Môc tiªu: - HS nắm được các hằng đẳng thức đáng nhớ, đặc biệt là các hằng đẳng thức mở réng, tam gi¸c Pascal - Biến đổi thành thạo các biểu thức nguyên - Rèn tính cẩn thận, tính sáng tạo[r]
(1)Gi¸o ¸n BDHSG To¸n N¨m häc2009-2010 Ngµy so¹n: 20/02/2010 TuÇn d¹y: 25 Chuyên đề i: Biến đổi biểu thức đại số A Môc tiªu: - HS nắm các đẳng thức đáng nhớ, đặc biệt là các đẳng thức mở réng, tam gi¸c Pascal - Biến đổi thành thạo các biểu thức nguyên - Rèn tính cẩn thận, tính sáng tạo, chủ động học tập B Phương tiện: - GV: gi¸o ¸n, tµi liÖu Casio - HS: M¸y tÝnh Casio C Néi dung bµi gi¶ng: a – biển đổi biểu thức nguyên I Một số đẳng thức (a b)2 = a2 2ab + b2 ; (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca ; (a1 + a + + a n )2 = = a12 a 22 a 2n 2(a1a a1a a1a n a a a a n a n 1a n ) ; (a b)3 = a3 3a2b + 3ab2 b3 = a3 b3 3ab(a b); (a b)4 = a4 4a3b + 6a2b2 4ab3 + b4 ; a2 – b2 = (a – b)(a + b) ; a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) ; an – bn = (a – b)(an – + an – 2b + an – 3b2 + … + abn – + bn – 1) ; a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) a5 + b5 = (a + b)(a4 – a3b + a2b2 – ab3 + b5) ; a2k + + b2k + = (a + b)(a2k – a2k – 1b + a2k – 2b2 – … + a2b2k – – ab2k – + b2k) ; II B¶ng c¸c hÖ sè khai triÓn (a + b)n Tam gi¸c Pascal §Ønh Dßng (n = 1) 1 Dßng (n = 2) Dßng (n = 3) 3 Dßng (n = 4) Dßng (n = 5) 10 10 Trong tam gi¸c nµy, hai c¹nh bªn gåm c¸c sè ; dßng k + ®îc thµnh lËp tõ dßng k (k ≥ 1), ch¼ng h¹n ë dßng ta cã = + 1, ë dßng ta cã = + 1, = + 2, ë dßng ta cã = + 3, = + 3, = + 1, Khai triÓn (x + y)n thµnh tæng th× c¸c hÖ GV: NguyÔn Quèc Huy Trang Lop8.net Trường THCS Quảng Đông (2) Gi¸o ¸n BDHSG To¸n N¨m häc2009-2010 số các hạng tử là các số dòng thứ n bảng trên Người ta gọi bảng trên là tam giác Pascal, nó thường sử dụng n không quá lớn Chẳng hạn, với n = thì : (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 vµ víi n = th× : (a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 10ab4 + b5 II C¸c vÝ dô VÝ dô §¬n gi¶n biÓu thøc sau : A = (x + y + z)3 – (x + y – z)3 – (y + z – x)3 – (z + x – y)3 Lêi gi¶i A = [(x + y) + z]3 – [(x + y) – z]3 – [z – (x – y)]3 – [z + (x – y)]3 = [(x + y)3 + 3(x + y)2z + 3(x + y)z2 + z3] – [(x + y)3 – 3(x + y)2z + 3(x + y)z2 – z3] – – [z3 – 3z2(x – y) + 3z(x – y)2 – (x – y)3] – [z3 + 3z2(x – y) + 3z(x – y) + (x – y)3] = 6(x + y)2z – 6z(x – y)2 = 24xyz VÝ dô Cho x + y = a, xy = b (a2 ≥ 4b) TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau : a) x2 + y2 ; b) x3 + y3 ; c) x4 + y4 ; d) x5 + y5 Lêi gi¶i a) b) c) d) x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = a2 – 2b x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) = a3 – 3ab x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2x2y2 = (a2 – 2b)2 – 2b2 = a4 – 4a2b + 2b2 (x2 + y2)(x3 + y3) = x5 + x2y3 + x3y2 + y5 = (x5 + y5) + x2y2(x + y) Hay : (a2 – 2b)(a3 – 3ab) = (x5 + y5) + ab2 x5 + y5 = a5 – 5a3b + 5ab2 Chó ý : a6 + b6 = (a2)3 + (b2)3 = (a3)2 + (b3)2 a7 + b7 = (a3 + b3)(a4 + b4) – a3b3(a + b) = (a2 + b2)(a5 + b5) – a2b2(a3 + b3) Ví dụ Chứng minh các đẳng thức : a) a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) ; b) (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a) Lêi gi¶i a) a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b)3 + c3 – 3abc – 