Ôn tập chương 2 Hình học 12 Bài 1 trang 50 SGK Toán 12 Hình học Cho ba điểm A, B, C cùng thuộc một mặt cầu sao cho ACB = 90o Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? a) Đường tròn qua ba điểm A,[.]
Ôn tập chương Hình học 12 Bài trang 50 SGK Tốn 12 Hình học: Cho ba điểm A, B, C thuộc mặt cầu cho ACB = 90o.Trong khẳng định sau, khẳng định đúng? a) Đường tròn qua ba điểm A, B, C nằm mặt cầu b) AB đường kính mặt cầu cho c) AB đường kính mặt cầu d) AB đường kính đường tròn giao tuyến tạo mặt cầu mặt phẳng (ABC) Lời giải: a) Đúng ACB = 900 ; ba điểm A, B, C thuộc mặt cầu Khi mặt cầu giao với mp(ABC) theo đường trịn có tâm trung điểm AB b) Sai c) Sai – AB đường kính mặt cầu d) Đúng Vì đường trịn giao tuyến mp(ABC) với mặt cầu có ACB = 900 Điều tỏ AB đường kính đường trịn giao tuyến Bài trang 50 SGK Tốn lớp 12 Hình học 12: Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vng góc với mặt phẳng (ABC) cạnh BD vng góc với cạnh BC Biết AB = AD = a Tính diện tích xung quanh hình nón thể tích khối nón tạo thành quay đường gấp khúc BDA quanh cạnh AB Lời giải: Ta có: AD ⊥ (ABC) nên AD ⊥ AB Suy ra: tam giác ABD vuông A ABD 900 Khi quay xung quanh cạnh AB; tam giác ABD tạo hình nón trịn xoay có đỉnh B; trục đường thẳng AB, đáy hình trịn tâm A – bán kính r = AD Vậy hình nón có: Chiều cao h = BA = a; bán kính r = AD = a; đường sinh l = BD = AD2 +AB2 = a Diện tích xung quanh hình nón là: Sxq = πrl = π.a.a = π.a 2 1 Thể tích khối nón là: V = πr h = πa a = πa 3 Bài trang 50 SGK Tốn lớp 12 Hình học: Chứng minh hình chóp có tất cạnh bên nội tiếp mặt cầu Lời giải: Cho hình chóp S.A1A2A3 An có cạnh bên Gỉa sử I hình chiếu vng góc S mặt đáy Ta có: SA1 = SA2 = SA3 = = SAn Suy ΔSIA1= ΔSIA2 = ΔSIA3 = = ΔSIAn (cạnh huyền – cạnh góc vng) Suy IA1 = IA2 = IA3 = = IAn Đa giác A1A2A3 An đa giác nội tiếp đường tròn tâm I bán kính IA, trục SI Trong mp(SAI), đường trung trực SA1 cắt SI O, ta có: OS = OA1 (1) OA1 = OA2 = OA3 = = OAn (2) Từ (1) (2) suy OS = OA1 = OA2 = OA3 = = OAn Vậy hình chóp S.A1A2A3 An nội tiếp mặt cầu Bài trang 50 SGK Toán lớp 12 Hình học: Hình chóp S.ABC có mặt cầu tiếp xúc với cạnh bên SA, SB, SC Mặt cầu tiếp xúc với ba cạnh AB, BC, CA trung điểm cạnh Chứng minh hình chóp hình chóp tam giác Lời giải: Gọi mặt cầu cho có tâm O bán kính R Gọi M, N, P trung điểm AB, BC CA Gọi I, J K tiếp điểm cạnh bên SA, SB, SC với mặt cầu: + Từ giả thiết ta suy ra: OI ⊥ SA; OM ⊥ AB Xét tam giác OIA tam giác OMA có: OA chung OI = OM = R OIA = OMA = 900 ⇒ ∆ OIA = ∆OMA ( ch- cgv) ⇒ AM = AI Chứng minh tương tự có: BM = BJ SI = SJ (1) Mà AM = BM nên AI = BJ ; (2) Từ (1) (2) suy ra: SI + IA = SJ + BJ hay SA = SB (3) * Chứng minh tương tự, ta có SB = SC (4) Từ (3) (4) suy ra: SA = SB = SC (*) Mặt khác ; BM = BN (= BJ) CN = CP (= CK) Suy ra; AB = 2BM = BC = CN = 2CP = CA Do đó, tam giác ABC tam giác (**) Từ (*) (**) suy ra, S.ABC hình chóp tam