Thông tin tài liệu
PHỊNG GD&ĐT BÌNH XUN ĐỀ CHÍNH THỨC KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2018-2019 ĐỀ THI MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Câu (1,0 điểm) ( ) ( ) Tìm số tự nhiên có dạng ab , biết ab − ba số chia hết cho 3267 Câu (1,0 điểm) Cho p số nguyên tố thỏa mãn = p a − b3 (với a, b hai số nguyên dương phân biệt) Chứng minh lấy p chia cho loại bỏ phần dư nhận số bình phương số nguyên lẻ Câu (1,0 điểm) Cho x = − 10 + + + 10 + Chứng minh rằng= x Từ tính giá trị biểu thức (x A= + − 2x ) − 4x + 8x + 2018 Câu (1,0 điểm x − 2x − 25 11 x + 13 x − Cho biểu thức B , với x > 0; x ≠ ;x ≠ = + − : 36 x x 2x x x x − + + − − Rút gọn biểu thức B tìm số thực x để biểu thức B nhận giá trị nguyên Câu (1,0 điểm) 7x Giải phương trình = x + 25 − x + 16 Câu (1,0 điểm) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = Chứng minh bất đẳng thức sau: xy + xy + z yz + yz + x zx ≤ zx + y Câu (1,0 điểm) Cho hình thoi ABCD có góc A nhọn, gọi O giao điểm hai đường chéo Kẻ OH vng góc với đường thẳng AB H Trên tia đối tia BC lấy điểm M (điểm M không trùng với điểm B), tia đối tia DC lấy điểm N cho đường thẳng HM song song với đường thẳng AN Chứng minh ∆MOB # ∆OND Câu (1,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AD trực tâm H Lấy điểm M đoạn AD cho BMC = 900 Chứng minh S MBC = S ABC S HBC Câu (1,0 điểm) Tính giá trị biểu thức= C sin 1° + sin 2° + sin 3° + + sin 89° Câu 10 (1,0 điểm) Từ 625 số tự nhiên liên tiếp 1, 2,3, , 625 , chọn 311 số cho khơng có hai số có tổng 625 Chứng minh 311 số chọn, có số phương -Hết Thí sinh khơng sử dụng tài liệu máy tính cầm tay Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:………………………………………………… Số báo danh:…….………… PHỊNG GD&ĐT BÌNH XUN KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2018-2019 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN ( Hướng dẫn chấm gồm 05 trang) I) Hướng dẫn chung: 1) Hướng dẫn chấm nêu cách giải với ý bản, thí sinh làm không theo cách nêu hướng dẫn chấm cho đủ số điểm phần thang điểm quy định 2) Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) hướng dẫn chấm phải đảm bảo không làm sai lệch hướng dẫn chấm phải thống thực với tất giám khảo 3) Điểm tồn tính đến 0,25 điểm Sau cộng điểm toàn bài, giữ nguyên kết 4) Với hình học học sinh khơng vẽ hình phần khơng cho điểm phần II) Đáp án thang điểm: ( ) ( ) Câu (1,0 điểm) Tìm số tự nhiên có dạng ab , biết ab − ba 2 số chia hết cho 3267 Nội dung trình bày ( ab ) − (ba ) = (10a + b) − (10b + a) = 99(a − b ) ( ab ) − (ba ) chia hết cho 3267 = 33.99 nên a − b 2 2 Điểm 2 0,25 = (a − b)(a + b) chia hết cho 33 0,25 Từ ≤ a ≤ 9, ≤ b ≤ (a − b)(a + b) 33 suy a = b ( a; b ) = ( 7; ) ( a; b ) = ( 4; ) Từ ta tìm số 11; 22;33; 44; 47;55;66;74;77;88;99 thỏa mãn 0,25 0,25 Câu (1,0 điểm) Cho p số nguyên tố thỏa mãn = p a − b3 (với a, b hai số nguyên dương