3a2b – 3ab2 = (a + b + c)[(a + b)2 – (a + b)c + c2] – 3ab(a + b + c) = (a + b + c) [(a + b)2 – (a + b)c + c2 – 3ab] = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) b) (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = [(a + b + c)3 – a3] – (b3 + c3) = (b + c)[(a + b + c)2 + (a + b + c)a + a2] – (b + c)(b2 – bc + c2) = (b + c)(3a2 + 3ab + 3bc + 3ca) = 3(b + c)[a(a + b) + c(a + b)] = 3(a + b)(b + c)(c + a) GV: NguyÔn Quèc Huy Trang Lop8.net Trường THCS Quảng Đông (3) Gi¸o ¸n BDHSG To¸n N¨m häc2009-2010 VÝ dô Ph©n tÝch biÓu thøc sau thµnh nh©n tö : A = x3 – 3(a2 + b2)x + 2(a3 + b3) Lêi gi¶i §Æt S = a + b vµ P = ab, th× a2 + b2 = S - 2P ; a3 + b3 = S - 3SP V× vËy : A = x3 – 3( S - 2P )x + 2( S - 3SP ) = (x - S ) - (3S x - 3S ) + (6Px - 6SP) = (x - S)(x + Sx + S ) - 3S (x - S) + 6P(x - S) = (x - S)(x + Sx - 2S + 6P) = (x – a – b)[x2 + (a + b)x – 2(a + b)2 + 6ab] = (x – a – b)[x2 + (a + b)x – 2(a2 VÝ dô Cho x + y + z = Chøng minh r»ng : 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) Lêi gi¶i V× x + y + z = nªn x + y = –z (x + y)3 = –z3 Hay x3 + y3 + 3xy(x + y) = –z3 3xyz = x3 + y3 + z3 Do đó : 3xyz(x2 + y2 + z2) = (x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2) = x5 + y5 + z5 + x3(y2 + z2) + y3(z2 + x2) + z3(x2 + y2) 2 Mà x + y = (x + y) – 2xy = z2 – 2xy (vì x + y = –z) Tương tự : y2 + z2 = x2 – 2yz ; z2 + x2 = y2 – 2zx V× vËy : 3xyz(x2 + y2 + z2) = x5 + y5 + z5 + x3(x2 – 2yz) + y3(y2 – 2zx) + z3(z3 – 2xy) = 2(x5 + y5 + z5) – 2xyz(x2 + y2 + z2) Suy : 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) (®pcm) Bµi tËp Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö : a) x3 + 4x2 – 29x + 24 ; b) x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + ; c) (x2 – x + 2)2 + (x – 2)2 ; d) 6x5 + 15x4 + 20x3 + 15x2 + 6x + ; e) x6 + 3x5 + 4x4 + 4x3 + 4x2 + 3x + Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö : a) x8 + x4 + 1; b) x10 + x5 + ; c) x12 + ; Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö : a) (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 ; b) (x + y + z)5 – x5 – y5 – z5 Cho a + b + c = vµ a2 + b2 + c2 = 14 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : A = a4 + b4 + c4 Cho x + y + z = vµ xy + yz + zx = TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : GV: NguyÔn Quèc Huy Trang Lop8.net Trường THCS Quảng Đông (4) Gi¸o ¸n BDHSG To¸n a2 b2 4c2 N¨m häc2009-2010 B = (x – 1)2007 + y2008 + (z + 1)2009 Chøng minh r»ng : (5a – 3b + 8c)(5a – 3b – 8c) = (3a – Cho – = 5b)2 Chøng minh r»ng nÕu (x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2 = = (x + y – 2z)2 + (y + z – 2x)2 + (z + x – 2y)2 th× x = y = z a b a) Chøng minh r»ng nÕu (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2 vµ x, y kh¸c th× = x y 2 2 2 b) Chøng minh r»ng nÕu (a + b + c )(x + y + z ) = (ax + by + cz) vµ x, y, z a b c kh¸c th× = = x y z Cho x + y + z = Chøng minh r»ng : a) 5(x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2) = 6(x5 + y5 + z5) ; b) x7 + y7 + z7 = 7xyz(x2y2 + y2z2 + z2x2) ; c) 10(x7 + y7 + z7) = 7(x2 + y2 + z2)(x5 + y5 + z5) 10.Chứng minh các đằng thức sau : a) (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 = (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2 ; b) x4 + y4 + (x + y)4 = 2(x2 + xy + y2)2 11.Cho c¸c sè