Ôn tập chương I Bài 1 trang 45 Toán lớp 12 Giải tích Phát biểu các điều kiện đồng biến và nghịch biến của hàm số Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = – x3 + 2x2 – x – 7, x 5 y 1 x , Lời giải Đ[.]
Ôn tập chương I Bài trang 45 Toán lớp 12 Giải tích: Phát biểu điều kiện đồng biến nghịch biến hàm số Tìm khoảng đơn điệu hàm số y = – x3 + 2x2 – x – 7, y x 5 , 1 x Lời giải: - Điều kiện đồng biến, nghịch biến hàm số: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm khoảng K + f(x) đồng biến (tăng) K f’(x) > với x K + f(x) nghịch biến (giảm) K f’(x) < với x K - Xét hàm số y = – x3 + 2x2 – x – 7, TXĐ: D = Ta có: y' = – 3x2 + 4x – + Hàm số đồng biến – 3x2 + 4x – > x 1 x + Hàm số nghịch biến – 3x + 4x – < x 1 1 Vậy hàm số đồng biến ;1 nghịch biến khoảng ; 3 3 (1;+∞) - Xét hàm số y x 5 1 x Ta có: D = y \ {1} 1 x x 1 x 4 1 x 0x D Suy hàm số nghịch biến khoảng (-∞; 1) (1; +∞) Bài trang 45 Tốn lớp 12 Giải tích: Nêu cách tìm cực đại, cực tiểu hàm số nhờ đạo hàm Tìm cực trị hàm số: y = x4 - 2x2 + Lời giải: * Cách tìm cực đại, cực tiểu hàm số nhờ đạo hàm: Quy tắc 1: Tìm tập xác định Tính f'(x) Tìm điểm f'(x) f'(x) không xác định Lập bảng biến thiên Từ bảng biến thiên suy điểm cực trị Quy tắc 2: Tìm tập xác định Tính f'(x) Giải phương trình f'(x) = kí hiệu xi (i = 1, 2, 3, ) nghiệm Tính f"(x) f"(xi) Nếu f"(xi) > xi điểm cực tiểu Nếu f"(xi) < xi điểm cực đại * Xét hàm số y = x4 - 2x2 + 2, ta có: TXĐ: D = y' = 4x3 - 4x = 4x(x2 - 1) y' = 4x(x2 - 1) = x = 0; x = ±1 y" = 12x2 - Dựa vào Quy tắc 2, ta có: y"(0) = -4 < x = điểm cực đại yCĐ = 04 – 02 + = y"(-1) = y"(1) = > x = ±1 hai điểm cực tiểu yCT = – + = Bài trang 45 Tốn lớp 12 Giải tích: Nêu cách tìm tiệm cận ngang tiệm cận dứng đồ thị hàm số Áp dụng để tìm tiệm cận đồ thị hàm số y 2x 2x Lời giải: * Cách tìm tiệm cận ngang: + Tính giới hạn lim y lim y x x + Nếu lim y y0 lim y y0 y = y0 tiệm cận ngang đồ thị hàm số x x * Cách tìm tiệm cận đứng: Đường thẳng x = x0 tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = f(x) điều kiện sau thỏa mãn: lim y ; lim y x x 0 x x lim y ; lim y x x 0 x x b) Xét hàm số: y 2x 2x Ta có: lim y lim 2x 2x ; lim y lim x 2 x 2 x 2x x 2 x 2 Suy đồ thị có tiệm cận đứng x = 3 2x x 2 lim y lim lim x x x x 1 x 2 Suy đồ thị có tiệm cận ngang y = -2 Bài trang 45 Tốn lớp 12 Giải tích: Nhắc lại sơ đồ khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số Lời giải: Cho hàm số y = f(x) Các bước khảo sát hàm số: Tìm tập xác định hàm số Sự biến thiên - Xét chiều biến thiên: + Tính đạo hàm y' + Tìm điểm y' không xác định + Xét dấu đạo hàm y' suy chiều biến thiên hàm số - Tìm cực trị - Tìm giới hạn tìm tiệm cận (nếu có) - Lập bảng biến thiên Vẽ đồ thị hàm số Dựa vào bảng biến thiên yếu tố xác định để vẽ đồ thị Bài trang 45 Toán lớp 12 Giải tích: Cho hàm số y = 2x2 + 2mx + m - có đồ thị (Cm), m tham số a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = b) Xác định m để hàm số: i) Đồng biến khoảng (-1; +∞); ii) Có cực trị khoảng (-1; +∞) c) Chứng minh (Cm) cắt trục hoành hai điểm phân biệt với m Lời giải: a) Với m = ta hàm số: y = 2x2 + 2x - TXĐ: D = - Sự biến thiên: + Chiều biến thiên: y' = 4x + y' = 4x + = x = + Bảng biến thiên: 1 1 Kết luận: Hàm số nghịch biến ; , đồng biến 2 1 Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu ; 2 - Đồ thị: Ta có: 2x2 + 2x = 2x(x + 1) = x = 0; x = -1 + Giao với Ox: (0; 0); (-1; 0) + Giao với Oy: (0; 0) Đồ thị hàm số qua điểm (-2; 4), (1; 4) ; b) Xét hàm số y = 2x2 + 2mx + m - y' = 4x + 2m = 2(2x + m) y' = x = m Ta có bảng xét biến thiên: Từ bảng biến thiên ta thấy : i) Hàm số đồng biến khoảng (-1; +∞) m 1; ; m 1 m 2 Vậy với m hàm số cho đồng biến khoảng (-1; +∞) ii) Hàm số có cực trị khoảng (-1; +∞) m 1 m 2 Vậy với m < hàm số cho có cực trị khoảng (-1; +∞) c) Nhận thấy: m2 1 m m 1 với m 2 Suy ra, giá trị cực tiểu nhỏ với m Dựa vào bảng biến thiên suy đường thẳng y = (trục hồnh) ln cắt đồ thị hàm số điểm phân biệt (đpcm) Bài trang 45 Tốn lớp 12 Giải tích: a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số f(x) = -x3 + 3x2 + 9x + b) Giải phương trình f'(x - 1) > c) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm có hồnh độ x 0, biết f''(x0) = -6 Lời giải: a) Khảo sát hàm số f(x) = -x3 + 3x2 + 9x + - TXĐ: D = - Sự biến thiên: + Chiều biến thiên: f'(x) = -3x2 + 6x + f'(x) = -3x2 + 6x + = x = -1; x = + Giới hạn: lim y ; lim y x x + Bảng biến thiên: Kết luận: Hàm số đồng biến (-1; 3) Hàm số nghịch biến (-∞; -1) (3; +∞) Hàm số đạt cực đại x = 3, yCĐ = 29 Hàm số đạt cực tiểu x = -1; yCT = -3 - Đồ thị: + Giao với trục tung (0; 2) + Đi qua điểm (-2; 4); (2; 24) b) f'(x) = -3x2 + 6x + f'(x – 1) = -3(x – 1)2 + 6.(x – 1) + Ta có: f'(x – 1) > -3(x - 1)2 + 6(x - 1) + > -3(x2 - 2x + 1) + 6x - + > -3x2 + 6x - + 6x - + > -3x2 + 12x > -x2 + 4x > x(4 - x) > < x < Vậy < x < nghiệm bất phương trình c) Ta có: f"(x) = -6x + Theo bài: f"(x0) = -6 -6x0 + = -6 x0 = Tại x0 = 2, f'(2) = -3.22 + 6.2 + = ; f(2) = -23 + 3.22 + 9.2 + = 24 Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hồnh độ x0 = : y = 9(x - 2) + 24 hay y = 9x + Bài trang 45, 46 Toán lớp 12 Giải tích: a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số: y = x3 + 3x2 + b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận số nghiệm phương trình sau theo m: x3 + 3x2 + = m c) Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại điểm cực tiểu đồ thị (C) Lời giải: a) Khảo sát hàm số y = x3 + 3x2 + - TXĐ: D = - Sự biến thiên: + Chiều biến thiên: y' = 3x2 + 6x = 3x(x + 2) a) Khảo sát hàm số y x 3x 2 - TXĐ: D = - Sự biến thiên: + Chiều biến thiên: f'(x) = 2x3 - 6x = 2x(x2 - 3) f'(x) = 2x(x2 - 3) = x = 0; x = + Giới hạn vô cực: lim y x + Bảng biến thiên: Kết luận: Hàm số đồng biến 3;0 Hàm số nghịch biến ; 0; Hàm số đạt cực đại x = 0, yCĐ = Hàm số đạt cực tiểu x = ; yCT = -3 - Đồ thị: + Đồ thị hàm số nhận trục tung trục đối xứng + Đồ thị cắt trục tung (0; 1,5) 3; b) Ta có: f"(x) = 6x2 - = 6(x2 - 1) f"(x) = 6(x2 - 1) x = ±1 y(±1) = -1, Phương trình tiếp tuyến (C) (-1; -1) là: y = f'(-1)(x + 1) – y = 4x + Phương trình tiếp tuyến (C) (1; -1) là: y = f'(1)(x - 1) - y = -4x + c) Ta có: x4 - 6x2 + = m (*) m x 3x 2 Số nghiệm phương trình (*) số giao điểm đồ thị (C) đường m thẳng (d) y = Từ đồ thị (C) nhận thấy : + m < - m < -6 Suy đường thẳng (d) không cắt đồ thị (C) Phương trình vơ nghiệm + m = -3 m = -6 Suy đường thẳng (d) cắt đồ thị (C) hai điểm Phương trình có nghiệm phân biệt + -3 < m -6 < m < < 2 Suy đường thẳng (d) cắt (C) điểm phân biệt Phương trình có nghiệm phân biệt + m m=3 = 2 Suy đường thẳng (d) cắt (C) ba điểm Phương trình có nghiệm phân biệt + m m>3 > 2 Suy đường thẳng (d) cắt (C) hai điểm Phương trình có hai nghiệm phân biệt Vậy: +) m < - phương trình vơ nghiệm +) m = - m > PT có nghiệm phân biệt +) m = PT có nghiệm phân biệt +) – < m < PT có nghiệm phân biệt Bài 10 trang 46 Tốn lớp 12 Giải tích: Cho hàm số y = -x4 + 2mx2 - 2m + (m tham số) có đồ thị (Cm) a) Biện luận theo m số cực trị hàm số b) Với giá trị m (Cm) cắt trục hồnh? c) Xác định m để (Cm) có cực đại, cực tiểu Lời giải: a) TXĐ: D = y' = -4x3 + 4mx = 4x(m - x2) x y' = 4x(m - x2) = x m 1 y'' = -12x2 + 4m - Nếu m ≤ 0, phương trình y' = có nghiệm x = Mà y''(0) = 4m < Suy x = điểm cực đại cực trị hàm số - Nếu m > phương trình (1) có nghiệm phân biệt khác nên phương trình y'= có nghiệm phân biệt Suy hàm số có cực trị Vậy với m ≤ hàm số có điểm cực trị điểm cực đại, cịn m > hàm số có cực trị b) – Xét m ≤ 0, phương trình y' = có nghiệm x = Ta có bảng biến thiên : (Cm) cắt trục hoành – 2m ≥ m (thỏa mãn với m ≤ 0) (1) - Xét m > 0, phương trình y' = có nghiệm ; m Ta có bảng biến thiên : (Cm) cắt trục hoành (m – 1)2 ≥ (thỏa mãn với m) (2) Kết hợp (1) (2) suy (Cm) cắt trục hoành với số thực m c) Dựa vào câu a ta có: (Cm) có cực đại, cực tiểu (có cực trị) m > Bài 11 trang 46 Toán lớp 12 Giải tích: a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) x 3 hàm số y x 1 b) Chứng minh với giá trị m, đường thẳng y = 2x + m cắt (C) hai điểm phân biệt M N c) Xác định m cho độ dài MN nhỏ d) Tiếp tuyến điểm S (C) cắt hai tiệm cận (C) P Q Chứng minh S trung điểm PQ Lời giải: a) Khảo sát hàm số y - TXĐ: D = x 3 x 1 \ {-1} - Sự biến thiên: + Chiều biến thiên: y 2 x 1 x D Suy hàm số nghịch biến khoảng (-∞; -1) (-1; +∞) + Cực trị: Hàm số khơng có cực trị + Tiệm cận: lim x 1 x 3 x 3 ; lim x 1 x x 1 Suy x = -1 tiệm cận đứng đồ thị hàm số x3 x 1 Lại có: lim lim x x x 1 x 1 Suy y = tiệm cận ngang đồ thị hàm số + Bảng biến thiên: - Đồ thị: ... b) f''(x) = -3x2 + 6x + f''(x – 1) = -3(x – 1) 2 + 6. (x – 1) + Ta có: f''(x – 1) > -3(x - 1) 2 + 6( x - 1) + > -3(x2 - 2x + 1) + 6x - + > -3x2 + 6x - + 6x - + > -3x2 + 12 x > -x2 + 4x >... thị cắt trục tung (0; 1, 5) 3; b) Ta có: f"(x) = 6x2 - = 6( x2 - 1) f"(x) = 6( x2 - 1) x = ? ?1 y(? ?1) = -1, Phương trình tiếp tuyến (C) ( -1; -1) là: y = f''( -1) (x + 1) – y = 4x + Phương...Ta có: D = y \ {1} 1? ?? x x ? ?1 x 4 ? ?1 x 0x D Suy hàm số nghịch biến khoảng (-∞; 1) (1; +∞) Bài trang 45 Toán lớp 12 Giải tích: Nêu cách tìm cực đại, cực