Chuyên đề bồi dưỡng HSG, Đa Thức với yếu tố GIẢI TÍCH

Chuyên đề bồi dưỡng HSG, đa THỨC với yếu tố GIẢI TÍCH ,Chuyên đề bồi dưỡng HSG, đa THỨC với yếu tố GIẢI TÍCH ,Chuyên đề bồi dưỡng HSG, đa THỨC với yếu tố GIẢI TÍCH ,Chuyên đề bồi dưỡng HSG, đa THỨC với yếu tố GIẢI TÍCH Chuyên đề bồi dưỡng HSG, đa THỨC với yếu tố GIẢI TÍCH

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG THPT CHUYÊN  CHUYÊN ĐỀ DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ TÊN CHUYÊN ĐỀ: ĐA THỨC VỚI YẾU TỐ GIẢI TÍCH Tháng năm 2020 MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU……………………………………………… ……………3 PHẦN NỘI DUNG…… ……………………………… .4 I ĐA THỨC VỚI YẾU TỐ GẢI TÍCH …………………………………… A LÝ THUYẾT……………………………………………………………… B VÍ DỤ GIẢI TỐN………………………………………………………….5 C BÀI TẬP…………………………………………………………………….21 II NGHIỆM VỚI YẾU TỐ GIẢI TÍCH…………………………………….23 A LÝ THUYẾT……………………………………………………………… 23 B VÍ DỤ GIẢI TỐN………………………………………………………….24 C BÀI TẬP…………………………………………………………………… 35 PHẦN PHẦN KẾT LUẬN………… ………………… ……………… 40 PHẦN MỞ ĐẦU LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Giải tích vấn đề quan trọng đặc biệt Toán học ứng dụng Khi làm toán thấy giải tích xuất nhiều tốn chương trình Tốn Trung học phổ thơng chương trình chun tốn Trung học phổ thơng Vì kiến thức giải tích phần quan trọng đòi hỏi học sinh phải nắm vững vận dụng tốt Kiến thức giải tích thấy xuất nhiều tốn dãy số, hàm số, đa thức, nghiệm đa thức,… Vì tơi chọn đề tài để giúp học sinh nâng cao kiến thức vận dụng yếu tố giải tích việc giải số tốn đa thức MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI Các toán đa thức xuất nhiều đề thi học sinh giỏi cấp Đặc biệt năm gần ta thấy xuất nhiều đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh, học sinh giỏi cấp quốc gia, quốc tế Đa thức với yếu tố giải tích lớp tập hay phong phú Qua trình dạy cho học sinh lớp chun Tốn tơi tích lũy kiến thức, sư tầm số tập viết đề tài tham dự chuyên đề Duyên hải đồng bắc năm 2020 Nâng cao chất lượng dạy học cho giáo viên em học sinh chuyên Giúp em có định hướng, tư gặp toán đa thức Chuyên đề tài liệu tham khảo cho học sinh, giáo viên phụ huynh học sinh có nhu cầu đa thức PHẦN NỘI DUNG I ĐA THỨC VỚI YẾU TỐ GẢI TÍCH A LÝ THUYẾT Giới hạn, liên tục Cho đa thức n n- f Ỵ ¡ é xù + + an- 1x + an ,a0 ¹ ê ú: f ( x) = a0x + a1x ë û ìï +¥ ,khi a > 0 lim f ( x) = ùớ xđ+Ơ ùù - Ơ ,khi a0 < ỵ Ta có f liên tục ¡ ìï - ¥ ,khi n M2,a > Ú n M2,a < 0 lim f ( x) = ïí xđ- Ơ ùù +Ơ ,khi n M2,a0 < n M2,a0 > ỵ Đạo hàm Cho đa thức n n- f Ỵ ¡ é xù + + an- 1x + an ,a0 ¹ ê ú ë û: f ( x) = a0x + a1x Khi f ¢( x) = na0xn- + ( n - 1) a1xn- + + 2an- 2x + an- f ¢¢( x) = n ( n - 1) a0xn- + ( n - 1) ( n - 2) a1xn- + + 2an- f ¢¢¢( x) = n ( n - 1) ( n - 2) a0xn- + ( n - 1) ( n - 2) ( n - 3) a1xn- + + 6an- f ( n) ( x) = a n ! Nhận xét deg f Nếu degf = n ¢= n - 1,deg f ¢¢= n - 1, ,deg f ( k) = n - k, ( £ k £ n) ( ) deg f = n Nguyên hàm f Ỵ ¡ é xù : f ( x) = a0xn + a1xn- + + an- 1x + an ,a0 ¹ ê ú ë û Cho đa thức Khi đa thức f ( x) có nguyên hàm F ( x) = ò f ( x) dx = a0 a a xn +1 + xn + + n x +C n +1 n Định lí Đa thức bậc lẻ ln có nghiệm Hệ Nếu Hệ Nếu bội chẵn P ( x) khơng có nghiệm thực degP chẵn P ( x) có degP chẵn có nghiệm phải nghiệm k Nhận xét Đa thức ( x - a) k- P ( x) = ( x - a) Q ( x) , k ẻ Â + P Â( x) chia ht cho Định lí (Định lí Rolle) Hàm số tồn c Ỵ ( a;b) để đạo hàm f ( x) f a = f ( b) khả vi có a < b để ( ) f ¢( c) = Nhận xét (Đạo hàm đa thức bậc n có đầy đủ nghiệm) P x Giả sử x1, x2, , xn nghiệm đa thức monic ( ) Khi đó, theo định lí Bezout P ( x) = ( x - x1) ( x - x2) ( x - xn ) n P ¢( x) = å Ta có Õ( x - x ) Þ j i =1 i j P Â( x) P ( x) n i =1 x - xi =å Ngoài ra, đạo hàm cấp hai, ta có hai hình thức viết sau P ¢¢( x) P ( x) - é P ¢x ù ê ú ë ( )û =2 P ( x) n å i =1 P ¢¢( x) ( x - xi ) P ( x) B VÍ DỤ GIẢI TỐN VÍ DỤ 1) Cho đa thức P ( x) = x4 + 2ax2 + a với a > =å i¹ j (x- x ) (x- x ) i j Chứng minh ¢( x) + P ¢ ¢ ¢( x) + P ¢ ¢ ¢¢( x) > 0, " x Q ( x) = P ( x) + P ¢( x) + P ¢ n 2) Chứng minh ù f ( x) = å ak coskx = 0, " x Ỵ é ê0;2pû ú ë k=1 ak = 0, k = 1,2, , n Lời giải P ( x) = x4 + 2ax2 + a 1) Ta có P ¢( x) = 4x3 + 4ax, P ¢¢( x) = 12x2 + 4a, P ¢¢¢( x) = 24x P ¢¢¢¢( x) = 24 Do Q ( x) = x4 + 4x3 + ( 2a + 12) x2 + ( 24 + 4a) x + 5a + 24 ( ) ( ) = x2 + 2x + 2a ( x + 1) + 3a + x2 + 3x + Q x > 0, " x Vì x + 3x + > 0, " x a > nên ( ) 2) Với số nguyên p,q Ta có 2p ò cospx.cosqx.dx 2p = ò cos( p + q) x + cos( p - q) x dx 20 ìï 0, p ¹ q = ïí ïï p, p = q ỵ ( ) n Vì ù f ( x) = å ak coskx = 0, " x Ỵ é ê0;2pû ú ë k=1 p = k, k = 1,2, , n Vậy hệ số ak = 2p nên = ò f ( x) coskx.dx = akp với VÍ DỤ Cho f ( x) = ax2 + bx + c Chưng minh 1) Nếu ù f ¢ £ f ( x) £ 1, " x Ỵ é ê0;1ú ë ûthì ( ) 2) Nếu f ( m) £ f Â( x) Ê 4, " x ẻ vi m = 0, ±1 é- 1;1ù ê ë ú û Lời giải ỉư