Mà SABABCSH ABCSH đường cao hình chóp S.ABC Qua Gkẻ đường thẳng dsong song với

(49)

2

3

    a  

SH HC a SI SQ a

3

4 28 21

3 3 27

 

  

    

   

a

V R a

Câu 25: Cho hình chóp S ABC D có đáy ABCD hình vng, tam giác SAB cạnh a nằm mặt phẳng vng góc với đáy Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC D theo a

A 12 12 a

B a

C.

2 a

D. 21

6 a

Gọi H trung điểm AB, tam giác SAB nên SH AB mà (SAB) (ABCD) nên SH  (ABCD) Gọi O tâm hình vng ABCD, d đường thẳng qua O song song SH d  (ABCD) hay d trục đường tròn ngoại tiếp hình vng ABCD Trong mặt phẳng (SAB) từ G kẻ đường thẳng vng góc với (SAB) cắt d I I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD, bán kính R = IS

Trong tam giác vuông SGI G :

2

2 21

3

   a  a a

SI SG HO

Câu 26: Trong khơng gian, cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B với

AB = BC = 1, AD = 2, cạnh bên SA = SA vng góc với đáy Gọi E trung điểm củaAD Tính diện tích Smc mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.CDE

A Smc  2 B Smc 11 C Smc  5 D Smc  3 Hướng dẫn giải:

Đáp án : Phương án B

+ Gọi M N F, , trung điểm AB SC CD, , Khi ta chứng minh MNF  ABCD

 



MN SCE

+ Từ MNF  ABCD dựng trục  đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE  MNF

+ Từ MN SCE ta suy MN trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SCE

(50)

+ Gọi R bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S CDE 2

  

R IC CF IF Mà

2

2 2



CD  CE DE 

CF ;

2  SA

NO 3

2

    

IF MF

IF NO

NO MO

nên 11

2 

R

+ Vậy diện tích mặt cầu cần tính

4 11

   

mc

S R

Câu 27:Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a cạnh bên 2a Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là:

A B C D.

Gọi O tâm đáy , ta có:

2

2 14

4

  a  a

SO a

Gọi M trung điểm SB, ta có: SI.SO = SM.SB=

2

2   SB a

a

2

14   a  a R SI

SO a =

4 14

a Vậy

3

4 4 4.64 64 14

.( )

3 14 3.14 14 147

 

    a  a  a

V R

Câu 28:Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, mặt bên SAB tam giác

nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp cho

A.

3 5a 15

B.

3 15

54 a

C.

3

4

27 a

D.

3

3 a

Gọi H trung điểm AB Gọi G, G' trọng tâm tam giác ABC, SAB Dựng d trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC; d' trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC d d' cắt I Khi I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC

Ta có: 3;

6 6

 a  a   a

G H GH IH

Bán kính mặt cầu: 2 15

6

   a

r IH HA

Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là:

3

4 15

3 54



   a

V r

Câu 29: Cho mặt cầu  S bán kính R Một hình trụ có chiều cao h bán kính đáy r thay đổi nội tiếp mặt cầu Tính chiều cao h theo R cho diện tích xung quanh hình trụ lớn

3 16 14

49

a

2 14

a

64 14 147

a

64 14 49 a

(51)

A. hR B. hR C  R

h D.

2  R

h

Gọi O O tâm hai hình trịn đáy hình trụ, xét thiết diện ABCD qua trục hình trụ hình vẽ

Ta có

2

; ,

4       h OO h IA R AO r r R Diện tích xung quanh hình trụ

2 2

2

2         h R h

S rh h R h , (dùng BĐT

2

2   a b

ab ) Vậy Smax  2 R2 h2 4R2 h2 hR

Câu 30:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, 

60 

BAD Hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABCD) trung điểm M cạnh AB Biết SD=a Tính thể tích V khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABD

A 25

81

 

V a B 28

9

 

V a C 25

81

 

V a D 28

81

 

V a

Tính SM=3

a

, SA=SB= 10 a

Gọi P trung điểm SA, Q tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB (QSM) Ta có cosASM=SM

SA = 10 SQ= 

osAS SP

c M =

5

a

QM=2 3a

Gọi d1 trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD (T tâm tam giác ABD) d2 đường thẳng qua Q vuông góc (SAB)

O=d1d2

MQOT hình chữ nhật, OQ=MT= a

, OT=MQ=2 3a Bán kính mặt cầu R=OA= OT2 AT =2

3 a Do V=4

3R =

3 28

81 a

Câu 31: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a, SAD tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M N trung điểm BC CD Tính bán kính R khối cầu ngoại tiếp hình chóp S CMN

A 37

6  a

R B. 93

12  a

R C. 29

8  a

R D.

