de thi hoc sinh gioi toan 8 nam 2015 2016 phong gddt trieu son thanh hoa

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRIỆU SƠN KIỂM ĐỊNH CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học 2015 - 2016 Mơn: Tốn Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Ngày 13 tháng năm 2016 (Đề có 01 trang, gồm 05 câu) Đề thức Số báo danh Câu 1: (4,0 điểm) x 1  2x  1 x   1 :  3x  3x x  3x  x Cho biểu thức: P   a Rút gọn biểu thức P b Tìm x  Z để P có giá trị nguyên c Tìm x để P  Câu 2: (5,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a  b  c  3abc Giải phương trình: x  11x  x  11x  x   Giải bất phương trình: x  x  x x1  x     3 Câu 3: (4,0 điểm) Tìm số nguyên x, y thoả mãn x  xy  y  x  40  Với số tự nhiên n, đặt an = 3n2 + 6n + 13 a Chứng minh hai số ai, aj không chia hết cho có số dư khác chia cho + aj chia hết cho b Tìm tất số tự nhiên n lẻ cho an số phương Câu 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC Điểm D thuộc cạnh AB, điểm E thuộc cạnh AC cho BD = CE Gọi I, K, M, N theo thứ tự trung điểm BE, CD, BC, DE a Tứ giác MINK hình gì? Vì sao? b Chứng minh IK vng góc với tia phân giác At góc A Cho tam giác ABC Từ điểm M cạnh AB vẽ hai đường thẳng song song với hai cạnh AC, BC, chúng cắt BC, AC D E Tìm vị trí M cạnh AB để độ dài đoạn DE đạt giá trị nhỏ Câu 5: (1,0 điểm) Giả sử x, y, z số dương thay đổi, thỏa mãn điều kiện xy2z2 + x2z + y = 3z2 Hãy tìm giá trị lớn biểu thức P  z4 1 z4 x4  y4   Hết Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRIỆU SƠN KIỂM ĐỊNH CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI LỚP Hướng dẫn chấm Môn thi: Toán Ngày 13 tháng năm 2016 (Hướng dẫn chấm có 04 trang, gồm 05 câu) Năm học 2015 - 2016 Câu Điểm Nội dung a ĐKXĐ: x  0, x  , x  1 0,5 x 1  2x  1 x   1 :  3x  3x x  3x  x Ta có: P   (4,0đ)  x 1    x  1 2x      1 : 2x  xx  1 x2 x  1  2x    2x    1   3x 3x  x  x  1 2x Vậy với x  0, x  , x  1 ta có P  x 1 b Ta có: P   Z x 1  x  1 Ư(2) mà Ư(2) = 1; 2 0,5 0,5 0,5 0,5 Từ suy x   1;0;2;3 Kết hợp với ĐKXĐ x  2;3 0,25 2x 2x x 1 1 1   0 x 1 x 1 x 1 Mà x – < x + nên x – < x +   x  x  1 Kết hợp với ĐKXĐ 1  x  x  0, x  c P   Ta có: a  b  c  3abc  a  b 3  3a b  3ab  c  3abc    a  b   c  3ab a  b  c     a  b  c  a  b   c a  b   c  3ab a  b  c    a  b  c a  a  b  c  a  2ab  b  ac  bc  c  3ab (5,0đ)    b  c  ab  bc  ca 0,5 0,5 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 Ta có: x  11x  x  11x  x          x x   11x x   x       x  x  11x     x  1 x  13x  12 x  3  2 Vậy tập nghiệm phương trình S =  1; ;   2 0,5 0,25 0,25 0,5 x  x  x x1  x    4 3 24 x  5  x  x x1  x   24   6 2 x  10  x  x x  x  24    x  10  x  3x  x  x  24 6  14  x  14  x   14  Vậy tập nghiệm bất phương trình  x / x     Ta có:   Ta có: x  xy  y  x  40     0,5 0,5 0,25 0,25   x  x   x  xy  y  41 0,75   x  1   x  y   41 2  x  1  25 Vì x,y  Z , x  số nguyên lẻ 41   nên   x  y   16 2 x     x  y   (4,0đ) (6,0đ) 0,5 0,75 Từ suy cặp  x; y  cần tìm  3;1 ;  3; 7  ;  2;6  ;  2; 2  Ta có: an = 3n2 + 6n + 13 = 3(n + 1)2 + 10 a Ta thấy: Nếu an không chia hết cho n + khơng chia hết cho an  2;3 (mod 5) Do đó, ai, aj không chia hết cho  aj (mod 5) + aj  +  (mod 5) b Vì n lẻ nên n + chẵn Do đó, an  (mod 4) Suy an khơng thể số phương Vậy không tồn số tự nhiên n để an số phương Hướng dẫn: a Tứ giác MINK hình thoi b Gọi G, H theo thứ tự giao điểm MN với AC, AB Ta chứng minh: 0,5 0,5 0,5 0,5 2,0 2,0 MG //At Từ suy IK  At Hướng dẫn: M trung điểm cạnh AB độ dài đoạn DE đạt giá trị nhỏ 2,0 Do z > nên từ xy2z2 + x2z + y = 3z2, suy xy  x2 y   z z Áp dụng bất đẳng thức Cô-si với hai số dương, ta có: x  x2 y  y   x  z     y2     z  z Theo đề ra, ta có: P  (1,0đ)   x2 y   2 xy   z z       0,25 z4  4 1 z x  y  x4  y4 z   1 , b  x , c  y (a, b, c > 0), đó: P  2 2 z a b c Do a2  2a – 1, b2  2b – 1, c2  2c – 1, a2 + b2  2ab, b2 + c2  2bc, c2 + a2  2ca Suy ra: 3(a2 + b2 + c2)  2(ab + bc + ca + a + b + c) – x2 y2 Mà ab + bc + ca + a + b + c = x y  y  x     z z z 2 2 2 Do đó: 3(a + b + c )   a + b + c  Suy P  Dấu “=” xảy a = b = c =  x  y    x  y  z  z Vậy giá trị lớn biểu thức P  x  y  z  Đặt a  0,25 0,25 0,25 Chú ý: Thí sinh làm cách khác, điểm tối đa Nếu thí sinh chứng minh hình mà khơng vẽ hình khơng chấm điểm hình ... TRIỆU SƠN KIỂM ĐỊNH CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI LỚP Hướng dẫn chấm Mơn thi: Tốn Ngày 13 tháng năm 2016 (Hướng dẫn chấm có 04 trang, gồm 05 câu) Năm học 2015 - 2016 Câu Điểm Nội dung a ĐKXĐ: x ... Vậy giá trị lớn biểu thức P  x  y  z  Đặt a  0,25 0,25 0,25 Chú ý: Thí sinh làm cách khác, điểm tối đa Nếu thí sinh chứng minh hình mà khơng vẽ hình khơng chấm điểm hình ... minh: 0,5 0,5 0,5 0,5 2,0 2,0 MG //At Từ suy IK  At Hướng dẫn: M trung điểm cạnh AB độ dài đoạn DE đạt giá trị nhỏ 2,0 Do z > nên từ xy2z2 + x2z + y = 3z2, suy xy  x2 y   z z Áp dụng bất đẳng