Bài giảng môn toán lớp 12 Bài 2: Tính đơn điệu của hàm số47800

Bài Tính đơn điệu hàm số Tiến sĩ Đỗ Minh Truyền BÀI TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ A TÓM TẮT LÝ THUYẾT y  f (x) đồng biến / (a, b)  (x)  x(a, b) đồng thời (x)  số hữu hạn điểm  (a, b) y  f (x) nghịch biến / (a, b)  (x)  x(a, b) đồng thời (x)  số hữu hạn điểm  (a, b) Chú ý: Trong chương trình phổ thơng, sử dụng 1., cho hàm số quy tắc bỏ điều kiện (x)  số hữu hạn điểm  (a, b) CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA Bài Tìm m để y  mx   6m   x  1  3m  nghịch biến [1, ) x 1 Giải: Hàm số nghịch biến [1, )  y   mx  2mx2   x   x  1  mx  2mx    m  x  x   7 x   Min u  x   m Ta có: u   x   x 1  u  x   2x  2  x  ( x  x) 7  m x  x  2x  u(x) đồng biến [1, )  m  Min u  x   u 1  7 x 1 Bài Tìm m để y  1 x   m  1 x   m  3 x  đồng biến (0, 3) Giải Hàm số tăng (0,3)  y    x   m  1 x   m  3  x   0, 3 (1) Do y   x  liên tục x  x  nên (1)  y  x[0, 3]  m  x  1  x  x  x   0, 3  g  x   x  x   m x   0, 3 2x   Max g  x   m Ta có: g   x   x  x 2  x   0, 3 x 0,3  x  1  g(x) đồng biến [0, 3]  m  Max g  x   g  3  12 x 0,3 Bài Tìm m để y  m x   m  1 x   m   x  đồng biến  2,   3 DeThiMau.vn Chương I Hàm số Giải: Hàm số tăng /  2,    y   mx   m  1 x   m    x  (1)  m  x  1    2 x  x   g  x   Ta có: g   x    x  x  3 0 ( x  x  3) 2 x   m x   x  1  x  x  x1   ; lim g  x     x  x   x  3 g   x _ g  x 23 Từ BBT  Max g  x   g     m x2  + 0 CT Bài y  x  mx   2m  m   x   m  1  2m  3 đồng biến /  2,   Giải: Hàm số tăng  2,    y   x  2mx   2m  m    0, x    Ta có V   m  3m  3   m        nên y   có nghiệm x1  x 4 BPT g(x)  có sơ đồ miền nghiệm G là: Ta có y   x   x    2,    G x1 x2    1  m     1  m        x1  x   3 y  2m  3m     m  S  m   2 Bài Tìm m để y  x  1  m  x   m đồng biến 1,   xm 2 Giải: Hàm số đồng biến 1,    y   x  4mx  m  2m   x   x  m 2  g  x   x  4mx  m  2m   x   g  x   x     m   x  m  Cách 1: Phương pháp tam thức bậc Ta có:     m  1  suy g(x)  có nghiệm x1  x BPT g(x)  có sơ đồ miền nghiệm G là: Ta có g(x)  x(1, )  1,    G x1 x2 m  m  1,       x1  x   2 g 1   m  6m  1     m   2  m   2 m   2  S  2   2 DeThiMau.vn Bài Tính đơn điệu hàm số Tiến sĩ Đỗ Minh Truyền Cách 2: Phương pháp hàm số Ta có: g(x)  4(x  m)  4(x  1) > x >  g(x) đồng biến [1, ) Min g  x    g 1  m  6m    Do 1   x 1  m  m   m   2  m   2  m   2 m   Bài Tìm m để y   4m   cos x   2m  3 x  m  3m  giảm x  ¡ Giải: Yêu cầu toán  y     4m  sin x  2m   0, x  ¡  g  u     4m  u  2m   0, u   1;1 Do đồ thị y  g  u  , u   1;1  g  1  6m   1 m  đoạn thẳng nên ycbt     g m      Bài Tìm m để hàm số y  mx  sin x  sin x  sin x tăng với x  ¡ Giải: Yêu cầu toán  y   m  cos x  cos x  cos x  0, x  ¡  m  cos x   cos x  1   cos x  3cos x   0, x  ¡ 3  m   u  u   g  u  , u   1,1 , với u  cos x   1,1 Ta có g   u   4u  2u  2u  2u  1   u   ; u  Lập BBT suy yêu cầu toán  Max g  u   g  1   m x 1,1 Bài Cho hàm số y   m  1 x   2m  1 x   3m   x  m Tìm m để khoảng nghịch biến hàm số có độ dài y    m  1 x   2m  1 x   3m    Do    m  m   Giải Xét nên y   có nghiệm x1  x Khoảng nghịch biến hàm số có độ dài  y   0; x   x1 ; x  ; x  x1   