giác Bài trang 50 SGK Tốn lớp 12 Hình học: Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi H hình chiếu vng góc đỉnh A xuống mặt phẳng (BCD) a) Chứng minh H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD Tính độ dài đoạn AH b) Tính diện tích xung quanh hình trụ thể tích khối trụ có đường trịn đáy ngoại tiếp tam giác BCD chiều cao AH Lời giải: a) Từ A vẽ AH ⊥ (BCD) Xét ba tam giác ABH, ACH ADH có: AB = AC = AD (vì ABCD tứ diện đều) AH chung AHB = AHC = AHD = 900 Suy ra: ∆ ABH = ∆ ACH = ∆ ADH (ch- cgv) Suy ra, HB = HC = HD Do đó, H tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác BCD Do tam giác BCD tam giác nên H đồng thời trọng tâm tam giác BCD Gọi I trung điểm CD Ta có: a ; 2 a BH = BI = 3 BI = a.sin 600 = + Xét tam giác AHB vng H có: a 3 a AH = AB − BH = a − = 3 2 b) Ta có: h = AH = a a ; r = BH = 3 Diện tích xung quanh hình trụ là: a a 2πa 2 Sxq = 2πrh = 2π = 3 Thể tích khối trụ là: a a πa V = πr h = π. = 3 Bài trang 50 SGK Tốn lớp 12 Hình học 12: Cho hình vng ABCD cạnh a Từ tâm O hình vng dựng đường thẳng Δ vng góc với mặt phẳng (ABCD) a Trên Δ lấy điểm S cho OS = Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu tạo nên mặt cầu Lời giải: Gọi H trung điểm SA Trong mp(SAO); đường trung trực đoạn SA cắt SO I Ta có: ∆ SAO đồng dạng ∆ SIH (g.g) (vì S chung; SHI = SOA = 900 ) SA SI SA.SH SA = SI = = SO SH SO 2SO Mà 2 a a 3a SA = SO +OA = + = 2 2 SA = a 2 3a 3a Khi đó; SI = = a 2 Mặt khác: IS = IA (vì I đường trung trực SA) Và IA= IB = IC = ID (vì I thuộc SO) Suy ra: IS = IA = IB = IC = ID = 3a Vậy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD có tâm I bán kính R = SI = 3a 3a 9πa Diện tích mặt cầu: S = 4πR = 4π. = 4 4 3a 9πa Thể tích khối cầu là: V = πR = π = 3 4 16 Bài trang 50 SGK Tốn lớp 12 Hình học: Cho hình trụ có bán kính r, trục OO' = 2r mặt cầu đường kính OO' a) Hãy so sánh diện tích mặt cầu diện tích xung quanh hình trụ b) Hãy so sánh thể tích khối trụ thể tích khối cầu tạo nên hình trụ mặt cầu cho Lời giải: a) Do trục OO’= 2r nên chiều cao khối trụ h = 2r Mặt cầu có đường kính OO’= 2r nên bán kính mặt cầu là: R = r Diện tích mặt cầu là: Sc = 4πr Diện tích xung quanh hình trụ là: St = 2πrh = 2πr.2r = 4πr Vậy SC = St b)Thể tích khối trụ là: Vt = πr 2h = πr 2r = 2πr Thể tích khối cầu: VC = πr Vt 2πr 3 = = Vt = VC Suy ra: VC πr 2 ... xung quanh hình trụ là: a a 2? ?a 2 Sxq = 2? ?rh = 2? ? = 3 Thể tích khối trụ là: a a πa V = πr h = π. = 3 Bài trang 50 SGK Tốn lớp 12 Hình học 12: Cho hình vng ABCD cạnh a Từ tâm O hình... đường sinh l = BD = AD2 +AB2 = a Diện tích xung quanh hình nón là: Sxq = πrl = π.a.a = π.a 2 1 Thể tích khối nón là: V = πr h = πa a = πa 3 Bài trang 50 SGK Toán lớp 12 Hình học: Chứng minh... SOA = 900 ) SA SI SA.SH SA = SI = = SO SH SO 2SO Mà 2 a a 3a SA = SO +OA = + = ? ?2? ?? 2 SA = a 2 3a 3a Khi đó; SI = = a 2 Mặt khác: IS = IA (vì I đường trung trực SA) Và