a b ÷ f ( 0) = c, f ( 1) = a + b + c, f ỗ = + + c ỗ ữ ữ ç è2÷ ø 1) Ta có ỉư ữ b = 4ffỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ 2ứ è Do Mà ( 1) - f ( x) = ax2 + bx + c ị f Â( x) = 2ax + b ị f Â( 0) = b ổử 1ữ ữ+ f Â( 0) Ê b Ê ffỗ ỗ ỗ ữ 2ữ ố ứ Suy Vy + f ( 0) £ f ( x) = ax2 + bx + c ị f Â( x) = 2ax + b ị f Â( x) = 2ax + b f ( 0) = c, f ( 1) = a + b + c, f ( - 1) = a - b + c c = f ( 0) ,a = Vậy ( 1) f ¢( 0) £ 2) Ta có Mà 3f ( 0) 1 ff( 1) + 2 f ¢( 1) = 2a + b = nên ( - 1) - f ( 0) ,b = ff( 1) - ff( 1) + 2 ( - 1) - Do 2f ( 0) ( - 1) f ¢( 1) = 2a + b = £ ff( 1) + 2 ff( 1) + 2 ( - 1) ( - 1) - 2f ( 0) + f ( 0) £ f ¢( 1) £ Nên Tương tự f ¢( - 1) = - 2a + b = £ ff( - 1) + 2 ( 1) + f ( 0) £4 f ¢( - 1) £ Nên Vì ff( - 1) ( 1) - 2f ( 0) 2 f ¢( x) é - 1;1ù ú ë ûnên bậc đoạn ê { } f ¢( x) £ max ffÂ( - 1) , Â( 1) ị f Â( x) £ VÍ DỤ Cho đa thức theo f ( x) f ( x) = ( x - x1) ( x - x2) ( x - xn ) , f ¢( x) n 1) x x i =1 i å xi i =1 x - xi n 2) å n 3) å i =1 xi - xi Lời giải biểu diễn tổng sau 1) Ta có f ( x) = ( x - x1) ( x - x2) ( x - xn ) f ¢( x) = ( x - x2) ( x - x3) ( x - xn ) + ( x - x1) ( x - x3) ( x - xn ) + + + ( x - x1) ( x - x2) ( x - xn- 1) Do x - x2) ( x - x3) ( x - xn ) + ( x - x1) ( x - x3) ( x - xn ) + f ¢( x) ( = å x- x = x x x x x x f x ( ) ( ) ( ) ( ) i =1 i n n n ỉ n f Â( x) xi x ữ ỗ ữ =ồ ç = xå - n =x - n å çx - x - 1÷ ÷ x x f x è ø ( ) i =1 x - xi i =1 ç i = i i n 2) n æ n 3f Â( 3) xi 3 ữ ỗ ữ = = n = - n ỗ ồ ữ ỗ ữ ỗ x x x f ø i =1 ( ) i =1 i =1 è i i i n 3) VÍ DỤ (THTT tháng 2/2017) n n- n- x + a x + a x + + an- 1x + an có hệ số thỏa mãn Cho phương trình n åa i =1 i n- n- i =1 i =1 = 0, å ( n - i ) = 2- n,å ( n - i ) ( n - i - 1) = - n ( n - 1) Giả sử x1, x2, , xn n nghiệm thực phân biệt phương trình cho Hãy tính giá trị biểu thức E = 1) å 1£ i £ j £ n n F =å 2) i =1 ( 1- x ) ( 1- x ) i ( 1- x ) j i Lời giải 1) Theo định lí Bezout ta có f ( x) = ( x - x1) ( x - x2) ( x - xn ) Ta có kết sau f ¢( x) f ( x) f ¢¢( x) , = å x x f x x x x x ( ) 1£ i Tương tự, q nghiệm dương nên q < nghiệm phương trình ( ) ( ) ( ) Û ( x + 2x) = ( x - 2) Û x + 2x = - ( x - 2) x2 + x2 + x2 - = 3 2 Û x3 + x2 + 2x - = Do q + nghiệm phương trình ( x - 1) + ( x - 1) + 2( x - 1) - = Û x3 - 2x2 + 3x - = Xét hàm f ( x) = x3 - 2x2 + 3x - 4, " x ẻ Ă cú f Â( x) = 3x2 - 4x + > 0, " x Ỵ ¡ Do phương trình Suy f ( x) = p = q + Do có nghiệm p- q = 30 