(52)

Gọi Hlà trung điểm AD suy SH (ABCD) Dễ thấy tâm I mặt cầu nằm trục dđi qua trung điểm O MN vng góc với mặt phẳng (ABCD), I S phía so với mp (ABCD)

Nếu đặt xOI 10

4

  a

IK OH

2

2 2 2 2

4         

  a

OC OI R IK KS x

2

10

4 12

   

      

   

a a a

x x

2

2 93

4 12

 

    

 

 

a a

R x

Cách 2: Chọn hệ trục tọa độOxyz, cho H(0;0;0), ;0;0 , ( ;0;0)

2

 

 

 

a

A M a 0;0;

2

 

 

 

a

S Khi trung

điểm ;3 ;0 4

 

 

 

a a

E trung điểm MN Do IE(ABCD)nên ;3 ; 4

 

 

 

a a

I t Từ

2 93

12 12

   a    a

IS IA t R IA

Câu 32: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng cân B, ABBCa 3,    90o

SAB SCB khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) a Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC theo a

A.

3  

S a B.

16

 

S a C.

2  

S a D.

12

 

S a

Gọi D hình chiếu vng góc S (ABC) ABSA AB, SDAB(SAD)AB AD Tương tự CB(SCD)BCDC Suy ABCD hình vng

Gọi H hình chiếu D SC DH (SBC)d A SBC( , ( )d D SBC( , ( )DH a

2 2

1 1

6

  SDa

SD SH DC

Gọi I là trung điểm SB ta có IAIBICIS nên I tâm mặt cầu Suy bán kính mặt cầu

2  SC 

r a Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC là: S  4 r2 12a2

Câu 33:Cho tứ diện ABCD có ABC ABD tam giác cạnh a nằm hai mặt phẳng

vng góc với Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a A.

3a B.

2 11

3 a C.

2

2a D.

3a Hướng dẫn giải:

Gọi M Trung điểm AB

Vì Tam giác ADB tam giác ABC tam giác DM AB CM; AB

Do có ABC ABD tam giác cạnh a nằm hai mặt phẳng vng góc với => Góc DMC900

S

A

B C

D N O M I K

H

(53)

Gọi H tâm đường tròn ngoại tiếp Tam giác ABC G tâm đường tròn ngoại tiếp Tam giác ABD

=> H,G đồng thời trọng tâm tam giác ABC ABD

;

3 ;

3 

 

   

  

 

H CM CH CM G DM DG DM

Kẻ Đường vng góc với đáy (ABC) từ H Đường vng góc với (ABD) từ G

Do hai đường vng góc thuộc (DMC) nên chúng cắt O

=> O tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCG R = OC

Tam giác ABC sin 60 0 3 ;

2

CM CB  aCH  a HM  a

CMTT ta có 

GM a

Từ nhận thấy OGMH hình vng OH  a

Tam giác OHC vuông H → Áp dụng định lý Pitago ta có:

  3

.sin 60 ;

2

    

CM CB a CH a HM a, 2

12

   

OC CH OH a R

2

3 V  R  a

Câu 34:Cho tứ diện ABCD có ABC DBC tam giác cạnh chung BC = Cho biết mặt bên

(DBC) tạo với mặt đáy (ABC) góc 2 mà cos

   Hãy xác định tâm O mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

A. O trung điểm AB B.O trung điểm AD C. O trung điểm BD D. O thuộc mặt phẳng (ADB) Hướng dẫn giải:

Gọi M trung điểm cạnh BC Vì ABC DBC tam giác nên trung truyến AM DM vng góc với BC

2

  a

AM DM

Trong MAD:

2 2

D   2 cos 2

A AM DM AM DM

2

3

2.2

4

 AD a  a  a

Ta có: 2 2 2

2

    

BA BD a a a AD ABD900

Tương tự: CA2 CD2  AD2 ACD900

Vậy mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có tâm O trung điểm cạnh AD

(54)

A. a 21 B. 21 a

C. 21

4 a

D. 21

3 a

Ta chứng minh trung điểm A B’ tâm mặt cầu BAA'A KB' A B B' ' 900 ABCcó: BC2 AB2 AC2 2AB AC cos1200 7a2

 2

2 2 2

7 12

    

BK BC CK a a a

2 2 2

'  ' '  ' 4 5 9

A K A C C K a a a

2 2 2

'  '  20  21

A B A A AB a a a

Suy A B'  A K' 2BK2 A BK' vuông K Ta có A KB'  A B B' ' 900 => điểm A', B', K, B' nằm mặt cầu đường kính A B’ Vậy mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A’B’BK có tâm E trung điểm A’B bán kính R ' 21

2

 A B a

Câu 36:Cho lăng trụ tam giác ABC A B C 1 1 1 có tất cạnh a, góc tạo cạnh bên mặt phẳng đáy 300 Biết hình chiếu vng góc A' (ABC) trùng với trung điểm cạnh BC Tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A'.ABC

A.

9  a

R B.

3  a

R C.

3  a

R D.

6  a R Hướng dẫn giải:

* Gọi G tâm tam giác ABC, qua G kẻ đường thẳng || '

d A H cắt AA' E

* Gọi F trung điểm AA', mặt phẳng (AA'H) kẻ đường thẳng trung trực AA' cắt (d) I => I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A'ABC bán kính R IA

Ta có: Góc AEI 600, '

6

  a

EF AA

0

tan 60

 a

IF EF

2

3

   a

R AF FI

Câu 37:Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD hình thoi cạnh a 3, BD = 3a, hình chiếu

vng góc B lên mặt phẳng (A’B’C’D’) trung điểm A’C’ biết cơsin góc tạo hai mặt phẳng (ABCD) (CDD’C’) 21

7 Tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A’BC’D’

A.a B a C 3a D 3a

(55)

Vì ' '

2

 a 

BO A C nên tam giác A’BC’ vuông B

Vì B D' '( 'A BC') nên B’D’ trực đường tròn ngoại tiếp tam giác A’BC’ Gọi G tâm tam giác A’C’D’

Khi GA’ = GC’ = GD’ GA’ = GB =GC’ nên G tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diên A’BC’D’ mặt cầu có bán kính R = GD’=2 '

3   a

OD a

Câu 38: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2, cạnh bên SA vng góc

với mặt phẳng đáy SA3 Mặt phẳng   qua A vng góc với SC cắt cạnh SB, SC, SD điểm M , N, P Tính thể tích V khối cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP

A 32  

V B 64

3  

V C 108

3  

V D 125

6  

V

Bán kính cầu 2  AC 

r

Thể tích khối cầu: 32

3



  

V r

Câu 39:Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông cân A, BC = a Mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Tính theo a thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC

A

54 a

B

21 54 a

C

3 a

D. 21

54 a

Gọi H trung điểm AB,G trọng tâm tam giác SAB=>G tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB

Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông ABCO trung điểm CB Qua O dựng đường thẳng d vng góc với mp ABC d/ /SH

Qua G dựng đường thẳng vng góc với mp(SAB) cắt d I,ta có:IAIBICIDR =>R bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

S

A

B C

D P

N

M Ta có: CBSAD,AM SABAM CB1

SC,AM  AM SC 2

Từ 1,2AM SBCAM MC AMC90 Chứng minh tương tự ta có APC90

Có AN SC ANC 90 Ta có: AM

CAPC APC 90

(56)

Ta có: IO=GH=1 3  

a a

SH ,OB=

2 a

, R=IB= 2 21

6

 a

IO OB

Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp : V=

3

4 21

3 54



R  a

Câu 40:Cho hình vuông ABCD cạnh 4a Trên cạnh AB AD lần lượt lấy hai điểm H K cho

BH = 3HA AK 3KD Trên đường thẳng (d) vng góc (ABCD) H lấy điểm S cho



30 

SBH Gọi E giao điểm CH BK Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp SAHEK

A

13 a

B. 54 13

3 a

C. 52 13

3 a

D. 52 12

3 a

Ta có:

13 Vậy

3

4 52 13

( 13)

3 3

  

  

mc

a

V R a

Câu 41:Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a SA2 ,a SAABCD Kẻ AH vng góc với SB AK vng góc với SD Mặt phẳng (AHK) cắt SC E Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối ABCDEHK

A

2 a

B.

