37 đề thi học sinh giỏi toán 10 trường chuyên 2023 file word

Tổng hợp 37 đề thi học sinh giỏi môn toán 10 năm 2023, bộ đề 37 đề thi học sinh giỏi môn toán 10 năm 2023, đề thi học sinh giỏi môn toán 10, học sinh giỏi toán 10, Tổng hợp đề thi học sinh giỏi môn toán 10 năm 2023, bộ đề thi học sinh giỏi toán, đề thi hsg toán 10 37 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐỀ THI CHỌN HSG GIỎI LẦN THỨ XIV KHU VỰC DUYÊN HẢI, ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ MÔN THI: TỐN – KHỐI 10 TRƯỜNG

37 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 10 HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN VÙNG DH&ĐB BẮC BỘ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LẦN THỨ XIV, NĂM 2023 ĐỀ THI MƠN: TỐN HỌC - LỚP 10 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 15 tháng năm 2023 ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 01 trang) Câu (4,0 điểm) Chứng minh với số nguyên dương n , tồn nhiều đa thức   P  x  P  x  1 P x  ax  b ; có bậc n, hệ số thực thỏa mãn với a, b số thực cho P  x trước 2 Câu (4,0 điểm) Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn a  b  c 3 Chứng minh a b c   1 b2 c2 a2 Câu (4,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường trịn (O) có AD đường phân giác ( D thuộc BC ) Gọi E , F điểm cung CA chứa B , cung AB chứa C đường tròn (O ) Đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE cắt AB M Đường tròn ngoại tiếp tam giác CDF cắt AC N a) Chứng minh bốn điểm B, M , N , C nằm đường tròn AP, AQ đường kính b) Gọi I tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác AMN Gọi đường tròn ngoại tiếp tam giác ABN , ACM Chứng minh đường thẳng BQ, CP, AI đồng quy Câu (4,0 điểm) Cho số nguyên dương n Chứng minh tồn số nguyên n dương a, b, c cho 2027 (a  bc)(b  ac) n số chẵn Câu (4,0 điểm) Một số nguyên dương m gọi “tốt” tồn số nguyên dương a, b, c, d cho m a  b c  d m  49 ad bc a) Chứng minh số nguyên dương m “tốt” tồn hai số nguyên dương x, y cho xy m  x  1  y  1 m  49 b) Tìm số “tốt” lớn ………………………HẾT……………………… Họ tên thí sinh: …………………………………… Số báo danh:……………………… Lưu ý: - Thí sinh khơng sử dụng tài liệu - Cán coi thi khơng giải thích thêm HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÙNG DH&ĐB BẮC BỘ LẦN THỨ XIV, NĂM 2023 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN HỌC - LỚP 10 HƯỚNG DẪN CHẤM (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang) Câu (4,0 điểm) Chứng minh với số nguyên dương n , tồn nhiều đa thức P  x P  x  P  x  1 P  x  ax  b   1 ; có bậc n, hệ số thực thỏa mãn với Điểm a, b số thực cho trước (Dựa theo: THPT Chuyên Cao Bằng) Giả sử đa thức P  x P x bậc n thỏa mãn   ,   đa thức monic Giả sử tồn đa thức Q  x có hệ số thực, Q  x   P  x  , deg Q  x  n thỏa mãn 0,5  1 R x P  x   Q  x  deg R  x  n  Khi đa thức   có P x Q  x   R  x  Do   thỏa mãn   nên  Q  x   R  x    Q  x  1  R  x  1  Q  x  ax  b   R  x  ax  b   Q  x  Q  x  1  Q  x  