Đang tải... (xem toàn văn)
Hình thức trình bày đề thi và hướng dẫn chấm SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI CỤM TRƯỜNG THPT ĐỀ CHÍNH THỨC KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CỤM LỚP 10 NĂM HỌC 2021 2022 Môn thi TOÁN Thời gian làm bài 150 ph[.]
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI CỤM TRƯỜNG THPT KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CỤM LỚP 10 NĂM HỌC 2021 - 2022 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút Bài I (4,0 điểm) Cho Parabol (P ) : y x 2x 1) Lập bảng biến thiên vẽ đồ thị (P ) 2) Tìm tọa độ điểm M thuộc (P ) cho khoảng cách từ M đến đường thẳng y 4x đạt giá trị nhỏ Bài II (6,0 điểm) 2 x y xy 1) Giải hệ phương trình x y xy 2) Giải phương trình sau: a) 2x 3x x ; b) x 3x x x Bài III (4,0 điểm) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a b c a b3 1) Chứng minh a b b a a b3 c 2) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P b c a Bài IV (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có cạnh a Gọi G trọng tâm tam giác, M điểm thỏa mãn MA 2MB 3MC 1) Chứng minh: 6GM A C 2) Gọi D , E , F hình chiếu M lên cạnh BC ,CA, AB Tính MD ME MF theo a Bài V (3,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đường cao AD, BE ,CF Biết điểm E (5, 4), điểm F (1, 2) phương trình đường thẳng BC y 1) Viết phương trình đường thẳng EF tìm tọa độ trung điểm B C 2) Tính diện tích tam giác DEF - - - - - - - - - - Hết - - - - - - - - Họ tên thí sinh: Số báo danh: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI CỤM TRƯỜNG THPT KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CỤM LỚP 10 NĂM HỌC 2021 - 2022 Mơn thi: TỐN HƯỚNG DẪN CHẤM Bài Câu 1 (4,0đ) Nội dung TXĐ: điểm 0,25 Đỉnh I 1; 4 0,25 Bảng biến thiên: x -1 y -4 Đồ thị: (P) Giao với trục Ox : 3;0 ; 1;0 0,25 (Chú ý: học sinh biểu diễn tọa độ điểm hình vẽ điểm tối đa) Gọi M x, y P suy y x x Khi d M , d y 4x 17 0,5 0,25 (P) Giao với trục Oy : 0; 3 Vẽ đồ thị hàm số x2 x 0,5 0,25 0,5 17 Ta có: x2 x x 1 Suy d M , d 17 17 Suy giá trị nhỏ d M , d Dấu xảy x 1, y 0,5 17 17 Vậy M 1,0 (6,0đ) 2 x y xy x y xy x y S Đặt xy P 0,5 0,25 (x y ) 3xy x y xy 0,25 0,25 Hệ phương trình trở thành 2 S 2, P S 3P S 3S 10 S P P 3S S 5, P Với S 5, P suy x , y nghiệm phương trình 0,5 0,5 X 5X ( vô nghiệm) Với S 2, P suy x , y nghiệm phương trình X 2X X suy x y 0,5 Vậy hệ có nghiệm x , y 1;1 2a x 2x 3x x 2x 3x x x x x 6 x x 2(l ) Vậy phương trình có nghiệm là: x x 3(tm ) 2b 1,0 x a Điều kiện x Đặt 0,5 x b (4,0đ) a b Phương trình trở thành ab 2a 3b (a 3)(b 2) 0,5 Với a x 10(tm) Với b x 6(tm) 1,0 Vậy tập nghiệm phương trình S {6;10} Biến đổi : ab b2 a b3 a b a b5 a 3b2 a 2b a a b2 b3 a b2 b a a b2 a b a b 1,0 a b a 1,0 1,0 Áp dụng bđt Cauchy ta có: a b b 3a b2 b3 c3 a a 3c c c b ; a2 c2 1,0 Suy a b3 c a b3 c 2(a b c ) 3(a b c ) a b c b2 c a b c a Dấu xảy a =b= c =1 Vậy giá trị nhỏ P a =b = c =1 1,0 (3,0đ) Ta có: GM A M A G 0,25 1 AB AC 1 Ta có G trọng tâm tam giác ABC A G A B A C 3 Suy GM A C 6GM A C Ta có MA 2MB 3MC AM 0,25 0,25 0,25 Từ M kẻ đường thẳng song song với cạnh tam giác, cắt cạnh P,Q,H,K,I,J Suy D,E,F trung điểm cạnh HK, IJ, PQ 0,5 Suy MD MF MP MQ MA MB MC MH MK MI MJ MP MQ Mà MA MB MC 3MG MD ME MF a MD ME MF A C 4 (3,0đ) 0,5 Suy MD ME MF 1 MH MK ; ME MI MJ ; 2 Ta có: EF ( 4, 2) / / (2,1) Suy pt đường thẳng EF là: x 2y 0,5 MG CA 0,5 0,25 0,25 Gọi M trung điểm BC suy M (x ,1) 0,25 Chứng minh ME MF ( BC ) Suy x 1 x 1 1 8x 32 x 0,5 Vậy tọa độ trung điểm BC là: M (4,1) Gọi F’ đối xứng với F qua BC suy F '(1, 0) 0,25 0,25 Chứng minh DA phân giác góc EDF suy F’, D, E thẳng hàng 0,25 2 0,5 2 Pt EF’: x y 0,25 Suy tọa độ điểm D (2, 1) Suy S DEF d (D, EF ).EF 2.1 0,25