de thi hoc sinh gioi toan 8 nam 2014 2015 phong gddt y yen nam dinh

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO HUYỆN Ý YÊN ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI THCS NĂM HỌC 2014 - 2015 ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN : TỐN – LỚP Thời gian làm bài: 150 phút Đề gồm 01 trang Bài (3 điểm) 1) Phân tích đa thức thành nhân tử: x  y  z   y  z  x   z  x  y  2) Cho  x  y    y  z 2   z  x 2   x  y  z  xy  yz  zx  Chứng minh x  y  z Bài (4 điểm) Cho biểu thức 2x2  x2  x  2     , với x  0; x  P  2    2x   x  x  x   x x  1) Rút gọn P 2) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức Q = 2.P nhận giá trị nguyên Bài (4 điểm) Giải phương trình 3 1)  x  4,5    x  5,5   12, 25 12 2)  3 x  x 8 x 3 Bài (2 điểm) Cho số dương x, y, z thỏa mãn 1    Chứng minh x y z 1   1 2x  y  z x  y  z x  y  2z Bài (5 điểm) Cho tam giác ABC vuông A Lấy điểm M cạnh AC Từ C vẽ đường thẳng vng góc với tia BM, đường thẳng cắt tia BM D, cắt tia BA E 1) Chứng minh EDA  EBC 2) Chứng minh điểm M di chuyển cạnh AC tổng BM.BD + CM.CA có giá trị khơng đổi Bài (2 điểm) Cho tam giác ABC Gọi M điểm cạnh AC, qua M kẻ đường thẳng ME, MF song song với cạnh AB, BC ( E  BC F AB) Tìm vị trí M để diện tích tứ giác BEMF có diện tích lớn Họ tên thí sinh: ………………… Họ, tên chữ ký GT 1: ………………………… Số báo danh:………………………… Họ, tên chữ ký GT 2: ………………………… HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN NĂM HỌC 2014 – 2015 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN Ý YÊN Bài (3,0đ) ý Nội dung đáp án x  y  z   y  z  x  z  x  y = 2 Điểm x2  y  z   y  z  x   z  x  z  z  y  = x  y  z   y  z  x  z  x  z   z 1) (1,5đ) =  y  z   x  z    z  x   y  z  2 2  y  z   y  z  x  z  x  z    z  x  y  z  y  z    y  z  x  z  x  z  z  y    y  z  x  z  x  y  0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 2)  x  y    y  z 2   z  x 2   x  y  z  xy  yz  zx  (1,5đ)  x2  xy  y  y  yz  z  z  2xz  x2  4x2  y  4z  xy  yz  4xz 0,25  x2  y  2z  xy  yz  2xz  0,25   x  xy  y    y  yz  z    z  xz  x   0,5   x  y   y  z   z  x  2 Mà  x  y   ;  y  z   ;  z  x   với x, y ,z 2 nên  x  y    y  z    z  x   x= y; y =z ; z =x 2 hay x = y = z ( đpcm) (4,0đ)   x2  x   x  2  x2  x  2x  P    x2  4  x  2  x2  4  x  2  x2   x  x  2  4x2    x   x  2  x  1 x   x  x  2  4x  x 1    2 x  x2   x    x  1 2x  x  4  4x   4x 0,25 0,25 ĐK: x  0; x  (2,5đ) 0,25 x2 0,5 0,5 0,5 0,25  x    x  1  2x x    x 1 2x 0,5 Có Q  2.P  x    x Vơi x  0; x  ; (1,5đ) Mà Ư(1) = 1;1  x  1 ; 0,5 x x , để Q nhận giá trị nguyên x Ư(1) x  ( thỏa mãn ĐK) 0,25 0,25 Vậy giá trị x cần tìm là: 1;  x  4,5  (4,0đ) 0,5   x  5,5   12, 25 Đặt y = x 