Chuyên đề bồi dưỡng HSG, các bài TOÁN LIÊN QUAN đến ĐỊNH lý GIÁ TRỊ TRUNG GIAN

Chuyên đề bồi dưỡng HSG, các bài TOÁN LIÊN QUAN đến ĐỊNH lý GIÁ TRỊ TRUNG GIAN, Chuyên đề bồi dưỡng HSG, các bài TOÁN LIÊN QUAN đến ĐỊNH lý GIÁ TRỊ TRUNG GIAN Chuyên đề bồi dưỡng HSG, các bài TOÁN LIÊN QUAN đến ĐỊNH lý GIÁ TRỊ TRUNG GIAN

HỘI THẢO CÁC TRƯỜNG CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ - CHUN ĐỀ MƠN TỐN HỌC NĂM 2020 CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG GIAN Tháng năm 2020 BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ DUN HẢI MƠN TỐN Chủ đề báo cáo là: Các tốn liên quan đến định lí Giá Trị Trung Gian Các toán báo cáo toán tác giả sưu tầm sau bố trí lại theo mục tiêu báo cáo Nội dung báo cáo khơng có đặc sắc, tác giả mong tài liệu góp phần giúp đồng nghiệp giao tập buổi dạy đội tuyển 1.1 Kiến thức sở Định nghĩa hàm số liên tục Định ngĩa 1.1.1 Giả sử hàm số hàm số liên tục xo f ( x) xác định ( a, b ) ⊂ ¡ xo ∈ ( a, b) với dãy Ta nói lim x = x0 { xn } n =1 , xn ∈ (a, b) ∞ n →∞ cho ta có lim f ( xn ) = f ( x0 ) n →∞ Định nghĩa tương đương với định nghĩa sau : Định nghĩa 1.1.2 Hàm số xo ∈ ( a, b) f ( x0 ) , xác định ( a, b) , gọi liên tục lim f ( x) = f ( x0 ) δ = δ (ε ) > x → x0 Điều có nghĩa : với số cho với x ∈ ( a, b) Hàm số không liên tục xo Định nghĩa 1.1.3 Giả sử hàm số liên tục J thỏa mãn < x − x0 < δ f xác định tập mở liên tục điểm thuộc Định nghĩa 1.1.4 Hàm số liên tục đoạn f ( x) ( a, b) J J xo thuộc ¡ Ta nói hàm số f xác định đoạn a [ a, b ] gọi liên tục b liên tục phải , liên tục trái , tồn số f ( x ) − f ( x0 ) < gọi gián đoạn ε >0 [ a, b ] f ( x) Định nghĩa 1.1.5 Hàm số [ a, b ] với ε > 0, ∃δ > xác định đoạn cho [ a, b ] gọi liên tục ∀x, y ∈ [ a; b ] , x − y < δ Định lí 1.1.6 (Heine’s Theorem) Mọi hàm số liên tục [ a, b ] f ( x) − f ( y ) < ε [ a, b ] liên tục 1.1.2 Tính chất hàm số liên tục Các hàm sơ cấp liên tục tập xác định chúng Định lí 1.1.7 (Định lí giá trị trung gian) Giả sử f (a ) f ( x) liên tục đoạn f (b) tồn [ a, b ] c ∈ ( a , b) f (a ) ≠ f (b) , cho f (c ) = M với số thực M nằm Ta có kết tốt chút qua định lí sau: Định lí 1.1.8 Giả sử f ( x) liên tục đoạn [ a, b ] Ta có khẳng định sau: Max f ( x); f ( x) a Tồn giá trị [ a ; b] [ a ;b ] b Tập giá trị hàm số f [ a, b ] f kí hiệu ( [ a, b ] ) Khi đó, f ( x ); Max f ( x)  ( [ a, b] ) =   [ ] [ ] a ;b a ;b Sử dụng tính trù mật với R f ( x) Mệnh đề 1.1.9 Giả sử f ( x ) = g ( x) Ô xÔ và tính liên tục hàm số, ta có mệnh đề g ( x) hai hàm xác định liên tục f ( x ) = g ( x) R f ( x) = g ( x ) x∈ A , Khi Nhận xét 1.1.10 Trong mệnh đề ta thay giả thiết giả thiết với Với định nghĩa trù mật sau R A f ( x ) = g ( x) với l hp trự mt R xÔ bt k Định nghĩa 1.1.8 Tập gọi trù mật tồn a∈ A cho x g ( b) g ( x0 ) = Chứng