de thi hoc sinh gioi toan 9 nam 2019 2020 phong gddt binh xuyen vinh phuc

PHỊNG GD&ĐT BÌNH XUN KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9, NĂM HỌC 2019-2020 ĐỀ THI MƠN:TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1(2,0 điểm)  x +3 x + x−5 x −9 x −3 − + Cho số thực < x ≠ biểu thức A=  : x + x − x −  x  x −2 a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A Câu 2(1,0 điểm) Cho góc nhọn α thoả mãn tanα = cos 4α + sin 2α ( cos 2α + 1) Hãy tính giá trị biểu thức B= 2 2.cos α + sin α cos α − sin α Câu 3(1,0 điểm) Tìm tất cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn x + xy + y = xy + 18 x + 16 y − 39 Câu 4(1,0 điểm) Cho số k thoả mãn 1 1 1   + + + + = k. + + + +  1.2 3.4 5.6 2019.2020 2020   1011 1012 1013 Chứng minh rằng: k ∈  Câu 5(1,0 điểm) 23 Giải phương trình 1926 − x + 1954 − x + 1971 − x = Câu 6(1,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn với trực tâm H Trên đoạn HB lấy M đoạn HC lấy N = ANB = 90° Chứng minh AM = AN cho AMC Câu 7(1,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn Gọi D trung điểm BC; E điểm cạnh AC Gọi M giao điểm AD với BE Kẻ đường thẳng CM cắt AB F Chứng minh hai đường thẳng EF BC song song với Câu 8(1,0 điểm) Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh rằng: a b c + + ≥ b+c −a c + a −b a +b−c Câu 9(1,0 điểm) Trong hình vng cạnh 18 cho 1945 điểm Chứng minh tồn đường trịn bán kính chứa điểm số 1945 điểm cho -Hết Thí sinh khơng sử dụng tài liệu máy tính cầm tay Cán coi thi khơng giải thích thêm! Họ tên thí sinh:………………………………………………… Số báo danh:…….………… PHỊNG GD&ĐT BÌNH XUN KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9, NĂM HỌC 2019-2020 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN:TỐN ( Hướng dẫn chấm gồm 04 trang) I) Hướng dẫn chung: 1) Hướng dẫn chấm nêu cách giải với ý bản, thí sinh làm không theo cách nêu hướng dẫn chấm cho đủ số điểm phần thang điểm quy định 2) Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) hướng dẫn chấm phải đảm bảo khơng làm sai lệch hướng dẫn chấm phải thống thực với tất giám khảo 3) Điểm tồn tính đến 0,25 điểm Sau cộng điểm toàn bài, giữ nguyên kết 4) Với hình học học sinh khơng vẽ hình phần khơng cho điểm phần II) Đáp án thang điểm: Câu (2,0 điểm)  x +3 x + x −5 x −9 x −3 − + Cho số thực x thoả mãn < x ≠ biểu thức A=  : x + x − x −  x  x −2 a) Rút gọn biểu thức A Với < x ≠ A= = = ( x +3 )( Nội dung trình bày ) ( x + 2)( x − 2) + ( x − ( x − 2)( x + 1) x +1 − x + x + − ( x − 4) + x − x − x− x −2 x − x − 2x = x − x −2 x −3 Vậy, với < x ≠ A = x −9 ) Điểm 2x x −3 0,5 2x x −3 2x x −3 0,5 2x x −3 Nếu học sinh không nhắc lại điều kiện trước rút gọn trừ 0,25 điểm b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A Với < x ≠ A= Nội dung trình bày Điểm 2x 6 = x −3 + ≥ 2 x − = x −3 x −3 x −3 0,5 ⇔ x − = ⇔ x = (TM) x −3 Vậy, biểu thức A đạt giá trị nhỏ x = Câu (1,0 điểm) Cho góc nhọn α thoả mãn tanα = Dấu “=” xảy x − = HDC_HSG Toán ( Trang 1/4 ) 0,5 cos 4α + sin 2α ( cos 2α + 1) Hãy tính giá trị biểu thức: B= 2 2.cos α + 2sin α cos α − sin α Vì α góc nhọn nên cosα > Nội dung trình bày cos 2α ( cos 2α + sin 2α ) + sin 2α cos 4α + sin 2α cos 2α + sin 2α = Do đó: B= 3 2 2.cos α + 2sin α cos α − sin α 2cos 2α ( cos 2α + sin 2α ) − sin 2α 5 sin α 1+ cos 2α + sin 2α + tan α cos 2α = B = = 3 2cos 2α − sin 2α − sin 2α − tan α 5 cos α   1+  1+   = = B Thay tanα = , ta được= 3   2− −  5   7   35 3 =   18   5 Điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu 3(1,0 điểm) Tìm tất cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: x + xy + y = xy + 18 x + 16 y − 39 Nội dung trình bày Điểm x + xy + y = xy + 18 x + 16 y − 39 ⇔ ( xy − y ) − ( x − x ) + (10 x − 40 ) − ( xy − 16 y ) + = 0,25 Ta có: ⇔ ( x − ) y − x ( x − ) + 