de thi chon hoc sinh gioi toan 9 nam 2015 2016 so gddt ninh binh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH NINH BÌNH ĐỀ THI CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS NĂM HỌC 2015-2016 Mơn: TỐN Ngày thi: 02/3/2016 Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm 05 câu 01 trang Câu (5,5 điểm) Rút gọn = biểu thức A x + x2 − 2x x − x2 − 2x với x ≥ − x − x2 − 2x x + x2 − 2x Giải phương trình: x + x += 4x x + + 2x −1  x − x= x y − y  Giải hệ phương trình:   ( x + 1) − x + y + = Câu (5,0 điểm) Cho phương trình: x + (m + 1) x + m = (m tham số, x ẩn) Chứng minh với giá trị m phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 Tìm tất giá trị tham số m cho: x1 − x2 − 55 + = x1 x2 + x2 x1 x1 x2 Câu (1,5 điểm) Cho số thực không âm x, y, z đôi khác đồng thời thoả mãn 1 + + ≥4 Chứng minh rằng: ( z + x )( z + y ) = 2 ( x − y ) ( z + x) ( z + y ) Câu (7,0 điểm) Từ điểm M nằm ngồi đường trịn (O) vẽ tiếp tuyến MA, MB cát tuyến MNP với đường tròn (A, B tiếp điểm, N nằm M P) Gọi H giao điểm AB MO Chứng minh: Tứ giác NHOP nội tiếp đường trịn Kẻ dây cung PQ vng góc với đường thẳng MO Chứng minh ba điểm N, H, Q thẳng hàng Gọi E giao điểm MO cung nhỏ AB đường tròn (O) Chứng minh:  NE tia phân giác MNH Câu (1,0 điểm)  x2 − y = Tìm tất số nguyên dương x, y thỏa mãn:  50 < x < 100 HẾT -Họ tên thí sinh : Số báo danh: Họ tên, chữ ký: Giám thị 1: Giám thị 2: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH NINH BÌNH HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS NĂM HỌC 2015-2016 Mơn: TỐN - Ngày thi 02/3/2016 (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang) I Hướng dẫn chung Bài làm học sinh đến đâu cho điểm đến Học sinh sử dụng kết câu trước làm câu sau Nếu học sinh làm sai câu trước mà sử dụng kết câu trước làm câu sau châm chước để chấm ý sau bình thường theo biểu điểm Đối với hình, vẽ sai hình khơng vẽ hình khơng cho điểm Nếu thí sinh làm không theo cách nêu đáp án mà cho điểm đủ phần hướng dẫn, thang điểm chi tiết tổ chấm thống Việc chi tiết hố thang điểm (nếu có) so với thang điểm hướng dẫn phải đảm bảo không sai lệch đảm bảo thống thực toàn tổ chấm II Hướng dẫn chi tiết Câu ( 2,0 điểm) Đáp án ) ) ( ( x + x − x )( x − x − x ) ( x + x − 2x ) − ( x − x − 2x ) A= A= ( x + x2 − x 2 2 ( x + 2x A= 2 0,25 0,25 x − x + 2x ) ( x2 − x + x2 − x − x2 − x x2 − x + x2 − x ( 2x − 2x + 2x A= A= 2 Câu (5,5 điểm) − x − x2 − x Điểm ) ( 2x x2 − x − x2 − x − x x2 − x ) 2x 4x x2 − 2x 2x ) 0,25 0,25 0,5 0,5 = A x2 − 2x ( 1,5 điểm) x + ≥ Điều kiện:  (*) 2 x − ≥ ⇔ x≥ Với điều kiện (*) phương trình cho tương đương với: (4 x − x x + + x + 3) + (2 x − − 2 x − + 1) = 0,25 0,25 0,25 ⇔ (2 x − x + 3) + ( x − − 1) =0 0,25 2 x − x + = ⇔  x − − =0 0,25 = = x + 2x x + 2x ⇔ ⇔ ⇔x= ( Thỏa mãn điều kiện (*)) = 2 x − 1 =  x Vậy phương trình cho có nghiệm x = ( 2,0 điểm) x ≥ Điều kiện:  (*) y ≥ x = y Xét phương trình: x − x = x y − y ⇔ (x − y)(x − 1) = ⇔   x = ±1 Với x = −1 không thỏa mãn điều kiện (*) Với x = thay vào phương trình cịn lại có: y − = ⇔ y = thỏa mãn điều kiện (*) Với x= y ≥ ta có phương trình: 2( x + 1) − x + = (**) Nhận xét: Với x ≥ ta có: ( x − 1) ≥ ⇔ x + ≥ x Do đó: x2 = x 2( x + 1) − x + ≥ x − x + =2 x − x + =2( x − 1) ≥  x − =0 ⇔ x =1 ⇒ y =1 thỏa mãn điều kiện (*) Do đó: (**) ⇔   x − =0 x = Vậy hệ cho có nghiệm  y =1 ( 2,0 điểm) Biến đổi phương trình cho dạng: x + (m + 1)x + m − = ∆ (m + 1) − 4(m − 2) Ta có: = 2 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 ⇔∆ = m + 2m + − 4m + ⇔∆ = m + 2m − 4m + ⇔∆ = m + 2(m − 2m + 1) + 0,25 0,25 0,25 0,25 ⇔∆ = m + 2(m − 1) + 0,25 m ≥ Ta có:  với ∀m ∈ R (m − 1) ≥ Nên có ∆ > với ∀m ∈ R Vậy với giá trị m phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 Câu (5,0 điểm) 0,25 0,25 ( 3,0 điểm) x ≠ Để thỏa mãn yêu cầu tốn phương trình cần có hai nghiệm   x2 ≠ Do có: m ≠ Từ giả thiết ta có: x1 (2 x1 − 1) + x2 (2 x2 − 1)= x12 x22 + 55 0,25 0,25 0,25 ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2  − ( x1 + x2 ) − x12 x2 − 55 = (*) 0,25 x + x = −m2 − Theo định lý Vi – ét ta có:   x1 x2= m − 0,5 Thay vào (*) có: 2[(m + 1) − 2(m − 2)]+(m + 1) − (m − 2) − 55 = 0,25 ⇔ 2(m +2m − 2m+5)+(m + 1) − (m − 4m + 4) − 55 = 0,25 ⇔ 2m + 4m − 48 = 0,25 ⇔ (m − 4)(m + 6) = 0,25 m2 − = ⇔ ⇔m= ±2 + = m  0,25 m = −2 ( Loại giá trị m = ) 0,25 a; b > 0; a ≠ b  ab = 1 1 Khi có bất đẳng thức: + + ≥4 ( a − b) a b 0,25 a= x + z + Đặt  ta có b= y + z Thay ab = vào ta có: 1 + + a2 ≥ a2 (a − ) a 0,25 1 (a − 1) a2 + += a2 + (a − 1) a2 (a − ) a a a a −1 Viết F =( ) + Do có F ≥ − a −1 a Dấu đẳng thức xảy khi:  = a a a −1 2 = ⇔ (a − 1) = a ⇔ a − 3a + = ⇔  a2 −1 a  = a  Xét biểu thức:= F Câu (1,5 điểm) +2 0,25 0,25 +1 ⇒ = b −1 ⇒ = b −1 +1 0,25 Vậy với số thực không âm x, y, z đôi khác đồng thời thoả mãn   +1 −1 x + z = x + z =   bất đẳng thức chứng minh    y + z =5 −1  y + z =5 +1   2 (2,5 điểm) A 0,25 P N M E Câu (7,0 điểm) H O B Chứng minh ∆MNA  ∆MAP Suy MN MP = MA2 Chứng minh AB ⊥ MO H Suy MH.MO = MA Vậy có: MN.MP = MH.MO F 0,25 Q 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 ⇒ ∆MNH  ∆MOP(c.g.c)  = MPO  Suy MHN 0,25 0,25 0,25 Vậy tứ giác NHOP nội tiếp ( 2,5 điểm) PQ ⊥ MO nên P Q đối xứng qua MO  = PHO  Vậy: QHO 0,25 0,25  = ONP  ( Hai góc nội tiếp chắn cung OP) PHO  = OPN  ONP 0,5 0,5  = MHN  ( Theo chứng minh câu 1) OPN =  ⇒ QHO MHN 0,25  nằm vị trí đối đỉnh nên điểm N, H, Q thẳng hàng  MHN Mà QHO; 0,5 0,25 (2,0 điểm)  (1)  = HOP + Tứ giác NHOP nội tiếp nên HNM  = EFP  (2) + ME cắt đường tròn (O) F Chứng minh: HOP 0,5  = EFP  (3) + Tứ giác NEFP nội tiếp nên ENM   = ENM Từ (1), (2), (3) suy HNM 0,25  Vậy NE phân giác HNM 0,25 y nên x số lẻ suy x số lẻ + Ta có: x − = 2k ( k ∈ N ) x − = ( x − 3)( x + 3) = y nên x += + Xét p số nguyên tố lớn Mặt khác có x + > x − Dễ dàng chứng minh p ước số ( x + 3) ( x − 3; p ) = 2 y nên ta có nhận xét x + 3 p ⇒ x + 3 p Mặt khác từ giả thiết ( x − 3)( x + 3) = Lại 50 < x < 100 nên có p ∈ {5;7} Câu (1.0 điểm) 0,5 =  x + 75 =  x 72 + Xét với p = không thỏa mãn yêu cầu 5⇒  ⇔ =  x + 100=  x 97 + Xét với p = ⇒ x + = 98 ⇔ x = 95 không thỏa mãn yêu cầu đề Vậy x + có ước số nguyên tố + Do x + = 6t ⇒ x − = 6(t − 1) nên từ giả thiết ta có t − 1; t hai số tự nhiên liên tiếp có tính chất biểu diễn dạng lũy thừa hai số Từ giả thiết ta có ≤ t ≤ 17 nên có t = Vậy có x + = 54 ⇒ x = 51 Khi có y = 36 Vậy= (x 51; = y 36) Hết 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 ... ĐÀO TẠO TỈNH NINH BÌNH HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS NĂM HỌC 2015- 2016 Mơn: TỐN - Ngày thi 02/3 /2016 (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang) I Hướng dẫn chung Bài làm học sinh đến đâu... giả thi? ??t ( x − 3)( x + 3) = Lại 50 < x < 100 nên có p ∈ {5;7} Câu (1.0 điểm) 0,5 =  x + 75 =  x 72 + Xét với p = không thỏa mãn yêu cầu 5⇒  ⇔ =  x + 100=  x 97 + Xét với p = ⇒ x + = 98 ... hình khơng cho điểm Nếu thí sinh làm không theo cách nêu đáp án mà cho điểm đủ phần hướng dẫn, thang điểm chi tiết tổ chấm thống Việc chi tiết hố thang điểm (nếu có) so với thang điểm hướng dẫn