m   x  x1  Ta có x  x1   16   x  x1    x  x1   x x1  2  2m  1  3m    m 1  m  1   m  1   2m  1   3m    m  1 2  3m  m    m   61  61 kết hợp với m   suy m  6 DeThiMau.vn Chương I Hàm số B ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ I DẠNG 1: ỨNG DỤNG TRONG PT, BPT, HỆ PT, HỆ BPT Bài Giải phương trình: x  x   x   Giải Điều kiện: x  Đặt f  x   x  x   x   Ta có: f   x   x  x     f (x) đồng biến ,    3x Mặt khác f (1)  nên phương trình f (x)  có nghiệm x  1 Bài Giải phương trình: x  15  x   x  Giải Bất phương trình  f  x   x   x   x  15  (1) + Nếu x  f (x) <  (1) vơ nghiệm 1   x  + Nếu x  f   x    x     2 3 x  15   x 8    f (x) đồng biến ,  mà f (1)  nên (1) có nghiệm x  x   x   x   13 x   (*) Bài Giải bất phương trình: Giải Điều kiện x  Đặt f  x   x   x   x   13 x  7 Ta có: f   x   13    0 x    x     x    (13 x  7)   f (x) đồng biến  ,  Mà f (3)  nên (*)  f (x) < f (3)  x <  Vậy nghiệm bất phương trình cho  x  Bài Giải PT: x  x  x  x  1x  1x  1x  x  x  x  17    Giải (*)  f  x   x  x  x  x  x  x  x (*)  2 x  x  x  17  g  x  Ta có f (x) đồng biến g(x)  6x2  10x  < x  g(x) nghịch biến Nghiệm f (x)  g(x) hoành độ giao điểm y  f  x  y  g  x  Do f (x) tăng; g(x) giảm f 1  g 1  13 nên (*) có nghiệm x  DeThiMau.vn Bài Tính đơn điệu hàm số Tiến sĩ Đỗ Minh Truyền Bài Tìm số m Max để m  sin x  cos x  1  sin x  sin x  cos x  x (*) Giải Đặt t  sin x  cos x   t   sin x  cos x    sin x   t  2   t  , (*)  m  t  1  t  t  t  1,  2  f  t   t  t   m t  1,   Min f  t   m Do f   t   t  22t  t 1 t1,   t  1 nên f (t) đồng biến / 1,   Min f  t   f 1   m   Max m  2 t1,  Bài Giải phương trình 2008 sin 2008 sin x  2008 cos x x  2008 cos x  cos x  sin x  2008 sin  cos x x  sin x  2008 cos x  cos x (*) Xét f  u   2008 u  u Ta có f   u   2008 u ln u   Suy f  u  đồng biến (*)  f  sin x   f  cos x   sin x  cos x  cos x   x    k  , k  ¢ cotg x  cotg y  x  y Bài Tìm x, y   0,   thỏa mãn hệ  3 x  y  2 Giải cotg x  cotg y  x  y  x  cotg x  y  cotg y Xét hàm số đặc trưng f  u   u  cotg u , u   0,   Ta có f   u    0 sin u  f  x  f  y x y Suy f  u  đồng biến  0,   Khi  x y     2 x   y  y  y  Bài Giải hệ phương trình 2 y   z  z  z (*)  2 z   x  x  x Giải Xét f  t   t  t  t với t  ¡  f   t   2t   t  1   f (t) tăng Không tính tổng quát giả sử x  y  z  f  x  f  y   f  z   2z   2x   y   z  x  y  x  y  z   3 x  x   Bài Giải hệ bất phương trình   x  x   Giải 3x  x    1  x  Đặt f  x   x  3x  Ta có:    f   x    x  1  x  1   f  x  giảm f  x   f   0, x  1, 27 DeThiMau.vn Chương I Hàm số II DẠNG 2: ỨNG DỤNG TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Bài Chứng minh rằng: x  Giải  x  x3 x3 x5 x >  sin x  x   3! 3! 5! x3 x3  sin x x >  f  x    x  sin x  x > 3! 3! Ta có f   x   x2   cos x  f   x   x  sin x  f   x    cos x  x > 2!  f   x  đồng biến [0, +)  f   x   f     x >  f   x  đồng biến [0, +)  f   x   f    = x >  f  x  đồng biến [0, +)  f(x) > f(0) =  sin x  x  x >  (đpcm) x3 x5 x5 x3 x >  g(x) =    x  sin x  x > 3! 5! 5! 3! Ta có g(x) = x4 x2 x3    cos x  g(x) =  x  sin x = f(x) > x > 4! 2! 3!  