Đề thi học sinh giỏi Toán 8 năm học 2012 2013 Trường Thcs Phổ Văn41935

TRƯỜNG THCS PHỔ VĂN ĐỀ THI CHÍNH THỨC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN NĂM HỌC 2012 - 2013 Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1: (5 điểm) a) Chng t rng giỏ trị biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x (x – 1)4 – x2(x2 +6) +4x(x2+1) b) Ph©n tích đa thức thành nhân tử: x3 6x2 +11x -6 Câu 2: (5 điểm) a) Chứng minh ( x2 + y2 + z2)2 = 2( x4 + y4 + z4) biÕt r»ng x + y + z = x 1 x  x  x  x  x  b) T×m x , biÕt :      6  1000 999 998 997 996 995 C©u 3: (3 ®iĨm): 3x  Cho biĨu thøc A = x  x  x 1 a) Rót gọn biểu thức A b) Tìm giá trị x để A nhận giá trị nguyên ? c) Tìm giá trị lớn A Câu 4:(7 điểm) Cho tam giác ABC vuông A ( AC > AB) đường cao AH Trªn tia HC lÊy HD = HA Đường vuông góc với BC D cắt AC E a) Chøng minh AE = AB b) Gäi M trung điểm BE Tính góc AHM ThuVienDeThi.com ĐÁP ÁN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN NĂM HỌC 2012 - 2013 Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐÁP ÁN TRƯỜNG THCS PHỔ VĂN Nội dung Câu a) (x – 1)4 x4- 4x3 x2(x2 Điểm +4x(x2+1) – +6) + 6x - 4x +1 – x4 - 6x2 + 4x3 + 4x = =1 Vậy với giá trị x biểu thøc ®· cho khơng phụ thuộc vào biến x b) x3 – 6x2 +11x - = x3 – x2 – 5x2 +5x + 6x – = x2(x – 1) -5x( x -1) + 6( x – 1) = (x -1) ( x2 -5x + 6) = (x -1)( x – 2)(x -3) Ta cã : x + y + z =  x = -(y + z)  x2= [-(y + z)]2 x2= y2+ z2 + 2xz x2- y2- z2 = 2xz (x2- y2- z2)2 = (2xz)2 x4+ y4 + z4 -2x2y2 -2x2z2 +2y2z2 = 4x2z2 x4+ y4 + z4 = 2x2y2 + 2x2z2 + 2y2z2 x4+ y4 + z4+ x4+ y4 + z4 = x4+ y4 + z4+ 2x2y2 + 2x2z2 + 2y2z2 2(x4+ y4 + z4) = ( x2 + y2 + z2)2 x 1 x  x  x  x  x       6  1000 999 998 997 996 995 x 1 x2 x3 x4 x5 x6  1 1  1 1 1  1000 999 998 997 996 995 x  1001 x  1001 x  1001 x  1001 x  1001 x  1001       0 1000 999 998 997 996 995 1 1 1  ( x  1001)(      )0 1000 999 998 997 996 995 1,5 1,0 1,5 1,0 1,0 1,0 0,5 b)  x=-1001 0,5 0,5 0,5 3x  x  x2  x  3( x  1) = x ( x  1)  ( x  1) 3( x  1) = ( x  1)( x  1) = x 1 a) A = 1,0 1,0 b) Muốn A nhận giá trị nguyên x2 +1 ¦(3) = {-3,-1 , , 3}  NÕu x2 +1 = - giá trị x tháa m·n  NÕu x2 +1 = -1 kh«ng có giá trị x thỏa mÃn ThuVienDeThi.com  NÕu x2 +1 =  x = th× A = NÕu x2 +1 =  x2 =  x =  th× A = Vậy tập hợp giá trị x để A nhận giá trị nguyên là: {- ,0 , } nhận giá trị lớn x2 +1 có giá trị nhỏ x Mµ x +1  víi mäi x  R Tøc lµ x2 +1= lµ nhá nhÊt ®ã A =  NÕu x +1 =  x = c) A= 1,0 Vậy x = Thì A đạt giá trị nhỏ A F E M B C H D a) CM: AE = AB KỴ EF AH Tứ giác HDEF hình chữ nhËt  EF = HD mµ HD = AH (gt)  EF = AH XÐt  HBA vµ  FAE cã : 1,0 2,0 ฀  F  90 H AH = EF ฀ ฀ ฀ FEA  BAH cïng phơ víi FAE Do ®ã  HBA =  FAE ( g –c – g)  AE = AB 2,0 ฀ b)TÝnh AHM BE  BDE vuông D DM = BE Ta có BAE vuông A AM = Do : AM = DM XÐt  AHM vµ  DHM cã : AM = MD AH = HD HM lµ cạnh chung Do AHM = DHM ( c-c-c) 1,0 1,0 ฀ AHD 90 ฀ ฀  AHM  MHD    450 2 ฀ VËy AHM = 450 ThuVienDeThi.com 1,0 ...ĐÁP ÁN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN NĂM HỌC 2012 - 2013 Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐÁP ÁN TRƯỜNG THCS PHỔ VĂN Nội dung Câu a) (x – 1)4 x4- 4x3... 1000 999 9 98 997 996 995 x 1 x2 x3 x4 x5 x6  1 1  1 1 1  1000 999 9 98 997 996 995 x  1001 x  1001 x  1001 x  1001 x  1001 x  1001       0 1000 999 9 98 997 996 995... x  1001       0 1000 999 9 98 997 996 995 1 1 1  ( x  1001)(      )0 1000 999 9 98 997 996 995 1,5 1,0 1,5 1,0 1,0 1,0 0,5 b)  x=-1001 0,5 0,5 0,5 3x  x  x2  x  3( x  1) =