de thi hoc sinh gioi toan 8 nam 2016 2017 phong gddt nga son thanh hoa

Phòng giáo dục & đào tạo Huyện nga sơn Đề thức (Đề thi gồm có 01 trang) đề thi häc sinh giái líp 6,7,8 thcs cÊp hun NĂM HỌC: 2016 - 2017 Môn thi: Toán Thời gian làm bµi: 150 Ngµy thi: 04/04/2017 Câu 1: (4 điểm)   a  12  2a  a  a  4a Cho biểu thức M =    : a3  a   4a  3a   a  1   a) Rút gọn M b) Tìm a để M > c) Tìm giá trị a để biểu thức M đạt giá trị lớn Câu 2: ( điểm) 1) Giải phương trình: x2 x4 x6 x8 a)    98 96 94 92 b) x6 - 7x3 - = 2) Tìm m để phương trình sau vô nghiệm: 1 x x  2(x  m)    xm xm m2  x 3) Tìm a, b cho f  x   ax  bx  10x  chia hết cho đa thức g  x   x  x  Câu 3: ( điểm) 1) Cho: x + y + z = x3 + y3 + z3 = Tính A = x2015 + y2015 + z2015 2) Một người dự định xe máy từ A đến B với vận tốc 30km/h, sau người nghỉ hết 15 phút, phải tăng vận tốc thêm 10km/h để đến B định Tính quãng đường AB? Câu 4: (5 điểm) Cho hình vng ABCD có AC cắt BD O, M điểm thuộc cạnh BC (M khác B, C).Tia AM cắt đường thẳng CD N Trên cạnh AB lấy điểm E cho BE = CM a) Chứng minh: ∆OEM vuông cân b) Chứng minh: ME // BN c) Từ C kẻ CH  BN ( H  BN) Chứng minh ba điểm O, M, H thẳng hàng Câu 5: (2 điểm) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  2016 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a  3b  3c  3a  2b  3c 3a  3b  2c    P= 2015  a 2016  b 2017  c Hết Họ tên thí sinh: Số báo danh: PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGA SƠN HƯỚNG DẪN CHẤM HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học 2016 - 2017 Mơn: Tốn Câu Nội dung Điểm a (2đ) Điều kiện: a  0; a  0,5  a  1   2a  4a   : a  4a  a3  a   4a  3a   a  1   Ta có: M =    a  12  2a  4a  4a  =    a  a   a  1 a  a  a  1 a a   = =  a  1    2a  a  a  a   a  1  a   a 1  0,5  4a a 4 0,5 a  3a  3a    2a  4a  a  a  4a a 4  a  1 a  a    a  4a 4a = a 1 a  a 4 4a Vậy M = với a  0; a  a 4 0,5 b) (1đ) M > 4a > 0suy a > kết hợp với ĐKXĐ Vậy M > a > a  c) (1đ) 0,5 = 4.0đ  0,5 0,5    a   a  4a  a  2  4a Ta có M = =  1 a 4 a2  a 4  a  2 Vì 2 a 4 0  a  2 với a nên  a2   a  2 Dấu “=” xảy 0,5  với a a 4 0a2 0,5 Vậy MaxM = a = a) (1đ) x2 x4 x6 x8    98 96 94 92 x2 x4 x6 x8 +1) + ( + 1) = ( + 1) + ( + 1) ( 98 96 94 92 1 1 + )=0  ( x + 100 )( 98 96 94 92 Ta có 5,0đ 0,5 Vì : 1 1 +  98 96 94 92 Do đó: x + 100 =  x = -100 Vậy phương trình có nghiệm: x = -100 b) (1đ) Ta có x6 – 7x3 – =  (x3 + 1)(x3 – 8) =  (x + 1)(x2 – x + 1)(x – 2)(x2 + 2x + 4) = (*) Do x2 – x + = (x – ) + > x2 + 2x + = (x + 1)2 + > với x, nên (*)  (x + 1)(x – 2) =  x {- 1; 2} 2) (2đ) Tìm m để phương trình sau vơ nghiệm 0,5 0,5 0,5 0,5  x x  2( x  m)  (1)   xm xm m2  x2 ĐKXĐ: x+ m  x- m   x   m  (1  x )( x  m)  ( x  2)( x  m)   2( x  m)  (2m  1) x  m  2(*) 3 + Nếu 2m -1=  m  ta có (*) 0x = (vơ nghiệm) 2 m2 + Nếu m  ta có (*)  x  2m  0,5 0,25đ - Xét x = m  m2  m  m   2m  m 2m  1   m  2m    m  m     m     2  0,25đ (Khơng xảy vế trái dương) Xét x= - m m2   m  m   2 m  m  m   m  1 2m  1 Vậy phương trình vơ nghiệm m  m = 1  0,5đ 3)(1đ) Ta có : g  x   x  x  2=  x  1 x   0.25đ Vì