phân biệt) Chứng minh lấy p chia cho loại bỏ phần dư nhận số bình phương số nguyên lẻ Nội dung trình bày Điểm 3 2 Ta có p = a − b = (a − b)(a + ab + b ) số nguyên tố 0,25 Mà a, b số nguyên dương phân biệt nên tích (a − b)(a + ab + b ) số nguyên tố a + ab + b số nguyên tố a − b = ⇒ a = b + ⇒ p = (b + 1)3 − b3 = 3b + 3b + 0,25 p 12b + 12b += ( 4b + 4b + 1) + ≡ 1(mod 3) ⇒ 4= 0,25 Nếu lấy p chia loại bỏ phần dư ta số A= 4b + 4b + 1= số phương (đpcm) ( 2b + 1) hiển nhiên Câu 3(1,0 điểm) Cho x = − 10 + + + 10 + Chứng minh rằng= x Từ tính giá trị biểu thức (x A= + − 2x ) − 4x + 8x + 2018 x − 2x − Nội dung trình bày x= − 10 + + + 10 + ⇒ x = + 42 − HDC_HSG Toán 0,25 Trang 1/5 ( 10 + ) Điểm 0,25 ⇒ x =8 + − =6 + ⇒ x = 0,25 +1 ⇒ x − = ⇒ ( x − 1) = ⇒ x − 2x = Khi đó: A (x A= − 2x ) − 4x + 8x + 2018 x − 2x − 0,25 (x = − 2x ) − ( x − 2x ) + 2018 2 (x − 2x ) − 0,25 − 4.4 + 2018 = 2018 4−3 11 x + 13 x − Câu 4(1,0 điểm) Cho biểu thức B= , + − : x − x + 2x + x − x − x với x > 0; x ≠ 25 ; x ≠ Rút gọn biểu thức B tìm số thực x để biểu thức B nhận giá trị nguyên 36 Nội dung trình bày Với x > 0; x ≠ B ( ) ( ) ( ) Điểm x + + x − − 11 x + 13 x −5 25 : ; x ≠ (1) B = 36 x −1 x + x x −1 ( )( ) ( x −5 x −5 x : = x −1 x + x x −1 x + ( )( ) ( ( ) Từ (1) (2) suy < B < B =1 ⇒ x = Vậy:= x ( 0,25 0,25 ) 21 x +3 − x 21 2= − B= = 2 2 x +3 x +3 x +3 ) ) (2) 0,25 , mà B ∈ nên B ∈ {1;2;3} (Thỏa mãn); B = ⇒ x = (Thỏa mãn); B = ⇒ x = 81 (Thỏa mãn) 25 0,25 = ; x 4; = x 81 25 Câu 5(1,0 điểm) Giải phương trình Điều kiện xác định x > −16 7x = x + 16 x + 25 − Nội dung trình bày (* ) Với điều kiện (*), phương trình cho tương đương với 1 ⇔ 7x − = x + 25 + x + 16 TH1: x = ⇔ x = (Thỏa mãn) 1 TH2: − = x + 16 x + 25 + HDC_HSG Toán Điểm Trang 2/5 7x x + 25 − 25 = x + 16 x + 25 + 0,25 0,25 0,25 0,25 ⇔ x + 16 = x + 25 + ⇔= −34 10 x + 25 (Loại vế trái âm, vế phải dương) Vậy x = nghiệm phương trình cho Lưu ý: HS đánh giá x + 25 + > x + 16 để suy không xảy TH2 Câu (1,0 điểm) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = Chứng minh bất đẳng thức sau: xy + xy + z yz + yz + x zx ≤ zx + y Nội dung trình bày Vì x + y + z = nên ta có xy + z = xy + z ( x + y + z ) = ( x + z )( y + z ) Điểm xy Do = xy + z 0,25 xy = ( x + z )( y + z ) x y x+z y+z ( a + b ) , áp dụng BĐT ta được: x y 1 x y ≤ + ( 1) x+ z y+ z 2 x+ z y+ z Với số dương a b ta ln có BĐT xy = xy + z ab ≤ Lưu ý: + Không yêu cầu HS chứng minh BĐT ab ≤ (a + b) + Thay dẫn BĐT cụ thể trên, HS viết: “áp dụng BĐT AM-GM ta có” “áp dụng BĐT Cơ-si ta có” Chứng minh tương tự, ta có yz 1 y z zx 1 z x ≤ + ≤ + (2) ; ( 3) yz + x x + y x + z zx + y y + z x + y Từ (1), (2) (3) ta suy xy + xy + z yz + yz + x Dấu “=” xảy x= y= z= 0,25 zx ≤ zx + y 0,25 0,25 (Lưu ý: không yêu cầu HS nêu bước này) Câu (1,0 điểm) Cho hình thoi ABCD có góc A nhọn, gọi O giao điểm hai đường chéo Kẻ OH vng góc với đường thẳng