4

3 a

C.

8

3 a

D

2 a

Đây toán quen thuộc giải hình khơng gian 12, luyện tập nhiều vẽ xong hình nhận ln AC đường kính mặt cầu ngoại tiếp khối ABCDEHK Tuy nhiên tơi trình bày để quý độc giả hiểu rõ

Đểxác định khối cầu ngoại tiếp đa giác, ta tìm đường thẳng mà đỉnh đa diện nhìn đường thẳng góc vng

Ở ta xác định đường AC, nên xin cách chứng minh sau: Ta nhận thấy B, D nhìn AC góc 900

+ AD  AB AD  SH nên AD  SA  SAK = 900

+ SH  HK nên  SHK = 900 + CH  BK BK  SH nên BK  (SKE)  SEK = 900

Vậy SAHEK nội tiếp mặt cầu có đường kính SK

Theo giả thiết ta có: BH = 3a; HA = a; AK = 3a KD  A

∆ SHB vng H có  SBH = 300 nên SH = BH.tan300 = a

(57)

Dễ tính

2

5, KD

5

  AD  a  a SD a

SD a ,

2

6

  

SC SA AC a

Do đề cho độ dài cạnh rõ ràng nên ta dùng định lý Pytago để chứng minh AKC 900

Ta có 12 12 12  1    AK  a SA AD AK

Ta có SC SD2 CD2tam giác SCD vng D Khi tam giác 2KDC vng D

2

5

   a

KC CD KD

Ta có AK2KC2 AC2 Vậy AKC900 Chứng minh tương tự AHC900

Đến ta kết luận AC đường kính mặt cầu ngoại tiếp khối ABCDEHK

Mà

2

   a

AC a OA , .3

3 2

     

V OA a a

Câu 42:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Cạnh bên SA vng góc với

mặt đáy ABCD SAa Gọi E trung điểm CD Mặt cầu qua bốn điểm S, A, B, E có điện tích Smc

A

2 41

8   mc

a

S B

2 25

16   mc

a

S C

2 41

16   mc

a

S D

2 25

8   mc

a S

2 2 2 2 2 41

( ) ( / 2) (1 / 2)

64

          

NA NK KA SA KA SA AI KI a a a a

Vậy Smc=4πR2=C

Câu 43:Trong hình nội tiếp mặt cầu tâm I bán kính R, hình hộp tích lớn bằng:

A.

3R B.

3

3 3R C.

3

3 3R D.

3 8R Hướng dẫn giải:

Hình vẽ bên minh họa hình hộp ABCD A B C D     nội tiếp mặt cầu tâm I bán kính R

Vì tính đối xứng nên hình hộp nội tiếp khối cầu ln hình hộp chữ nhật Do đặt ba kích thước hình hộp chữ nhật a, b, c

đểtính Smc ta phải xác định bán kính

Muốn xác định bán kính trước hết tìm tâm mặt cầu

Bài giải: tâm mặt cầu qua diểm A,B,E,S giao điểm đường trung trực SA đườg thẳng qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE

Gọi I trung điểm AB M trung điểm AE

Từđó sẽxác định tâm ngoại tiếp ABE điểm K, IK=3/8a Qua K kẻ Kx//SA

(58)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương ta có

3   

a b c abc  

3 2

2

3

             

 

a b c V abc

 

3

2 2

2 64

3 27

 

   

     

 

   

R

a b c R

V

6

64

27 3

V  R  R

Câu 44:Một hình nón có thiết diện qua trục tam giác Tỉ số thể tích khối cầu ngoại tiếp khối cầu nội tiếp khối nón là:

A.8 B.6 C.4 D.

