Đề thi học sinh giỏi Toán 8 năm 2021 có đáp án - Phòng GD&ĐT huyện Thanh Trì

Với mong muốn giúp các bạn đạt kết quả cao trong kì thi sắp tới, TaiLieu.VN đã sưu tầm và chọn lọc gửi đến các bạn Đề thi học sinh giỏi Toán 8 năm 2021 có đáp án - Phòng GD&ĐT huyện Thanh Trì hi vọng đây sẽ là tư liệu ôn tập hiệu quả giúp các em đạt kết quả cao trong kì thi. Mời các bạn cùng tham khảo!

UBND HUYỆN THANH TRÌ ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH NĂNG KHIẾU PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC: 2020 – 2021 Mơn: TỐN Thời gian làm bài:120 phút Bài 1: (4,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x − xy + y + x − y − Phân tích đa thức thành nhân tử: x − y − x y + x + y Bài 2: (4,0 điểm) Cho a số nguyên tố lớn Chứng minh a −  24 = a 11 − 77 bình phương đúng(với 2n Tìm tất số nguyên dương n để số chữ số , n chữ số ) Bài 3:(3,0 điểm) Giải phương trình: ( x − x + 11)( x − x + 21) = 35 Cho số thực x, y, z thỏa mãn đồng thời điều kiện: x+ y+z = 2, x + y + z = 18 xyz = −1 Tính giá trị S = 1 + + xy + z − yz + x − xz + y − Bài 4:(2,0 điểm) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác thỏa mãn a + b + c = Chứng minh: a + b + c < Bài 5:(6,0 điểm) Cho O trung điểm đoạn thẳng AB có độ dài 2a Trên nửa mặt phẳng bờ AB , vẽ hai tia Ax By vng góc với AB Trên tia Ax lấy điểm D ( D khác A ) Qua O kẻ đường vng góc với OD O , cắt By C Gọi H hình chiếu vng góc O CD Chứng minh: AD.OC = OB.OD 2.Chứng minh: ∆ADH ∽ ∆BOH ∆AHB vuông Gọi I giao điểm AC BD , E giao điểm AH DO , F giao điểm BH CO Chứng minh: E , I , F thẳng hàng 4.Tìm vị trí D Ax để diện tích tứ giác ABCD nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ đó? Bài 6: (1,0 điểm) Tìm x , y , z nguyên dương thỏa mãn: x3 − ( x + y + z ) = ( y + z) + 34 = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = (Học sinh không sử dụng máy tính cầm tay) ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH NĂNG KHIẾU PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH TRÌ Năm học: 2020-2021 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: (4,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x − xy + y + x − y − Phân tích đa thức thành nhân tử: x − y − x y + x + y Lời giải Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x − xy + y + x − y − = (x − xy + y ) + 4( x − y ) − = ( x − y ) + 4( x − y ) +  − = ( x − y + 2) − 32 = ( x − y + − 3)( x − y + + 3) = ( x − y − 1)( x − y + 5) Phân tích đa thức thành nhân tử: x4 − y − x2 y + x2 + y = ( x4 − y ) − ( x2 y − x2 ) − ( y − y ) (x = − y )( x + y ) − x ( y − 1) − y ( y − 1) = ( x + y )( x − y ) − ( y − 1)( x + y ) = (x + y )( x − y − y + 1) = ( x + y )( x − y + 1) Bài 2: (4,0 điểm) Cho a số nguyên tố lớn Chứng minh a −  24 = a 11 − 77 bình phương đúng(với 2n Tìm tất số nguyên dương n để số chữ số , n chữ số ) Lời giải Ta có: a − = (a + 1)(a − 1) +) Vì a số nguyên tố lớn nên a số lẻ ⇒ (a − 1) (a + 1) hai số chẵn liên tiếp ⇒ (a − 1)(a + 1)8 +) Vì a số nguyên tố lớn nên a ! suy a − a + chia hết cho Do đó: (a + 1)(a − 1)  Lại có: nguyên tố nên (a + 1)(a − 1)  (3.8) Hay: a −  24 