5, phương trình trở thành  y  0,5    y  0,5   12, 25 3 0,25  y  3.y 0,5  y.0,5  0,5  y  y 0,5  y.0,5  0,5  12,25 0,25  y  0,25  12,25  0,25 1)  y  y      (2,0đ) 2 3 2 y    y  2 0,5 Với y = , ta : x = Với y =  , ta x = Vậy nghiệm phương trình : x= ; x= 0,5 0,25 12 12  3  1  1  1  x  x 8 x 3 x 2 x 8 x 3  x2  x2  x2    0 x  x2  x2  1    4  x      (1)  x  x 8 x 3 0,5 0,5 2) (2 đ) Có 1    với giá trị x x  x 8 x 3 0,25 x   x  2 (2,0 đ) Nên (1)   x    x   x      0,5 Vậy phương trình có hai nghiệm : x = ; x = 2 0,25 2 a  b C/m: Với x, y số dương a, b số Ta có a  b  x Áp dụng kết trên, ta có: y x y 0,5 0,5 1 1 1    2      2x  y  x x  y  x  z x  y x  z 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1                 4 4 4 4  4  4  4  4 x y xz x y x z x y x z 1 2 1      x  y  x 16  x y z  1 1 1 Tương tự có:      ; x  y  z 16  x y z   1 1 2      x  y  z 16  x y z   1 1 2 1 1 2 1              x  y  x x  y  z x  y  z 16  x y z x y z x y z   1 1 4 4 11 1            x  y  x x  y  z x  y  z 16  x y z   x y z  Theo 1 1 1   4    (đpcm) x  y  x x  y  z x  y  2z x y z (5,0đ) 0,25 0,5 0,25 E D A M B I C - Chứng minh  EBD ~  ECA (gg) EB ED  1)  ( hai cạnh tương ứng) EC EA (2,5đ) Chứng minh:  EAD ~  ECB (c.g.c)  EDA  EBC ( hai góc tương ứng) Kẻ MI  BC Chứng minh  BMI ~  BCD (g.g) BM BI ( hai cạnh tương ứng)  BM BD  BC.BI   2) BC BD (2,5đ) Tương tự có CM AC  BC.IC Cộng vế với vế, ta BM BD  CM CA  BC.BI  BC.CI  BC  BI  IC   BC2 Mà BC không đổi => đpcm 0,75 0,5 0,75 0,5 0,75 0,5 0,5 0,75 (2,0đ) A M F G B H C E Ta có ME // AB (gt) MF // BC (gt)  ME // BF MF // BE  Tứ giác BEMF hình bình hành ( hai cặp cạnh đối song song) Kẻ AH  BC H , AH cắt MF G S HG FM Ta có S ABC  AH BC S BEMF  HG.FM nên BEMF  S ABC AH BC Gọi AM = x; MC = y  AC = x + y FM AM Xét  ABC có MF // BC (gt)  ( hệ định lí Talet)  BC AC FM x   BC x  y HG y HG CM Xét  AHC có GM //HC  ( định lí Talet)    AH AC AH x  y Do S BEMF xy  2 S ABC  x  y Ta có :  x  y     x  y   xy   xy  x  y  S BEMF 1   S BEMF  S ABC S ABC Mà S ABC không đổi nên S BEMF đạt giá trị lớn y Hay M trung điểm AC 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 S ABC x = 0,25 ...  y  3 .y 0,5  y. 0,5  0,5  y  y 0,5  y. 0,5  0,5  12,25 0,25  y  0,25  12,25  0,25 1)  y  y      (2,0đ) 2 3 2 ? ?y    y  2 0,5 Với y = , ta : x = Với y =  , ta x = V? ?y. ..  y  z  x  z  x  y  0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 2)  x  y    y  z 2   z  x 2   x  y  z  xy  yz  zx  (1,5đ)  x2  xy  y  y  yz  z  z  2xz  x2  4x2  y  4z  xy... y  4z  xy  yz  4xz 0,25  x2  y  2z  xy  yz  2xz  0,25   x  xy  y    y  yz  z    z  xz  x   0,5   x  y? ??   y  z   z  x  2 Mà  x  y   ;  y  z   ; 