PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO YÊN THẾ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2017-2018 MƠN THI: TỐN; LỚP: PHỔ THƠNG ĐỀ THI CHÍNH THỨC Ngày thi: /4/2018 Thời gian làm 150 phút, khơng kể thời gian giao đề Đề thi có 01 trang Câu (6,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x2 - 2xy + y2 + 6x - 6y +5 Tìm số dư phép chia đa thức f(x) = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + cho đa thức g(x) = x2 + 8x + 12 Cho a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 = Tính S = a2016 + b 2017 + c 2018 +2017 Câu (4,0 điểm) Tìm số nguyên tố p để 4p + số phương 2( x + x + 1) Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức : B = x2 + Câu (4,0 điểm) x3 − 2x x +1 − − : Cho biểu thức: Q = + Tìm x nguyên để Q 2 x + x − x −1 x +1 x − x + x nhận giá trị nguyên Tìm số nguyên a, b biết: (a + 1) b + (b + 1)2 a = Câu (5,0 điểm) Cho tam giác ABC cân A Hai điểm M, D tương ứng trung điểm BC AM H hình chiếu M CD AH cắt BC N, BH cắt AM E Chứng minh rằng: a) Tam giác MHD đồng dạng với tam giác CMD b) E trực tâm tam giác ABN Cho gãc nhọn aOb A mt điểm cố định gúc aOb im M thay đổi tia Oa; im N thay đổi tia Ob cho 2OM = ON Tìm vị trí điểm M, N để 2AM + AN đạt giá trị nhỏ Cõu (1,0 im) Cho cỏc số thực dương x, y thỏa mãn x + y = Chứng minh rằng: 1 + ≥1 x +x y +y Hết -Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: .Số báo danh: Giám thị (Họ tên ký) Giám thị (Họ tên ký) PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO YÊN THẾ HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HỐ CẤP HUYỆN ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN THI: TỐN; LỚP: PHỔ THƠNG NGÀY THI /4/2018 Bản hướng dẫn chấm có 04 trang Câu Hướng dẫn giải = (x - y)2 +6(x - y) +5 = (x - y)2 + 6(x - y)2 + -4 (2,0 điểm) = (x - y + 3)2 - 22 = ( x - y + 5)(x - y +1) (2.0 điểm) = (x2 + 8x + 7)[(x2 + 8x + 12) + 3] + = (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 12) + 3(x2 + 8x + 7) + = (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 12) + 3(x2 + 8x + 12) + – 15 = (x2 + 8x + 12)(x2 + 8x + 10) - Vậy số dư phép chia đa thức f(x) cho đa thức g(x) - a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 = ⇒ a; b; c ∈ [ −1;1] (2 điểm) 1 Ta có: f(x) = (x + 1)(x + 7)(x + 3)(x + 5) + = (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + (6 điểm) 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 ⇒ a3 + b3 + c3 - (a2 + b2 + c2) = a2(a - 1) + b2(b - 1) + c2(c - 1) ≤ 0.5 ⇒ a3 + b3 + c3 ≤ ⇒ a;b;c nhận hai giá trị ⇒ a2016=a2; b2017 = b2; c2018 = c2; ⇒ S = a2016 + b 2017 + c 2018 +2017= 2018 0.75 KL:……… 0.25 Câu (4.0 điểm) Giả sử 4p + số phương=> 4p+1=k (k số tự nhiên) 4p=(k-1)(k+1) => (k-1)(k+1) chia hết cho Mặt khác: (k+1)+(k-1)=2k số chẵn nên k-1 k+1 tính chẵn lẻ (2.0 điểm) Do k-1 k+1 hai số tự nhiên chẵn liên tiếp => (k-1)(k+1) chia hết cho => 4p chia hết cho => p chia hết cho 2, mà p số nguyên tố nên p=2 Với p=2 4p+1 =9 số phương KL: (2.0điểm) 0.5 B= 2( x + x + 1) ( x + 1) + ( x + x + 1) ( x + 1) = = + ≥1 x2 + x2 + x2 + Dấu “ = ” xảy x+1= x = -1 Vậy GTNN B x = -1 0.75 0,5 0,25 0.5 0.5 2( x + x + 1) 3( x + 1) − ( x − x + 1) ( x − 1) B= = = − ≤3 x2 + x2 + x2 + Dấu “ = ” xảy x-1= x = Vậy GTLN B x = Câu 0,5 0,5 (4 điểm) Điều kiện: x ≠ 0,x ≠ -1, x ≠ 2 x3 − 2x x +1 − − Q=1+ : 2 x + x − x −1 x +1 x − x + x x +1+ x +1− x2 − x +1 x2 − x +1 ⋅ =1 + x( x − ) ( x + 1) x − x + ( =1+ (2 điểm) ( ) ) − 2x + 4x x2 − x +1 ⋅ ( x − 1) x − x + x( x − 2) ( ) ( ) − x( x − 2) x2 − x +1 ⋅ ( x + 1) x − x + x( x − 2) −2 =1+ x +1 x −1 = x +1 Q nhận giá trị nguyên ( x − 1) M( x + 1) ( x + 1) − M( x + 1) 2M( x + 1) x+1 ước x+1 ∈ { −2; −1;1; 2} =1+ 0.75 Tìm được: x ∈ { − 3;−2;1} t/m ĐKXĐ 0.25 KL:……… (a + 1) b + (b + 1) a = (1) (2 điểm) Ta có: (1) ⇔ ab( a + b) + 4ab + ( a + b) = ⇔ ab( a + b + 4) + ( a + b + 4) = ⇔ ( a + b + 4)( ab + 1) = Khi xảy trường hợp sau: a + b = a + b = −9 a + b = −3 a + b = −5 ; ; ; ab = ab = −2 ab = ab = −6 Từ tìm (a, b) = (0,1);(1, 0);( −6,1);(1, −6) (Mỗi trường hợp 0,25 điểm) KL:…………… Câu 0.75 0.25 (5 điểm) A D H E 1.a (2 điểm) B M C N a) Vì M trung điểm BC nên AM đường trung tuyến tam giác ABC Mà ∆ ABC cân A (gt) Suy ra: AM đường cao ∆ ABC Xét ∆ MHD ∆ CMD có: · · (= 900) MHD = CMD · · MDH = CDM Suy ra: ∆ MHD ∆ CMD (g.g) b) ∆ MHD 1.b (2 điểm) ∆ CMD (câu a) HD HM ⇒ = MD CM HD HM ⇒ = (vì MD = AD, CM = BM) AD BM 1 Mặt khác ta có: ·ADH = 900 + DMH · · = BMH Suy ∆HDA ∆ HMB (trường hợp đồng dạng thứ hai) · Do đó: ·AHD = BHM · Từ đó: ·AHB = DHM = 900 hay BH ⊥ AN Kết hợp với AM ⊥ BC ta suy E trực tâm tam giác ABN (1,0 điểm) x a C A M b O N 0,5 0,5 Dùng tia Ox n»m ngoµi góc aOb cho ∠aOx = ∠bOa Trªn tia Ox lÊy C cho OC = Chứng minh được: ⇒ ∆ COM OA 0.5 ∆ AON (c.g.c) MC OM = = ⇒ AN = MC NA ON ⇒ 2AM + AN = 2AM + 2MC = ( AM + MC) 2AC Dấu "=" xảy M thuộc đoạn th¼ng AC N nằm 0.5 tia Ob cho ON=2OM 1 1 + = + x + x y + y x ( x + 1) y ( y + 1) 1 1 1 1 1 = − + − = + ÷− + ÷ x x +1 y y +1 x y x +1 y +1 1 1 1 1 ≤ + ÷ với a, b dương, dấu Áp dụng BĐT + ≥ a+b a b a b a+b xảy ⇔ a = b = c 1 1 1 1 ≤ + 1÷; ≤ + 1÷ Ta có x +1 x y +1 y Đặt P = Câu (1 điểm) 0,5 1 1 1 1 1 1 + Bởi P = + ÷− ÷ ≥ + ÷− + + + 1÷ y x y x +1 y +1 x y x 1 1 − = − = = + ÷− ≥ x y x+ y 2 0,5 Dấu “=” xảy x=y=1 Điểm toàn (20điểm) Lưu ý chấm bài: - Trên sơ lược bước giải, lời giải học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà cho điểm phần theo thang điểm tương ứng Với 4, học sinh vẽ hình sai khơng vẽ hình khơng chấm ... (2.0 điểm) = (x2 + 8x + 7)[(x2 + 8x + 12) + 3] + = (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 12) + 3(x2 + 8x + 7) + = (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 12) + 3(x2 + 8x + 12) + – 15 = (x2 + 8x + 12)(x2 + 8x + 10) - Vậy số... GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO YÊN THẾ HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP HUYỆN ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN THI: TỐN; LỚP: PHỔ THƠNG NGÀY THI /4/20 18 Bản hướng dẫn chấm có 04 trang Câu Hướng dẫn... hai giá trị ⇒ a2016=a2; b2017 = b2; c20 18 = c2; ⇒ S = a2016 + b 2017 + c 20 18 +2017= 20 18 0.75 KL:……… 0.25 Câu (4.0 điểm) Giả sử 4p + số phương=> 4p+1=k (k số tự nhiên) 4p=(k-1)(k+1) => (k-1)(k+1)