q VÍ DỤ Tìm a,b để Chứng minh f ( x) = 2x4 + ax3 + bx2 + ax - b ( x - 1) không chia hết cho f ( x) chia hết cho ( x - 1) Lời giải Ta có f ( x) ( x - 1) chia hết cho ïì f ( 1) = ïí Û ùù f Â( 1) = ùợ Suy Ta có Vì nên f ( x) ìï + a + b + a - b = ï Û í ïï + 3a + 2b + a = ỵ có nghiệm bội k ³ Khi ìï a = - ï í ï b = - ỵï f ( x) = 2x4 - x3 - 2x2 - x + f ¢( x) = 8x3 - 3x2 - 4x - f ¢¢( 1) = 14 ¹ nên f ( x) VÍ DỤ Cho đa thức f ¢¢( x) = 24x2 - 6x - ( x - 1) không chia hết cho f ( x) = x3 - 3x2 + 3 Số nghiệm phương trình ( ( x) ) = bao nhiêu? ff Lời giải Hàm số f ( x) = x3 - 3x2 + liên tục ¡ có bảng biến thiên 31 Ta có ( ( x) ) = Û ( f ( x) ) - 3( f ( x) ) ff +3= éf ( x) » 2,53 ( 1) ê Û ê êf ( x) » 1,35 ( 2) ê êf ( x) » - 0,88 ( 3) ë Sử dụng bảng biến thiên ta thấy (1), (2), (3) có nghiệm phân biệt ( ( x) ) = có nghiệm phân ff nghiệm đơi khác Do phương trình biệt ( ) ff ( x) =1 f ( x) = x3 - 3x2 + x + f x ( ) Phương trình VÍ DỤ Cho đa thức có nghiệm thực phân biệt? Lời giải ( ) ff ( x) =1 f ( x) = x - 3x + x + f x ( ) nên phương trình Do tương đương: ( ( x) ) = 2f ( x) - Û ( f ( x) ) - 3( f ( x) ) Û ( f ( x) ) - 3( f ( x) ) ff = 2f ( x) - - f ( x) + = éf ( x) » 3,0598 (1) ê Û ê (2) êf ( x) » 0,8745 ê (3) êf ( x) » - 0,9343 ë + f ( x) + Ta có bảng biến thiên hàm số f ( x) = x3 - 3x2 + x + 32 sau: Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình (1) có nghiệm, phương trình (2) có nghiệm phân biệt, phương trình (3) có nghiệm rõ ràng ( ( x) ) ff nghiệm (1), (2), (3) khác đơi Vậy phương trình nghiệm phân biệt VÍ DỤ Cho đa thức f ( x) = x3 - 6x2 + 9x 2f ( x) - Tính số nghiệm phương trình ( ( x) ) = ff Lời giải Hàm số f ( x) = x3 - 3x2 + liên tục ¡ có bảng biến thiên 33 =1 có Ta có ( ( x) ) = Û ( f ( x) ) - 6( f ( x) ) ff éf ( x) = Û ê êf x = ê ë( ) ( 1) ( 2) + 9f ( x) = Ta có Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt, phương trình (2) có ba nghiệm phân biệt rõ rang nghiệm (1), (2) khác đôi Do phương trình ( ( x) ) = có năm nghiệm phân biệt ff VÍ DỤ Cho đa thức ( ( )) ff f ( x) = f ( x) = x3 - 6x2 + 9x Tính số nghiệm phương trình ( k lần lấy hàm f ) Lời giải Kí hiệu ( ( )) fk ( x) = ff f ( x) = ( k lần lấy hàm f ) f ( x) = f ( x) = Giả sử phương trình k có ak nghiệm phương trình k có bk nghiệm ( k = 1,2,3, ) Theo ví dụ 8, ta có a1 = 2,b1 = éf ( x) = k- fk ( x) = Û ê êf x = ê ëk- ( ) Để ý rằng: ( 1) ( 2) Và nghiệm (1), (2) đôi