Giả sử đường sinh hình nón có độ dài a Gọi G trọng tâm tam giác thiết diện, G cách đỉnh cạnh tam giác thiết diện, nên G tâm khối cầu ngoại tiếp khối cầu nội tiếp khối nón, suy bán kính R, r khối cầu ngoại tiếp khối cầu nội tiếp khối nón 3,

3

a a

Gọi V1, V2 thể tích khối cầu ngoại tiếp khối cầu nội tiếp khối nón Vậy

3

8   V R

V r Chọn đáp án A.

Câu 45:Có hộp nhựa hình lập phương người ta bỏ vào hộp bóng đá Tính tỉ số V V , V1 tổng tích bóng đá, V2 thể tích hộp đựng bóng Biết đường trịn lớn bóng nội tiếp mặt hình vng hộp

A. 2

  V

V B.

1

  V

V C.

1

  V

V D.

1

  V V Hướng dẫn giải:

Gọi R bán kính mặt cầu, cạnh hình lập phương 2R

Ta

Thể tích hình lập phương 8

V R , thể tích bóng

1

2

3

 

 R V  V

V

Câu 46:Một khối cầu nội tiếp hình lập phương có đường chéo 3cm Thể tích khối cầu là:

A. 256

 

V B.V 64 3

C. 32  

V D. V 16 3

C

(59)

Cho đỉnh A, B, C, D, A’, B’, C’, D’ hình vẽ gọi M, N tâm hình vng ABB’A’ ADD’C’

Gọi a độ dài cạnh hình lập phương Ta có

2 2 2 2

2

' ' ' 3.4

16

      

   

A C AA AC AA AB AD a

a a

4    

MN BC a bán kính khối cầu R2 Thể tích khối cầu 32

.2

3



  

V

A 3,

2

 

r h B 6,

2

 

r h C 6,

3

 

r h D 3,

3

 

r h

Thể tích khối trụ là: V  r h2   (1 h ) h2  f(h)

2

'(h) (1 3h ) h

 f      

h

3

f'(h) + 

f(h)

2 

0

Vậy: 0 ;1

2  

MaxV (đvtt) 

r

3  h

O

h A’

r R

A

Câu 47:Khi cắt mặt cầu SO, R mặt kính, ta hai nửa mặt cầu hình trịn lớn mặt kính gọi mặt đáy nửa mặt cầu Một hình trụ gọi nội tiếp nửa mặt cầu SO, R đáy hình trụ nằm đáy nửa mặt cầu, đường tròn đáy giao tuyến hình trụ với nửa mặt cầu Biết R1, tính bán kính đáy r chiều cao h hình trụ nội tiếp nửa mặt cầu

SO, R để khối trụ tích lớn

Hình trụ nội tiếp nửa mặt cầu, nên theo giả thiết đường trịn đáy có tâm O' có hình chiếu O xuống mặt đáy (O') Suy hình trụ nửa mặt cầu chung trục đối xứng tâm đáy hình trụ trùng với tâm O nửa mặt cầu.Ta có: h2r2 R2

(60)

Câu 48:Người ta bỏ bóng bàn kích thước vào hộp hình trụ có đáy hình trịn lớn bóng bàn chiều cao lần đường kính bóng bàn Gọi S1 tổng diện tích bóng bàn, S2 diện tích xung quanh hình trụ Tỉ số

2 S

S bằng:

A.1 B.2 C.3 D.

Gọi R bán kính bóng

Diện tích bóng  

S R , suy

13.4

S R Chiều cao hộp hình trụ lần đường kính bóng bàn nên h3.2r

Suy S2  2 R.3.2R Do

1  S S

Câu 49:Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B AB = BC =a , góc

 

90

 

SAB SCB khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) a Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

A.

2a B.

8a C.

16a D.

12a

 

 ,   ,  2

2

   a   a

d A SBC a d I SBC IK

Áp dụng hệ thức 12 12 12 2

  IH  a

IK IH IP

Suy

2

2 2 3

3

2

 

       

 

a a

AH AI IH a , suy

3 

R a , suy S  4 R2 12a2

Câu 50:Cho hình lăng trụ tam giác có chín cạnh a Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình lăng trụ

A.

