Giáo Án Bồi Dưỡng Học Sinh giỏi Toán 8

Trêng THCS Mêng Ph¨ng * Gi¸o ¸n: Båi Dìng HSG To¸n 8 PHẦN I : ĐẠI SỐ - SỐ HỌC CH Ủ ĐỀ 1 : PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ. . Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đơn thức và đa thức. . Phân tích đa thức thành nhân tử bằng các phương pháp thông thường: - Đặt nhân tử chung (thừa số chung). - Dùng hằng đẳng thức đáng nhớ. - Nhóm nhiều hạng tử. . Phân tích đa thức thành nhân tử bằng vài phương pháp khác (bổ sung) - Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử. - Thêm bớt cùng một hạng tử. - Đặt ẩn phụ (còn gọi là đổi biến số). - Dùng phương pháp hệ bất đònh. - Tìm nghiệm của đa thức. - Quy tắt HORNER (Hót - Nơ). B. MỘT SỐ BÀI TOÁN: I. PHƯƠNG PHÁP THÊM BỚT, TÁCH, NHÓM HẠNG TỬ Bài 1. Phân tích đa thức thành nhân tử A = x 2 y 2 (y - x) + y 2 x 2 (z - y) - z 2 x 2 (z - x) Cách 1: Khai triển hai trong ba số hạng, chẳng hạn khai triển hai số hạng đầu rồi nhóm các số hạng làm xuất hiện thừa số chung z - x A = x 2 y 3 – x 3 y 2 + y 2 z 3 – y 3 z 2 – z 2 x 2 (z – x) = y 2 (z 3 – x 3 ) – y 3 (z 2 – x 2 ) – z 2 x 2 (z – x) = y 2 (z – x)(z 2 + zx + x 2 ) – y 3 (z – x)(z + x) – z 2 x 2 (z – x) = (z – x)(y 2 z 2 + y 2 zx + x 2 y 2 – y 3 z – y 3 x – z 2 x 2 ) = (z – x)[y 2 z(z – y) – x 2 (z – y)(z + y) + y 2 x(z – y) = (z – x)(z – y)(y 2 z – x 2 z – x 2 y + y 2 x) = (z – x)(z – y)[z(y – x)(y + x) + xy(y – x)] = (z – x)(z – y)(y – x)(xy + xz + yz). Cách 2: Để ý rằng: (z – y) + (y – x) = (z – x). Do vậy ta có: A = x 2 y 2 (y – x) + y 2 z 2 (z – y) – z 2 x 2 [(z – y) + (y – x)] = x 2 y 2 (y – x) + y 2 z 2 (z – y) – z 2 x 2 (z – y) – z 2 x 2 (y – x) = (y – x)(x 2 y 2 – z 2 x 2 ) + (z – y)(y 2 z 2 – z 2 x 2 ) = (y – x)x 2 (y – z)(y + z) + (z – y)z 2 (y – x)(y + x) = (y – x)(z – y)(- x 2 y – x 2 z +yz 2 + xz 2 ) = (y – x)(z – y)[xz(z – x) + y(z – x)(z + x)] = (y – x)(z – y)(z – x)(xz + yz +xy) Bài 2. Phân tích đa thức thành nhân tử a) a 3 + b 3 + c 3 - 3abc b) (x – y) 3 + (y – z) 3 + (z – x) 3 GV: TrÇn Hµo HiƯp Tỉ: To¸n-Lý-C«ng NghƯ 1 Trêng THCS Mêng Ph¨ng * Gi¸o ¸n: Båi Dìng HSG To¸n 8 Lời giải: a) Các hạng tử của đa thức đa thức đã cho không chứa thừa số chung, không có dạng một hằng đẳng thức đáng nhớ nào, cũng không thể nhóm các số hạng. Do vậy ta phải biến đổi đa thức bằng cách thêm bớt cùng một hạng tử để có thể vận dụng được các phương pháp phân tích đã biết. a 3 + b 3 + c 3 = (a 3 + 3a 2 b +3ab 2 + b 3 ) + c 3 – (3a 2 b +3ab 2 + 3abc) = (a + b) 3 +c 3 – 3ab(a + b + c) = (a + b + c)[(a + b) 2 – (a + b)c + c 2 – 3ab] = (a + b + c)(a 2 + 2ab + b 2 – ac – bc + c 2 – 3ab] = (a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 – ab – ac – bc) b) Cách 1: Đặt x – y = a , y – z = b, z – x = c thì a + b + c = 0. Khi đó theo câu a ta có: a 3 + b 3 + c 3 – 3abc = 0 hay a 3 + b 3 +c 3 =3abc Vậy: (x – y) 3 + (y – z) 3 + (z – x) 3 = 3(x – y)(y – z)(z – x) Cách 2: Để ý rằng: (a + b) 3 = a 3 + 3ab(a + b) + b 3 và (y – z) = (y – x) + (x – z) (x – y) 3 + (y –z) 3 + (z – x) 3 = = [(y – x) + ( x – z)] 3 + (z – x) 3 + (x – y) 3 = (y – x) 3 + 3(y – x)(x – z){(y – x) + (x – z)] + (x – z) 3 – (x – z) 3 – (y – x) 3 Bài 3: Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử. X 3 – 7x – 6 Cách 1: Tách số hạng -7x thành – x – 6x, ta có: X 3 – 7x – 6 = x 3 – x – 6x – 6 = x(x – 1)(x + 1) – 6(x + 1) = (x + 1)( x 2 – x – 6) = (x + 1)(x + 2)(x – 3) Cách 2: Tách số hạng – 6 = 8 – 14 ,ta có: X 3 – 7x – 6 = x 3 + 8 – 7x – 14 = (x + 2)(x 2 – 2x + 4) – 7( x + 2) = (x + 2)(x 2 – 2x + 3) = (x + 2)(x + 1)(x – 3) II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHU. Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử. a) (x 2 + x + 1)(x 2 + x + 2) – 12 b) 4x(x + y)(x + y + z) (x + z) + y 2 z 2 Giải: a) Đặt x 2 + x + 1 = y ta có x 2 + x + 2 =y +1 Ta có: (x 2 + x + 1)(x 2 + x +2) – 12 = y(y + 1) – 12 = y 2 + y – 12 = ( y – 3)(y + 4) Do đó: (x 2 + x + 1)(x 2 + x + 2) – 12 = (x 2 + x – 2)(x 2 + x + 5) = (x – 1)(x + 2)(x 2 + x +5) GV: TrÇn Hµo HiƯp Tỉ: To¸n-Lý-C«ng NghƯ 2 Trêng THCS Mêng Ph¨ng * Gi¸o ¸n: Båi Dìng HSG To¸n 8 b) 4x(x + y)( x + y + z)(x + z) +y 2 z 2 = 4x(x + y +z)(x + y)( x + z) +y 2 z 2 = 4(x 2 + xy + xz)(x 2 + xz + xy + yz) + y 2 z 2 Đặt: x 2 + xy + xz = m, ta có 4x(x + y)(x + y + z)(x + y) + y 2 x 2 = 4m(m + yz) + y 2 z 2 = 4m 2 + 4myz + y 2 z 2 = ( 2m + yz) 2 Thay m = x 2 +xy +xz, ta được: 4x(x +y)(x + y +z)(x + z) + y 2 z 2 = (2x 2 + 2xy + 2xz + yz) 2 * DẠNG ĐẶC BIỆT Xét Q(x) = ay 2 + by + c. Nếu có các số m, n sao cho m.n = a.c, m + n = b thì ay 2 + by + c = ay 2 + (m + n)y + m.n/a hay ay 2 + by + c =a(y + m/a)(y + n/a) (*) nói riêng a = 1 thì y 2 + by +c = ( y + m)(y +n).Trong trường hợp này a, b, c nguyên thì trước hết phân tích hai số nguyên m.n sao cho giá trò tuyệt đối của m và n nhỏ hơn b sau đó chọn m, n thoả mãn m + n = b.  Da thức dạng: P(x) = ax 4 + bx 2 + c Cách giải: Đặt biến phụ y = x 2 và áp dụng HĐT (*). Ví dụ: Phân tích P(x) = 6x 4 + 19x 2 + 15 thành nhân tử. Giải: Đặt y = x 2 ,có Q(y) = 6y 2 + 19y + 15 Tìm m, n sao cho m.n = 90 và m + n = 19 với m < 19, n < 19 Vì 90 = 6.15 = 9.10 nên chọn m = 9, n = 10, ta có: 6y 2 + 19y + 15 = 6y 2 + 9y + 10y + 15 = 3y(2y + 3) + 5(2y +3) = (2y + 3)(3y + 5) Do dó P(x) = 6x 4 + 19x 2 + 15 = ( 2x 2 + 3)(3x 2 + 5)  Đa thức dạng P(x) = (x +a)(x + b)(x + c)(x + d) + e với a + b = c + d Cách giải: Đặt biến phụ y = (x + a)(x + b) có thể y = (x + c)(x + d) hoặc y 2 = x 2 + (a + b) x Ví dụ: Phân tích P(x) = (x +1)(x + 2)(x +3)(x +4) – 15 thành nhân tử. Giải: Với a = 1, b = 4, c = 2, d = 3 thì a + b = 5 =c + d. Biến đổi: P(x) = (x + 1)(x + 4)( x + 2)( x + 3) – 15 = (x 2 + 5x + 4)(x 2 + 5x + 6) – 15 Đặt y = x 2 + 5x + 4 thì P(x) trở thành Q(y) = y(y + 2) – 15 = y 2 +2y – 15 = y 2 – 3y + 5y – 15 = y(y – 3) + 5( y – 3) = (y – 3)(y +5) Do dó . P(x) = (x 2 +5x + 1)(x 2 + 5x + 9) Tổng quát: Nếu đa dạng P(x) = (a 1 x + a 2 )(b 1 x + b 2 )(c 1 x + c 2 )(d 1 x + d 2 ) thoả mãn a 1 b 1 = c 1 d 1 và a 1 b 2 + a 2 b 1 = c 1 d 2 +c 2 d 1 thì đặt y =(a 1 x + a 2 )(b 1 x + b 2 ) rồi biến đổi như trên.  Đa thức dạng: P(x) = (a 1 x + a 2 )(b 1 x + b 2 )(c 1 x + c 2 )(d 1 x + d 2 ) GV: TrÇn Hµo HiƯp Tỉ: To¸n-Lý-C«ng NghƯ 3 Trêng THCS Mêng Ph¨ng * Gi¸o ¸n: Båi Dìng HSG To¸n 8 với a 1 b 1 = c 1 d 1 và a 2 b 2 = c 2 d 2 Ví dụ: Phân tích P(x) = (3x +2)(3x – 5)(x – 9)(9x + 10) + 24x 2 thành nhân tử. Giải: Dễ thấy a 1 b 1 =3.3 = 9.1 = c 1 d 1 và a 2 b 2 = 2.(-5) =(-1).10 =c 2 d 2 P(x) = (9x 2 – 9x – 10)(9x 2 + 9x – 10) + 24x 2 Đặt y = (3x +2)(3x – 5) = 9x 2 – 9x – 10 thì P(x) trở thành: Q(y) = y(y + 10x) = 24x 2 Tìm m.n = 24x 2 và m + n = 10x ta chọn được m = 6x , n = 4x Ta được: Q(y) = y 2 + 10xy + 24x 2 = (y + 6x)(y + 4x) Do dó P(x) = ( 9x 2 – 3x – 10)(9x 2 – 5x – 10).  Đa thức dạng: P(x) = ax 4 +bx 3 + cx 2 + kbx + a với k = 1 hoặc k = -1 Cách giải: Đặt y = x 2 + k và biến đổi P(x) về dạng chứa hạng tử ay 2 + bxy rồi sử dụng HĐT (*). Ví dụ: Phân tích P(x) = 2x 4 + 3x 3 – 9x 2 – 3x + 2 thành nhân tử. Giải: Đặt y = x 2 – 1 suy ra y 2 = x 4 – 2x 2 + 1 Biến đổi P(x) = 2(x 4 – 2x 2 + 1) + 3x 3 – 5x 2 – 3x = 2(x 2 – 1) 2 + 3x( x 2 – 1) – 5x Từ đó Q(y) = 2y 2 + 3xy – 5x 2 Tìm m, n sao cho m.n = - 10x 2 và m + n = 3x chọn m = 5x , n = - 2x Ta có : Q(y) = 2y 2 + 3xy – 5x 2 = 2y 2 – 2xy + 5xy – 5x 2 = 2y(y – x) + 5x(y – x) = ( y – x)( 2y – 5x) Do dó , P(x) = (x 2 – x – 1 )(2x 2 + 5x – 2).  Đa thức dạng: P(x) = x 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e với e = d 2 /b 2 Cách giải: Đặt biến phụ y = x 2 + d/b và biến đổi P(x) về dạng chứa hạng tử y 2 + bxy rồi sử dụng HĐT (*). Ví dụ: Phân tích P(x) = x 4 - x 3 – 10x 2 + 2x + 4 thành nhân tử. Giải: Dễ thấy b = 1, d = 2, e =4 đặt y = x 2 – 2 suy ra y 2 = x 4 – 4x 2 + 4 Biến đổi P(x) = x 4 – 4x 2 + 4 – x 3 – 6x 2 + 2x = (x 2 – 2) 2 – x(x 2 – 2) – 6x 2 Từ đó Q(y) = y 2 – xy – 6x 2 Tìm m, n sao cho m.n = - 6x 2 và m + n = - x chọn m = 2x, n = -3x Ta có Q(y) = y 2 + 2xy – 3xy – 6x 2 = y(y + 2x) – 3x(y + 2x) = (y + 2x)(y – 3x) Do dó, P(x) = (x 2 + 2x – 2)(x 2 – 3x – 2). * Nếu đa thức P(x) có chứa ax 4 thì có thể xét đa thức Q(x) = P(x)/a theo cách trên.  