f  x   ax  bx  10x  chia hết cho đa thức g  x   x  x  Nên tồn đa thức q(x) cho f(x)=g(x).q(x)  ax  bx  10x  4=  x+2   x-1 q  x  Với x=1  a+b+6=0  b=-a-6 1 0.25đ 0.25đ Với x=-2  2a-b+6=0   Thay (1) vào (2) Ta có : a=-4 b=-2 0.25đ 1)(2đ) Từ x + y + z =  (x + y + z)3 = Mà: x3 + y3 + z3 =  (x + y + z)3 - x3 - y3 - z3 =   x  y  z   z3   x3  y   0,25 0,25     x  y  z  z   x  y  z    x  y  z  z  z    x  y  x  xy  y 0,25   2   x  y   x  y  z  2xy  yz  2xz+xz  yz  z  z  x  xy  y     x  y   3z  3xy  yz  3xz   0.25đ   x  y   y  z  x  z   (4,0đ) x  y  x   y   y  z    y  z    x  z   x   z * Nếu x   y  z   A  x 2015  y 2015  z 2015  * Nếu y   z  x   A  x 2015  y 2015  z 2015  * Nếu x   z  y   A  x 2015  y 2015  z 2015  2) (2điểm) Gọi x (km) độ dài quãng đường AB ĐK x > x Thời gian dự định hết quãng đường: (giờ) 30 Quãng đường sau giờ: 30 (km) Quãng đường lại : (x-30) (km) x  30 Thời gian quãng đường lại : (giờ) 40 x x  30 Lập phương trình : 1  30 40 0,5 0,5  x  30.5  3( x  30)  x  60 (thỏa mã đk) Vậy quãng đường AB 60km E A B 1 O M H' H D C N a) (2đ) Xét ∆OEB ∆OMC Vì ABCD hình vng nên ta có OB = OC Và B1  C1  450 0,5 BE = CM ( gt ) 0,5 Suy ∆OEB = ∆OMC ( c g.c) 4(5đ)  O   OE = OM O 0,5  O   BOC   900 tứ giác ABCD hình vng Lại có O 0,5  O   EOM   900 kết hợp với OE = OM  ∆OEM vuông cân O O b)(1.5đ) Từ (gt) tứ giác ABCD hình vng  AB = CD AB // CD AM BM ( Theo ĐL Ta- lét) (*)  MN MC Mà BE = CM (gt) AB = CD  AE = BM thay vào (*) 0,5 0,5 + AB // CD  AB // CN  Ta có : AM AE  ME // BN ( theo ĐL đảo đl Ta-lét)  MN EB c)(1.5đ) Gọi H’ giao điểm OM BN   MH  Từ ME // BN  OME 'B  Mà OME  45 ∆OEM vng cân O    MH ' B  450  C 0.5 0,25  ∆OMC  ∆BMH’ (g.g)  OM MC   CMH ' ( hai góc đối đỉnh) , kết hợp OMB  , BM MH   MH   ∆OMB  ∆CMH’ (c.g.c)  OBM ' C  450 0,5 0,5 (2,0đ)    Vậy BH ' C  BH ' M  MH ' C  900  CH '  BN Mà CH  BN ( H  BN)  H  H’ hay điểm O, M, H thẳng hàng ( đpcm) Ta có a  3b  3c  3a  2b  3c 3a  3b  2c    P= 2015  a 2016  b 2017  c b  c  4033 c  a  4032 a  b  4031   = 2015  a 2016  b 2017  c Đặt 2015 + a = x; 2016 + b = y; 2017 + c = z ; (x,y,z > 0) b  c  4033 c  a  4032 a  b  4031   P= 2015  a 2016  b 2017  c yz zx x y y x x z y z P         x y z x y z x z y y x z x y z 2 2  (Co  si ) x y x z z y Dấu “=” xảy x = y = z suy a = 673, b = 672, c = 671 Vậy giá tị nhỏ biểu thức p a = 673, b = 672, c = 671 0,25 0,5 0,5 2 0,5 Chú ý: Thí sinh làm cách khác, điểm tối đa Nếu thí sinh chứng minh hình mà khơng vẽ hình khơng chấm điểm hình ... a) (1đ) x2 x4 x6 x? ?8    98 96 94 92 x2 x4 x6 x? ?8 +1) + ( + 1) = ( + 1) + ( + 1) ( 98 96 94 92 1 1 + )=0  ( x + 100 )( 98 96 94 92 Ta có 5,0đ 0,5 Vì : 1 1 +  98 96 94 92 Do đó: x +... 3c 3a  3b  2c    P= 2015  a 2016  b 2017  c b  c  4033 c  a  4032 a  b  4031   = 2015  a 2016  b 2017  c Đặt 2015 + a = x; 2016 + b = y; 2017 + c = z ; (x,y,z > 0) b  c ...PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGA SƠN HƯỚNG DẪN CHẤM HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học 2016 - 2017 Mơn: Tốn Câu Nội dung Điểm a (2đ) Điều kiện: a  0; a  0,5  a