3 21

54 a

B.

3

7

54 a

C.

3

7

54 a

D.

3 21

18 a

Ta có

2

21

2

   

         

a a a

R Suy

3

4 21

3 54



   a

V R

Gọi H trung điểm SB Do tam giác SAB vuông A, SBC vuông C suy HAHB HSHC Suy H tâm mặt cầu

Gọi I hình chiếu H lên (ABC) Do HA=HB=HC, suy IAIBIC Suy I trung điểm AC

Gọi P trung điểm BC, tam giác ABC vuông cân, suy IPBC IHPBC , dựng

(61)

Câu 51:Cho hình chóp S.ABC có SA = a 2, AB = a , AC =a , SA vng góc với đáy đường trung tuyến AM tam giác ABC

2 a

Gọi (S) mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Thể tích khối cầu tạo mặt cầu (S) là:

A V   6a3 B V  2 2a3 C. V  2 3a3 D. V  2 6a3 Hướng dẫn giải:

Từ công thức tính độ dài trung tuyến ta suy được: BC = a SABC  a

Gọi r bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC ta có:

 

ABC

BA AC BC

r a

S

Gọi R bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC ta có:

2

 

    

 

SA

R r a

⇒ Thể tích khối cầu

6  

V a

Câu 52:Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng cân A AB, ACa Mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Tính theo a thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

A

3

54 a

B.

3 21

54 a

C

3

3 a

D.

3 21

54 a

Ta có: 1 3

3 3

 



IO GH SH a a ,

2 

OB a

2 21

6 

  O OB 

R IB I a

Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp : V=

3

4 21

3 54

 R  a

Câu 53:Cho tứ diện ABCD có cạnh a Một mặt cầu tiếp xúc với mặt tứ diện có bán kính là:

A.

12 a

B.

6 a

C.

3 a

D.

8 a

Gọi H trung điểm AB, G trọng tâm tam giác SABG tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB

Gọi O tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác vng ABC O trung điểm CB Qua O dựng đường thẳng d vng góc với mpABCd / /SH

(62)

Gọi H tâm tam giác BCD E trung điểm CD Ta có AH

Cho tứ diện ABCD có cạnh a Một mặt cầu tiếp xúc với mặt tứ diện có bán kính là:AH (BCD) Gọi I, r tâm bán kính mặt cầu tiếp xúc với mặt cầu tiếp xúc với mặt tứ diện ABCD I giao AH phân giác góc AEB AEB Ta có

2

3

;

2

6

   

  

a BE a

AE BE HE

a

AH AE HE

Áp dụng tính chất đường phân giác:

12

  

 

   



IH EH IH EH

IA EA IH IA EH EA EH AH a

r IH

EH EA

Câu 54:Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng (ABCD)

và góc đường thẳng SC tạo với mặt phẳng (SAB) 300 Gọi M trung điểm SA, (P) mặt phẳng qua M vng góc với SC Mặt phẳng (P) cắt cạnh SB, SC, SD N, E, F Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.MNEF

A.

3 a

B.

4 a

C.

5 a

D.

6 a

 

 

   

   MN SE

MN SNE MN SN

MN NE Tương tự MF SF

Từ đó, SNM, SEM SFM tam giác vuông nhận SM cạnh huyền chung Suy gọi I trung điểm SM I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.MNEF bán kính mặt cầu

1

2

  a

R SM

Câu 55:Cho hình chóp S.ABCD có SA vng góc với đáy,

6 

SA a Đáy ABCD hình thang vng A B,

2

  

AB BC AD a Gọi E trung điểm AD Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ECD

A Ra B. 30

3  a

R C.