10 ( x − ) − y ( x − ) + = Nếu x − = ⇔ x = dẫn đến = (vô lý) Vậy loại x = x−4 0,25 − Nếu x − ≠ ⇔ x ≠ ta y − y − x + 10 = ∈  ⇒ x= 3; x= Vì y − y − x + 10 ∈  nên x−4 Với x = thì= y 1;= y Với x = y =2 ± ∉  Vậy cặp số ( x; y ) cần tìm ( 3;1) , ( 3;3) 0,25 0,25 Câu 4(1,0 điểm) Cho số k thoả mãn 1 1 1   + + + + = k. + + + +  1.2 3.4 5.6 2019.2020 2020   1011 1012 1013 Chứng minh rằng: k ∈  Nội dung trình bày Ta có: 1 1 1 1 1 + + + + =1 − + − + − + + − 1.2 3.4 5.6 2019.2020 2019 2020 HDC_HSG Toán Trang 2/4 Điểm 0,25  1 1   1 = 1 + + + +  −  + + + +  2019   2020    1 1    1 1 1 = 1 + + + +  +  + + + +  −  + + + +  2019   2020  2020   2 1 1   1 =1 + + + + − 1 + + + +  2020  1010  1 1 = + ++ + 1011 1012 1013 2020 Từ suy k = Vậy k ∈  0,5 0,25 Câu 5(1,0 điểm) Giải phương trình 1926 − x + 1954 − x + 1971 − x = 23 Nội dung trình bày Điều kiện xác định x ≤ 1926 Khi đó, phương trình cho tương đương với ( ) ( 1926 − x − + ) ( 1954 − x − + Điểm 0,25 ) 1971 − x − = 2 1926 − x − 62 1954 − x − 82 1971 − x − 92 ⇔ + + = 1926 − x + 1954 − x + 1971 − x + 1   ⇔ (1890 − x )  + + = 1954 − x + 1971 − x +   1926 − x + 1 ⇔ (1890 − x ) = (Vì + + >0) 1926 − x + 1954 − x + 1971 − x + ⇔x= 1890 (thỏa mãn) Vậy x = 1890 0,25 0,25 0,25 Câu (1,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn với trực tâm H Trên đoạn HB lấy M đoạn HC = ANB = 90° Chứng minh AM = AN lấy N cho AMC Nội dung trình bày Điểm A D I M H N C B Gọi hai đường cao tam giác ABC BD CI Xét tam giác AMC vuông M với đường cao MD tam giác ANB vuông N với đường cao NI,= ta có: AM AD.AC; = AN AI.AB  = CAI  nên Xét tam giác ABD vuông D tam giác ACI vng I có BAD ∆ABD# ∆ACI , AD.AC = AI.AB ⇒ AM = AN ⇒ AM = AN (đpcm) Câu (1,0 điểm) 0,5 0,5 Cho tam giác ABC có góc nhọn Gọi D trung điểm BC; E điểm cạnh AC Gọi M giao điểm AD với BE Kẻ đường thẳng CM cắt AB F HDC_HSG Toán Trang 3/4 Chứng minh rằng: Hai đường thẳng EF BC song song với Nội dung trình bày P A Q Điểm E F M B D C Qua điểm A, kẻ đường thẳng song song với BC cắt đường thẳng BM, CM P, Q DB EC FA DC EA FB Khi đó, áp dụng định lý Ta-lét ta có: = Mà BD = CD nên AP BC AQ = ( *) AQ AP BC EA FA = EC FB 0,5 0,25 Vậy: EF BC song song với Lưu ý: Học sinh dùng định lý Ce-va để chứng minh (*), cho điểm tối đa Câu 8(1,0 điểm) 0,25 Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh rằng: a b c + + ≥ b+c −a c + a −b a +b−c Nội dung trình bày Vì a, b, c độ dài cạnh tam giác nên b + c − a > 0; c + a − b > 0; a + b − c > Đặt x = b + c − a; y = c + a − b; z = a + b − c y+z z+x x+ y = ; b = ; c a = x, y, z số dương 2 a b c y+z z+x x+ y Khi đó: + + = + + 2x 2y 2z b+c −a c + a −b a +b−c Điểm 0,25 0,25 1 y z z x x y  + + + + + ≥3 2 x x y y z z  Dấu “=” xảy x = y = z ⇔ a = b = c = 0,25 0,25 Câu (1,0 điểm) Trong hình vng cạnh 18 cho 1945 điểm Chứng minh tồn đường trịn bán kính chứa điểm số 1945 điểm cho Nội dung trình bày Ta phân chia hình vng cho thành 182 = 324 hình vng đơn vị (có cạnh 1) Vì có 1945 điểm 324 hình vng đơn vị nên tồn hình vng đơn vị chứa 1945  điểm số điểm cho  324  + = Đường trịn ngoại tiếp hình vng đơn vị có bán kính HDC_HSG Tốn Trang 4/4 < chứa điểm Điểm 0,25 0,5 0,25 nói Từ suy toán chứng minh Hết HDC_HSG Toán Trang 5/4 ... ) ( 192 6 − x − + ) ( 195 4 − x − + Điểm 0,25 ) 197 1 − x − = 2 192 6 − x − 62 195 4 − x − 82 197 1 − x − 92 ⇔ + + = 192 6 − x + 195 4 − x + 197 1 − x + 1   ⇔ (1 890 − x )  + + = 195 4 − x + 197 1 −... + + +  1.2 3.4 5.6 20 19. 2020 2020   1011 1012 1013 Chứng minh rằng: k ∈  Nội dung trình bày Ta có: 1 1 1 1 1 + + + + =1 − + − + − + + − 1.2 3.4 5.6 20 19. 2020 20 19 2020 HDC_HSG Toán Trang... +  −  + + + +  20 19   2020    1 1    1 1 1 = 1 + + + +  +  + + + +  −  + + + +  20 19   2020  2020   2 1 1   1 =1 + + + + − 1 + + + +  2020  1010  1 1 = +