AB H Trên tia đối tia BC lấy điểm M (điểm M không trùng với điểm B), tia đối tia DC lấy điểm N cho đường thẳng HM song song với đường thẳng AN Chứng minh ∆MOB # ∆OND HDC_HSG Toán Trang 3/5 Nội dung trình bày = MBH ADN = ; MHB AND ⇒ ∆MBH # ∆ ADN ⇒ MB.DN = Ta có BH AD ( ) BH OB = ⇒ DO.OB = BH AD ( ) DO AD MB OB Từ (1) (2) ta có: MB.DN= DO.OB ⇒ = ( 3) DO DN Ta lại có: MBO = 1800 − CBD = 1800 − CDB = ODN ( ) Ta có: ∆OHB # ∆ AOD ⇒ Điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 Từ (3) (4) suy ∆MOB # ∆OND (đpcm) Câu (1,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AD trực tâm H Lấy điểm M đoạn AD cho BMC = 900 Chứng minh S MBC = S ABC S HBC A M H B Ta có S= MBC S ABC S HBC D C Nội dung trình bày 2 ⇔ ( MD.BC = = AD.HD (1) ) ( AD.BC ) ( HD.BC ) ⇔ MD Lại có MD = BD.CD (2) (hệ thức lượng tam giác MBC vuông M, đường cao MD) Mặt khác, ADB= CDH= 90° nên ABC ) DAB = DCH (cùng phụ với ∆ ADB # ∆CDH , AD.HD = BD.CD (3) Từ (2) (3) suy (1) đúng, ta có đpcm HDC_HSG Tốn Trang 4/5 Điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu (1,0 điểm) Tính giá trị biểu thức= C sin 1° + sin 2° + sin 3° + + sin 89° Nội dung trình bày Vì 1° 89° góc phụ nên sin = 89° cos 1° Tương tự, ta có sin 2= 88° cos 2°; sin 2= 87° cos 3°; ; sin = 46 ° cos 44° Điểm Do đó, = C 0,25 = C ( sin ( sin 1° + sin 89° ) + ( sin 2° + sin 88° ) + + ( sin 44° + sin 46 ° ) + sin 45° 1° + cos 1° ) + ( sin 2° + cos 2° ) + + ( sin 44° + cos 44° ) + sin 45° 0,25 0,25 2 89 C = + + +1 + = 44 + = 2 44 0,25 Câu 10 (1,0 điểm) Từ 625 số tự nhiên liên tiếp 1, 2,3, , 625 , chọn 311 số cho khơng có hai số có tổng 625 Chứng minh 311 số chọn, có số phương Nội dung trình bày Điểm Ta phân chia 625 số tự nhiên cho thành 311 nhóm sau: 0,25 + nhóm thứ gồm năm số phương: {49; 225; 400;576;625} + 310 nhóm cịn lại nhóm gồm hai số có tổng 625 (khơng chứa số nhóm thứ nhất): {1;624} , {2;623} , {3;622} , Nếu 311 số chọn số thuộc nhóm thứ 311 số thuộc 310 nhóm cịn lại Theo ngun tắc Dirichlet phải có hai số thuộc nhóm Hai số có tổng 625 (khơng thỏa mãn) Vậy chắn 311 số chọn phải có số thuộc nhóm thứ nhất, theo cách chia nhóm số số phương (đpcm) Hết HDC_HSG Toán Trang 5/5 0,25 0,25 0,25 ... BÌNH XUN KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2018- 20 19 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN ( Hướng dẫn chấm gồm 05 trang) I) Hướng dẫn chung: 1) Hướng dẫn chấm nêu cách giải với ý bản, thí sinh làm không... − (ba ) = (10a + b) − (10b + a) = 99 (a − b ) ( ab ) − (ba ) chia hết cho 3267 = 33 .99 nên a − b 2 2 Điểm 2 0,25 = (a − b)(a + b) chia hết cho 33 0,25 Từ ≤ a ≤ 9, ≤ b ≤ (a − b)(a + b) 33 suy a... − 1) = ⇒ x − 2x = Khi đó: A (x A= − 2x ) − 4x + 8x + 2018 x − 2x − 0,25 (x = − 2x ) − ( x − 2x ) + 2018 2 (x − 2x ) − 0,25 − 4.4 + 2018 = 2018 4−3 11 x + 13 x − Câu 4(1,0 điểm) Cho biểu thức
Ngày đăng: 04/12/2022, 15:16
Xem thêm:
