Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8 tham khảo

Chứng minh rằng trong năm điểm A, B, M, N, C bao giờ cũng chọn ra đợc bốn điểm là đỉnh của một tứ giác lồi.. Do đó AM’ là tia trong của góc A, mà A và M’ nằm ở hai phía của cạnh BC, cho

Tiết 1-2-3-4

Chuyên đề 1:

phép nhân và phép chia đa thức

Dạng tổng quát:

Phép nhân đơn thức với đa thức,đa thức với da thức:

A(B+C) = A.B +A.C( A + B)( C+ D ) = A C + A D + B C + B D

Các bài toán vận dụng:

1 ) 433

1 2 ( 229

, hãy rút gọn biểu thức M theo a và b

b) Tính giá trị của biểu thức M

1 5

5a  

Bài toán 2:

Tính giá trị của biểu thức:

A= x5  5x4 5x3  5x2 5x1 với x= 4

( ) )(

( ) )(

2 3

5 119

118 5 117

4 119

1 117

n

a a

n a

b

a )  ( )  )  (

C¸c vÝ dô :

VÝ dô 1:

Cho x+y=9 ; xy=14 TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau:

a) x-y ; b) x2 +y2; c)x3+y3.Gi¶i

a) (x-y)2=x2-2xy+y2 =x2+2xy+y2 -4xy=(x+y)2-4xy=92

-4.14=25=52

suy ra x-y = 5

b) (x+y)2 =x2 +y2+2xy

suy ra x2 +y2=(x+y)2 -2xy = 92 -2.14 = 53

c) (x+y)3= x3+y3+3x2 y+3xy2 = x3+y3+3xy(x+y)

suy ra x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y) =93-3.14.9 = 351

Vì (x-5)2  0 (dấu “ =” xảy ra  x=5 ); (3y-5)2 0 (dấu “=” xảy ra

(A – B )2= A2 - 2AB + B2 hoặc ngợc lại

2 Bình phơng của mọi số đều không âm :

Ví dụ 5:

Số nào lớn hơn trong hai số A và B ?

A = (2+1)(22 +1)(24 +1)(28+1)(216+1)

B = 232.Giải:

Nhân hai vế của A với 2-1, ta đợc :

A = (a + b + c)3 + (a - b – c)3 -6a(b + c)2 Giải :

A = [a + (b + c)]3 + [a – (b + c)]3- 6a(b + c )2

= a3+ 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + (b + c) + a3-3a2 (b + c)+ + a3- 3a2(b + c) + 3a(b + c)2- (b + c)3 - 6a(b + c)2 = 2a3

75 125 150 125

220 780

246 254

242 258

b) 3x2(x+1)(x-1) – (x2-1)(x4+x2+1)+(x2-1)3;

c) (a+b+c)3+((a-b-c)3+(b-c-a)3+(c-a-b)3 ;

Bài 11 :

Tìm x biết :6(x+1)2-2(x+1)3+2(x-1)(x2+x+1) = 0

Bài 12 :

Chứng minh các hằng đẳng thức :(a+b+c)3 = a3+b3+c3+3(a+b)(b+c)(c+a)

Bài 13 :

Cho a+b+c+d = 0 Chứng minh rằng :

a3+b3+c3+d3 = 3(ab – cd)(c +d) Bài 14 :

Cho a+b = 1 Tính giá trị của M = 2(a3+b3) – 3(a2 +b2)

D C

B A

Tiết 9-10-11-12

Chuyên đề 3: Tứ Giác – hình Thang – Hình thang cân

*) Khái niệm chung về tứ giác:

đối (không kề nhau)

Đờng chéo của tứ giác là đoạn thẳng nối hai đỉnh đối nhau

Trong tập hợp , các điểm của mặt phẳng chứa một tứ giác đơn, ta phân biệt

điểm thuộc tứ giác, điẻm trong tứ giác, điểm ngoài tứ giác

b) ABCD là tứ giác lồi  ABCD luôn thuộc nửa mặt phẳng với bờ là đờng thẳngchứa bất kỳ cạnh nào của nó

Tứ giác (đơn) không lồi là tứ giác lõm

Trong hình, ABCD là tứ giác lồi

3 Định lí:

Tổng các gọc trong tứ giác bằng 3600

*) Tìm hiểu sâu về tứ giác giác lồi:

Định lí : Trong một tứ giác lồi , hai đờng chéo cắt nhau

Đảo lại, nếu một tứ giác có hai đờng chéo cắt nhau thì đó là một tứ giác lồi

ABCD lồi  ABCD có hai đờng chéo cắt nhau

Để chứng minh định lí, cần nhớ lại mấy định lí sau đây:

(I) Tia Oz nằm trong gọc xOy  tia Oz cắt đoạn thẳng MN, với M

Oz, NOy(II) Néu tia Oz nằm trong xOy thì Oz và Oy nằm trong nửa mặt phẳng

bờ chứa Oy; Oz và O x nằm trong nửa mặt phẳng bờ chứa Oy

(III)

Cho tam giác ABC

a) Các trung tuyến xuất phát từ các điểm A và C cắt nhau tại điểm M Tứ giác ABCM là lồi hay không lồi? Vì sao?

b) M là một điểm tuỳ ý thuộc miền trong của tam giác ABC( không thẳng hàng với hai đỉnh nào của tam giác) Với vị trí nào của điểm M thì ABCM

là tứ giác lồi?

C A

M N

C A

B

o

C

D A

B

c) M và N là hai điểm tuỳ ý thuộc miền trong của tam giác ABC( và không

thẳng hàng với đỉnh nào của tam giác) Chứng minh rằng trong năm điểm

A, B, M, N, C bao giờ cũng chọn ra đợc bốn điểm là đỉnh của một tứ giác

lồi

Giảia) ABCM không lồi (lõm), vì B và C nằm ở hai nửa mặt

phẳng đối nhau có bờ chứa AM (h 2a)

b) Kết quả ở câu a/ cũng đúng khi M là điểm bất kì

thuộc miền trong của tam giác ABC

Nếu M thuộc miền ngoài của ABC thì có hai

trờng hợp :

- M ở trong góc đối đỉnh của một góc

của tam giác trong h 2b, M ở trong góc đối

đỉnh của góc B Dễ thấy rằng lúc đó đỉng B lại là điểm thuộc miền trong

của tam giác MAC, do đó AMCB không lồi(lõm)

- M ở trong một góc của tam giác trong hình 2b, M’ nằm trong góc A Do

đó AM’ là tia trong của góc A, mà A và M’ nằm ở hai phía của cạnh BC, cho

nên đoạn Am’ cắt đoạn thẳng BC và ABM’C là tứ giác lồi

Tóm lại, trong h 2b, các miền đợc gạch chéo là tập hợp các điểm M mà MABC

là tứ giác lõm

Các miền khác (để trắng ) là tập hợp các điểm M mà M, A, B, C là các

đỉnh của tứ giác lồi

c) Đờng thẳng đi qua hai điểm M và N bao giờ

cũng không cắt một cạnh của tam giác ABC Trong h 2c, đờng thẳng MN không

cắt AC Tứ giác MNCA là tứ giác lồi(điểm N thuộc miền ngoài của tam

giác MAC và nằm trong góc MAC)

Đây là bài toán về chứng minh bất đẳng thức về các độ dài nên kẻ thêm

các đờng phụ, xét các tam giác để áp dụng mệnh đề :” Trong một tam giác,

toỏng độ dài hai cạnh lớn hơn độ dài cạnh thứ ba”

GiảiCho tứ giác ABCD(h 7) Ta phải chứng minh :

AC + BD < AB + BC + CD + DA < 2( AC + BD)

1) Chứng minh AC + BD < AB + BC + CD + DA

Ta có :

AC < AB +BC (bất đẳng thức trong ABC)

AC < AD + DC (bất đẳng thức trong ADC)

O C

D

A B

Q F

P

B A

AB + BC + CD + DA < 2( AC + BD)

Trong tam giác ABO và CDO, ta có :

AB < BO + OA (1)

CD < CO + OD (2)Cộng (1) và (2) ta có :

AB + CD < BO + OD + CO + OA

AB + CD < BD + AC (3)Tơng tự, trong tam giác BCO và ADO, ta có :

AD + BC < BD + AC (4)

Từ (3) và (4) ta đợc :

AB + BC + CD + DA < 2( AC + BD) (đpcm)

*) Nhận xét:

1) Từ mỗi bất đẳng thức (3) và (4) ta thấy vế trái là tổng của hai cạnh của

tứ giác, còn vế phải là tổng của hai đờng chéo Vậy có thể phát biểu mệnh đề :

“ Trong một tứ giác giác lồi, tổng của hai cạnh đối nhỏ hơn tổng của hai đờng

Trong tam giác AOB, ta có :

ở đây có bất đẳng thức giữa độ dài các đoạn

thẳng , nên kẻ đờng phụ để có các hình tam giác, lại có trung điểm của các cạnh, nên nhgĩ đến

việc áp dụng định lí về đờng trung bình trong

tam giác

Giải

GT Tứ giác ABCD

PA = PD, QB = QC

Ta kẻ thêm đờng chéo AC và lấy trung điểm F của AC.

Trong tam giác ACD, PF là đờng trung bình, do đó :

Nh vậy, qua việc giải bài toán trên, ta chứng minh cùng một lúc hai định lí:

(1) Nếu ABCD là hình thang (AB//CD) thì PQ =

Chứng minh rằng từ năm điểm bất kì trong mặt phẳng(không có ba

điểm nào thẳng hàng) Bao giờ cũng chọn đợc bốn điểm là các đỉnh của một tứ giác lồi

Bài tập 3:

D C

B A

D

C

B A

B A

D E

O

K L

AD//BC

Trong hình thang, hai

cạnh song song là hai cạnh đáy; hai cạnh kia là hai cạnh bên, đoạn thẳng nối trung điểm của hai cạnh bên gọi là đờng trung bình

Định lí 1: Trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau

Hình thang ABCD (AB//CD) :  BC= AD

Định lí 2 : Trong hình thang cân hai đờng chéo bằng nhau

Hình thang ABCD(AB//CD) :  AC = BD

Định lí 3 :(đảo của định lí 2)

Nếu hình thang có hai đờng chéo bằng nhau thì nó là hình thang cân

3 Dấu hiệu nhận biết hình thang cân:

Để chứng minh hình thang là cân, ta có thể chứng minh hình thang

đó có một trong các tính chất sau :

1) Hai gọc ở đáy bằng nhau(định nghĩa)

2) Hai đờng chéo bằng nhau

Ví dụ 4 :

Cho tam giác ABC cân, đỉnh A Lấy các điểm E, K lần lợt trên các tia AB

và AC sao cho :

AE + AK = AB + AC Chứng minh rằng : BC < EK

Giải :

Lấy trên AB một điểm L sao cho

AL = AKLấy trên AC một điểm D sao cho

AD = AE

B A

2 1

2 1 A

B K

Rõ ràng các tam giác ALK và AED là những tam giác cân có chung góc ở

đỉnh A nên các góc đáy của chúng bằng nhau Suy ra LK// ED, do đó DELK là hình thang cân, có các đờng chéo bằng nhau

Gọi O là giao điểm của hai đờng chéo DL và EK, ta xét tổng :

EK + DL = (EO + OK) + (DO + OL)

= (EO + OD) + (OK + OL)

Tơng tự, ta cũng chứng minh đợc B là trung điểm của EL

Từ đó, BC ;là đờng trung bình của hình thang DELK, suy ra :

AC = BD (tính chất đờng chéo hình thang cân)Suy ra

AC = AE ; AEC vuông cân tại A ; đờng cao

Cho tứ giác ABCD có AD = AB = BC và A C 180  0 Chứng minh rằng

a) Tia DB là tia phân giác của góc D

b) Tứ giác ABCD là hình thang cân

Giải :

a) Vẽ BHCD, BKAD Ta có  

1

A  (cùng bù với C A ) do đó 2 BHC = 

BKA(cạnh huyền, góc nhọn), suy ra BH = BK

Vậy DB là tia phân giác của góc D

b) Góc A là góc ngoài tại đỉnh A của tam giác cân ADB nên1

Trong ví dụ trên, sau khi chứng minh đợc AB//CD cần tránh sai lầm cho rằng vì

AD = BC (gt) nên ABCD là hình thang cân, sai lầm ở chỗ hình thang có hai cạnhbằng nhau cha chắc đã là hình thang cân

Các bài tập vận dụnGBài tập 5:

Cho tứ giác lồi ABCD trong đó AD = DC và đờng chéo AC là phân giác của góc DAB Chứng minh rằng ABCD là hình thang

Bài tập 6 :

Chứng minh rằng trong một hình thang đờng thẳng đi qua trung

điểm của một cạnh bên song song với hai đáy thì đi qua trung điểm của cạnh bênkia

Bài tập 7:

Cho tứ giác ABCD trong đó CD> AB Gọi E, F lần lợt là trung

điểm của BD và AC Chứng minh rằng

Cho tam giác ABC trong đó AB > AC Gọi H là chân đờng cao kẻ

từ đỉnh A và M, N, P lần lợt là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC

Chứng minh rằng tứ giác MNHP là hình thang cân

Bài tập 9:

Cho tam giác ABC cân, đỉnh A Lấy các điểm E, K lần lợt trên các tia AB và AC sao cho :

AE + AK = AB +ACChứng minh rằng : BC < EK

F E

B A

C D

A

N M

B A

P Q NM

B A

F O

D

M B

C E A

Trong giả thiết của bài toán có trung điểm hai cạnh đối của tứ giác, nối hai

điểm này ta cha đợc đờng trung bình của tam giác nào cả Vì thế ta đã vẽ thêm

trung điểm của đờng chéo BD ( hoặc AC ) và vận dụng đợc định lí đờng trung

bình của tam giác để chứng minh

Việc vẽ thêm trung điểm của một đoạn thẳng để vận dụng đờng trung bìnhcủa tam giác là việc vẽ đờng phụ thờng gặp khi giải bài toán hình học

*) Ví dụ 2 :

Cho hình thang ABCD ( đáy AB nhỏ hơn đáy CD ) Tìm điều kiện của

hình thang này để hai đờng chéo của nó chia đờng trung bình thành ba phần

bằng nhau

Giải :

Gọi M, N lần lợt là trung điểm của AD và BC ; MN

cắt BD tại P, cắt AC tại Q ; MN là đờng trung bình của

Nếu không có điều kiện đáy AB nhỏ hơn đáy CD thì khi AB = 2.CD ,

chứng minh tơng tự nh trên ta vẫn có hai đờng chéo chia đờng trung bình thành

ba phần bằng nhau

Tóm lại, nếu hình thang có một đáy gấp đôi đáy kia thì hai đờng chéo của nó

chia đờng trung bình làm ba phần bằng nhau

*) Ví dụ 3 :

Từ ba đỉnh của một tam giác, hạ các đờng vuông góc xuống một đờng

thẳng d không cắt cạnh nào của tam giác đó Chứng minh rằng tổng độ dài ba

đ-ờng vuông góc đó gấp ba lần độ dài đoạn thẳng vuông góc hạ từ trọng tâm tam

giác xuống đờng thẳng d

Giải :