Xét hàm h ( x ) = f ( x ) − g ( x ) , x ∈ [ a, b ] chất giá trị trung gian, tồn f :¡ →¡ Bài toán Cho tồn x0 , quan sát x0 ∈ ( a; b ) cho h( a) < h ( x0 ) = h ( b) > Theo tính liên tục tuần hồn với chu kì T >0 Chứng minh cho T  f  x0 + ÷ = f ( x0 ) 2  Lời giải: Xác định hàm g cách đặt T  g ( x ) = f  x + ÷− f ( x ) 2  Khi g liên tục  T x0 ∈ 0;   2 mà g ( x0 ) = , , tồn , T  g  ÷= f ( 0) − 2 T  f ÷ 2 Vậy tồn f : ( a, b ) → ¡ Bài toán Hàm ( a, b ) ¡ T  g ( ) = f  ÷− f ( ) 2 x0 ∈ ( a, b ) liên tục Chứng minh rằng, với x1 , x2 , , xn cho f ( x0 ) = ( f ( x1 ) + f ( x2 ) + + f ( xn ) ) n Lời giải: Đặt m = { f ( x1 ) , , f ( xn ) } Khi M = max { f ( x1 ) , , f ( xn ) } cho trước m≤ Do đó, tồn x0 ∈ ( a, b ) cho f ( xk ) = f ( x 'k ) f k ∈ { 1; 2; ; n − 1} xk − x 'k = n − k đoạn , tồn xk − x 'k = k [ 0; n] xk , x 'k n∈¥ , , thỏa mãn cho k ∈ { 1; 2; ; n − 1} Hỏi với , ( f ( x1 ) + f ( x2 ) + + f ( xn ) ) n f ( x0 ) = Bài toán Hàm liên tục với ( f ( x1 ) + f ( x2 ) + + f ( xn ) ) ≤ M n f ( 0) = f ( n ) f ( xk ) = f ( x 'k ) , có tồn xk , x 'k , Chứng minh xk − x 'k = k cho ? Lời giải: Hàm f triển thác triển f Với k ∈ { 1; 2; ; n − 1} [ 0;∞ ) n để có chu kì Ta kí hiệu hàm thác tùy ý cố định, xác định g ( x) = f ( x + k ) − f ( x) , Bây giờ, ta chứng minh tồn j = 0;1; 2; ; kn − k x0 ∈ [ 0; kn ] x≥0 cho g ( 0) > Nếu g ( j) > với ta nhận f ( ) < f ( k ) < f ( 2k ) < < f ( kn ) = f ( ) Mâu thuẫn suy tồn x0 ∈ ( j0 ; j0 + 1] với 1≤ l ≤ k để g ( x0 ) = j0 Do x0 ∈ [ ln − k , ln ] g ( j0 + 1) ≤ f ( x0 + k ) = f ( x0 ) Từ tính tuần hồn f ( x0 + k ) = f ( x0 − ( l − 1) n + k ) Nếu cho g ( j0 ) > f x0 + k ∈ ln; ( l + 1) n  Ta có liên tục, tồn Trước hết, giả sử , suy Vì vậy, ta lấy Do g x0 ∈ ( l − 1) n, ln − k  f ( x0 ) = f ( x0 − ( l − 1) n ) xk = x0 − ( l − 1) n và x 'k = x0 − ( l − 1) n + k f ( x0 − ( l − 1) n ) = f ( x0 ) = f ( x0 + k ) = f ( x0 − ln + k ) x 'k = x0 − ln + k k ∈ { 1; 2; ; n − 1} tồn xk , x 'k cho xk − x 'k = k cho Thực cần xét hàm π f ( x ) = sin  2 Dễ thấy Không với f ( xk ) = f ( x 'k ) Có thể lấy xk = x0 − ( l − 1) n f ( x + 3) ≠ f ( x ) với  x÷  x ∈ [ 0;1] với x ∈ [ 0; 4] f : ¡ → ( 0; +∞ ) Bài toán (VMO 2019) Cho hàm số liên tục thoả mãn điều kiện: lim f ( x ) = lim f ( x ) = x →−∞ x →+∞ a Chứng minh f đạt giá trị lớn ¡ ( xn ) n=1 ( yn ) n=1 +∞ b Chứng minh tồn hai dãy số thực cho xn < yn f ( xn ) = f ( yn ) với +∞ , n ≥1 hội tụ tới giới hạn, Lời giải a Với ε := f ( ) > lim f ( x ) = , x →±∞ nên tồn số thực < f ( x ) = f ( x ) < ε ∀x ∈ ( −∞; a ) ∪ ( b; +∞ ) Vì có f liên tục đoạn ε = f ( 0) ≤ M [ a, b ] nên tồn a t − 1⇒ f ( k − 1) > t ⇒ k − 1∈ A k Mâu thuẫn với tính bé Mệnh đề chứng minh Nhận xét Phép chứng minh (của phiên thứ nhất) nói dùng kĩ thuật túy đại số, dựa giải tích ý tưởng (tiến