Chuyên đề bồi dưỡng HSG, một số vấn đề về giới hạn của dãy số

Chuyên đề bồi dưỡng HSG, một số vấn đề về giới hạn của dãy số, Chuyên đề bồi dưỡng HSG, một số vấn đề về giới hạn của dãy số, Chuyên đề bồi dưỡng HSG, một số vấn đề về giới hạn của dãy số, Chuyên đề bồi dưỡng HSG, một số vấn đề về giới hạn của dãy số,

Một số vấn đề giới hạn dãy số - I Lí chọn đề tài: Dãy số chủ đề lớn nội dung học sinh giỏi quốc gia Bài tốn tìm giới hạn dãy số tốn khó học sinh THPT Ngồi dạng tốn quen thuộc nhiều tốn tìm giới hạn dãy số thách thức nhiều học sinh tập giới hạn dãy số kì thi học sinh giỏi Với mong muốn giúp học sinh có cách tiếp cận dễ dàng số chủ đề giới hạn dãy số chun đề này, tơi xin phép trình - bày ba nội dung dãy số: Trong nội dung bồi dưỡng học sinh giỏi phần dãy số, ta thường gặp un +1 = f ( un ) lớp tốn có dạng mà có số tốn y = f ( x) khảo sát đạo hàm hàm số f ′( x) < λ đặc biệt: ln nhận thấy kết λ ∈ ( 0;1) với Do nhằm giúp học sinh có ( un ) cách nhìn đơn giản việc chứng minh dãy số Trang hội tụ xin un +1 = f ( un ) phép trình bày nội dung hội tụ dãy số dạng ứng dụng hàm co số Lipschitz toán - giới hạn dãy số Bên cạnh tốn giải tích thi chọn học sinh giỏi mơn tốn đề thi học sinh giỏi tính học sinh giỏi quốc gia ta thường gặp tốn dãy nghiệm phương trình Để giải toán này, thường sử dụng định lí giải tích như: Định lí Lagrange, định lí Weierstrass, định lí giá trị trung bình, Do địi hỏi học sinh giáo viên phải có vận dụng, kết hợp khéo léo định lí giải tích để giải cách tốt toán dạng II Nội dung đề tài xn+1 = f ( xn ) Tính hội tụ dãy số dạng 1.1 Cơ sở lý thuyết f :D→D Định lí 1: Cho hàm số ( ( hàm số liên tục Kí hiệu )) f n ( x ) = f f ( f ( x ) ) 44 4 43 n Trang f ( x) = x a) Phương trình có nghiệm lim ( f ( x ) − x ) D = ( a; b ) b) fn ( x ) = x Giả sử x→a+ có nghiệm lim ( f ( x ) − x ) , x→b − dương f ( x) = x âm phương trình có nghiệm fn ( x ) = x có nghiệm Chứng minh f ( x) = x a) Nếu phương trình có nghiệm x0 x0 nghiệm fn ( x ) = x phương trình f ( x) = x Nếu phương trình D f ( x) vơ nghiệm Do tính liên tục hàm số f ( x) − x > nên ta có: f ( x) − x < fn ( x ) − x = phương trình vơ nghiệm Trang với x∈D f ( x) = x b) Giả sử phương trình có nghiệm x0 x0 fn ( x ) = x nghiệm phương trình F ( x) = f ( x) − x Đặt F ( x) , hàm số liên tục ( a; x0 ) nguyên dấu khoảng lim ( f ( x ) − x ) + Nếu x→ a+ khoảng Xét x →b − nên giữ F ( x) > dương ( x0 ; b ) F ( x) ( x0 ; b ) lim ( f ( x ) − x ) , ( a; x0 ) D f ( x ) > x, ∀x ∈ D \ { x0 } x1 ∈ D \ { x0 } ⇒ f ( x1 ) > x1 ⇒ f ( f ( x1 ) ) > f ( x1 ) > x1 ⇒ f n ( x1 ) > x1 x1 fn ( x ) = x ⇒ fn ( x ) = x