g(x) đồng biến [0, +)  g(x) > g(0) = x >  g(x) đồng biến [0, +)  g(x) > g (0) = x >  (đpcm) Bài Chứng minh rằng: Giải sin x  f ( x)  sin x  2x sin x  f ( x)    x  2x    x   0,   2   x  0,  Xét biểu thức đạo hàm  2 x cos x  sin x g ( x)  , kí hiệu g(x) = x cosx  sinx x2 x   Ta có g(x) = cosx  xsinx  cosx =  xsinx < x  0,   2    g(x) giảm  0,   g(x) < g(0) =  2  f   x  g ( x)    x  0,   f (x) giảm x  2  2x    f  x   f    sin x  , x   0,     2 DeThiMau.vn    0,    Bài Tính đơn điệu hàm số Tiến sĩ Đỗ Minh Truyền x y x y  ln x  ln y Bài Chứng minh rằng: x > y > Giải Do x > y > 0, lnx > lny  lnx  lny > 0, nên biến đổi bất đẳng thức x 1 x y y t 1 x x  ln x  ln y    ln t   với t  >1  ln   x 1 t 1 x y y y y  t  1 t 1     t >1 Ta có f t     t >1  f (t )  ln t   t 1 t  t  1 t  t  1  f(t) đồng biến [1, +)  f(t) > f(1) = t >1  (đpcm) y  x   ln  ln 4 1 x  y  x  1 y Bài Chứng minh rằng:   x, y   0,1 (1)   x  y Giải Xét hai khả sau đây: + Nếu y > x (1)  ln y x y x  ln   y  x   ln  y  ln  4x 1 y 1 x 1 y 1 x + Nếu y < x (1)  ln y x y x  ln   y  x   ln  y  ln  4x 1 y 1 x 1 y 1 x Xét hàm đặc trưng f(t) = ln Ta có f   t   t  4t với t(0, 1) 1 t  2t  1 4   t(0,1)  f(t) đồng biến (0, 1) t (1  t ) t (1  t )  f(y) > f(x) y > x f(y) < f(x) y < x  (đpcm) Bài Chứng minh rằng: ab  ba a > b  e Giải ab < ba  lnab < lnba  blna < alnb  Xét hàm đặc trưng f(x) = Ta có f ( x)  ln a ln b  a b ln x x  e x  ln x  ln e    f(x) nghịch biến [e, +) x2 x2  f(a) < f(b)  ln a ln b  ab < ba  a b DeThiMau.vn Chương I Hàm số Bài (Đề TSĐH khối D, 2007)  Chứng minh a  1a Giải Biến đổi bất đẳng thức  a  1a   b  b  1b   b  b  1b  a  , a  b  a b a b        a4     b4      a a b b a b a    1  a   1  b   ln 1  a   ln 1  b   ln   ln  a b x  Xét hàm số đặc trưng cho hai vế f  x   ln  với x  Ta có x x x x x   f   x   ln  21  x ln    f  x  giảm  0,    f  a   f  b  x 1   Bài (Bất đẳng thức Nesbitt) Chứng minh rằng: a b c    bc ca ab a, b, c > (1) Giải Khơng tính tổng qt, giả sử a  b  c Đặt x = a  x  b  c > Ta có (1)  f (x) =  f ( x)  x b c   bc c x xb với x  b  c > b c b c      0 2 b  c  x  c b  c b  c   x  b b  c 2  f(x) đồng biến [b, +)  f ( x)  f (b)  2b  c bc Đặt x = b  x  c > 0, xét hàm số g(x) = 2x  c với x  c > xc  g ( x)  c  x  c Từ (2), (3) suy (2)  c >  g(x) đồng biến [c, +)  g ( x)  g (c)  a b c    bc ca ab (3) a, b, c > Bình luận: Bất đẳng thức Nesbitt đời năm 1905 bất đẳng thức tiếng suốt kỷ 20 Trên cách chứng minh bất đẳng thức 45 cách chứng minh Bạn đọc xem tham khảo đầy đủ cách chứng minh sách: “Những viên kim cương bất đẳng thức Toán học” tác giả NXB Tri thức phát hành tháng 3/2009 DeThiMau.vn ...   m   2  m   2 m   2  S  2   2 DeThiMau.vn Bài Tính đơn điệu hàm số Tiến sĩ Đỗ Minh Truyền Cách 2: Phương pháp hàm số Ta có: g(x)  4(x  m)  4(x  1) > x >  g(x) đồng biến... 61 kết hợp với m   suy m  6 DeThiMau.vn Chương I Hàm số B ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ I DẠNG 1: ỨNG DỤNG TRONG PT, BPT, HỆ PT, HỆ BPT Bài Giải phương trình: x  x   x   Giải Điều... (x) tăng; g(x) giảm f 1  g 1  13 nên (*) có nghiệm x  DeThiMau.vn Bài Tính đơn điệu hàm số Tiến sĩ Đỗ Minh Truyền Bài Tìm số m Max để m  sin x  cos x  1  sin x  sin x  cos x  x