Giả sử ABC có ba đờng trung tuyến AD, BE, CF cắt nhau tại O; các

đoạn thẳng AG, BH, OI, CK đều vuông góc với đờng thẳng d Ta phải chứng

F E

H

C

B' M

A'

MO = OE Ta lại có HN = IN = IP (đờng thẳng song song cách đều) Nh vậy ta

đợc ba hình thang vuông BOIH, MEPN, ACKG lần lợt có MN, OI, EP là các ờng trung bình Từ đó suy ra

đ-MN + EP = 2.OI hay 2đ-MN + 2EP = 4.OI (1)Nhng 2MN = BH + OI, 2EP = AG + CK, thay vào (1) ta đợc

BH + OI + AG + CK = 4.OI suy ra AG + BH + CK = 3.OI

 Ví dụ 4 :Cho một điểm C ở ngoài một đoạn thẳng AB Dựng các tam giác vuông cân ACA’, BCB’ ra ngoài tam giác ABC ( A ' AC = CBB' = 1v ) Chứng minh rằng vị trí của điểm M ( trung điểm của A’B’) không phụ thuộc vào vị trí chọn

Cho tam giác ABC có A =  Trên cạnh CA lấy điểm D sao cho CD = AB

Kẻ đờng thẳng xy qua trung điểm của AD và BC tính góc do đờng thẳng xy tạo với AB

E và B cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AC) Gọi K, I, M lần lợt là trung điểm của

EC, BD và BC Chứng minh rằng tam giác KMI vuông cân

Bài 4:

Cho hai điểm A và B ở ngoài đờng thẳng xy tìm hệ thức giữa khoảng cách từ trung điểm O của đoạn thẳng AB đến xy và các khoảng cách từ A và B đến xy.Bài5 :

Cho tam giác ABC Đờng thẳng xy đi qua đỉnh A Gọi B’ và C’ là chân ờng vuông góc kẻ từ B và C xuống xy Hãy xác định vị trí của đờng thẳng xy để tổng BB’ + CC’ đặt giá trị lớn nhất

AC –AD + BC – BD = (C –D )(A + B)

*) N©ng cao :

1 Dạng tổng quát của các hằng đẳng thức hiệu hai bình phơng, hiệu hai lập phơng là :

Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử :

a) x2 – 6x + 8 ;b) 9x2 + 6x -8 ;Giải : Ba hạng tử của đa thức không có nhân tử chung , cũng không lập thành bình phơng của một nhị thức Do đó ta nghĩ đến việc tách một hạng tử thành hai hạng tử để tạo thành đa thức có bốn hoặc năm hạng tử

a) Cách 1 x2 -6x + 8 = x2 – 2x – 4x + 8 = x(x – 2) – 4(x – 2) = (x – 2)(x- 4)

Cách 2 x2 – 6x + 8 = x2 – 6x + 9 – 1 = (x -3)2- 1 = (x – 2)(x – 4)Cách 3 x2 – 6x +8 = x2 - 4 - 6x+12 = (x+ 2)(x – 2)–6(x-2) =(x- 2)(x- 4)

Cách 4 x2– 6x+8 = x2- 16 – 6x+24 = (x+4)(x– 4) -6 (x- 4) = (x – 4)(x– 2)

b) Có nhiều cách tách một hạng tử thành hai hạng tử khác, trong đó hai cách sau là thông dụng nhất :

Cách 1: Tách hạng tử bậc nhất thành hai hạng tử rồi dùng phơng pháp nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung mới

9x2 +6x – 8 = 9x2 -6x + 12x – 8 = 3x(3x – 2) + 4(3x – 2) = (3x -2)(3x+ 4)

Cách 2: Tách hạng tử không đổi thành hai hạng tử rồi đa đa thức về dạng hiệu của hai bình phơng

9x2 + 6x – 8 = 9x2+6x+1-9 = (3x + 1)2- 32= (3x +4)(3x -2)

*) Chú ý : Cách tách hạng tử bậc nhất thành hai hạng tử dựa vào hằng

đẳng thức :

mpx2 + (mp +nq)x +nq = (mx +n)(px + q)

Nh vậy trong tam thức bậc hai : ã2 =bx + c, hệ số b đợc tách thành b1 + b2

sao cho b1b2 =ac

Cách làm nh trên gọi là đổi biến.