a, b, c, d tháa m·n a2 + b2 + (a + b)2 = c2 + d2 + (c + d)2 Chøng minh r»ng : a4 + b4 + (a + b)4 = c4 + d4 + (c + d)4 12 Cho a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 = TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : C = a2 + b9 + c1945 13 Hai số a, b thỏa mãn các hệ thức sau : a3 – 3a2 + 5a – 17 = vµ b3 – 3b2 + 5b + 11 = H·y tÝnh : D = a + b 14 Cho a3 – 3ab2 = 19 vµ b3 – 3a2b = 98 H·y tÝnh : E = a2 + b2 15 Cho x + y = a + b vµ x2 + y2 = a2 + b2 TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau : a) x3 + y3 ; b) x4 + y4 ; c) x5 + y5 ; d) x6 + y6 ; e) x7 + y7 ; f) x8 + y8 ; g) x2008 + y2008 GV: NguyÔn Quèc Huy Trang Lop8.net Trường THCS Quảng Đông (5) Gi¸o ¸n BDHSG To¸n N¨m häc2009-2010 Ngµy so¹n: 27/02/2010 TuÇn d¹y: 26 Chuyên đề i: Biến đổi biểu thức đại số C Môc tiªu: - HS tiếp tục củng cố các đẳng thức đáng nhớ - Biến đổi thành thạo các biểu thức hữu tỉ - Rèn tính cẩn thận, tính sáng tạo, chủ động học tập D Phương tiện: - GV: gi¸o ¸n, tµi liÖu Casio - HS: M¸y tÝnh Casio C Néi dung bµi gi¶ng: B – biển đổi phân thức hữu tỉ VÝ dô 3n + a) Chøng minh r»ng ph©n sè lµ ph©n sè tèi gi¶n nN ; 5n + n2 + b) Cho ph©n sè A = (nN) Cã bao nhiªu sè tù nhiªn n nhá h¬n 2009 n+ cho phân số A chưa tối giản Tính tổng tất các số tự nhiên đó Lêi gi¶i a) §Æt d = ¦CLN(5n + ; 3n + 1) 3(5n + 2) – 5(3n + 1) d hay d d = 3n + VËy ph©n sè lµ ph©n sè tèi gi¶n 5n + 29 29 b) Ta cã A = n - + §Ó A cha tèi gi¶n th× ph©n sè ph¶i cha tèi n+ n+ giản Suy n + phải chia hết cho các ước dương lớn 29 V× 29 lµ sè nguyªn tè nªn ta cã n + 29 n + = 29k (k N) hay n = 29k – Theo điều kiện đề bài thì ≤ n = 29k – < 2009 ≤ k ≤ 69 hay k{1; 2;…; 69} Vậy có 69 số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện đề bài Tổng các số này là : 29(1 + + … + 69) – 5.69 = 69690 1 1 VÝ dô Cho a, b, c ≠ vµ a + b + c ≠ tháa m·n ®iÒu kiÖn + + = a b c a+ b+ c Chứng minh ba số a, b, c có hai số đối Từ đó suy : 1 1 + 2009 + 2009 = 2009 2009 2009 a b c a + b + c2009 GV: NguyÔn Quèc Huy Trang Lop8.net Trường THCS Quảng Đông (6) Gi¸o ¸n BDHSG To¸n N¨m häc2009-2010 Lêi gi¶i 1 1 1 1 Ta cã : + + = + + =0 a b c a+ b+ c a b c a+ b+ c a+ b a+ b c(a + b + c) + ab + = (a + b) =0 ab c(a + b + c) abc(a + b + c) éa + b = éa = - b ê ê (a + b)(b + c)(c + a) = êb + c = êb = - c ®pcm ê ê êc + a = êc = - a ë ë 1 + 2009 = 2009 2009 a b c a (- c) c a 1 = 2009 = 2009 2009 2009 2009 2009 2009 a +b +c a + (- c) + c a 1 1 2009 + 2009 + 2009 = 2009 2009 a b c a + b + c2009 VÝ dô §¬n gi¶n biÓu thøc : ö ö ö æ æ æ ç1 + ÷ çç + ÷ çç1 + ÷ A= + + ÷ ÷ ÷ 3ç 3 2 ø (a + b) çèa ø (a + b) çèa b ÷ ø (a + b) çèa b ÷ b ÷ Lêi gi¶i §Æt S = a + b vµ P = ab Suy : a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab = S - 2P a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) = S - 3SP 1 a+ b S 1 a + b S - 2P = ; 2+ 2= Do đó : + = = ; a b ab P a b a2b2 P2 1 a + b S - 3SP + = = a3 b3 a 3b3 P3 S - 3SP S - 2P S Ta cã : A = + + S P3 S4 P2 S P = S - 3P 3(S - 2P) (S - 3S P) + (3S P - 6P ) + 6P S4 + + = = S2P3 S4P2 S P S 4P3 S P 1 Hay A = = 3 P ab VÝ dô Cho a, b, c lµ ba sè ph©n biÖt Chøng minh r»ng gi¸ trÞ cña biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc vµo gi¸ trÞ cña x : (x - a)(x - b) (x - b)(x - c) (x - c)(x - a) S(x) = + + (c - a)(c - b) (a - b)(a - c) (b - c)(b - a) Từ đó suy : 2009 + GV: NguyÔn Quèc Huy 2009 + 2009 = 2009 + Trang Lop8.net Trường THCS Quảng Đông (7) Gi¸o ¸n BDHSG To¸n N¨m häc2009-2010 Lêi gi¶i C¸ch S(x) = x - (a + b)x + ab x - (b + c)x + bc x - (c + a)x + ca + + = Ax2 – Bx + (c - a)(c - b) (a - b)(a - c) (b - c)(b - a) C 1 ; + + (c - a)(c - b) (a - b)(a - c) (b - c)(b - a) a+ b b+ c c+ a ; B= + + (c - a)(c - b) (a - b)(a - c) (b - c)(b - a) ab bc ca C= + + (c - a)(c - b) (a - b)(a - c) (b - c)(b - a) b- a + c- b + a- c Ta cã : A = = 0; (a - b)(b - c)(c - a) (a + b)(b - a) + (b + c)(c - b) + (c + a)(a - c) B= (a - b)(b - c)(c - a) b - a + c2 - a + a - c2 = =0 ; (a - b)(b - c)(c - a) ab(b - a) + bc(c - b) + ca(a - c) ab(b - a) + bc[(c - a) + (a - b)] + ca(a - c) C= = (a - b)(b - c)(c - a) (a - b)(b - c)(c - a) (a - b)(bc - ab) + (c - a)(bc - ca) (a - b)(b - c)(c - a) = = = (a - b)(b - c)(c - a) (a - b)(b - c)(c - a) VËy S(x) = 1x (®pcm) C¸ch Đặt P(x) = S(x) – thì đa thức P(x) là đa thức có bậc không vượt quá Do đó, P(x) chØ cã tèi ®a hai nghiÖm NhËn xÐt : P(a) = P(b) = P(c) = a, b, c lµ ba nghiÖm ph©n biÖt cña P(x) §iÒu nµy chØ x¶y vµ chØ P(x) lµ ®a thøc kh«ng, tøc lµ P(x) = x Suy S(x) = x ®pcm VÝ dô Cho x + = TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau : x 1 1 a) A = x + ; b) B = x + ; c) C = x + ; d) D = x + x x x x Lêi gi¶i ö æ a) A = x + = ç x+ ÷ ÷ - = 9- = ; ç ç è ø x x÷ víi : A = GV: NguyÔn Quèc Huy Trang Lop8.net Trường THCS Quảng Đông (8) Gi¸o ¸n BDHSG To¸n N¨m häc2009-2010 æ 1ö æ 1ö ççx + ÷ b) B = x + = ççx + ÷ ÷ ÷= 27 - = 18 ; ÷ ç çè è ø x xø x÷ æ 1ö c) C = x + = ççx + ÷ ÷ - = 49 - = 47 ; çè ø x x ÷ æ ö 1 öæ ççx + ÷ = x + + x + = D + D = 7.18 – = 123 d) A.B = ççx + ÷ ÷ ÷ çè ç øè ø x ÷ x ÷ x x5 ax + b c Ví dụ 10 Xác định các số a, b, c cho : = + (x + 1)(x - 1) x + x - Lêi gi¶i ax + b c (ax + b)(x - 1) + c(x + 1) (a + c)x + (b - a)x + (c - b) Ta cã : + = = x + x- (x + 1)(x - 1) (x + 1)(x - 1) §ång nhÊt ph©n thøc trªn víi ph©n thøc , ta ®îc : (x + 1)(x - 1) ìï a + c = ìï a = - ïï ïï - x- 1 b a = Û = + í í b = - VËy ïï ïï (x + 1)(x - 1) x + x - ïîï c - b = ïîï c = Bµi tËp n + 2n - 16 Cho ph©n thøc P = n + 2n + 2n + a) Rót gän P ; b) Chøng minh r»ng nÕu n lµ sè nguyªn th× gi¸ trÞ cña ph©n thøc t×m ®îc c©u a) t¹i n lu«n lµ mét ph©n sè tèi gi¶n 17 a) Chøng minh r»ng c¸c ph©n sè sau tèi gi¶n víi mäi sè tù nhiªn n : 2n + n + 2n ; 2n - n + 3n + n7 + n2 + b) Chøng minh r»ng ph©n sè không tối giản với số nguyên dương n + n+ 12n + ; 30n + n n2 + c) TÝnh tæng c¸c sè tù nhiªn n nhá h¬n 100 cho lµ ph©n sè cha tèi n+ gi¶n GV: NguyÔn Quèc Huy Trang Lop8.net Trường THCS Quảng Đông (9) Gi¸o ¸n BDHSG To¸n N¨m häc2009-2010 18 TÝnh c¸c tæng sau : 2n + a) A = ; + + + 2 (1.2) (2.3) [n(n + 1)]2 1 1 b) B = + ; + + + + 2n 2+ + + +1 1 1 c) C = ; + + + 1.4 4.7 7.10 (3n + 1)(3n + 4) 1 d) D = ; + + + 1.3 2.4 n.(n + 2) 1 1 e) E = ; + + + + 1.2.3 2.3.4 3.4.5 (n - 1)n(n + 1) 1.2! 2.3! n.(n + 1)! + + + f) F = (k! = 1.2.3…k) 2 2n (a + b + c2 )(a + b + c)2 + (bc + ca + ab)2 19 Rót gän : A = (a + b + c)2 - (ab + bc + ca) (a + 2b)3 - (a - 2b)3 3a + 7a b + 3b : (2a + b)3 - (2a - b)3 4a + 7a b + 3b 21.Thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh : x - yz y - zx z - xy + + a) ; y+ z z+ x x+ y 1+ 1+ 1+ x y z a(a + b) a(a + c) b(b + c) b(b + a) c(c + a) c(c + b) + + + a b a c b c b a c a c- b ; b) + + 2 (b - c) (c - a) (a - b)2 1+ 1+ 1+ (a - b)(a - c) (b - c)(b - a) (c - a)(c - b) a + b - 2c b + c - 2a c + a - 2b c) + + (a - b)3 (c - a)(c - b) (b - c)3 (a - b)(a - c) (c - a)3 (b - c)(b - a) + + + a3 - b3 a + ab + b b - c3 b + bc + c2 c3 - a c + ca + a 20 Rót gän : B = 22 a) BiÕt a – 2b = 5, h·y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : P = GV: NguyÔn Quèc Huy Trang Lop8.net 3a - 2b 3b - a ; + 2a + b- Trường THCS Quảng Đông (10) Gi¸o ¸n BDHSG To¸n N¨m häc2009-2010 5a - b 3b - 3a ; 3a + 2b - 2a - b 5b - a c) BiÕt 10a2 –3b2 + 5ab = vµ 9a2 – b2 ≠ 0, h·y tÝnh : R = + 3a - b 3a + b 23 Cho a + b + c = TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau : 1 a) A = ; + + a + b - c2 b + c2 - a c2 + a - b a2 b2 c2 b) B = ; + + a - b - c2 b - c2 - a c2 - a - b 1 1 + + + + A 1(2n - 1) 3(2n - 3) (2n - 3).3 (2n - 1).1 24.Rót gän biÓu thøc : = 1 B + + + + 2n - b) BiÕt 2a – b = 7, h·y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : Q = a2 b2 c2 a b c + + = 25.Cho + + = Chøng minh r»ng b+ c c+ a a+ b b+ c c+ a a+ b a b c + + = Chøng minh r»ng x y z ax2 + by2 + cz2 = 1 27 Cho x2 – 4x + = TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc A = x5 + vµ B = x7 + x x 2 x x x 28 Cho vµ N = = 2008 TÝnh M = x +x +1 x - x2 + x - x+ a - a - a - 29 Cho d·y sè a1, a2, a3, … cho : a = ; a3 = ; … ; a n = n- a1 + a2 + a n- + a) Chøng minh r»ng a1 = a5 b) Xác định năm số đầu dãy, biết a101 = 108 26 Cho a + b + c = 0, x + y + z = vµ GV: NguyÔn Quèc Huy Trang 10 Lop8.net Trường THCS Quảng Đông (11) Gi¸o ¸n BDHSG To¸n N¨m häc2009-2010 Ngµy so¹n: 06/03/2010 TuÇn d¹y: 27 Chuyên đề Ii: phân tích đa thức thành nhân tử E Môc tiªu: - HS nắm các phương pháp và nâng cao phân tích đa thức thành nh©n tö - Thùc hiÖn thµnh th¹o d¹ng to¸n ph©n tÝch nµy - Biết mối liên hệ các phương pháp và sử dụng hợp lý vào bài toán - Rèn tính cẩn thận, tính sáng tạo, chủ động học tập F Phương tiện: - GV: gi¸o ¸n, tµi liÖu Casio - HS: M¸y tÝnh Casio C Néi dung bµi gi¶ng: I- Phương pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác: Bµi 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö a, x x d, x 13 x 36 b, 3x x e, x x 18 c, x x f, x x 24 g , 3x 16 x h, 8x 30 x i, 2x x 12 k, 6x x 20 Bµi 2: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: 1, x x x 2, x x 3, x x x 4, x x 5, x x x 16 6, 4x 13 x x 18 7, x x x 8, x x x 9, 6x x 486 x 81 10, x x 11, x x 12, x x x 13, x x 17 x 10 14, x x x 15, x x 16, 2x 12 x 17 x 17, x x 18, x x x GV: NguyÔn Huy Trang 11 19, Quèc x3 x 26 x 24 21, 3x 14 x x Lop8.net §«ng 20, 2xTrường x THCS x Qu¶ng 22, x x x x (12) Gi¸o ¸n BDHSG To¸n N¨m häc2009-2010 II- Phương pháp thêm và bớt cùng hạng tử 1) Dạng 1: Thêm bớt cùng hạng tử làm xuất đẳng thức hiệu hai bình phương: A2 – B2 = (A – B)(A + B) Bµi 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: 1, (1 x ) x(1 x ) 2, x 36 3, x 4, x 64 5, 64x 6, 81x 7, 4x 81 8, 64x y 9, x y 10, x x 1 2) D¹ng 2: Thªm bít cïng mét h¹ng tö lµm xuÊt hiÖn thõa sè chung Bµi 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: 1, x x 2, x x5 3, x5 x 4, x5 x 5, x8 x 6, x5 x 7, x5 x 8, x10 x5 III- Phương pháp đổi biến Bµi 1:Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö 1, x( x 4)( x 6)( x 10) 