trình thực giống tiến trình chứng minh tính chất nhận giá trị trung gian hàm số liên tục, suốt tiến trình ta khơng thực dùng kết giải tích nào) Dưới tình tương tự: Bài tốn 11: Cho minh tồn an := 28 + [ ln n ] +  n 2018/2019  n∈¥ * thỏa mãn điều kiện với n =d an n∈¥* , cho d ∈¥* Chứng Lời giải bn := n − dan ( bn ) n =1 +∞ n∈¥* Đặt , với , ta thu dãy chứng kết luận toán sai Khi ∃n ∈ ¥ * , bn = 18 (1) số nguyên Giả sử phản an =0 n →+∞ n lim Dễ thấy nên lim n →+∞ Vậy bn > lim bn = +∞ n đủ lớn (thật ta cịn có A := { n ∈ ¥ * | bn > 0} k ∈ ¥ * , bk > n →+∞ ) Vì (2) Là tập khơng rỗng Ta có bn a = − d lim n = − d = > n →+∞ n n ¥* Do ¥* thứ tự tốt, tồn k := A Nhưng b1 = − da1 = − 29d < nên k ≠ 1( ⇒ k − ∈ ¥ * ) ( an ) n =1 +∞ Để ý thêm dãy số ( 1) đơn điệu không giảm, ta suy ( 2) bk − bk −1 = − d ( ak − ak −1 ) ≤ ⇒ bk −1 ≥ bk − > −1⇒ bk −1 > ⇒ k − ∈ A , mâu thuẫn với tính bé k Từ đó, ta có điều phải chứng minh Phiên thứ hai Trong phiên ta xét hàm số Định nghĩa Hàm f gọi ¢ f :¡ →¢ - liên tục điểm x0 ∈ ¡ tồn giới hạn lim f ( x ) , lim+ f ( x ) phía x → x0− x → x0 mà lim f ( x ) − f ( x0 ) < 1, lim− f ( x ) + f ( x0 ) ≤ x → x0− Ta nói x → x0 f :¡ →¢ hàm số ¢ - liên tục 19 ¢ - liên tục điểm ¡ Ghi Hàm f ¢ gọi - liên tục điểm (trái phải) điểm này, f x0 ∈ ¡ nếu, phía liên tục (một phía), đoạn (một phía) loại bước nhảy với bước nhảy ±1 f có gián lim f ( x ) − f ( x0 ) Chú ý rằng, với gián đoạn phía bước nhảy, hiệu số x → x0− (tương lim f ( x ) − f ( x0 ) ứng x → x0+ ) thường gọi bước nhảy trái (tương ứng phải) hàm f x0 điểm Khi rõ phía, ta gọi tắt bước nhảy, thay cho bước nhảy trái bước nhảy phải Mệnh đề nói hàm số gian f :¡ →¢ Mệnh đề Cho m, M ( m , M ∈ ¢ ) f ¢ hàm số - liên tục có tính chất nhận giá trị trung ¢ - liên tục Khi t m nhận số nguyên nằm M f nhận giá trị làm giá trị Chứng minh Giả sử f ( α ) = m, f ( β ) = M m0 (nên f0 f a ,b hàm số liên tục khắp liên tục phải điểm 23 ¡ ¢ xác định vào ¢ xác định công thức Nhận xét f0 ( x ) ≡ vào toàn ánh từ Ta dễ dàng kiểm chứng: + x →−∞ - liên tục (xem ghi sau định nghĩa 2) Mà nên theo mệnh đề 2, (2) Nếu gián đoạn ; nữa, gián đoạn gián đoạn loại bước lim f ( x ) = +∞ (1) f = g +h lim f ( x ) = −∞ x →+∞ cơng thức Vì từ nhận xét suy ra: nhảy, với bước nhảy ¢ −1 ; gián đoạn ¡ ) + fc k  Dc :=  | k ∈ ¢  c  gián đoạn trái điểm gián đoạn loại bước nhảy, với bước nhảy (3) Nếu + + fc fc c 0, b > f a ,b f a ,b Theo nhận xét dễ thấy: liên tục phải điểm gián đoạn trái điểm ( Da \ Db ) ∪ ( Db \ Da ) gián đoạn loại bước nhảy, với bước nhảy −1 điểm (Tại điểm Db \ Da ; nữa, gián đoạn −1 điểm Da \ Db ( Da ∩ Db ) ∪  ¡ \ ( Da ∩ Db )  hàm số a < 0, b < f a ,b liên tục trái.) (ii) Lúc này, kết kết trường hợp (i); đó, từ “trái” “phải” đổi vị trí cho (iii) a > 0, b < Lúc này, 24 + f a ,b gián