2  a

R D 19

(63)

Phân tích: Để tính bán kính mặt cầu khối chóp mà hình dạng khơng có đặc biệt phương pháp chung là:

- Xác định đường cao khối chóp SH Xác định K tâm vịng tròn ngoại tiếp đáy

- Dựng trục đường tròn đáy: Là đường thẳng qua tâm vòng tròn ngoại tiếp đáy vng góc với đáy (đường thẳng song song với đường cao khối chóp)

- Dựng mặt phẳng trung trực cạnh bên cắt trục đường tròn điểm I tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp

(Thơng thường ta xác định tâm I theo cách kẻ IE vng góc với SA1 tai trung điểm E SA1) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp theo cơng thức sau: R2 IA12 IK2 KA12 1

   

2

2 2

2

4

 SA   SA   

R IE KF IK EF với K hình chiếu E lên đáy

Quay lại với tốn trên, ta làm theo cách: cách dựng cách lại dùng phương pháp tọa độ hóa

 Cách 1: Trình bày theo phương pháp hình học khơng gian

Trước tiên ta tính toán số liệu toán: ACCDa 2,SC SA2 AC2 2 2a

Gọi K trung điểm cạnh CD Dựng trục đường tròn đáy đường thẳng qua K song song với SA (chiều cao hình chóp)

Gọi E trung điểm SC, qua E kẻ đường thẳng vng góc với SC cắt trục đường tròn đáy I Ta có I tâm mặt cầu hình chóp ngoại tiếp S.CDE

Kẻ EF/ /SA suy EF ABCD Theo cơng thức nói ta có:

2

 

     

 

 

a

R a IK a  

2

2 2

4

 SC     SC

R IE KF IK EF

2

 

     

 

 

a

R a IK a

2

2 2

2

    a

R IK KD IK

Từ phương trình ta có  a IK

2

4 19

2

6

 

      

 

   

a a

R a

 Cách 2: Sử dụng phương pháp tọa độ hóa

Trong mặt phẳng không gian cho hệ tọa độ Oxyz với O A, tia AD trùng với tia Oy, tia AB trùng với tia Ox, tia AS trùng với tia Oz

Khi ta có:A0;0;0 , ABaB a ;0;0,AD2aD0;2 ;0 ,a  AS a 6S0;0;a 6,  ; ;0

 

BC a C a a Vì E trung điểm AD nên E0; ;0a 

Khi tốn trở thành viết phương trình mặt cầu qua điểm S,E,D,C biết tọa độ chúng Để khơng phức tạp tính tốn em nên cho a1 tọa độ điểm

0;1;0 , 1;1;0 , 0; 2;0 , 0;0; 6

E C D S

Phương trình mặt cầu qua điểm có dạng: x2y2 z22ax2by2czd 0 (với

3 2

   

d a b c R )

(64)

1

3

6

2

4

2

2 2

3  

 

  

 



  

  

 



 

  

  

      

 

 

 a

b d

b

c d

b d

c

a b d

d

2 2 19

6 R a b c d 

Câu 56:Một chậu nước hình bán cầu nhơm có bán kính R=10 đặt khung hình hộp chữ

nhật (như hình vẽ) Trong chậu chứa sẵn khối nước hình chỏm cẩu có chiều cao h=2 Người ta bỏ vào chậu viên bi hình cầu kim loại mặt nước dâng lên vừa phủ kín viên bi (như hình vẽ) Cho biết cơng thức tính thể tích khối chỏm cầu hình cầu (O;R) có chiều cao h là: Vchỏm

2

3

 

    

 

h

h R , bán kính viên bi:

A. r 1 B.

2 

r C. r1,5 D.

4  r Hướng dẫn giải:

Phân tích: Ta tích phần nước dâng lên thể tích viên bi ném vào Do ta có:

Thể tích nước ban đầu: 1

3

 

    

 

h

V h R ;

Khi thể tích nước sau ném viên bi vào thể tích 2 1 4 3(1)

3 3

 

        

 

h

V V r h R r

“Bỏ vào chậu viên bi hình cầu kim loại mặt nước dâng lên vừa phủ kín viên bi” Do thể tích sau kh bỏ viên bi vào tính cơng thức: 2 (2 )2

3

 

    

 

r

V r R (2)

Từ (1) (2) ta có phương trình: 2

3 3

   

         

   

h r

h R r r R 2

4

3

 

     

 

h

r Rr h R

=0

Khi thay giá trị mà đề cho vào phương trình bấm máy tính giải ta r1.019450 (chọn A) Bấm máy tính ta thấy có nghiệm, nhiên việc bán kính viên bi xấp xỉ chậu nước điều vơ lí (9.90486)