128 2, (x 1)( x 2)( x 3)( x 4) 24 3, ( x x 8) 3x( x x 8) x 4, ( x x) x x 12 5, x xy y x y 15 6, (x a)( x 2a)( x 3a)( x 4a) a 7, x 11x 8, ( x x) 3( x x) 9, x xy y 3x y 10 10, ( x x) x 18 x 20 11, x xy y x y 35 12, (x 2)( x 4)( x 6)( x 8) 16 Bµi 2: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö 1, x x x x 2, ( x y z )( x y z ) ( xy yz zx) GV: NguyÔn Quèc Huy Trang 12 Lop8.net Trường THCS Quảng Đông (13) Gi¸o ¸n BDHSG To¸n N¨m häc2009-2010 IV- Phương pháp xét giá trị riêng Phương pháp: Trước hết ta xác định dạng các thừa số chứa biến đa thức, gán cho các biến các giá trị cụ thể để xác định thừa số còn lại VÝ dô: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: a, P = x ( y z ) y ( z x ) z ( x y ) b, Q =a(b c a)2 b(c a b)2 c(a b c)2 (a b c) (b c a)(c a b) Gi¶i a, Gi¶ sö thay x bëi y th× P = y ( y z ) y ( z y ) Nh vËy P chøa thõa sè x – y Ta lại thấy thay x y, thay y z, thay z x thì P không đổi(ta nói đa thức P có thể hoán vị vòng quanh các biến x, y, z) Do đó P đã chúa thùa số x – y thì còng chóa thõa sè y – z, z – x VËy P ph¶i cã d¹ng P = k(x – y)(y – z)(z – x).Ta thÊy k ph¶i lµ h»ng sè(kh«ng chóa biÕn) v× P cã bËc tập hợp các biến x, y, z còn tích (x – y)(y – z)(z – x) có bậc ba tập hợp các biến x, y, z Vì đẳng thức x ( y z ) y ( z x) z ( x y ) k ( x y )( y z )( z x) đúng với x, y, z nên ta gán cho các biến x, y, z các giá trị riêng, chẳng hạn x = 2, y = 1, z = ta ®îc k = -1 VËy P =- (x – y)(y – z)(z – x) = (x – y)(y – z)(x - z) C¸c bµi to¸n Bµi 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: M a (b c a ) b(c a b) c(a b c) (a b c)(b c a )(c a b) N a (m a ) b(m b) c(m c) abc , víi 2m = a+ b + c Bài 2: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: GV: NguyÔn Quèc Huy Trang 13 Lop8.net Trường THCS Quảng Đông (14) Gi¸o ¸n BDHSG To¸n N¨m häc2009-2010 a ) A (a b c)(ab bc ca ) abc b) B a (a 2b)3 b(2a b)3 c)C ab(a b) bc(b c) ac(a c) d ) D (a b)(a b ) (b c)(b c ) (c a )(c a ) e) E a (c b ) b3 (a c ) c (b a ) abc(abc 1) f ) f a (b c)3 b(c a )3 c(a b)3 g )G a 2b (a b) b c (b c) a c (c a ) h) H a (b c) b (c a ) c (a b) V-Phưong pháp hệ số bất định Bài 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: a ) A x x 12 x 14 x b) B x x x x c)C x 22 xy 11x 37 y y 10 d ) D x x 14 x x e) E x x 63 Bµi tËp: VÝ dô Ph©n tÝch biÓu thøc sau thµnh nh©n tö : A = x3 – 3(a2 + b2)x + 2(a3 + b3) Lêi gi¶i §Æt S = a + b vµ P = ab, th× a2 + b2 = S - 2P ; a3 + b3 = S - 3SP V× vËy : A = x3 – 3( S - 2P )x + 2( S - 3SP ) = (x - S ) - (3S x - 3S ) + (6Px - 6SP) = (x - S)(x + Sx + S ) - 3S (x - S) + 6P(x - S) = (x - S)(x + Sx - 2S + 6P) = (x – a – b)[x2 + (a + b)x – 2(a + b)2 + 6ab] = (x – a – b)[x2 + (a + b)x – 2(a2 Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö : f) x3 + 4x2 – 29x + 24 ; g) x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + ; h) (x2 – x + 2)2 + (x – 2)2 ; i) 6x5 + 15x4 + 20x3 + 15x2 + 6x + ; j) x6 + 3x5 + 4x4 + 4x3 + 4x2 + 3x + f) x8 + x4 + 1; g) x10 + x5 + ; GV: NguyÔn Quèc Huy Trang 14 Lop8.net Trường THCS Quảng Đông (15) Gi¸o ¸n BDHSG To¸n N¨m häc2009-2010 h) x12 + ; i) (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 ; k) (x + y + z)5 – x5 – y5 – z5 GV: NguyÔn Quèc Huy Trang 15 Lop8.net Trường THCS Quảng Đông (16) Gi¸o ¸n BDHSG To¸n N¨m häc2009-2010 Ngµy so¹n: 13/03/2010 TuÇn d¹y: 28 Chuyên đề Iii: Xác định đa thức A Môc tiªu: - HS nắm định lí Bezu và ứng dụng nó để giải các bài toán liên quan đến ®a thøc nh chia ®a thøc, tÝnh gi¸ trÞ ®a thøc… - Thùc hiÖn thµnh th¹o d¹ng to¸n ph©n tÝch nµy - Biết mối liên hệ các phương pháp và sử dụng hợp lý vào bài toán - Rèn tính cẩn thận, tính sáng tạo, chủ động học tập B Phương tiện: - GV: gi¸o ¸n, tµi liÖu Casio - HS: M¸y tÝnh Casio C Néi dung bµi gi¶ng: 1) §Þnh lÝ BªZu: D phÐp chia ®a thøc f(x) cho nhÞ thøc x - a b»ng f(a) (gi¸ trÞ cña f(x) t¹i x = a): f ( x) ( x a)q( x) f (a) (Beout, 1730 - 1783, nhµ to¸n häc Ph¸p) HÖ qu¶: NÕu a lµ nghiÖm cña ®a thõc f(x) th× f(x) chia hÕt cho x - a áp dụng: Định lí BêZu có thể dùng để phân tích đa thức thành nhân tử Thực nh sau: Bước 1: Chọn giá trị x = a nào đó và thử xem x = a có phải là nghiệm f(x) kh«ng Bước 2: Nếu f(a) = 0, theo định lí BêZu ta có: f ( x) ( x a) p( x) §Ó t×m p(x) thùc hiÖn phÐp chia f(x) cho x - a Bước 3: Tiếp tục phân tích p(x) thành nhân tử còn phân tích Sau đó viÕt kÕt qu¶ cuèi cïng cho hîp lÝ Dạng 1: Tìm đa thức thương phương pháp đồng hệ số(phương pháp hệ số bất định), phương pháp giá trị riêng , thực phép chia đa thức *Phương pháp1: Ta dựa vào mệnh đề sau đây : NÕu hai ®a thøc P(x) vµ Q(x) b»ng nhau: P(x) = Q(x) th× c¸c h¹ng tö cïng bËc ë hai ®a thøc ph¶i cã hÖ sè ph¶i cã hÖ sè b»ng VÝ dô: P( x) ax 2bx ; Q( x) x x p NÕu P(x) = Q(x) th× ta cã: a = 1(hÖ sè cña lòy thõa 2) 2b = - (hÖ sè cña lòy thõa bËc 1) - = - p (hÖ sè h¹ng tö bËc kh«ng hay h¹ng tö tù do) *Phương pháp2: Cho hai đa thức P(x) và Q(x) thỏa mãn deg P(x) > deg Q(x) Gọi thương và dư phép chia P(x) cho Q(x) là M(x) và N(x) Khi đó ta có: P( x) Q( x).M ( x) N ( x) (Trong đó: deg N(x) < deg Q(x)) (I) GV: NguyÔn Quèc Huy Trang 16 Lop8.net Trường THCS Quảng Đông (17) Gi¸o ¸n BDHSG To¸n N¨m häc2009-2010 Vì đẳng thức (I) đúng với x nên ta cho x lấy giá trị bất kì : x ( là số) Sau đó ta giải phương trình hệ phương trình để tìm các hệ số các hạng tử các đa thức ( Đa thức thương, đa thức chia, đa thức bị chia, số d) VÝ dô: Bµi 1(PhÇn bµi tËp ¸p dông) Gọi thương phép chia A(x) cho x + là Q(x), ta có: a x 3ax x 2a ( x 1).Q( x) Vì đẳng thức đúng với x nên cho x = -1 ta dược: a 2 a 3a 2a a a a3 Với a = -2 thì A x x x 4, Q( x) x 10 x Với a = thì A x x x 6, Q( x) x *Phương pháp 3:Thực phép chia đa thức (như SGK) Bµi tËp ¸p dông Bài 1: Cho đa thức A( x) a x 3ax x 2a(a Q) X¸c định a cho A(x) chia hết cho x + Bµi 2: Ph©n tÝch ®a thøc P( x) x x3 x thµnh nh©n tö, biÕt r»ng mét nh©n tö cã d¹ng: x dx Bµi 3: Víi gi¸ trÞ nµo cña a vµ b th× ®a thøc : x ax x b chia hÕt cho ®a thøc: x x H·y gi¶i bµi to¸n trªn b»ng nhiÒu c¸ch kh¸c Bài 4: Xác định giá trị k để đa thức: f ( x) x x 21x x k chia hết cho đa thức: g ( x) x x Bài 5: Tìm tất các số tự nhiên k đa thức: f (k ) k 2k 15 chia hết cho nhị thức: g (k ) k Bài 6: Với giá trị nào a và b thì đa thức: f ( x) x 3x 3x ax b chia hết cho đa thức: g ( x) x 3x Bài 7: a) Xác định các giá trị a, b và c để đa thức: P( x) x ax bx c Chia hết cho ( x 3)3 b) Xác định các giá trị a, b để đa thức: Q( x) x x ax 3x chia hết cho đa thức M ( x) x x b c) Xác định a, b để P( x) x x x a chia hết cho M ( x) x x b Bài 8: Hãy xác định các số a, b, c để có đẳng thức: x ax bx c ( x a )( x b)( x c) Bài 9: Xác định số a cho: a) 10 x x a chia hết cho x GV: NguyÔn Quèc Huy Trang 17 Lop8.net Trường THCS Quảng Đông (18) Gi¸o ¸n BDHSG To¸n N¨m häc2009-2010 b) x ax chia cho x dư c) ax x chia hết cho x Bài 10: Xác định các số a và b cho: a) x ax b chia hết cho x x b) ax bx x 50 chia hết cho x 3x 10 c) ax bx chia hết cho ( x 1) d) x chia hết cho x ax b Bài 11: Tìm các hăng số a và b cho x ax b chia cho x thì dư 7, chia cho x thì dư -5 Bài 12: Tìm các số a, b, c cho ax bx c chia hết cho x , chia cho x thì dư x Bài 13: Cho đa thức: P( x) x x x ax b và Q( x) x x Xác định a, b để P(x) chia hết cho Q(x) Bài 14: Xác định a và b cho đa thức P( x) ax bx chia hết cho đa thức Q( x) ( x 1) Bài 15: Cho các đa thức P( x) x x ax 3x và Q( x) x x b Xác định a và b để P(x) chia hết cho Q(x) GV: NguyÔn Quèc Huy Trang 18 Lop8.net Trường THCS Quảng Đông (19) Gi¸o ¸n BDHSG To¸n N¨m häc2009-2010 Ngµy so¹n: 20/03/2010 TuÇn d¹y: 29 Chuyên đề IV: xác định đa thức A Môc tiªu: - HS tiếp tục nắm các phương pháp và nâng cao giải các bài toán đa thức, đặc biệt là phương pháp NiuTơn - Thùc hiÖn thµnh th¹o d¹ng to¸n ph©n tÝch nµy - Biết mối liên hệ các phương pháp và sử dụng hợp lý vào bài toán - Rèn tính cẩn thận, tính sáng tạo, chủ động học tập B Phương tiện: - GV: gi¸o ¸n, tµi liÖu Casio - HS: M¸y tÝnh Casio C Néi dung bµi gi¶ng: Dạng 2: Phương pháp nội suy NiuTơn Phương pháp: Để tìm đa thức P(x) bậc không quá n biết giá trị đa thức n + điểm C1 , C , C , , C n 1 ta có thể biểu diễn P(x) dạng: P ( x) b0 b1 ( x C1 ) b2 ( x C1 )( x C ) bn ( x C1 )( x C ) ( x C n ) Bằng cách thay x các giá trị C1 , C , C3 ,, C n 1 vào biểu thức P(x) ta tính các hệ số b0 , b1 , b2 ,, bn Bµi tËp ¸p dông Bài 1: Tìm đa thức bậc hai P(x), biết: P(0) 25, P(1) 7, P(2) 9 Giải Đặt P( x) b0 b1 x b2 x( x 1) (1) b0 25 Thay x lần lượy 0; 1; vào (1) ta được: 25 b1 b1 18 25 18.2 b2 2.1 b2 Vậy, đa thức cần tìm có dạng: P ( x) 25 18 x x( x 1) P ( x) x 19 x 25 Bài 2: Tìm đa thức bậc P(x), biết: P(0) 10, P(1) 12, P(2) 4, P(3) Hướng dẫn: Đặt P( x) b0 b1 x b2 x( x 1) b3 x( x 1)( x 2) (1) Bài 3: Tìm đa thức bậc ba P(x), biết chia P(x) cho ( x 1), ( x 2), ( x 3) dư và P(-1) = - 18 Hướng dẫn: Đặt P( x) b0 b1 ( x 1) b2 ( x 1)( x 2) b3 ( x 1)( x 2)( x 3) (1) GV: NguyÔn Quèc Huy Trang 19 Lop8.net Trường THCS Quảng Đông (20) Gi¸o ¸n BDHSG To¸n N¨m häc2009-2010 Bài 4: Cho đa thức bậc bốn P(x), thỏa mãn: P (1) P ( x) P ( x 1) x( x 1)(2 x 1), (1) a) Xác định P(x) b) Suy giá trị tổng S 1.2.3 2.3.5 n(n 1)(2n 1), (n N * ) Hướng dẫn: Thay x 0; 1; 2; vào (1), ta : P (1) P (2) P (2) 0, P (0) P (1) P (0) P (1) P (0) 1.2.3 P (1) P (2) P (1) 2.3.5 P (2) 36 Đặt P( x) b0 b1 ( x 1) b2 ( x 1) x b3 ( x 1) x( x 1) b4 ( x 1) x( x 1)( x 2) (2) Thay x -1; 0; 1; 2; -2 vào (2) ta được: b0 b1 b1 0, b2 2.1 b2 3, 36 3.3.2 b3 3.2.1 b3 3.(1)(2) 3.(1)(2)(3) b4 (1)(2)(3)(4) b4 Vậy, đa thức cần tìm có dạng: 1 P ( x) 3( x 1) x 3( x 1) x( x 1) ( x 1) x( x 1)( x 2) x( x 1) ( x 2) 2 (Tuyển chọn bài thi HSG Toán THCS) Bài 5: cho đa thức P( x) ax bx c, (a, b, c 0) Cho biết 2a 3b 6c 1) Tính a, b, c theo P(0), P , P(1) 2 2) Chứng minh rằng: P(0), P , P(1) không thể cùng âm cùng dương 2 P (0) 19 Bài 6: Tìm đa thức bậc hai, cho biết: P(1) 85 P (2) 1985 GV: NguyÔn Quèc Huy Trang 20 Lop8.net Trường THCS Quảng Đông (21)