đoạn trái điểm đoạn loại bước nhảy, với bước nhảy + f a ,b gián đoạn phải điểm Da ; nữa, gián đoạn gián −1 Db ; nữa, gián đoạn gián đoạn loại bước nhảy, với bước nhảy a < 0, b > (iv) Lúc này, kết kết trường hợp (iii); đó, từ “trái” “phải” đổi vị trí cho Trong bốn trường hợp nói trên, f a ,b hàm số f a ,b ( x ) = ( ax − { ax} ) − ( bx − { bx} ) = ( a − b ) x + u ( x ) dùng mệnh đề ta thấy: f a ,b , ¡ tồn ánh từ vào ¢ - liên tục Mà −1 < u ( x ) < ¢ với x∈¡ a≠b Bài tốn 14 (Chọn đội tuyển PTNK HCM 1999) Tìm tất cặp số thực cho hàm số toàn ánh từ f a ,b ¡ f a ,b ( x ) := [ ax ] + [ bx ] xác định cơng thức vào ¢ với , nên a, b x∈¡ Lời giải Có ba trường hợp xảy ra: (i) ab > Nếu a f a ,b ( ) = 0; f a ,b ( x ) = −2 b  −1 −  max  ;  < x < a b khơng phải tồn ánh từ khơng tăng; trị −1 f a ,b dương, dễ thấy: ¡ f a ,b ( ) = 0; f a ,b ( x ) = −2 vào ¢ đơn điệu khơng giảm; Vì Cịn a f a ,b không nhận giá trị b  −1 −1  < x <  ;  a b , nên khơng phải tồn ánh từ 25 ¡ vào ¢ âm, Vì thế, f a ,b f a ,b −1 , nên đơn điệu khơng nhận giá (ii) ab < Vai trò a b nhau, nên trường hợp xem a > 0, b < Ta tiếp tục sử dụng hàm toán 16 Từ nhận xét suy ra: + f a ,b = f a + f b fc nhận xét có lời giải gián đoạn trái điểm gián đoạn loại bước nhảy, với bước nhảy + f a ,b gián đoạn phải điểm đoạn loại bước nhảy, với bước nhảy Vậy f a ,b hàm số ¡ vào (iii) ≤ v ( x) < ¢ a=0 Kết luận: điều kiện a+b ≠ f a ,b - liên tục Mà với b=0 ¢ x∈¡ a +b ≠ Db −1 Da ; nữa, gián đoạn −1 ; nữa, gián đoạn gián f a ,b ( x ) = ax − { ax} + bx − { bx} = ( a + b ) x − v ( x ) nên dùng Mệnh đề 2, ta thấy: f a ,b , toàn ánh từ Kiểm tra trực tiếp, ta thấy: f a ,b toàn ánh từ ¡ vào ¢ tồn ánh từ ab ≤ 0, a + b ≠ ¡ vào ¢ a, b thỏa mãn đồng thời Kết luận Trên toán tác giả sưu tầm với mong muốn tập hợp toán hay đặc sắc từ tài liệu, để tài liệu giúp đồng nghiệp dạy đội tuyển Trong báo cáo khơng có tính chất có nhiều sai sót Rất mong quý thầy cô đọc báo cáo thông cảm cho tác giả Trân trọng cảm ơn quý thầy cô! 26 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Duy Thái Sơn, Bài giảng giải tích trường hè 2019-Hạ Long [2] Bài tập giải tích II-Kaczkor Nowak [3] Nguồn internet 27 ... Các tốn liên quan đến định lí giá trị trung gian 2.1 Các toán khoảng, đoạn Bài tốn Cho ví dụ hàm có tính chất giá trị trung gian khoảng khơng liên tục khoảng I Lời giải: Lấy f xác định  sin...Tháng năm 2020 BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ DUYÊN HẢI MƠN TỐN Chủ đề báo cáo là: Các tốn liên quan đến định lí Giá Trị Trung Gian Các toán báo cáo tốn tác giả sưu tầm sau bố trí lại... phải Mệnh đề nói hàm số gian f :¡ →¢ Mệnh đề Cho m, M ( m , M ∈ ¢ ) f ¢ hàm số - liên tục có tính chất nhận giá trị trung ¢ - liên tục Khi t m nhận số nguyên nằm M f nhận giá trị làm giá trị Chứng