nghiệm phương trình: x0 lim ( f ( x ) − x ) + Nếu x → a+ có nghiệm lim ( f ( x ) − x ) , x→b − âm, ta chứng minh tương tự Trang f ( x) = x Vậy ta ln có phương trình có nghiệm x0 x0 fn ( x ) = x nghiệm phương trình ( xn ) f :D→D Định lí 2: Cho hàm số hàm số đồng biến Dãy thỏa xn+1 = f ( xn ) , ∀n ∈ ¥ * mãn: Khi đó: a) Nếu b) Nếu x1 < x2 x1 > x2 ( xn ) dãy số dãy số tăng ( xn ) dãy số dãy số giảm Chứng minh a) Ta chứng minh phương pháp quy nạp: - Với n =1 xk < xk +1 n=k Giả sử với tức Ta chứng minh khẳng định với ta có: x1 < x2 n = k +1 Trang Thật vậy: hay xk < xk +1 ⇒ f ( xk ) < f ( xk +1 ) f ( x) ( hàm số đồng biến) xk +1 < xk + Do khẳng định với n = k +1 Theo nguyên lý quy nạp, ta có điều phải chứng minh b) Chứng minh tươn tự a) ta có điều phải chứng minh ( xn ) f :D→D Định lí 3: Cho hàm số hàm số nghịch biến Dãy thỏa xn+1 = f ( xn ) , ∀n ∈ ¥ * mãn: Khi đó: ( x2n ) a) Các dãy ( x2n+1 ) dãy đơn điệu có dãy tăng, dãy số giảm ( x2n ) b) Nếu dãy số ( x2n ) bị chặn hai dãy lim x2 n = α , lim x2 n +1 = β x →∞ x →∞ Trang ( x2 n+1 ) hội tụ y = f ( x) c) Nếu hàm số f ( f ( x) ) = x trình: liên tục α, β Khi phương trình nghiệm phương f ( f ( x) ) = x có nghiệm lim xn = α α=β D x →∞ Chứng minh f ( x) a) Vì hàm số nghịch biến nên f ( f ( x) ) hàm số đồng biến Áp dụng định lí 2, ta có điều phải chứng minh ( x2n ) b) Từ ý a) hai dãy ( x2n+1 ) đơn điệu bị chặn nên hội tụ Do lim x2 n = α , lim x2 n +1 = β tồn x →∞ c) Ta có: x →∞ f ( f ( 2n ) ) = f ( x2 n +1 ) = x2 n+ α = f ( f (α)) Lấy giới hạn hai vế, ta có: Tương tự, ta có: β = f ( f (β)) Trang α, β Vậy nghiệm phương trình: f ( f ( x) ) = x 1.2 Các ví dụ minh họa:  u1 =  u = 3u − 2, ∀n = 2,3, n −1  n ( un ) Bài 1: Cho dãy số thỏa mãn : ( un ) n → +∞ Chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn Tìm giới hạn Lời giải 3  xn ∈  ;  , ∀n ∈ ¥ * 2  Bằng quy nạp, ta chứng minh 3  f ′( x) = >0 x ∈  ; 2 f ( x ) = 3x − 2 3x − 2  Xét hàm số : với có với 3  x∈ ;2÷ 2  Ta có : f ( x) nên hàm số hàm số đồng biến 10 u1 = ⇒ u2 = f ( u1 ) = > u1 2 Áp dụng định lí ( un ) , ta có dãy số lim un = x đó, tồn n →∞ ( điều kiện : dãy tăng, bị chặn nên hội tụ Do 3  x ∈  ; 2 2  Trang ) un = 3un −1 − Ta có : x = 3x − ⇔ x = Lấy giới hạn hai vế, ta có: Vậy lim un = n→∞  u1 =  u = u − 1, ∀n = 1, 2,3,  n +1 n ( un ) Bài 2: Cho dãy số thỏa mãn : ( un ) n → +∞ Chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn Tìm giới hạn Lời giải un ∈ ( −1;0 ) , ∀n ≥ Bằng phương pháp quy nạp, ta chứng minh f ( x ) = x − 1, x ∈ ( −1;0 ) f ′ ( x ) = − x < 0, ∀x ∈ ( −1; ) Xét hàm số : có nên hàm f ( x) ( −1; ) số nghịch biến ( u2n ) , ( u2n+1 ) Do đó, ta có dãy số dãy đơn điệu bị chặn nên lim u2 n = α , lim u2 n +1 = β tồn n →∞ n →∞ α , β ∈ [ −1; 0] với Trang α, β Trong đó: nghiệm phương trình: f ( x) = x trình có nghiệm f ( f ( x) ) = x Bài 3: f ( f ( x) ) = x x = 1− mà phương nên phương trình x = 1− có nghiệm lim un = − α = β = 1− n→∞ Do Vậy u1 =  −14un − 51  u = , ∀n = 1, 2,3, n +  u + 18 ( un ) n  Cho dãy số thỏa mãn : ( un ) n → +∞ Chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn Tìm giới hạn Lời giải un ∈ ( −3; −2 ) Bằng phương phap quy nạp, ta chứng minh với n≥2 f ( x) = Xét hàm số : Do hàm số −14 x − 51 , x ∈ ( −3; −2 ) x + 18 f ( x) f ′( x) = có đồng biến khoảng Trang 10 > 0, ∀x ∈ ( −3; −2 ) ( x + 18 ) ( −3; −2 ) a ∈ ( xn+1; xn ) Theo định f n′+1 ( a ) = lý Lagrange,tồn f n+1 ( xn ) − f n +1 ( xn +1 ) xn − xn +1 = f n+1 ( xn ) − xn − xn +1 (x = n cho ) + xn + ( xn − 1) xn − xn +1 f n′+1 ( x ) = ( n + 1) x n − x − ⇒ f n′+1 ( xn+1 ) = ( n + 1) xnn+1 − xn+1 − 1( 3) Mà: = f n+1 ( xn+1 ) = xnn++11 − xn2+1 − xn +1 − ⇔ xnn+1 = xn2+1 + xn+1 + ( 4) xn +1 Mặt khác: f n′′+1 ( x ) = ( n + 1) n.x n −1 − > 0, ∀x ∈ ( 1; ) , n > f n′+1 ( x ) ( 3) ( 4) Từ và nên xn +1 < a < xn ⇔ f n′+1 ( xn+1 ) < f n′+1 ( a ) < f n′+1 ( xn ) hàm số đồng biến x2 + x + f n′+1 ( xn +1 ) = ( n + 1) n +1 n +1 − xn +1 − xn +1 Với ( ) f n′+1 ( xn ) = ( n + 1) xnn − xn − = ( n + 1) xn2 + xn + − xn − ( n + 1) n Do đó: ( 5) Từ , cho xn2+1 + xn +1 + xn +1 + f n′+1 ( a ) ( n + 1) xn2 + xn + xn + − < < − ( 5) xn +1 n n xn n n n → +∞ lim f n′+1 ( a ) =3 n n → +∞ ta có f n′+1 ( a ) ( xn − xn +1 ) = xn + xn + ( xn − 1) ( ) Mặt khác, ta có: ⇒ lim n f n′+1 ( a ) ( xn − xn +1 ) = lim xn2 + xn +  n ( xn − 1)  n →+∞ n → +∞ = 3.ln ( Trang 61 ) lim n →+∞ Do đó: f n′+1 ( a ) f ′ ( a) n ( xn − xn+1 ) = 3ln ⇔ lim n +1 lim n ( xn − xn+1 ) = 3ln n→+∞ n →+∞ n n ⇔ lim n ( xn − xn +1 ) = 3ln ⇔ lim n ( xn − xn +1 ) = ln n →+∞ + Với + Với α =2 α >2 n → +∞ lim nα ( xn − xn+1 ) = ln thì n→+∞ α −2>0 đó: tồn hữu hạn khác không lim nα ( xn − xn +1 ) = lim nα −  n ( xn − xn +1 )  = +∞ n→+∞ n→+∞ lim nα ( xn − xn+1 ) = lim nα −2  n ( xn − xn +1 )  = α 2 xn ( x − 2) + > nên phương trình vơ nghiệm ( 2) Do ta xét phương trình với fn ( x ) = xn ( x − ) + Xét hàm số: Ta có x ∈ ( 1; ) x ∈ ( 1; ) với 2n f n′ ( x ) = ( n + 1) x n − 2n.x n −1 = x n −1 ( ( n + 1) x − 2n ) ⇒ f n′ ( x ) = ⇔ x = n + n Áp dụng bất đẳng thức Bernoulli, ta có Trang 63  2n   n −   −2  fn  ÷ = 1 + ÷ ÷+  n +1   n +1   n +1 −(n − 1)  n(n − 1)   −2  = Đồng thời fn ( x ) = nên có nghiệm  2n  xn ∈  ;2÷  n +1  (Đpcm) Ta có: 2n < xn < ( 3) n +1 ( 3) Từ , cho