de thi hoc sinh gioi toan 11 nam 2021 2022 cum truong thpt ha noi

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI CỤM TRƯỜNG THPT KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CỤM LỚP 11 NĂM HỌC 2021 - 2022 Mơn thi: TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút Bài I (5,0 điểm) 1) Giải phương trình sau : a) sin 2x  cos x  sin x   0; b) sin x cot 2x  cos 3x  5x  2y  2x  y   2) Giải hệ phương trình  x  y  x  y   Bài II (3,0 điểm) 1) Tìm số tự nhiên x thỏa mãn A2x2  Ax2  C x3  10 x  2 2) Tìm hệ số x khai triển  x   x   3) Hỏi có số tự nhiên có chữ số có chữ số Bài III (4,0 điểm) Cho dãy số  u n  thoả mãn u1  1, un 1  3un  , n    1) Chứng minh dãy số u n  cấp số nhân, tính u 50 2) Chứng minh 1     u1  u  u 100  3) Tìm cơng thức tổng qt dãy số v1  1; 1   Bài IV (2,0 điểm) Tính giới hạn lim x 1 2x   3x  x 1  2vn  , n  Bài V (6,0 điểm) Cho hình hộp ABCD.A ' B 'C ' D ' có góc BAD  DAA '  BAA '  600 tất cạnh a 1) Chứng minh BA '  B 'C ' tính độ dài cạnh AC ' theo a 2) Lấy điểm M , N , P thỏa mãn MA  MB  0, NB  2NC  0, 2PC  PC '  Dựng thiết diện hình hộp ABCD.A ' B 'C ' D ' cắt mặt phẳng (MNP ) 3) Mặt phẳng (MNP ) cắt đường thẳng D ' B I Tính tỷ số D 'I BI - - - - - - - - - - Hết - - - - - - - - Họ tên thí sinh: Số báo danh: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI CỤM TRƯỜNG THPT KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CỤM LỚP 11 NĂM HỌC 2021 - 2022 Mơn thi: TỐN HƯỚNG DẪN CHẤM Bài (5,0đ) Câu 1a Nội dung sin x  sin 2x  cos x  sin x    (sin x  2)(2 cos x  1)    cos x   +) sin x  2(l ) +) cos x  1b   x    k 2 ĐK: sin 2x   x  k sin x cot 2x  cos 3x  sin x cos2x  cos 3x.sin2x 1  (sin 3x  sin x )  (sin 5x  sin x ) 2 x  k  5x  3x  k 2  sin 3x  sin 5x    x    k  x    x  k     k k Kết hợp điều kiện x  suy x    k Vậy nghiệm phương trình x   2  5x  2y  a  5x  2y  a x  a  2b (a  0, b  0)    Đặt  2 x  y  b y  5b2  2a 2 x  y  b       Điểm 1,0 1,0 0,25 1,0 0,5 0,5 0,25 Khi hệ phương trình trở thành   a  b  a   b    b  a  2b2  (5b2  2a )  3(5  b)2  7b2  b       b  2, a  a   b   b   37 (l ) b  29 b  74    5x  2y  x   Với  b  2, a    2x  y  y  Vậy hệ có nghiệm 1;  0,5 0,25 (3,0đ) Điều kiện: x  , x  0,25 ta có 6 x (x  1)(x  2) A2x  Ax2  C x3  10  2x (2x  1)  x (x  1)   10 x x 3! 0,25  x (2x  1)  x (x  1)  (x  1)(x  2)  10 0,25  3x  12  x  Kết hợp điều kiện suy x  x  5  2 2 k 3k  x   C x       x2  k 0   x  5k 0,25    C 5k 2 k 0 5k x 5k 10 0,5 Hệ số x khai triển thỏa mãn: 5k  10   k    Vậy hệ số x khai triển là: C 53 2  40 0,5 Gọi số cần tìm abcde 0,5 Số số tự nhiên có chữ số là: 9.104 Số số tự nhiên có chữ số khơng có chữ số là: 8.94 0,25 Số số tự nhiên có chữ số có chữ số là: 0,25 9.104  8.94  37512 số (4,0đ) Ta có: un 1   3(un  1) , n   Ta có: u   1  u Suy u n  cấp số nhân với công bội 49 50    2.349 Suy u 50  2.349  0,5 0,5  1   cấp số nhân với công bội  un   Ta có   0,5 100 1   1 1 1 3 3100        u1  u  u 100  u  1 2.399 1 2vn  3    , n  1 vn Đặt wn   w1  1; wn 1   3wn , n  0,5 0,25 0,25 Theo câu a suy wn  2.3n 1  Vậy  (2,0đ) 1 n 1 2.3 1 , n   lim 2x   3x   lim 2x   x 1 x 1 0,25 0,25   lim      x 1   lim  2x   x 1   3x      x 1        lim     x 1 x 1 x 1  x 1 x   x  x             3x   x    lim  lim  x 1 x 1   x 1 3   x   3x   3x             lim    x 1  3x   3x       2x      2x   3x  x 1 Ta có : BA '  AA '  AB x 1 (6,0đ) 0,5    lim   0,5    0,5   B ' C '  AD Suy 0,25   a2 a2 BA '.B ' C '  AA '  AB AD    2 0,25 Suy BA '  B 'C ' 0,5 AC '  AA '  AB  AD  AC '2  AC '  AA '  AB  AD 0,25   AA '2  AB  AD  AA ' AB  AA ' AD  AB AD  6a  AC '  6a 0,5 Gọi giao MN với CD AD E F 0,5 Gọi giao MN với CD AD E F 0,5 Gọi giao EP với C’D’ DD’ Q G 0,5 0,5 Gọi giao FG với AA’ A’D’ S R Suy thiết diện lục giác MNPQRS 0,5 Gọi H,K giao MN với BD QR với B’D’ 0,25 Chứng minh tứ giác BKD’H hình bình hành Suy I trung điểm BD’ Vậy D 'I  BI 0,5 ...SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI CỤM TRƯỜNG THPT KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CỤM LỚP 11 NĂM HỌC 2021 - 2022 Mơn thi: TỐN HƯỚNG DẪN CHẤM Bài (5,0đ) Câu 1a Nội dung sin x  sin...   C 5k 2 k 0 5k x 5k 10 0,5 Hệ số x khai triển thỏa mãn: 5k  10   k    Vậy hệ số x khai triển là: C 53 2  40 0,5 Gọi số cần tìm abcde 0,5 Số số tự nhiên có chữ số là: 9.104 Số... giao MN với CD AD E F 0,5 Gọi giao EP với C’D’ DD’ Q G 0,5 0,5 Gọi giao FG với AA’ A’D’ S R Suy thi? ??t diện lục giác MNPQRS 0,5 Gọi H,K giao MN với BD QR với B’D’ 0,25 Chứng minh tứ giác BKD’H