với a số nguyên tố lớn Ta có= : a 11 − 77 (với 2n chữ số , n chữ số ) - Nếu n =1 ⇒ a =11 − = = 22 số phương - Nếu n > ⇒ a = 111…111 − 777 … 77 = ….34 , số chia hết cho không chia hết khơng số phương Vậy n = Bài 3:(3,0 điểm) Giải phương trình: ( x − x + 11)( x − x + 21) = 35 Cho số thực x, y, z thỏa mãn đồng thời điều kiện: 2, x + y + z = x+ y+z = 18 xyz = −1 Tính giá trị S = 1 + + xy + z − yz + x − xz + y − Lời giải Giải phương trình: (x − x + 11)( x − x + 21) = 35 Ta có: ( x − x + 11)( x − x + 21) = ( x − 2) +  ( x − ) + 5  35 ∀x    0 x − = ( x − 2) = ⇔x= Đẳng thức xảy khi:  ⇔ ( x − 2)( x + 2) = x − =  ( )   Do đó: ( x − x + 11)( x − x + 21) = 35 ⇔ x = Vậy phương trình cho có tập nghiệm S = {2} Ta có: ( x + y + z ) = x + y + z + ( xy + y + xz ) ⇔ = 18 + 2( xy + yz + xz ) −7 ⇔ xy + yz + xz = Vì x + y + z = ⇒ z = − ( x + y ) Khi đó: xy + z − = xy + − ( x + y ) − = xy − x − y + = ( x − 1)( y − 1) ⇒ 1 = xy + z − ( x − 1)( y − 1) Tương tự : = ⇒S = 1 1 ; = = yz + x − ( y − 1)( z − 1) zx + y − ( z − 1)( x − 1) 1 + + xy + z − yz + x − xz + y − 1 + + ( x − 1)( y − 1) ( y − 1)( z − 1) ( z − 1)( x − 1) = z −1+ x −1+ y −1 ( x − 1)( y − 1)( z − 1) = ( x + y + z) − ( x − 1)( y − 1)( z − 1) = 2−3 xyz − ( xy + yz + zx ) + ( x + y + z ) − = −1 −1 + + − = −1 Vậy S = −1 Bài 4: (2,0 điểm) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác thỏa mãn a + b + c = Chứng minh: a + b + c < Lời giải Vì a, b, c độ dài ba cạnh tam giác ⇒ c < a + b ⇒ c < c ( a + b) Tương tự: b < b(a + c) a < a (b + c) ⇒ a + b + c < 2(ab + bc + ca ) (1) Mà: a + b + c + 2(ab + bc + ca ) = (a + b + c) = ⇒ 2(ab + bc + ca ) =1 − (a + b + c ) ( 2) Từ (1) ( ) suy a + b + c < − ( a + b + c ) Hay: ( a + b + c ) < ⇔ a + b2 + c2 < (đpcm) Bài 5: (6,0 điểm) Cho O trung điểm đoạn thẳng AB có độ dài 2a Trên nửa mặt phẳng bờ AB , vẽ hai tia Ax By vng góc với AB Trên tia Ax lấy điểm D ( D khác A ) Qua O kẻ đường vng góc với OD O , cắt By C Gọi H hình chiếu vng góc O CD Chứng minh: AD.OC = OB.OD Chứng minh: ∆ADH ∽ ∆BOH ∆AHB vuông Gọi I giao điểm AC BD , E giao điểm AH DO , F giao điểm BH CO Chứng minh: E , I , F thẳng hàng Tìm vị trí D Ax để diện tích tứ giác ABCD nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ đó? Lời giải x y M a) Chứng minh: AD.OC = OB.OD Xét ∆AOD ∆BCO , ta có: = CBO = 90° DAO   (cùng phụ với  ADO = COB AOD ) ⇒ ∆AOD ∽ ∆BCO (g.g) ⇒ AD OD = BO OC ⇒ AD.OC = OB.OD Vậy AD.OC = OB.OD b) * Chứng minh: ∆ADH ∽ ∆BOH  (chứng minh trên) Ta có:  ADO = BOC  (cùng phụ với HOD  = COH ) ODH  + COH   = BOC ADO + ODH ⇒  Hay:  ADH = BOH (1) Mà: ∆AOD ∽ ∆BCO (theo câu a) ⇒ AD OD = OB OC ( 2) Xét ∆DOH ∆OCH , ta có: = 90° = CHO DHO  (cùng phụ với DOH  = COH ) ODH ⇒ ∆DOH ∽ ∆OCH (g.g) ⇒ DH OD = OH OC Từ ( ) ( 3) suy ra: ( 3) AD DH = OB OH ( 4) Xét ∆ADH ∆BOH , ta có:   ADH = BOH (do (1) ) AD DH = OB OH (do ( ) ) Vậy: ∆ADH ∽ ∆BOH (c.g.c) * Chứng minh: ∆AHB vng Ta có: ∆ADH ∽ ∆BOH (c.g.c)  ⇒ AHD = OHB =  =° Mà  AHD + OHA OHD 90  + OHA  =° ⇒ OHB 90 ⇒ AHB =° 90 Vậy ∆AHB vuông H c) Chứng minh: E , I , F thẳng hàng Ta có: ∆ABH vng H có HO đường trung tuyến 1 ⇒ HO = AB ⇒ OA = OB = OH = AB 2 - Xét ∆ADO ∆HDO , ta có: OA = OH (chứng minh trên) = OHD = 90° OAD DO cạnh chung Vậy: ∆ADO ∽ ∆HDO (cạnh huyền – cạnh góc vng) ⇒ DA = DH Mà OA = OH (chứng minh trên) Nên OD đường trung trực AH Suy E trung điểm AH Chứng minh tương tự,ta có: BC = CH F trung điểm BH ⇒ EF đường trung bình ∆ABH ⇒ EF // AB Ta có: BC // AD , áp dụng hệ định lý Talet suy ra: IB BC IB CH = ⇒ = (vì DA = DH BC = CH ) ID DH ID AD DBC có IB CH = nên HI // BC (Định lí Talet đảo) ID DH Gọi M giao điểm HI AB , suy HM // BC nên IM // BC DBC có HI // BC nên IH DI = BC DB (5)  ABC có IM // BC nên IM AM = BC AB (6)  ABD có IM // AD nên DI AM = DB AB (7) Từ (5) , (6) (7) suy IH IM IM = IH = BC BC Vậy I trung điểm HM Xét ∆AHM có: E trung điểm AH , I trung điểm HM Nên EI đường trung bình ∆AHM ⇒ EI //AM Suy ra: EI //AB mà EF //AB nên E , I , F thẳng hàng d) Tìm vị trí D Ax để diện tích tứ giác ABCD nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ đó? Tứ giác ABCD có BC // AD (cùng vng góc với AB )nên tứ giác ABCD hình thang vng Do đó: S ABCD = Hay S ABCD = ( AD + BC) AB ( DH + CH ) AB (vì DA = DH BC = CH ) = 2 DC AB Mà AB không đổi nên S ABCD đạt giá trị nhỏ DC có độ dài nhỏ ⇔ CD = AB (vì CD ≥ AB ) ⇔ Hình thang vng ABCD hình chữ nhật  AD = BC  AB  DH = DA ⇔ AD = ⇔ CH = CB  AB = CD Vậy S ABCD đạt GTNN D nằm tia Ax cho AD = AB Bài 6: (1,0 điểm) Tìm x , y , z nguyên dương thỏa mãn: x3 − ( x + y + z ) = Lời giải Đặt x= a; y + z= b (a > 0; b ≥ 2) Ta có: a − (a + b) = b3 + 34 ⇔ a − b3 = (a + b) + 34 ⇔ ( a − b ) ( a + ab + b ) = (a + b) + 34 Vì: (a + b) + 34 > ⇒ a − b > ⇔ a > b   * Nếu:  1  a − b = ⇒ a + ab + b = (a + b) + 34 ⇔ a + ab + b = a + 2ab + b + 34 ⇔ ab + 34 = (vơ lí a > 0, b > ) * Nếu: a − b ≥ ⇒ a + ab + b 2 ( a + b) ≤ + 34 ⇔ 2a + 2ab + 2b ≤ a + 2ab + b + 34 a ≤ ⇔ a + b ≤ 34 ⇒  b ≤ b ≥ b ≥ Mà:  ⇒ a − b ≥ a ≥ 4 ≤ a ≤  Do đó: 2 ≤ b ≤ a − b ≥  Mà a , b nguyên dương nên xảy trường hợp: - Trường hợp 1: ( y + z) + 34 = b 2= x = x ⇔ ⇔  a = y + z = y = z = Thay x= 4; y= z= vào phương trình (1) , ta được: 43 − 62 = 23 + 34 ⇔ 28 = 42 (vơ lí) - Trường hợp 2: = b 2= x = x ⇔ ⇔  a = y + z = y = z = Thay x= 5; y= z= vào phương trình (1) , ta được: 53 − = 23 + 34 ⇔ 76 = 42 (vơ lí) - Trường hợp 3: x =   y =  = b 3= x  ⇔ ⇒  z =  a y z = = +       y =    z = Thay x= 5; y + z= vào phương trình (1) , ta được: 53 − 82 = 33 + 34 ⇔ 61 = 61 (thỏa mãn điều kiện) Vậy: ( x; y; z ) ∈ {( 5;1; ) ; ( 5; 2;1)} = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = ...ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH NĂNG KHIẾU PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH TRÌ Năm học: 2020 -2 021 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: (4,0 điểm) Phân... 1)(a − 1)  Lại có: nguyên tố nên (a + 1)(a − 1)  (3 .8) Hay: a −  24 với a số nguyên tố lớn Ta có= : a 11 − 77 (với 2n chữ số , n chữ số ) - Nếu n =1 ⇒ a =11 − = = 22 số phương - Nếu n > ⇒ a... đó: ( x − x + 11)( x − x + 21) = 35 ⇔ x = Vậy phương trình cho có tập nghiệm S = {2} Ta có: ( x + y + z ) = x + y + z + ( xy + y + xz ) ⇔ = 18 + 2( xy + yz + xz ) −7 ⇔ xy + yz + xz = Vì x + y