n → +∞ lim xn = n →+∞ ta có n b) Ta có:   ⇔ < − xn = n =  ÷ ⇔ n − xn = n xn ( xn − ) + = xn  xn  xn lim n − xn = lim n →+∞ Suy ra: n →+∞ 1 = xn Nhận xét: Trang 64 - Trong toán việc xác định  2n  fn  ÷<  n +1 yếu tốt then f ′( x) = chốt tốn Việc xử lí việc giải xCT = cực tiểu hàm số 2n n +1 để xác định giúp ta chặn  2n  xn ∈  ;2÷  n +1  lim xn = n →+∞ Bài 8: từ xác định f n ( x) = a10 x n +10 + x n + x n −1 + + x + a>2 Cho số thực a) Chứng minh với số nguyên dương n f n ( x) = a , phương trình ln có đúngmột x = xn nghiệm dương lim xn ( xn ) b) Chứng minh dãy f n ( x) = a ⇔ a x 10 a) Ta có + Với x ≥1 n +10 có giới hạn hữu hạn tính n →+∞ Lời giải + x + x + + x + = a ( 1) n n −1 VT ( 1) > a > VP ( 1) nên phương trình vơ nghiệm Trang 65 + Với < x 0, ∀x ∈ ( 0;1) , ta có: nên hàm số f n ( ) = < a, f n ( 1) = a + n + > a ( 0;1) tăng ngặt fn ( x ) mà phương trình x = xn ∈ ( 0;1) f n ( x) = a ln có nghiệm dương ( xn ) b) Ta chứng minh dãy Thật vậy, xét tăng f n +1 ( xn ) = xn f n ( xn ) + = axn + Vì f n +1 ( xn +1 ) = a f n +1 ( x) tăng ( xn ) (0;1) khoảng nên để chứng minh dãy tăng ngặt, ta chứng minh f n +1 ( xn ) < f n +1 ( xn +1 ) ⇔ axn + < a ⇔ xn < xn ≥ Giả sử a −1 a f n ( x) Vì a −1 a (0;1) tăng khoảng nên, với a>2 n +1  a −1  1−  n +10 ÷  a −1   a  f n ( xn ) ≥ a10  + ÷ a −1  a  1− a n n  a −1   a −1  = ( a − 1)  ÷ + a − ( a − 1)  ÷ >a  a   a  Trang 66 10 (*) Đây điều vơ lí ( xn ) Do dãy ( xn ) tăng ngặt mà dãy bị chặn nên có giới hạn hữu hạn c) Ta đặt: a −1 = c ∈ ( 0;1) a f n ( c ) − f n ( xn ) n +10  a −1  = a  ÷  a  10 Khi đó: n +10  a −1  = a10  ÷  a   a −  n  a −1   +  + + ÷  ÷+ 1 − a  a    a  n +10 n+1   a − n +1  a −1   a −1  + a 1 −  ÷  − a = a10  − a ÷  ÷  a   a    a   n 10  a −1   n  = ÷ ( a − 1) − ( a − 1)  = α c a   Theo định lý Lagrange α = ( a − 1) − ( a − 1) > 10 với tồn β ∈ ( xn ; c ) cho: f n ( c ) − f n ( xn ) = f n′ ( β ) ( c − xn ) f n′ ( β ) = ( n + 10 ) a10 β n +9 + n.β n−1 + + > Mà α c n > c − xn nên từ suy Trang 67 < c < ⇒ lim c n = c − α c n < xn < c Do ta có: n →+∞ mà lim xn = c = n→+∞ giới hạn kẹp ta có a −1 a x + x + x3 + + nx n = Bài 9: theo ngun lí n ∈ ¥* Cho phương trình a) Chứng minh phương trình cho có nghiệm dương kí hiệu xn ( xn ) n → +∞ có giới hạn hữu hạn Lời giải f n ( x ) =  x + x + 3x +…+ nx n − x ∈ ( 0; +∞ ) a)Xét hàm số với 2 2 n −1 f n′ ( x ) = + x + x +…+ n x > 0, ∀x > Khi : fn ( x ) ( 0; +∞ ) Do : hàm số hàm liên tục đồng biến fn ( 0) = − < f n ( 1) > ⇒ f n ( ) f n ( 1) < fn ( x ) = Mà: có nghiệm b) Chứng minh dãy xn ( 0; +∞ ) < xn < khoảng n +1 f n +1 ( xn ) − f n ( xn ) = ( n + 1) x f n +1 ( xn ) = ( n + 1) x n +1 > b) Ta có Suy Trang 68 = f n +1 ( xn+1 ) hay Bài 10: xn > xn +1 ( xn ) Do dãy giảm Do ta có điều phải chứng minh 3.2.3 Dạng 3: Dãy số sinh dạng phương trình khác cos x = x n n ∈ ¥* Xét phương trình: với  π xn ∈ 0;   2 a) Chứng minh phương trình cho có nghiệm lim xn n→+∞ b) Chứng minh dãy số hội tụ tính Lời giải  π x ∈  0;  n f n ( x ) = x − cos x  2 a) Xét hàm số: với  π f n′ ( x ) = n.x n −1 + sin x > 0, ∀x ∈ 0;  fn ( x )  2 Ta có ta có hàm số liên  π 0;  tục tăng ngặt f n ( ) f n ( 1) = ( −1) ( − cos1) < ⇒ f n ( x ) = Mặt khác: có nghiệm xn ∈ ( 0;1) ( xn ) b) Ta chứng minh dãy số dãy tăng n +1 = f n +1 ( xn +1 ) = xn +1 − cos xn +1 < xnn+1 − cos xn +1 = f n ( xn ) < f n ( xn +1 ) Thật vậy: hay ⇔ xn < xn +1 Trang 69 ( xn ) Do dãy số tăng bị chặn nên dãy hội tụ ⇒ lim xn = a n→+∞ a ≤1 với n xn = cos xn ⇔ xn = n cos xn ( 1) Giả thiết: a = ( cos a ) ⇔ a = ( 1) n → +∞ Từ , cho ta có lim xn = Vậy Bài 11: n →+∞ n ∈ ¥ *, n ≥ xn = e x Xét phương trình: với a) Chứng minh phương trình cho ln có nghiệm dương xn ∈ [ 0; n ] lim xn n→+∞ b) Chứng minh dãy số hội tụ tính Lời giải n x n −x x = e ⇔ x e − = a) Ta có: n −x f n ( x ) = x e − x ∈ [ 0; n ] Xét hàm số với n −1 − x n −x − x n −1 f n′ ( x ) = n.x e + x −e = e x ( n − x ) > 0, ∀x ∈ ( 0; n ) Khi đó: ( ) [ 0; n] fn ( x ) đồng biến đoạn Trang 70 nên hàm số Mặt khác:   n 3  f n ( ) f n ( n ) = ( −1)   ÷ − 1÷ < 0, ∀n ≥  e  ÷   fn ( x ) = phương trình xn ∈ ( 0; n ) có nghiệm < xn < n x n = e x ⇔ n.ln x = x > ⇒ ln x > ⇔ x > Mặt khác: n +1 − xn n −x f n +1 ( xn ) = xn e − > xn e − = f n +1 ( xn ) > f n +1 ( xn +1 ) xn > xn +1 Xét: hay ⇒ ( xn ) dãy số giảm bị chặn xnn = e xn ⇔ xn = < xn − = xn en b) Khi đó: nên ta có: lim xn = ( 1) n → +∞ n →+∞ Từ , cho ta có ln + x + nx = n ∈ ¥* ( Bài 12: ) nên hội tụ xn en −1 < xn en − 1( 1) Cho , xét phương trình: a) Chứng minh phương trình cho ln có nghiệm dương xn lim xn n→+∞ b) Chứng minh dãy số hội tụ tính n ( − nxn ) n ( + nxn ) lim lim n→+∞ n →+∞ xn xn c) Tính , Lời giải f n ( x ) = ln + x + nx − x∈¡ a) Xét hàm số: với ( ) Trang 71 ( x + 1) + n − ≥ 0, ∀x ∈ ¡ , n ∈ ¥ * 2x f n′ ( x ) = +n= 1+ x + x2 Có: f n′ ( x ) = ⇔ x = −1, n = fn ( x ) ¡ dãy số liên tục tăng  1  1 f n ( ) = −1, f n  ÷ = ln 1 + ÷ > fn ( ) fn  ÷< ⇒ fn ( x ) = n  n  n Mặt khác: Do có nghiệm lim  1 xn ∈  0; ÷ ⇒ lim xn =  n  n→+∞ n ( − nxn ) xn n→+∞ = lim ( n ln + xn2 ) xn n→+∞ b) Ta có: nxn ln + xn2 ln + xn2 = lim = lim − ln + xn n→+∞ n →+∞ xn2 xn2 ( ) lim lim xn = Mà n→+∞ ( ( ln + xn2 n→+∞ )) ( xn2 ) =1 Cho n∈¥ lim * , xét phương trình: ) n ( − nxn ) xn n→+∞ nên n  n ( + nxn ) = lim  + n  = +∞ lim n →+∞ x n →+∞ xn  n  Đồng thời: 3.3 Bài tập tự luyện: Bài 1: ( = ( − ln1) = 2 + + + + =0 x x −1 x − x − n2 a) Chứng minh phương trình cho có nghiệm lim xn b) Tìm n→+∞ Trang 72 xn ∈ ( 0;1) ( ln x ) Bài 2: nghiệm sn > rn Xét hàm số Tính n xm f n ( x ) = e− x ∑ m=0 m ! nghiệm dương lim n →+∞ x n b) Tìm Với số nguyên dương với x∈¡ với điểm xn n n ∈ ¥* n∈¥ fn ( x ) = * phương trình 2019 2021 có f n ( x ) = x n + x n−1 + + x + x + , ta xét hàm số fn ( x ) a) Chứng minh hàm số Sn có hai lim rn , lim sn a) Chứng minh với Bài 4: = x, x ≥ 1, n ∈ ¥ , n > Chứng minh phương trình rn Bài 3: n xn đạt giá trị nhỏ điểm b) Chứng minh: Sn > , ∀n ∈ ¥ * α> không tồn số S n > α , ∀n ∈ ¥ * Trang 73 cho lim S n = ( Sn ) Bài 5: n→+∞ lim xn = −1 n→+∞ c) Chứng minh dãy số giảm đồng thời  f1 ( x) = f ( x) = x −  f n ( x) =  f n +1 ( x) = f ( f n ( x)) Cho dãy hàm Chứng minh (*) có 2n xn nghiệm phân biệt Gọi nghiệm lớn phương trình (*), lim xn tính III KẾT LUẬN Trên số vấn đề tìm giới hạn dãy số mà tơi tổng hợp trình giảng dạy nhằm giúp em học sinh có cách nhìn tương đối rõ nét số tốn tìm giới hạn dãy số Hi vọng chuyên đề góp phần để việc dạy học mơn Tốn, đặc biệt việc ôn luyện đội tuyển học sinh giỏi cấp hiệu Trong trình viết chuyên đề đưa số ví dụ phân tích cụ thể cho định hướng giải tốn nên chắn cịn nhiều hạn chế sai sót Rất mong đóng góp ý kiến thầy cô, bạn bè để việc giảng dạy chuyên đề dãy số cho học sinh hiệu Tôi trân trọng cảm ơn! Trang 74 Tài liệu tham khảo: Chuyên khảo dãy số - Nguyễn Tài Chung,NXB ĐHQG Hà Nội 2014 Các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Olympic toán 11- Văn Phú Quốc-Huỳnh Công Thái Chuyên đề dãy nghiệm phương trình Lương Ngọc Huyên, Chuyên Tuyên Quang Dãy số sinh phương trình – Trần Nam Dũng Chuyên đề giới hạn dãy số - Nguyễn Tất Thu Một vài ứng dụng nguyên lí điểm bất động dãy số - Dương Trọng Luyện, hội thảo khoa học Ninh Bình 2018 Các tài liệu internet diễn đàn toán học Trang 75 ... minh dãy số có giới hạn hữu hạn Tìm giới hạn ( un ) Bài 8: Cho dãy số thỏa mãn : u1 = a >   u = u + − 1, ∀n = 1, 2,3, n + n  un  Trang 14 ( un ) Chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn n... dãy số dãy hội tụ tồn ( xn ) điều kiện để dãy số xác định với n tồn giới lim xn n →+∞ hạn hữu hạn 2.2.2 Các tốn tìm giới hạn hữu hạn dãy số f ′ ( x ) < λ , λ ∈ ( 0;1) - Sau từ có điều kiện dãy. .. 10: Cho dãy số thỏa mãn : ( un ) n → +∞ Chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn Tìm giới hạn Hàm co số Lipschitz 2.1 Cơ sở lí thuyết ( un ) Định nghĩa 1: Dãy gọi dãy Cauchy với tùy ý, tồn số tự