Chú ý : Tam thức bậc hai a x2 +bx +c sẽ không phân tích tiếp đợc nhân tử trong phạm vi số hữu tỉ nếu :

Theo cách 1, khi phân tích ac ra tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách, không có hai thừa số nào có tổng bằng b, hoặc

Theo cách 2, sau khi đa tam thức về dạng a x2 – k thì k không là bình phơng của số hữu tỉ

Giải : Ta tách các hạng tử của đa thức trên bằng phơng pháp tìm nghiệm của đa

thức Ta nhắc lại a là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(a)= 0 Nh vậy nếu đa thức f(x)

chứa nhân tử x-a thì a phải là nghiệm của đa thức Ta lại chú ý rằng, nếu đa thức trên có một nhân tử là x-a thì nhân tử còn lại là x2 + bx + c, suy ra –ac = -4, tức

là a phải là ớc của -4 Tổng quát, trong đa thức với hệ số nguyên, nghiệm nguyênnếu có phải là ớc của hạng tử không đổi Ước của -4 là 1, 2, 4 Kiểm tra

ta thấy -1 là nghiệm của đa thức Nh vậy đa thức chứa nhân tử x-1, do đó ta tách các hạng tử của đa thức làm xuất hiện nhân tử chung x-1

Cách 1 x3 +3x2 – 4

= x3 -x2 + 4x2 -4

= x2 (x -1)+ 4(x-1)(x2 +4x+4)

=(x-1)(x+2)2.Cách 2 x3 +3x2 – 4= x3 -1 + 3x2 -3

= (x-1)(x2 +x+1) + 3(x-1)(x+4) = (x-1)(x2 +x+1+3x+3)

Giải : Các số 1, 3 không là nghiệm của đa thức, vậy đa thức không

có nghiệm nguyên Nhng đa thức có thể có nghiệm hữu tỉ Trong đa thức với hệ

số nguyên , nghiệm hữu tỉ nếu có phải có dạng q p trong đó p là ớc của hệ số tự do,q là ớc dơng của hệ số cao nhất Nh vậy nghiệm hữu tỉ nếu có của đa thức trên chỉ có thể là 1, 

là

một nghiệm nên đa thức chứa nhân tử x-

2

1

hay 2x-1 Do đó ta tìm cách tách cáchạng tử của đa thức để xuất hiện nhân tử chung 2x-1

Có thể giả thiết rằng a > 0 (vì nếu a < 0 thì ta đổi dấu cả hai nhân tử), do

đó a=1 hoặc a=2

-10(x-Theo đề bài ta có (x-y)(-x +10y) = 0

Vì x y nên –x +10y = 0 hay x = 10y

C- các bài tập vận dụngBài tập 1:

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :a) 5x(x -2y) + 2(2y –x)2 ; b) 7x(y -4)2 – (4 –y)3 ;

Chøng minh r»ng trong ba sè x,y,z Ýt nhÊt còng cã hai sè b»ng nhau hoÆc

ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n vÒ chia hÕt trong t¹p hîp z c¸c sè nguyªn.

I Nh¾c l¹i mét sè kiÕn thøc c¬ b¶n ë líp 6 vµ 7 vÒ lÝ thuyÕt trong Z

a lµ béi cña b hoÆc b lµ íc cña a

a chia hÕt cho b hoÆc b chia hÕt a