R  x  1  R  x  Q  x  1  R  x  R  x  1 1,0 1,5 Q  x  ax  b   R  x  ax  b   Q  x  R  x  1  R  x  Q  x  1  R  x  R  x  1 R  x  ax  b  Vế phải ,  2 đa thức bậc 2deg R  x  , vế trái  2 đa thức bậc 2deg R  x  n  deg R  x   n deg R  x  Câu (4,0 điểm) Cho a , b, c số thực không âm  2 deg Q  x   deg R  x  1,0 , mâu thuẫn Điều phải chứng minh 2 thỏa mãn a  b  c 3 Chứng minh a b c   1 b2 c2 a2 Điểm (Nguồn: THPT Chuyên Thái Bình) Biến đổi BĐT cần chứng minh trở thành  a(a  2)(c  2) (a  2)(b  2)(c  2)  ab 2  bc  ca  2(a  b  c ) abc   ab  bc  ca abc  a, c Khi (b  a)(b  c) 0  b  ac b(a  c) Giả sử b nằm hai số Do 1,5 2 2 2 1,0 ab  bc  ca a (b  ac )  bc ab(a  c )  bc b (a  c )  abc 0,5 ab  bc  ca abc  ta cần chứng minh b(a  c ) 2  b(a  c ) 2  b(3  b ) (b  1) (b  2) 0 Do ta có bất đẳng thức cần chứng minh Để chứng minh Ta có Dấu xảy a b c 1 a 0, b 1, c  Câu (4,0 điểm) Cho tam giác nhọn thuộc BC ) Gọi E , F ABC nội tiếp đường tròn điểm cung CA hốn vị (O) có AD đường phân giác ( D chứa B, cung AB chứa C đường tròn (O) Đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE cắt AB M Đường tròn ngoại tiếp tam giác CDF N a) Chứng minh bốn điểm B, M , N , C nằm đường tròn b) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác tròn ngoại tiếp tam giác AMN 1,0 Gọi AP, AQ cắt AC Điểm đường kính đường ABN , ACM Chứng minh đường thẳng BQ, CP, AI đồng quy (Nguồn: THPT Chuyên Nguyễn Tất Thành – Yên Bái) Xét hình vẽ sau: (các trường hợp hình vẽ khác chứng minh tương tự) a) Ta có         EA EC , DCE MAE , DEC BDE  DCE BME  BAE MEA  EDC EMA  g c.g  Vì AD phân giác góc suy tứ giác BMNC A suy nên CD  AM Chứng minh tương tự ta có BD  AN DB AB AB AN     AM AB  AN AC DC AC AC AM nội tiếp đường tròn 0,5 0,5 b) Trước hết ta chứng minh AI vng góc với BC Thật vậy,  IAM 90  AIM 90  ANM 90  ABC nên AI vng góc BC  ABN  ,  ACM  nên ABP  ACQ 90 Vì AP, AQ đường kính đường tròn Gọi A giao điểm BP CQ AA đường kính (O )   NP // CA MQ // AB Gọi K giao điểm MQ NP Mặt khác AMQ  ANP 90 nên tứ giác AMKN nội tiếp đường trịn đường kính AK nên A, I , K thẳng hàng     sin QPC sin QPC CQ sin KQB sin PBQ PQ         sin KPC sin PCQ PQ (1) sin PQB sin PQB BP (2) Ta có Lại có       BMC BNC  CMQ BNP  CAQ BAP  BAP ∽ CAQ  g g  0,5 1,0 0,5 BP AB AN AN AK sin AKN     1,0 CQ AC AM AK AM sin AKM (3) Suy   sin AKN sin QPC sin KQB 1 AKM sin KPC   sin sin PQB Từ (1), (2) (3) suy , AK , CP, BQ đồng quy Câu (4,0 điểm) Cho số nguyên dương n Chứng minh tồn số n Điểm nguyên dương a, b, c cho 2027 (a  bc)(b  ac) n số chẵn (Nguồn: THPT Chuyên Quốc Học – Thừa Thiên Huế) a  bc 2027 p  q p , q Từ giả thiết suy tồn nguyên dương thỏa mãn b  ac 2027 (1) Không 1,0 tổng quát, giả sử a b Từ (1) suy a  b  bc  ac (a  b )(c  1) 2027 p  2027 q  q p b  a  ac  bc (a  b )(c  1) 2027  2027 (2) Vì a b nên q  p , (a  b)(c  1) 2027 p (2027 q  p  1) (2)   p q p (a  b)(c  1) 2027 (2027  1) (3) 1,0 p 2027 | c  Nếu 2027 | c  , (3)  2027 | a  b  a  bc | a  b (*) Mặt a  bc  a  b khác, từ (*) suy n a  b 0  (a  bc )(b  ac ) (a  bc ) 2027  n 2 Nếu 2027 | c  1,0 p 2027 | a  b , a  bc | a  b (**) Vì a  bc a  b nên (**) 1,0 n suy c 1 Khi (a  bc)(b  ac) (a  b) 2027  n2 n2 Vậy trường hợp ta ln có Câu (4,0 điểm) Một số nguyên dương m gọi “tốt” tồn số nguyên dương a, b, c, d cho m a  b c  d m  49 ad bc a) Chứng minh số nguyên dương m “tốt” tồn hai số nguyên Điểm x  1  y  1 m  49 dương x, y cho xy m  b) Tìm số “tốt” lớn (Nguồn: THPT Chuyên Vĩnh Phúc) a) Chiều thuận: Giả sử m tốt, tồn số nguyên dương a, b, c, d cho m a  b c  d m  49 ad bc a c  Từ ad bc , suy b d Khi biểu diễn a uv; b rv; c us; d rs , với u, v, r , s số nguyên dương 0,5 Từ a  b  u  r , suy r u  Từ a  c  v  s , suy s v  u  1  v  1 rs d m  49 Khi uv a m  Như tồn cặp 0,5 0,5  x, y   u, v  thoả mãn Chiều đảo: Giả sử tồn hai số nguyên dương x, y cho xy m  x  1  y  1 m  49 Khơng tính tổng quát, giả sử x  y Suy 1,0 m  xy  x( y  1)  y  x  1   x  1  y  1 m  49 Đặt a  xy; b  x( y  1); c  y  x  1 ; d  x  1  y  1 0,5 m a  b c  d m  49 ad bc Vậy m tốt b) Tìm số “tốt” lớn nhất: Giả sử m số “tốt”, tồn x, y nguyên dương cho xy m  x  1  y  1 m  49 (*) Khi ta có  m  49  x  1  y  1    xy   x  y 24 Vậy số “tốt” lớn 576  1,0 m   m 576 Dấu xảy HẾT TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÀ NỘI AMSTERDAM KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHU VỰC DUYÊN HẢI & ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ Năm 2023 MƠN: TỐN - LỚP 10 Thời gian làm : 180 phút ĐỀ ĐỀ XUẤT (Đề thi gồm:01 trang) Bài Giải hệ phương trình:  y x  11 3x  2  x     x  1 y  y  y   y 1  x     x   y Bài Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn ab 3, bc 2 Tìm giá trị lớn biểu thức: 1 1  T a  b  c       ab bc ca  2abc Bài Cho đoạn thẳng BC cố định, trung điểm M Trên nửa mặt phẳng bờ BC lấy điểm A thay đổi cho tam giác ABC cân A Gọi A đối xứng A qua BC P điểm thuộc   miền góc AMB cho BPC  APA ' 180 đường tròn ngoại tiếp tam giác BPC , APA tiếp xúc với Chứng minh P nằm đường thẳng cố định Bài Tìm tất cặp số nguyên tố  p; q  p q thỏa mãn pq chia hết  Bài Cho dãy 2023 số a1 , a2 , , a2023 có số hạng đơi khác Lấy khỏi dãy số hạng lại xếp chúng vào vị trí theo thứ tự ngược lại Ví dụ, lấy , a, , b, , c, , d ,   , d ,  , c , , b,  , a ,  xếp lại vào vị trí tương ứng Với dãy nhận lại tiếp tục làm vậy… Hỏi sau hữu hạn bước thực thuật tốn trên, ta nhận lại dãy a2023 , a2022 ,, a1 không? HẾT TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÀ NỘI AMSTERDAM KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN THI KHU VỰC DUYÊN HẢI & ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ MƠN: TỐN - LỚP 10 Thời gian làm : 180 phút ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ ĐỀ XUẤT KHỐI 10  y x  11 3x (1)  2  x     x  1 y  y  y   y 1  x     x   y (2) Bài Giải hệ phương trình: Lời giải: Điều kiện xác định: x 3  y x   2   x  y  3  y  y  x  x   0  y  y  ( x  2) 0 Phương trình (2)  y x    y x     x 3  (vì x 3) 2   y 1   y  1  ( x  2)  0  y x   2 (vì (3;1) khơng thỏa phương trình(1)) Thay vào phương trình (1), ta :    x  1 x    x  3  0   Vậy tập nghiệm  ( x   1) 3   S   4;1 ;  3;4   x 4   x 7   Bài Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ab 3, bc 2 Tìm GTNN biểu thức: 1 1  T a  b  c       ab bc ca  2abc Lời giải a b    ; 8ab 36 48 b c    ; 8bc 32 16 16 a c    ; 8ca 18 12 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương, ta có: a b c     ; 4abc 18 24 12 13a 13b 13   ; 36 48 12 13c 13b 13   48 96 24 Cộng theo vế bất đẳng thức rút gọn ta được: 1 1  121 (a  b  c)        ab bc ca  2abc 24 a  , b 2, c 1 Đẳng thức xảy 121 T  24 Do Bài Cho đoạn thẳng BC cố định, trung điểm M Trên nửa mặt phẳng bờ BC lấy điểm A thay đổi cho tam giác ABC cân A Gọi A’ đối xứng A qua BC P điểm thuộc miền   góc A’MB cho BPC  APA ' 180 đường tròn ngoại tiếp tam giác BPC, A’PA tiếp xúc với Chứng minh P nằm đường thẳng cố định A B H O2 M C O1 K P A' Lời giải: Gọi O1 O2 tâm ngoại tiếp tam giác BPC A’PA => P, O1 O2 thẳng hàng Vì AA’ trung trực BC nên O1 thuộc AA’ Vì BC trung trực AA’ nên O2 thuộc BC Ta có biến đổi góc   AO A ' 2 1800  APA ' 2 BPC   C BO   Suy AO2 A ' BO1C đồng dạng => O2CO1 O2 A ' O1 O1O2CA ' tứ giác nội tiếp     Từ PO1K MCA '; MO2O1 MA ' C  O  'C A ' O2 sin MA A ' O2 CO1 PH PO2 sin MO    : 2 R : R 1  K    'C PK PO sin PO CO sin MCA ' sin MCA ' sin MA 1 Ta có biến đổi (áp dụng định lý sin cho đường tròn ngoại tiếp O1O2 CA ' ) Vì PH = PK nên P ln thuộc tia phân giác góc A’MB Suy đpcm p q Bài Tìm tất cặp số nguyên tố (p,q) thỏa mãn: pq |  Lời giải: q Nếu hai số nhận giá trị 2, chẳng hạn p 2 , q | 49  Theo định lý Fermat 49  q 49  56 (mod q) q 2 q 7 Hiển nhiên q 2 khơng thỏa mãn Vì trường hợp ta có đáp án (2;7) (7;2) Nếu hai số nhận giá trị 7, có trường hợp riêng p q 7 dẫn đến đáp án (7;7) chấp nhận Còn lại có hai số 7, chẳng hạn p 7 Ta có q | 7  q  q |  q theo định lý Fermat q | 76  (7  1)(7   1) 2.52.13.181 Ta có đáp án (7;5), (5;7), (7;13), (13;7), (7;181), (181;7) p q p q Xét trường hợp lại p, q 2; p, q 7 Dẫn tới p |   p |  , theo địnl lý p q Fermat  mod p)    mod p ) Chọn k, l số nguyên không âm, r, s số k l lẻ dương cho p  2 r q  2 s l k l k l k p s (7 q ) r   12 s ( 1) r  (mod p) , Nếu k l ta có: ( p  1)2 s ( q  1) r   ) p 2 , mâu thuẫn Do k  l Lập luận tương tự ta suy k  l , khơng có đáp số trường hợp Vậy tập cặp (p,q) thỏa mãn đề là: S  (2;7), (7; 2), (7;5), (5;7), (7;13), (13;7), (7;181), (181;7) Bài Cho dãy 2023 số a1, a2,…, a2023 có số hạng đơi khác Lấy khỏi dãy số hạng lại xếp chúng vào vị trí theo thứ tự ngược lại Với dãy nhận lại tiếp tục làm vậy… Hỏi cách ta nhận lại dãy a2023, a2022,…, a1 khơng? Lời giải: Ta giải toán cho trường hợp dãy có n số hạng đơi khác nhau: a1, a2,…, an Giả sử sau m bước ta nhận dãy an, an-1,…, a1 Ta gọi cặp số (ai, aj) cặp số tốt thỏa mãn hai tính chất sau: i