Đa thức dạng P(x) = (x + a) 4 + ( x + b) 4 +c Cách giải: Đặt biến phụ y = x + ( a + b)/2 và biến đổi P(x) về dạng mx 4 + nx 2 + p GV: TrÇn Hµo HiƯp Tỉ: To¸n-Lý-C«ng NghƯ 4 Trêng THCS Mêng Ph¨ng * Gi¸o ¸n: Båi Dìng HSG To¸n 8 Ví dụ: Phân tích P(x) = (x – 3) 4 + ( x – 1) 4 – 16 thành nhân tử. Giải: Đặt y = x – 2 lúc dó P(x) trở thành Q(y) = (y – 1) 4 + ( y + 1) 4 – 16 = 2y 4 + 12y 2 – 14 = 2(y 2 + 7)( y 2 – 1) = 2(y 2 + 7)(y – 1)(y + 1) Do dó P(x) = 2(x 2 – 4x + 11)(x – 3)(x – 1). BÀI TẬP : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử. 1) A(x) = (48x 2 + 8x – 1)(3x 2 + 5x + 2) – 4 2) B(x) = (12x – 1)(6x – 1)(4x – 1)(3x – 1) – 330 3) C(x) = 4(x 2 + 11x + 30)( x 2 + 22x + 120) – 3x 2 4) D(x) = (7 – x) 4 + ( 5 – x) 4 – 2 5) E(x) = x 4 – 9x 3 + 28x 2 – 36x + 16 6) F(x) = x 4 – 3x 3 – 6x 2 + 3x + 1 IV. PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH. Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử. a) x 3 – 19x – 30 b) x 4 + 6x 3 + 7x 2 + 6x + 1 Giải: a) Kết quả tìm phải có dạng: (x + a)(x 2 + bx + c) = x 3 + (a +b)x 2 + (ab +c)x + ac. Ta phải tìm a, b, c thoả mãn: x 3 – 19x – 30 = x 3 + (a +b)x 2 + (ab +c)x + ac Vì hai đa thức này đồngnhất , nên ta có: a + b = 0 ab + c = 19 ac = - 30 Vì a,c thuộc số nguyên vá tích ac = - 30, do đó a, c là ước của - 30 hay a,c = ±1, ±2, ±3, ±5, ±6, ±10, ±15, ±30 a = 2, c = 15 khi đó b = - 2 thoả mãn hệ trên. Đó là một bộ số phải tìm tức là x 3 – 19x – 30 = (x + 2)(x 2 – 2x – 15) b) Dễ thấy ±1 không phải là nghiệm của đa thức trên nên đa thức không có nghiệm nguyên, cũng không có nghiệm hữu tỉ. Như vậy nến đa thức đã cho phân tích thành nhân tử thì phải có dạng: (x 2 + ax + b)( x2 + cx + d) = x 4 + (a + c)x 3 + (ac + b + d)x 2 + (ad +bc)x +bd . Đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho, ta có x 4 + 6x 3 +7x 2 + 6x + 1 =x 4 +(a + c)x 3 + (ac + b +d)x 2 + (ad + bc)x +bd a + c = 6 ac + b + d =7 ad + bc = 6 bd = 1 Từ hệ này tìm được: a = b = d = 1 , c = 5 Vậy: x 4 + 6x 3 +7x 2 + 6x + 1 = (x 2 + x + 1)(x 2 + x + 5). GV: TrÇn Hµo HiƯp Tỉ: To¸n-Lý-C«ng NghƯ 5 Trêng THCS Mêng Ph¨ng * Gi¸o ¸n: Båi Dìng HSG To¸n 8 V. TÌM NGHIỆM CỦA ĐA THỨC.  Nếu đa thức P(x) có một nghiệm là x = a thì ta có thể phân tích P(x) thành tích của hai thừa số là (x – a) và Q(x). P(x) = (x – a) Q(x) Muốn tìm thừa số Q(x), ta hãy chia đa thức cho nhò thức (x – a).  Nếu đa thức P(x) có hai nghiệm phân biệt là x = a và x = b thì ta có thể phân biệt đa thức P(x) thành tích của ba thừa số là (x – a), (x – b) và Q(x). P(x) = (x – a)(x – b) Q(x) Muốn tìm Q(x), ta chia đa thức P(x) cho tích số (x – a)(x – b) = x 2 + (a + b)x +ab, ta có thương đúng của phép chia chính là Q(x).  Nếu đa thức P(x) có nghiệm số kép x 1 = x 2 = a thìsao? Thế nào là nghiệm số kép? Giả sử P(x) có một nghiệm là x = a suy ra P(x) = (x – a)Q(x). Q(x) lại có nghiệm x = a suy ra Q(x) = (x – a) R(x). Do đó, ta có: P(x) = (x – a) 2 R(x). Ta nói đa thức P(x) có nghiệm kép x 1 = x 2 = a Vậy: Nếu đa thức P(x) có nghiệm kép là x 1 = x 2 = a thì P(x) = (x – a) 2 R(x). Ví dụ: Phân tích đa thức P(x) = x 3 – 2x – 4 thành nhân tử . Giải: Ta nhận thấy đa thức P(x) = x 3 – 2x – 4 có số nghiệm là x = 2 Do đó, ta có P(x) = ( x – 2)Q(x) Chia đa trhức P(x) = x 3 – 2x – 4 cho nhò thức x – 2 , ta được thương số là Q(x) = x 2 + 2x +2 = (x + 1) 2 +1 Suy ra P(x) = (x – 2)(x 2 + 2x + 2) Vậy P(x) = x 3 – 2x – 4 = ( x- 2)(x 2 + 2x + 2) Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử. P(x) = x 4 + x 3 – 2x 2 – 6x – 4 Giải: Ta nhận thấy đa thức P(x) có 2 nghiệm phân biệt là -1 và 2 Vì P(-1) = 0 và P(2) = 0 Do đó P(x) = (x – 1)(x – 2)Q(x) Chia đa thức P(x) cho tam thức (x + 1)(x – 2) = x 2 – x – 2 , ta được thương đúng của phép chia là: Q(x) = x 2 + 2x + 2 = (x + 1) 2 + 1 Suy ra: P(x) = (x + 1)(x – 2)(x 2 + 2x + 2) Vậy : P(x) = (x + 1)(x – 2)(x 2 + 2x + 2). VI. QUY TẮT HÓT – NƠ (HORNER) Quy tắt Hót – Nơ giúp chúng ta chia nhanh một đa thức cho một nhò thức bậc nhất. Bài toán: Giả sử chúng ta chia được đa thức. P(x) = a 0 x n + a 1 x n -1 + a 2 x n – 2 + a 3 x n – 3 + … + a n chia nhò thức x - a Bậc của đa thức thương Q(x) nhỏ hơn bậc của P(x) một đơn vò. Q(x) = b 0 x n – 1 + b 1 x n – 2 + b 2 x n – 3 + …… + b n - 1 Số dư r là một hằng số vì bậ r < bậc (x – a) GV: TrÇn Hµo HiƯp Tỉ: To¸n-Lý-C«ng NghƯ 6 Trêng THCS Mêng Ph¨ng * Gi¸o ¸n: Båi Dìng HSG To¸n 8 Ta có: a 0 x n + a 1 x n – 1 + a 2 x n – 2 + … + a n = (x – a)(b 0 x n -1 + b 1 x n – 2 + …. + b n – 1 ) + r Cân bằng các hệ số, ta có: b 0 = a 0 b 1 = a 1 + ab 0 b 2 = a 2 + ab 1 b 3 = a 3 + ab 2 ………………………… b n – 1 = a n – 1 + ab n - 2 r = a n + ab n -1 Ta sắp xếp thành bảng sau: Ví dụ: Phân tích đa thức P(x) = 3x 4 – 4x 3 + 1 thành nhân tử. Giải: Ta có P(1) = 3 – 4 + 1 = 0 Suy ra, đa thức P(x) chia hết cho (x – 1) P(x) = (x – 1)Q 1 (x) Ta xác đònh Q 1 (x) bằng quy tắt Hót – Nơ . 3 -4 0 0 1 1 3 -1 -1 -1 r = p(1) = 0 Do đó Q 1 (x) = 3x 3 – x 2 – x – 1 Nhận xét rằng Q 1 (x) = 0 suy ra Q 1 (x) = (x – 1)Q 2 (x) Ta xác đònh Q 2 (x) bằng cách sử dụng quy tắt Hót – Nơ 3 -1 -1 -1 1 3 2 1 0 Suy ra: Q 2 (x) = 3x 2 + 2x + 1, không phân tích thành nhân tử được nữa. Do đó, ta có: P(x) = 3x 4 – 4x 3 + 1 = (x – 1) 2 (3x2 + 2x + 1). GV: TrÇn Hµo HiƯp Tỉ: To¸n-Lý-C«ng NghƯ a 0 a 1 a 2 ……… a n - 1 a n a b 0 = a 0 b 1 = a 1 +ab 0 b 2 = a 2 +ab 1 b n – 1 = a n -1 + ab n - 2 r = a n + ab n -1 7 Trêng THCS Mêng Ph¨ng * Gi¸o ¸n: Båi Dìng HSG To¸n 8 GV: TrÇn Hµo HiÖp Tæ: To¸n-Lý-C«ng NghÖ 8 Trêng THCS Mêng Ph¨ng * Gi¸o ¸n: Båi Dìng HSG To¸n 8 CHỦ ĐỀ 2: SỐ CHÍNH PHƯƠNG I. ĐỊNH NGHĨA: Số chính phương là số bằng bình phương đúng của một số nguyên. II. TÍNH CHẤT: 1. Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9 ; không thể có chữ số tận cùng bằng 2, 3, 7, 8. 2. Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn. 3. Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 4n hoặc 4n + 1. Không có số chính phương nào có dạng 4n + 2 hoặc 4n + 3 (n ∈ N). 4. Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3n + 1. Không có số chính phương nào có dạng 3n + 2 (n ∈ N). 5. Số chính phương tận cùng bằng 1 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn. Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2 Số chính phương tận cùng bằng 4 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn. Số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ. 6. Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4. Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9. Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25. Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16. III. MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG A. DẠNG1 : CHỨNG MINH MỘT SỐ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y 4 là số chính phương. Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y 4 = (x 2 + 5xy + 4y 2 )( x 2 + 5xy + 6y 2 ) + y 4 Đặt x 2 + 5xy + 5y 2 = t ( t ∈ Z) thì A = (t - y 2 )( t + y 2 ) + y 4 = t 2 –y 4 + y 4 = t 2 = (x 2 + 5xy + 5y 2)2 Vì: x, y, z ∈ Z nên x 2 ∈ Z, 5xy ∈ Z, 5y 2 ∈ Z ⇒ x 2 + 5xy + 5y 2 ∈ Z Vậy A là số chính phương. Bài 2: Chứng minh tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 luôn là số chính phương. Gọi 4 số tự nhiên, liên tiêp đó là n, n + 1, n+ 2, n + 3 (n ∈ N). Ta có n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n.(n + 3(n + 1)(n + 2) + 1 = (n 2 + 3n)( n 2 + 3n + 2) + 1 (*) Đặt n 2 + 3n = t (t ∈ N) thì (*) = t( t + 2 ) + 1 = t 2 + 2t + 1 = ( t + 1 ) 2 = (n 2 + 3n + 1) 2 GV: TrÇn Hµo HiÖp Tæ: To¸n-Lý-C«ng NghÖ 9 Trêng THCS Mêng Ph¨ng * Gi¸o ¸n: Båi Dìng HSG To¸n 8 Vì n ∈ N nên n 2 + 3n + 1 ∈ N Vậy n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 là số chính phương. Bài 3: Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + . . . + k(k+1)(k+2) Chứng minh rằng 4S + 1 là số chính phương . Ta có k(k+1)(k+2) = 4 1 k(k+1)(k+2).4 = 4 1 k(k+1)(k+2).[(k+3) – (k-1)] = 4 1 k(k+1)(k+2)(k+3) - 4 1 k(k+1)(k+2)(k-1) ⇒ S = 4 1 .1.2.3.4 - 4 1 .0.1.2.3 + 4 1 .2.3.4.5 - 4 1 .1.2.3.4 +…+ 4 1 k(k+1)(k+2)(k+3) - 4 1 k(k+1)(k+2)(k-1) = 4 1 k(k+1)(k+2)(k+3) 4S + 1 = k(k+1)(k+2)(k+3) + 1 Theo kết quả bài 2 ⇒ k(k+1)(k+2)(k+3) + 1 là số chính ph ương. Bài 4: Cho dãy số 49; 4489; 444889; 44448889; … Dãy số trên được xây dựng bằng cách thêm số 48 vào giữa số đứng trước nó. Chứng minh rằng tất cả các số của dãy trên đều là số chính phương. Ta có 44…488…89 = 44…488 8 + 1 = 44…4 . 10 n + 8 . 11…1 + 1 n chữ số 4 n-1 chữ số 8 n chữ số 4 n chữ số 8 n chữ số 4 n chữ số 1 = 4. 9 110 − n . 10 n + 8. 9 110 − n + 1 = 9 9810.810.410.4 2 +−+− nnn = 9 110.410.4 2 ++ nn =         + 3 110.2 n Ta thấy 2.10 n +1=200…01 có tổng các chữ số chia hết cho 3 nên nó chia hết cho 3 n-1 chữ số 0 ⇒         + 3 110.2 n ∈ Z hay các số có dạng 44…488…89 là số chính phương. Bài 5: Chứng minh rằng các số sau đây là số chính phương: A = 11…1 + 44…4 + 1 2n chữ số 1 n chữ số 4 B = 11…1 + 11…1 + 66…6 + 8 2n chữ số 1 n+1 chữ số 1 n chữ số 6 C = 44…4 + 22…2 + 88…8 + 7 2n chữ số 4 n+1 chữ số 2 n chữ số 8 GV: TrÇn Hµo HiÖp Tæ: To¸n-Lý-C«ng NghÖ 10 2 2 2 2 2 [...]... x 117 + 83 2 B = 78. 28 - (114 - 1) (144 + 1) C = 20002 - 1999 x 2001 D = (502 + 482 + + 22) - (492 + 472 + + 12) E = (3 + 1) (32 + 1) (34 + 1) (364 + 1) 82 0 180 G= 45 + 90 155 + 155 H = 101 10001 100000001 100 01 2n - 1 I = (13, 98 13200 - 13 98 32) 1402 K = 1 + 11 + + 11 1 n ch s 2 2 GV: Trần Hào Hiệp 2 2 Tổ: Toán- Lý-Công Nghệ 28 Trờng THCS Mờng Phăng * Giáo án: Bồi Dỡng HSG Toán 8 Hng dn... 54 1 = (52 + 1) (52 - 1) 16 Ta có 51994 = 56(51 988 1) + 56 mà 56 54 và 51 988 1 = (54)497 1 chia hết cho 16 ( 51994)3 56(51 988 1)chia hết cho 10000 còn 56= 15625 51994 = BS10000 + 15625 51994 chia cho 10000 d 15625 Vậy 4 chữ số tận cùng của 51994 là 5625 GV: Trần Hào Hiệp Tổ: Toán- Lý-Công Nghệ 21 Trờng THCS Mờng Phăng * Giáo án: Bồi Dỡng HSG Toán 8 3 Tìm điều kiện chia hết * VD1: Tìm số nguyên... bội của 7 là 23 = 8 = 7 + 1 - Nếu n = 3k (k N) thì 2n - 1= 23k 1 = (23)k 1 = 8 k - 1k 8 1 = 7 Nếu n = 3k + 1(k N) thì 2n - 1 = 23k+1 1 = 8k 2 1= 2(8k 1) + 1 = 2 BS7 + 1 2n - 1 không chia hết cho 7 - Nếu n = 3k +2(k N) thì 2n - 1 = 23k+2 1= 4.23k 1 = 4( 8k 1) + 3 = 4.BS7 + 3 GV: Trần Hào Hiệp Tổ: Toán- Lý-Công Nghệ 22 Trờng THCS Mờng Phăng * Giáo án: Bồi Dỡng HSG Toán 8 2n - 1 không chia... 10005 = 1000 + 5 = 1020 08 + 5 9 20 08 ch s 1 2007 ch s 0 2 20 08 ch s 0 ab+1 = ab + 1 = 10 20 08 + 2 (10 20 08 1)(10 20 08 + 5) (10 20 08 ) 2 + 4.10 20 08 5 + 9 +1= = 3 9 9 2 10 20 08 + 2 10 20 08 + 2 = 3 3 Ta thy 1020 08 + 2 = 10002 3 nờn 10 20 08 + 2 3 N hay ab + 1 l s t nhiờn 2007 ch s 0 Cỏch 2: b = 10005 = 1000 1 + 6 = 999 + 6 = 9a +6 2007 ch s 0 20 08 ch s 0 20 08 ch s 9 ab+1 = a(9a +6)... = - (a + b) = - 1 8 Tớnh D = (1,353 + 2,653 + 4,05 10,6) (1,352 + 2,652 + 2,7 2,65) Hng dn t x = 1,35; y = 2,65 x + y = 4 8 Tớnh C = 0,12344 + 1 ,87 664 - 0,12343 1 ,87 662 - 0,12342 1 ,87 663 + 0,4936 7,5064 Hng dn t a = 0,1234; b = 1 ,87 66 thỡ a + b = 2 v C = a4 + b4 - a3b2 - a2b3 + 16ab GV: Trần Hào Hiệp Tổ: Toán- Lý-Công Nghệ 30 Trờng THCS Mờng Phăng * Giáo án: Bồi Dỡng HSG Toán 8 = a4 + 4a3b + 6a2b2... sỏnh: 21 28 v (2 + 1)(22 + 1)(24 + 1) (264 + 1) 4 Tớnh x2 + 0,2x + 0,01 vi x = 0,9 5 Tớnh A = x3 + 6x2 + 12x + 24 vi x = 98 Hng dn 3 A = (x + 2) + 16 2 So sỏnh: 1994 2006 v 1997 2003 GV: Trần Hào Hiệp Tổ: Toán- Lý-Công Nghệ 29 Trờng THCS Mờng Phăng * Giáo án: Bồi Dỡng HSG Toán 8 Hng dn 1994 2006 = 2000 - 36 < 20002 - 9 = 1997 2003 2 3 So sỏnh: (x + y) (x2 + y2) (x4 - y4) (x64 + y64 ) v x1 28 - y1 28 vi... Trần Hào Hiệp Tổ: Toán- Lý-Công Nghệ 24 Trờng THCS Mờng Phăng Vậy với n = 4 thì * Giáo án: Bồi Dỡng HSG Toán 8 n3 + 3n là số nguyên tố 7 4 Bài 7: Đố vui: Năm sinh của hai bạn Một ngày của thập kỷ cuối cùng của thế kỷ XX, một nhờ khách đến thăm trờng gặp hai học sinh Ngời khách hỏi: - Có lẽ hai em bằng tuổi nhau? Bạn Mai trả lời: - Không, em hơn bạn em một tuổi Nhng tổng các chữ số của năm sinh mỗi chúng... + c)2 - 8ab y = (a + b + c)2 - 8ab z = (a + b + c)2 - 8ab Cú ớt nht mt s dng Hng dn 2 2 2 2 x + y + z = a + b + c + (a - b) + (a - c)2 + (b - c)2 > 0 * Cho m, n Z + C/m: 2m2 + 3n2 > 4mn2 Hng dn GV: Trần Hào Hiệp Tổ: Toán- Lý-Công Nghệ 34 Trờng THCS Mờng Phăng * Giáo án: Bồi Dỡng HSG Toán 8 + Nu m n t m = n + z + C/m VT - VP > 0 Tỡm gtm; gtln (nu cú) A = x2 - 4x + 1 B = 3x2 - 6x - 1 C = 5 - 8x - x2... n = 4b(b+1) n 8 (1) Ta cú k2 + m2 = 3n + 2 2 (mod3) Mt khỏc k2 chia cho 3 d 0 hoc 1, m2 chia cho 3 d 0 hoc 1 Nờn k2 + m2 2 (mod3) thỡ k2 1 (mod3) m2 1 (mod3) m2 k2 3 hay (2n+1) (n+1) 3 n 3 (2) M (8; 3) = 1 (3) T (1), (2), (3) n 24 GV: Trần Hào Hiệp Tổ: Toán- Lý-Công Nghệ 15 Trờng THCS Mờng Phăng * Giáo án: Bồi Dỡng HSG Toán 8 Bi 9: Tỡm tt c cỏc s t nhiờn n sao cho s 28 + 211 + 2n l s... Nghệ 28 Trờng THCS Mờng Phăng * Giáo án: Bồi Dỡng HSG Toán 8 Hng dn A = (117 + 83 )2 B = 1 48 - (1 48 - 1) = 1 C = 20002 - (2000 - 1) (2000 + 1) = 1 D = (502 - 492) + ( 482 - 472) + + (22 - 12) = 99 + 95 + + 3 = 3 + 99 99 3 + 1 2 4 3 1 - 1 E = 2 1 28 2 64 2E = (3 - 1) (3 + 1) (3 + 1) (3 + 1) = = 3 G= 1 28 (82 0 + 180 ) (82 0 180 ) (45 + 155) 2 H = (102 + 1) (104 + 1) (102n + 1) 1 = (102 - 1)(102 + 1)(104 . 4 489 ; 44 488 9; 444 488 89; … Dãy số trên được xây dựng bằng cách thêm số 48 vào giữa số đứng trước nó. Chứng minh rằng tất cả các số của dãy trên đều là số chính phương. Ta có 44… 488 89 = 44… 488 . 9 )510)(110( 20 082 0 08 +− + 1 = 9 9510.4)10( 20 082 20 08 +−+ =         + 3 210 20 08 1+ab =         + 3 210 20 08 = 3 210 20 08 + Ta thấy 10 20 08 + 2 = 100…02  3 nên 3 210 20 08 + . 3 + b ⇒ a = 4 , b = 8 hoặc a = 3 , b = 7 Vậy ab = 48 hoặc ab = 37. GV: TrÇn Hµo HiÖp Tæ: To¸n-Lý-C«ng NghÖ 18 Trờng THCS Mờng Phăng * Giáo án: Bồi Dỡng HSG Toán 8 CH 3: TNH CHT CHIA HT