khác Do đó: ak = ak- + bk- 1, " k = 2,3, (3) é0;4ù ë ú ûnhư sau: Ta có bảng biến thiên hàm số liên tục f đoạn ê 34 ù, é ê0;4û ú phương trình f ( x) = a có ba ë é0;4ù ë ú û Như nghiệm phân biệt ba nghiệm thuộc đoạn ê Từ bảng biến thiên suy với bk = 3bk- 1, " k = 2,3, Mà b1 = k b = Thay vào (3) ta k nên ak = ak- + 3k- 1, " k = 2,3, Như a2 = a1 + a3 = a2 + 32 ak = ak- + 3k- Cộng theo vế lại ta ( ) k- ak = a1 + + + + 3k- - 3k + = + = 2 3k + ak = , " k = 2,3, Tóm lại 35 ù,deg f = n f Ỵ ¡ é f ( a) f ( b) < êxû ú ë VÍ DỤ 10 Cho Giả sử a < b mà Chứng f ( x) ( a;b) kể bội Cịn minh có số lẻ nghiệm khoảng f ( a) f ( b) > f ( x) ( a;b) có số chẵn nghiệm khoảng Lời giải a , a , , as Ỵ ( a;b) f ( x) Giả sử nghiệm với bội tương ứng k1, k2, , ks Khi f ( x) = ( x - a1) k1 (x- k2 ks a2) ( x - as ) g( x) ( a;b) nên g( x) giữ nguyên khơng có nghiệm thực khoảng a;b) g( x) > 0, " x Ỵ é a;bù ( ê ú ë û dấu khoảng Giả sử Trong Ta có Do g( x) f ( b) g( b) > 0, f ( a) g( a) ( - 1) f ( a) , f ( b) k1 + k2 + + ks trái dấu, k1+k2 + +ks g( a) ,g( b) >0 dấu nên f ( a) ,g( a) trái dấu Khi số lẻ Chứng minh tương tự f ( a) f ( b) > VÍ DỤ 11 Chứng minh khơng tồn đa thức khác P ( x) cho Q ( x) = x2018 + 2017 P ( x) Q ( x) Q ( x) ¹ với số thực x thỏa mãn Lời giải Giả sử tồn TH P ( x) P ( x) và Q ( x) Q ( x) thỏa mãn tốn khơng có nghiệm chung Ta chứng minh 36 Q ( x) vô nghiệm Thật vậy, GS Q ( x) có nghiệm x0 Þ P ( x0) ¹ lim x2018 + 2017 = x02018 + 2017 xđx0 P ( x) ị lim (vụ lớ) Suy P ( x) x® x0 Q ( x) Q ( x) = ±¥ mà vơ nghiệm Dễ thấy vơ nghiệm ( ) ( P ( x) = Q ( x) P ( x) Q ( x) Suy , có bậc chẵn chia hết cho 4, Bậc VP chia dư nên vơ lí ) (x 2018 ) + 2017 Do bậc VT P ( x) Q ( x) TH có nghiệm chung P ( x) = P1 ( x) T ( x) ,Q ( x) = Q1 ( x) T ( x) , P1 ( x) ,Q1 ( x) P ( x) = x2018 + 2017 Û P1 ( x) Khi khơng có = x2018 + 2017 Q ( x) Q1 ( x) nghiệm chung Như với Q ( x) ¹ 0, x ¹ x1, x2, , xn số thực x thỏa mãn Bài toán đưa trường hợp chứng minh hoàn toàn tương tự trường hợp Vậy không tồn đa thức thỏa mãn đề C BÀI TẬP Bài (Vô địch sinh viên) a b c + + = a Cho abc ¹ Chứng minh phương trình ax + bx + c = có nghiệm f ( x) Ỵ ¡ é xù , f ( x) = anxn + an- 1xn- + + a1x + a0 ê ú ë û b Cho Chứng minh an a a a + n- + + + = f ( x) = n +1 n phương trình có nghiệm Bài Cho phương trình x + ax + bx + cx + dx + = có nghiệm thực phân biệt Chứng minh ( ) a2 + d2 > 5( b + c) 37 Bài Cho ab ¹ Chứng minh phương trình x + ax + bx + c = có ba nghiệm phân biệt Bài Cho phương trình x + ax + bx + c = có ba nghiệm thực phân biệt Chứng minh ( ) 27c + 2a3 - 9ab < a2 - 3b Bài Chứng minh với số nguyên dương n phương trình x + x2 + x3 + + x2n + 2007x2n+1 = 1999có nghiệm Bài (Dự tuyển IMO) < b0 £ a0 ,bi ³ , Cho + 2n số ,bi thỏa mãn với i = 1, ,n a0xn + a1xn- + + an có giá trị tuyệt đối khơng vượt q nghiệm dương x0 phương trình Chứng minh nghiệm có đa thức n n- bx - bx - - bn = 0 P ( x) n ( n > 1) Bài Cho số thực a ¹ đa thức với hệ số thực, bậc cho P ( x) khơng có nghiệm thực Chứng minh đa thức Q ( x) = P ( x) + aP ¢( x) + a 2P ¢¢( x) + + a nP ( n) ( x) khơng có nghiệm thực P ( x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d, Bài Cho đa thức với hệ số thực biết P ( x) = phương trình khơng có nghiệm thực Chứng minh A ( x) = P ( x) + P ¢( x) + P ¢¢( x) + P ( 3) ( x) + P ( ) ( x) > 0, " x Ỵ ¡ Bài (Olympic 30/4) Cho phương trình ax + 27x + 12x + 2001 = có ba nghiệm phân biệt Hỏi phương trình ( ) ( ) ax3 + 27x2 + 12x + 2001 ( 3ax + 27) = 3ax2 + 54x + 12 có nghiệm? 38 Bài 10 Cho phương trình 2x4 - 17x3 + 51x2 - ( 36 + k) x + k = (1) 1) Chứng minh phương trình (1) có nghiệm khơng phụ thuộc tham số k 2) Biện luân theo k số nghiệm phương trình (1) Bài 11 Tìm a để phương trình sau vơ nghiệm x6 + 3x5 + ( - a) x4 + ( - 2a) x3 + ( 6- a) x2 + 3x + = Bài 12 ( Cần Thơ TST 2018-2019) Cho biết đa thức P ( x) = x2022 + a1x2021 + a2x2020 + + a2021x + a2022 với hệ số thực có 2022 nghiệm thực khác a2017 = 2017,a2019 = 2019 Chứng minh a2018 > 2018 ù,degP = n ³ P ( x) Ỵ ¡ é ê ëxú û Bài 13 (Olympic tốn sinh viên 2003) Cho đa thức có m nghiệm thực (kể nghiệm bội) Chứng minh đa thức ( ) Q ( x) = x2 + P ( x) + P ¢( x) có m nghiệm thực (kể nghiệm bội) Bài 14 (Tạp chí Pi, tháng năm 2017) Cho đa thức ( n ³ 2) ù,degP = n P ( x) Ỵ ¡ é ê ëxú û có n nghiệm thực đôi phân biệt a) Chứng minh đa thức phân biệt Q ( x) = P ( x) + P ¢( x) có n nghiệm thực, đôi P ( x) b) Gọi a1 < a2 < < an nghiệm b1 < b2 < < bn Q ( x) nghiệm Chứng minh lim ( +1 - ) £ lim ( bi +1 - bi ) 1£ i £ n- 1£ i £ n- Bài 15 Với n số nguyên dương, xét đa thức 39 P ( x) = ( x - 1) ( x - 2) ( x - n) P ¢( x) 1) Chứng minh với n chẵn, có nghiệm hữu tỉ P ¢( x) 2) Chứng minh với n số nguyên tố lẻ, khơng có nghiệm hữu tỉ Bài 16 Cho đa thức P ( x) thỏa mãn P ( x) - 3P ¢( x) + 2P ¢¢( x) = x5, " x Ỵ ¡ Tính P ( 0) P ( x) = anxn + an- 1xn- + + a1x + a0 Bài 17 Cho đa thức với hệ số thực, có bậc n có n nghiệm thực phân biệt 1) Chứng minh đa thức Q ( x) = P ( x) - P ¢( x) có n nghiệm n - 1) an2- > 2nanan- ( n ³ 2) Với chứng minh Bài 18 (Đà Nẵng TST 2018-2019 ngày 1) P ( x) Giả sử có hệ số bậc cao 1, có n nghiệm thực phân biệt x1, x2, , xn đồng thời đạo P ¢( x) hàm có n - nghiệm thực phân biệt y1, y2, ,yn- Chứng minh Cho đa thức P ( x) với hệ số thực, có bậc n ( n ³ 2) x12 + x22 + + xn2 y12 + y22 + + yn2- > n n Bài 19 (Chọn đội tuyển TPHCM 2016) Cho đa thức P ( x) = xn + an- 1xn- + + a1x + a0 P ( 1) P ( 2) ¹ 0, P ¢( 2) P ( 2) > P ¢( 1) P ( 1) + n 40 với hệ số thực với P ( x) có n nghiệm thực, chứng minh số đó, có ( 1;2) nghiệm thuộc khoảng Giả sử PHẦN KẾT LUẬN RÚT RA NHỮNG VẤN ĐỀ QUAN TRỌNG CỦA ĐỀ TÀI 41 Chuyên đề đưa hệ thống tập phong phú chủ đề Chuyên đề giúp học sinh tiếp cận bước, mức độ kiến thức luyện tập giải toán Chuyên đề giúp học sinh trả lời lại làm vậy, giúp ta tìm suy luận tự nhiên lời giải toán cách sáng tác toán Chuyên đề sư tầm, lựa chọn, biên soạn hệ thống tập tương đối phong phú, đa dạng mang tính chất logic từ mức độ dễ đến khó đáp ứng yêu cầu thi học sinh giỏi Quốc gia Quốc tế ĐƯA RA NHỮNG ĐỀ XUẤT, Ý KIẾN HỢP LÍ Chuyên đề “Đa thức với yếu tố giải tích” chun đề khó, sâu vào chất, tìm cách tiếp cận hợp lí thật đơn giản Với việc xây dựng chuyên đề này, nguồn tài liệu tốt cho học sinh giỏi, giúp học sinh hiểu sâu chất vấn đề, tiết kiệm thời gian việc tìm tài liệu tham khảo Trong trình thực sáng kiến, kinh nghiệm công tác giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi cấp, mạnh dạn đưa kinh nghiệm thân việc giảng dạy mơn Tốn Chun đề cịn có nhiều thiếu sót Rất mong nhận góp ý xây dựng đồng nghiệp 42 ... Kiến thức giải tích thấy xuất nhiều toán dãy số, hàm số, đa thức, nghiệm đa thức, … Vì tơi chọn đề tài để giúp học sinh nâng cao kiến thức vận dụng yếu tố giải tích việc giải số toán đa thức MỤC... toán đa thức Chuyên đề tài liệu tham khảo cho học sinh, giáo viên phụ huynh học sinh có nhu cầu đa thức PHẦN NỘI DUNG I ĐA THỨC VỚI YẾU TỐ GẢI TÍCH A LÝ THUYẾT Giới hạn, liên tục Cho đa thức. .. XUẤT, Ý KIẾN HỢP LÍ Chuyên đề ? ?Đa thức với yếu tố giải tích? ?? chun đề khó, sâu vào chất, tìm cách tiếp cận hợp lí thật đơn giản Với việc xây dựng chuyên đề này, nguồn tài liệu tốt cho học sinh giỏi,